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1 第三章 圆锥曲线的方程 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：圆锥曲线的定义
高频考点二：圆锥曲线的标准方程
高频考点三：焦点三角形问题
高频考点四：离心率问题
高频考点五：圆锥曲线中的最值问题
高频考点六：弦长问题
高频考点七：中点弦问题
高频考点八：轨迹方程问题
高频考点九：面积问题
高频考点十：圆锥曲线中的定点、定值问题
高频考点十一：圆锥曲线中的向量问题
一、基本概念回归
知识回顾1：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的
轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
知识回顾2：椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
知识回顾3：椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程 （） （）
范围 ， ，
顶点 ，， ，
轴长 短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点
离心率 ，
知识回顾4：双曲线的定义
4.1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
4.2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
4.3双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
知识回顾5：双曲线的简单几何性质
标准方程 （） （）
图形
性质 范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
渐近线
离心率 ，，
a，b，c间的关系
知识回顾6：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识回顾7：抛物线的标准方程
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程 （） （） （） （）
图形
焦点
准线
知识回顾8：抛物线的简单几何性质
标准方程 （） （） （） （）
图形
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
知识回顾9：弦长公式
：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长
弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
知识回顾10：中点弦点差法：
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
知识回顾11：面积问题
11.1三角形面积问题
直线方程：
11.2焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：圆锥曲线的定义
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，是左焦点，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
2．（2022·江苏·高三开学考试） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
5．（多选）（2022·吉林·长春市实验中学高二期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线
6．（多选）（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知平面内两个定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为常数，设点的轨迹为.下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
B．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
D．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
8．（2022·全国·高二课时练习）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．
高频考点二：圆锥曲线的标准方程
1．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南新乡·二模（文））已知圆与圆相交于A，B两点，若圆，的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为______．
4．（2022·全国·高二课时练习）若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是______．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
6．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．
7．（2022·全国·高二专题练习）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
(2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点．
8．（2022·全国·高二课时练面上动点到定点的距离比到直线：的距离大，求动点满足的方程.
高频考点三：焦点三角形问题
1．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（ ）
A．28 B．36 C．44 D．48
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的离心率为2，的左 右焦点分别为，，点在的右支上，的中点在圆：上，其中为半焦距，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．
5．（2022·江苏·高二）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
高频考点四：离心率问题
1．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知双曲线的左 右焦点分别为、，过的直线与的右支交于，两点.若，，则的离心率为___________.
7．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆，过椭圆的左焦点且斜率为的直线l与椭圆交于两点（点在点的上方），若有，则椭圆的离心率为________.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是___________.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于点A，B，且，O为坐标原点，求椭圆C的离心率．
高频考点五：圆锥曲线中的最值问题
1．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．2
3．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
4．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且∠MNT＝90°，则的最大值是______．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为______，P到直线l距离的最小值为______．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，双曲线左、右焦点分别为．
(1)若直线l过点，且与双曲线C的左、右支各有一个公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若点P为双曲线C上一点，求的最小值．
11．（2022·全国·高二课时练习）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．
12．（2022·全国·高二课时练习）设是抛物线上的一个动点，点是焦点．
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值．
高频考点六：弦长问题
1．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
2．（2022·辽宁丹东·高二期末）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.
3．（2022·湖北·武汉市第十一中学高二期末）已知椭圆的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．
4．（2021·山东·菏泽一中高二期中）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
5．（2021·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.
6．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
7．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.
8．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程．
高频考点七：中点弦问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
3．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知椭圆经过点，且的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，点是弦的中点，求直线的方程.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．
5．（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线过点，焦距为，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
6．（2022·江西·南昌县莲塘第二中学高二期中（理））已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．
（）求双曲线的方程；
（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．
7．（2022·全国·高二单元测试）如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（1，2）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（2，0），若M为线段AB的中点，求△PAB面积的最大值．
8．（2022·福建·龙海二中高三阶段练习（文））已知顶点在原点，对称轴为轴的抛物线，焦点在直线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线交抛物线于、两点，求弦的中点的轨迹方程.
