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第09讲 平面向量的应用
【学习目标】
1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．
2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．
【考点目录】
考点一：向量在平面几何中的应用
考点二：向量在解析几何中的应用
考点三：向量在物理学的应用
考点四：余弦定理的应用
考点五：正弦定理的应用
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
考点七：正余弦定理举例应用
考点八：解三角形范围与最值问题
【基础知识】
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
知识点四、余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
知识点五、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
知识点六、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
知识点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．
知识点七、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．
知识点八、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
知识点九：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
一解 一解
两解 无解
② 若A为直角或钝角时：
知识点十：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
知识点十一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
知识点十二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
【考点剖析】
考点一：向量在平面几何中的应用
例1．（2022·全国·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【解析】
证明：设， ．
因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．
所以.
例2．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O为坐标原点，的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标．
【解析】
由题设，，若，则，，
∵的平分线交线段AB于点D，且，
∴，即，解得.
∴.
考点二：向量在解析几何中的应用
例3．（2022·全国·高一课时练习）已知点.求：
（1）的值；
（2）的大小；
（3）点到直线的距离.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以；
（2），
因为，
所以；
（3）因为，所以，
因为，
所以在方向上的投影为
，
所以点到直线的距离为.
考点三：向量在物理学的应用
例4．（2022·全国·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
【解析】
（1）根据题意，，，，
故对该质点做的功（）；
对该质点做的功（）.
（2）根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功（）.
考点四：余弦定理的应用
例5．（2022·海南华侨中学高二期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A；
（2）如果，，求△ABC的面积.
【解析】
解：（1）因为
由正弦定理得，
即，
所以，
，所以.
（2）又，
，所以，
所以.
例6．（2022·广东罗湖·高三期末）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
【解析】
（1）解：由余弦定理，得， 所以，，
所以，，
又因为，所以，，则，
，因此，.
（2）解：因为的面积，则，
由余弦定理，得，
所以，， 所以，.
例7．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高一期中）已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且
(1)求角C﹔
(2)若，,求的值；
【解析】（1）由得,
因为,
所以,因为,所以,
因为,所以.
（2）由余弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.
考点五：正弦定理的应用
例8．（2022·贵州金沙·高二期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，．
（1）若，，求外接圆的半径；
（2）若的周长为16，，求．
【解析】
（1）因为，，，所以，
因为，所以，
所以外接圆的半径为；
（2）因为的周长为16，，所以，
因为，所以，
因为，所以，解得．
例9．（2022·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的周长.
【解析】
（1）因为，所以，
由余弦定理可得：，
又因为，所以.
（2）由已知所以，
由已知及余弦定理得，
即，所以，解得：或（舍），
所以的周长为.
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
例10．（多选题）（2022·广东·深圳市华美外国语（国际）学校高一期中）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则为等腰直角三角形
C． D．若，则为钝角三角形
【答案】ACD
【解析】对于A，若，所以，利用正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由于，利用正弦定理可得，整理得，即，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理，所以，故C正确；
对于D，由于，
所以
，
因为，所以中必有一个钝角，故为钝角三角形，故D正确.
故选：ACD.
考点七：正余弦定理举例应用
例11．（2022·福建三明·高一期末）如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
【解析】（1）由，，可得：，，
而，故，
在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，
，
由且，则，
所以.
所以五边形ABCDE的周长.
例12．（2022·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【解析】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
例13．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）一艘船向正北方向航行， 在点 处看灯塔 在北偏东 的方向上，且距离为 海里， 这艘船航行 40 海里后到达点 .此时灯塔 在船只北偏东 的方向上且距离为 海里， 求 及 .
【解析】在中，,由余弦定理得：，在中，由正弦定理得,因为,故,所以,
故答案为：，
考点八：解三角形范围与最值问题
例14．（2022·湖南·长郡中学高一期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）
(1)求角C；
(2)若时，求周长的最大值．
【解析】（1）若选①，
因为，
所以，，
因为，所以.
若选②，
因为，所以，
因为，所以，即.
因为，所以，即.
若选③，
因为，
所以，即，
所以，，所以.
（2）由①②③可得，
由余弦定理：，即 ，
所以，解得，
当且仅当时取等号.
所以周长的最大值是.
例15．（2022·江苏宿迁·高一期末）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②.两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），
已知，______．
(1)若，求b；
(2)求面积S的最大值．
【解析】(1)若选①
，则
所以，即
由，，得，
可得，所以．
若选②
，则
所以，由，得
中，由正弦定理，可得.
(2)中，，
所以，即
解得，当且仅当取等号．
所以面积，
所以当时，面积S取得最大值.
例16．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）的内角的对边分别为.的面积为，且.
(1)求角；
(2)求的最大值.
【解析】(1)，
，
，
，
；
(2)由正弦定理得：
，
，
，
，
，
所以的最大值为.