9．（2022·上海·模拟预测）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．
高频考点八：轨迹方程问题
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线和各有一点，的面积为2，则的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），动点P满足，则动点P的轨迹E的方程为______．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知P是圆O：上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使．则点M的轨迹E的方程为______．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______．
5．（2022·全国·高二课时练习）连接定点和曲线上动点的线段的中点的轨迹方程是______．
6．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知定点，，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B（6，0），点A在轨迹C运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程．
9．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程．
高频考点九：面积问题
1．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．
①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)在（1）的条件下，且时，过轨迹C的焦点且倾斜角为45°的直线交轨迹C于点A、B，求△AOB的面积．
4．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，求的面积．
5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
6．（2022·全国·高二单元测试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
(1)若点是的中点，求的值；
(2)求面积的最小值.
高频考点十：圆锥曲线中的定点、定值问题
1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．
2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上，过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于两点，且四边形的面积为6.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)轴上有一点，直线过点且与椭圆相交于两点，若的值与的取值无关，求直线的斜率.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，．焦距为，浙近线方程为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点直线PM、PN分别交x轴于点了T、S，试问：是否为定值．若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）
4．（2017·上海交大附中高二阶段练习）设双曲线：的一个焦点为，右顶点到的两渐近线的距离之积为.
（1）求双曲线方程；
（2）点是双曲线上的一个动点，过的右顶点引的两条渐近线的平行线与直线（为坐标原点）分别交于与两点.若，.试探求是否为定值，并说明理由.
5．（2021·全国·高二课时练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到y轴的距离之差为1．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l1，l2为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．
（ⅰ）求点M的轨迹方程；
（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
6．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.
高频考点十一：圆锥曲线中的向量问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为；③过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．
2．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
3．（2022·北京四中高三开学考试）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
4．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．1 第三章 圆锥曲线的方程 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：圆锥曲线的定义
高频考点二：圆锥曲线的标准方程
高频考点三：焦点三角形问题
高频考点四：离心率问题
高频考点五：圆锥曲线中的最值问题
高频考点六：弦长问题
高频考点七：中点弦问题
高频考点八：轨迹方程问题
高频考点九：面积问题
高频考点十：圆锥曲线中的定点、定值问题
高频考点十一：圆锥曲线中的向量问题
一、基本概念回归
知识回顾1：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的
轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
知识回顾2：椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
知识回顾3：椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程 （） （）
范围 ， ，
顶点 ，， ，
轴长 短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点
离心率 ，
知识回顾4：双曲线的定义
4.1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
4.2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
4.3双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
知识回顾5：双曲线的简单几何性质
标准方程 （） （）
图形
性质 范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
渐近线
离心率 ，，
a，b，c间的关系
知识回顾6：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识回顾7：抛物线的标准方程
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程 （） （） （） （）
图形
焦点
准线
知识回顾8：抛物线的简单几何性质
标准方程 （） （） （） （）
图形
范围 ， ， ， ，
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
知识回顾9：弦长公式
：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长
弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
知识回顾10：中点弦点差法：
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
知识回顾11：面积问题
11.1三角形面积问题
直线方程：
11.2焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：圆锥曲线的定义
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，是左焦点，则（ ）
A．21 B．28 C．35 D．42
【答案】C
【详解】设椭圆的右焦点为，则由椭圆的定义，得
，由椭圆的对称性，知，．
同理，可知，．
又，．
故选：C．
2．（2022·江苏·高三开学考试） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
【答案】A
【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，
连接，则，又，所以是正三角形，
∴，准线的方程是，
∴点纵坐标为3.
故选：A
3．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，
所以，
故选A.
4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
【答案】AC
【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确；
对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确；
对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
故选：AC
5．（多选）（2022·吉林·长春市实验中学高二期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线
【答案】BC
【详解】当时，，故轨迹为双曲线的右支；
当时，，故轨迹为射线；
故选：BC.
6．（多选）（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知平面内两个定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为常数，设点的轨迹为.下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
B．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
D．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
【答案】BC
【详解】设M坐标为，则，
化简得的轨迹方程为：
由得，此时表示焦点为的双曲线，故B正确，A错误.
由得，此时表示焦点为的椭圆，故C正确，
显然不管为何值都不可能是焦点在y轴的双曲线，故D错误.
故选：BC.
7．（2022·全国·高三专题练习）如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
【答案】
【详解】设双曲线的右焦点为，因为双曲线上的点与，关于轴对称，
所以，，
又双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义可得
.
故答案为：.
8．（2022·全国·高二课时练习）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．
【答案】动点的轨迹是椭圆，其标准方程为
【详解】由于点满足，即点到两个定点，的距离之和等于常数，
由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故，
故椭圆的标准方程为.
高频考点二：圆锥曲线的标准方程
1．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，，，
因为，都在椭圆上，所以，
所以，
故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，，
即，，所以，
因此的轨迹方程是．
故选：A．
2．（2022·全国·高二课时练习）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
3．（2022·河南新乡·二模（文））已知圆与圆相交于A，B两点，若圆，的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为______．
【答案】
【详解】设椭圆E的方程为，
由题意可得： ,
又A在椭圆E上，可知，而，
所以，
故椭圆E的标准方程为,
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是______．
【答案】
【详解】双曲线的左焦点为F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切，
则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，
由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，
其方程为．
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【答案】
【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．
【答案】(1)；
(2)或
（1）由焦距是4可得，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，
由椭圆的定义可知，
所以，所以，所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意知，即，又，所以，
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为，
所以椭圆的方程为或
7．（2022·全国·高二专题练习）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
(2)一个焦点坐标为，且椭圆经过点．
【答案】(1)
(2)
(1)由题意，，又，所以，
椭圆标准方程为；
(2)由题意椭圆另一焦点为．
，
，，所以，焦点在轴，
椭圆方程为．
8．（2022·全国·高二课时练面上动点到定点的距离比到直线：的距离大，求动点满足的方程.
【答案】
【详解】因为动点到定点的距离比到直线：的距离大，所以动点到定点的距离与到直线：的距离相等，
所以的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，
此时，故所求的点满足的方程是.
高频考点三：焦点三角形问题
1．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，
设，由椭圆定义得，
由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，
所以，即，
整理得，得，得，所以．
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（ ）
A．28 B．36 C．44 D．48
【答案】C
【详解】如图所示：
∵双曲线的左焦点为，
∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．
∵①，②，
∴①+②得，
∴的周长．
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的离心率为2，的左 右焦点分别为，，点在的右支上，的中点在圆：上，其中为半焦距，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
连接，则有是的中位线，因为，所以
所以由双曲线的定义可得
因为双曲线：的离心率为2，所以
所以，在中由余弦定理可得
所以
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．
【答案】8
【详解】由椭圆，可得a＝2．
由椭圆的定义可得．
所以的周长．
故答案为：8
5．（2022·江苏·高二）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.
【答案】
【详解】由题意，椭圆，可得，即，
根据椭圆的定义，可得，
则，
所以，
当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，
此时，所以的最大值为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．
【答案】
【详解】对椭圆，其，焦点坐标分别为，
由椭圆定义可得：；
设点的坐标为，则，且，
故，
又，故，即的取值范围为：.
故答案为：；.
高频考点四：离心率问题
1．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知：，因为，
所以，整理得，
所以，得，.
故选：A
2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以．
3．（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记中点为，则，
由题意点在线段的中垂线上，
将坐标代入椭圆方程得
两式相减可得，
所以，得，
所以的中垂线的方程为，令得，
由题意，，故，所以
所以
故选：B.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由已知得，，设，
则，，
因为，所以，即，即，
因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
因为，所以，所以，即，
所以，
故选：B．
5．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，的斜率为，
而的渐近线为，
由于直线与双曲线没有公共交点，如图，
所以，即，故，即，所以，
故，即.
故选：C.
6．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知双曲线的左 右焦点分别为、，过的直线与的右支交于，两点.若，，则的离心率为___________.