例17．（2022·湖北·武汉市第四十三中学高一期中）已知分别为三个内角的对边，，且，
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【解析】(1)由题意得：，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
(2)因为，所以由正弦定理得：，
，
因为，所以，
所以，的取值范围是
【真题演练】
1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【解析】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【解析】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
3．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【解析】因为，所以．
故答案为：.
4．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【解析】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
5．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【解析】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
6．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【解析】（1）因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
7．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
8．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
9．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【解析】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
10．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
11．（2021·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【解析】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
12．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【答案】
【解析】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
【过关检测】
一、单选题
1．（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值为（ ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】C
【解析】因为，
所以设，
由余弦定理可得.
故选：C.
2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在，，，，
又
，
由正弦定理得：，
，
树的高度为(m).
故选：A．
3．（2022·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个条件中能够使角A被唯一确定的是（ ）
①；②；③，；④，b＝2，．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】对于①，则或，故①不满足题意；对于②，则，故②满足题意；对于③，，则，，，∵，∴，∴，则角被唯一确定，故③满足题意；对于④，，，∵，∴如图所示，角不唯一，故④不满足题意．
故选：B．
4．（2022·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
由正弦定理得.
故选：B.
5．（2022·全国·高一课时练习）在△中，内角的对边分别是，且，则等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】在三角形中，
由正弦定理可得：.
故选：A.
6．（2022·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，
由正弦定理可得，
所以，即，
因为，所以，因为，所以.
故选：D.
7．（2022·浙江·高一期中）一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】C
【解析】如图，作出，由题意可知，
海里，，则，
因为，
所以海里，
即B，C两点间的距离是海里.
故选：C.
8．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若三角形为斜三角形，则
【答案】C
【解析】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，
所以，，故A选项正确；
对于B选项，，则，如图：
所以有两解，B选项正确；
对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·浙江·良渚高级中学高一阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】CD
【解析】A项：因为，所以.
由正弦定理可得，，无解，A错误；
B项：因为，所以.
由正弦定理可得，，只有一个解，B错误；
C项：因为，由正弦定理可得，.
又，所以，此时有两个解，即有两个解，C正确；
D项：因为，由正弦定理可得，.
又，所以，此时有两个解，即有两个解，D正确.
故选：CD.
10．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12 D．面积有最小值
【答案】ABC
【解析】对于A，，，由正弦定理得
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为有两个解，
所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C对；
对于D，由得,
故
由于，
无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：ABC
11．（2022·福建福州·高一期末）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（ ）
A． B．角的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】AD
【解析】因为，所以，
，，则，所以或．
因为，所以，所以，则，故A正确；
因为，所以．
因为是锐角三角形，所以，即，解得，
所以，则，故B错误，D正确；
因为，所以，所以，则C错误．
故选：AD
三、填空题
12．（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）在中，若，，，则_____．
【答案】或
【解析】由正弦定理可知，，
即 ，解得，
，
或，
故答案为：或
13．（2022·上海市曹杨中学高一期末）在中，，则的外接圆半径为______．
【答案】1
【解析】如图，设外接圆圆心为O，半径为r..延长BO交外接圆于，连接.则
故，得.
故答案为：.
14．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则cosB的值为___________.
【答案】
【解析】依题意，，，
，
，由正弦定理得，
所以.
故答案为：
15．（2022·山东省莒南第一中学高一阶段练习）在中，角所对的边分别为，
①若，则；
②若，则一定为等腰三角形；
③若，则为直角三角形；
④若为锐角三角形，则.
以上结论中正确的有___________.（填正确结论的序号）
【答案】①③
【解析】①因为，由正弦定理得，所以，正确；
②因为，且在中，，所以或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，错误；
③由二倍角公式得，化简得，由正弦定理得，所以为直角三角形，正确；
④若为锐角三角形，则，，当时得，由正弦函数的单调性得，则，与为锐角三角形矛盾，错误.
故答案为：①③.
四、解答题
16．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，.
(1)求a；
(2)求的面积.
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理得：，
解得或（不合题意，舍去）.
所以，.
（2）由（1）知，所以，
又，，所以，
所以.
所以的面积为.
17．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
(1)求角B的大小；
(2)若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
由余弦定理得，又，所以．
（2）在中，由余弦定理得，
则，即.
∵，，∴，
当且仅当时，，
所以.
此时，.
在中，，
由正弦定理得.
18．（2022·福建·石狮市第八中学高一阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求：
(1)的长度；
(2)的长度.
【解析】（1）在中，由余弦定理可得：
，
则.
（2）在中，，
，
由正弦定理可得：
，
即.
19．（2022·上海市金山中学高一期末）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，，当的周长最小时，求的值．
【解析】（1）由正弦定理，得，
所以，即，
又，所以.
（2）由余弦定理得，把代入，整理得，
因为，所以的周长为
，
当且仅当，即时取等号，
所以当的周长最小时，．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高一期中）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围.