【答案】
【详解】解：根据题意，作图如下，
设，则，所以，，
，，即，，，，，
由余弦定理知，在中，，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
7．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆，过椭圆的左焦点且斜率为的直线l与椭圆交于两点（点在点的上方），若有，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【详解】设，，
因为，，，
将代入椭圆方程得，
，
两式相减得：，
，，
则，，
因为直线斜率为，，，
将代入椭圆方程整理得：，
或（舍），
故.
故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【详解】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，则由，得，又，∴．
故答案为：．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于点A，B，且，O为坐标原点，求椭圆C的离心率．
【答案】
【详解】由题易知，，，则.
代入椭圆C的方程，可得，所以，即.
所以，所以．
高频考点五：圆锥曲线中的最值问题
1．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知点、，直线，动点到点的距离和它到直线的距离之比为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设点，由题意可得，整理可得，
则，其中，
所以，，
所以，当时，取最大值，即.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．2
【答案】C
【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，所以，而，因为，
所以当时取得最大值3，所以的最大值为.
故选:C．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
【答案】B
【详解】令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B
4．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．
故选：B．
5．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且∠MNT＝90°，则的最大值是______．
【答案】
【详解】设点，则，即，，
，
当时，，而，，因此，
所以当点时，取得最大值.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
7．（2022·全国·高二单元测试）已知直线，抛物线C：上一动点P到直线l与到y轴距离之和的最小值为______，P到直线l距离的最小值为______．
【答案】 1 ##0.75
【详解】
设抛物线C：上的点P到直线的距离为，到准线的距离为，到y轴的距离为，
由抛物线方程可得：焦点F的坐标为，准线方程为，则，，
因此，因为的最小值是焦点F到直线的距离，即，
所以的最小值为；
设平行于直线l且与抛物线C：相切的直线方程为，
由，得，因为直线与抛物线C：相切，
所以，解得，因此该切线的方程为，
所以两平行线间的距离为，即P到直线l距离的最小值为．
故答案为：1；.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围．
【答案】
【详解】解：因为点是椭圆上一点，
所以，
又，，
所以，，
设，，
则，
所以函数在区间上单调递减，
所以，，
所以，
所以函数点P到点的距离的取值范围.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】(1)(2)-4
（1）依题又，
所以，，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，，设，
于是，，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，为.
10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，双曲线左、右焦点分别为．
(1)若直线l过点，且与双曲线C的左、右支各有一个公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)若点P为双曲线C上一点，求的最小值．
【答案】(1).
(2)-1
(1)显然，直线l的斜率不存在时，与双曲线不相交，故l的斜率必存在，设其为k，则直线l：，代入双曲线方程得：.
要使l与双曲线C的左、右支各有一个公共点，
只需，解得：.
即斜率k的取值范围为.
(2)双曲线左、右焦点分别为.
设，则，所以，
因为，所以，所以，即的最小值为-1.
11．（2022·全国·高二课时练习）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值．
【答案】(1)
(2)
（1）解：设圆心的坐标为，
则半径，
又因动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以，
化简得，
即动圆圆心的轨迹C的方程为；
（2）解：如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为，
由抛物线的定义，可知，
所以，
由图可知的最小值为F到直线的距离，
所以，
所以的最小值为．
12．（2022·全国·高二课时练习）设是抛物线上的一个动点，点是焦点．
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)4
（1）抛物线的焦点为，准线是．
由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到焦点的距离，
所以问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，
如图，当A，，共线时上述距离之和最小，
连接交抛物线于点，此时所求的最小值为．
（2）由题意，可知，故点B在抛物线内部（焦点所在一侧），
如图，作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，
此时,当点与点重合时，的值最小，
此时，
即的最小值为4．
高频考点六：弦长问题
1．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
(1)解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
(2)解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；
2．（2022·辽宁丹东·高二期末）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
(1)说明C是什么曲线，并求C的方程；
(2)已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.
【答案】(1)C是以点，为左右焦点的椭圆，
(2)
(1)因为，，
所以C是以点，为左右焦点的椭圆.