【解析】（1），
将函数图象上所有点向右平移个单位长度，
得，
然后横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得
，
由，
得，
所以的单调递增区间为；
（2），
因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
21．（2022·浙江·高一期中）在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：
(1)求角的大小；
(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.
【解析】（1）选①，因为，
所以，得，
即，
由正弦定理得：，
因为，所以()，所以．
选②，因为，所以，()
得，
即，
，
所以()，所以．
选③，因为，所以，
，
，
，，
，即，
因为，所以，所以．
（2）在△中，由余弦定理，则，那么；
由角平分线定理,则,
那么.第09讲 平面向量的应用
【学习目标】
1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．
2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．
【考点目录】
考点一：向量在平面几何中的应用
考点二：向量在解析几何中的应用
考点三：向量在物理学的应用
考点四：余弦定理的应用
考点五：正弦定理的应用
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
考点七：正余弦定理举例应用
考点八：解三角形范围与最值问题
【基础知识】
知识点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
知识点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
知识点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
知识点四、余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
知识点五、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
知识点六、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
知识点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．
知识点七、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．
知识点八、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
知识点九：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
一解 一解
两解 无解
② 若A为直角或钝角时：
知识点十：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
知识点十一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3） 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
知识点十二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
【考点剖析】
考点一：向量在平面几何中的应用
例1．（2022·全国·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
例2．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O为坐标原点，的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标．
考点二：向量在解析几何中的应用
例3．（2022·全国·高一课时练习）已知点.求：
（1）的值；
（2）的大小；
（3）点到直线的距离.
考点三：向量在物理学的应用
例4．（2022·全国·高一课时练习）两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
考点四：余弦定理的应用
例5．（2022·海南华侨中学高二期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A；
（2）如果，，求△ABC的面积.
例6．（2022·广东罗湖·高三期末）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
例7．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高一期中）已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且
(1)求角C﹔
(2)若，,求的值；
考点五：正弦定理的应用
例8．（2022·贵州金沙·高二期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，．
（1）若，，求外接圆的半径；
（2）若的周长为16，，求．
例9．（2022·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的周长.
考点六：利用正余弦定理判断三角形的形状
例10．（多选题）（2022·广东·深圳市华美外国语（国际）学校高一期中）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则为等腰直角三角形
C． D．若，则为钝角三角形
考点七：正余弦定理举例应用
例11．（2022·福建三明·高一期末）如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
例12．（2022·山东滨州·高一期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
例13．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）一艘船向正北方向航行， 在点 处看灯塔 在北偏东 的方向上，且距离为 海里， 这艘船航行 40 海里后到达点 .此时灯塔 在船只北偏东 的方向上且距离为 海里， 求 及 .
考点八：解三角形范围与最值问题
例14．（2022·湖南·长郡中学高一期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）
(1)求角C；
(2)若时，求周长的最大值．
例15．（2022·江苏宿迁·高一期末）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②.两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），
已知，______．
(1)若，求b；
(2)求面积S的最大值．
例16．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）的内角的对边分别为.的面积为，且.
(1)求角；
(2)求的最大值.
例17．（2022·湖北·武汉市第四十三中学高一期中）已知分别为三个内角的对边，，且，
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【真题演练】
1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
3．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
4．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
5．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
6．（2022·北京·高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
7．（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
8．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
9．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
10．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
11．（2021·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
12．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【过关检测】
一、单选题
1．（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值为（ ）
A． B．－ C．－ D．
2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个条件中能够使角A被唯一确定的是（ ）
①；②；③，；④，b＝2，．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
4．（2022·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）在△中，内角的对边分别是，且，则等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
6．（2022·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·高一期中）一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若三角形为斜三角形，则
二、多选题
9．（2022·浙江·良渚高级中学高一阶段练习）在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．（2022·黑龙江·哈九中高一期中）在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12 D．面积有最小值
11．（2022·福建福州·高一期末）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（ ）
A． B．角的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
三、填空题
12．（2022·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）在中，若，，，则_____．
13．（2022·上海市曹杨中学高一期末）在中，，则的外接圆半径为______．
14．（2022·辽宁·沈阳市第四十中学高一阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则cosB的值为___________.
15．（2022·山东省莒南第一中学高一阶段练习）在中，角所对的边分别为，
①若，则；
②若，则一定为等腰三角形；
③若，则为直角三角形；
④若为锐角三角形，则.
以上结论中正确的有___________.（填正确结论的序号）
四、解答题
16．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，.
(1)求a；
(2)求的面积.
17．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高一期末）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，
(1)求角B的大小；
(2)若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长．
18．（2022·福建·石狮市第八中学高一阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求：
(1)的长度；
(2)的长度.
19．（2022·上海市金山中学高一期末）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，，当的周长最小时，求的值．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高一期中）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围.
21．（2022·浙江·高一期中）在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：
(1)求角的大小；
(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.

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