于是，，故，因此C的方程为.
(2)当垂直于轴时，，，舍去.
当不垂直于轴时，可设，
代入可得.
因为，设，，
则，.
因为，
所以.
同理.因此.
由可得，，
于是.
根据椭圆定义可知，于是.
3．（2022·湖北·武汉市第十一中学高二期末）已知椭圆的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由题意可知，椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为、，
∴，即，则．
又，∴，所以椭圆的离心率；
(2)解：设，，由得：，
∴，，，
∴，
解得，∴，满足，
∴，∴椭圆C的方程为．
4．（2021·山东·菏泽一中高二期中）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
【答案】(1)
(2)3
(1)因为的渐近线为，所以有，
又，
所以，，
所以双曲线的方程为．
(2)直线过点，倾斜角为所以直线的方程为，
由得，
设，
所以，，
所以
．
5．（2021·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题得顶点到渐近线，即的距离为，
即，
离心率，又，
则可解得，
故双曲线方程为；
（2）设，
联立可得，
则，解得
，
则，解得.
6．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
（1）由题意可知：，
解得：.
（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为，
由题意知直线斜率不为0，设直线为：，
联立直线与抛物线：，消得：，
则
则
所以，
解得，
所以直线为：或
7．（2022·四川·富顺第二中学校高二阶段练习（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，开口向右且焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)若过的焦点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
(1)设抛物线，
抛物线的焦点到准线的距离为，，抛物线的标准方程为：；
(2)由（1）得：，设直线，，，
由得：，则，
，解得：，
直线方程为：或，即或.
8．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知抛物线C的焦点为，N为抛物线上一点，且
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
(1)抛物线的方程为，
设，依题意，由抛物线定义，
即.所以，又由，得，
解得 (舍去)，所以抛物线的方程为.
(2)由（1）得，设直线的方程为，，，
由，得.
因为，故
所以.
由题设知，解得或，
因此直线方程为或.
高频考点七：中点弦问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
（1）解：设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．
（2）解：显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
【答案】
【详解】解：因为椭圆经过点，
所以（1），
设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
所以，两式相减得，
因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为-，
所以 （2），由（1）（2）解得，
所以椭圆方程为：；
3．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知椭圆经过点，且的离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，点是弦的中点，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
(1)由椭圆经过，则.
双曲线的离心率为2，则的离心率为，，
所以，故的方程为.
(2)设，，因为，在上，所以，
①-②，得，所以.
因为是弦的中点，则，，
由上有，故直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，P为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程．
【答案】(1)
(2)
（1）解：因为，所以，即，
则，解得．
（2）解：设，
由，得，所以，所以
设，即
由于在椭圆上，则，，①
由，得，即
由在椭圆上，则,
即，
即，②
将①代入②得：，③
线段的中点为，设
可知
，
所以，其中，解得，
所以，方程为
又，④
将④代入③得：，
经检验满足，
所以椭圆的方程为.
5．（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线过点，焦距为，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1).
(2)存在，直线为或.
（1）由题设，，又在双曲线上，
∴，可得，
∴双曲线C的方程为.
（2）由（1）知：，
直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意；
设直线为，，
联立双曲线方程可得：，
由题设，
∴，，则.
要使△构成以为顶角的等腰三角形，则，
∴的中点坐标为，
∴，可得或，
当时，，不合题意，所以，直线l：，
∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形.
6．（2022·江西·南昌县莲塘第二中学高二期中（理））已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．
（）求双曲线的方程；
（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（）设双曲线方程为．
由已知得，，，
∴．
故双曲线的方程为．
（）联立，
整理得．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴，
可得．（）
设、，的中点为．
则，，．
由题意，，∴．
整理得．（）
将（）代入（），得，
∴或．
又，即．
∴的取值范围是．
7．（2022·全国·高二单元测试）如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（1，2）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（2，0），若M为线段AB的中点，求△PAB面积的最大值．
【答案】(1)B(9，﹣6)
(2)2
(1)当A的坐标为（1，2）时，则22＝2p 1，所以2p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝4x，
由题意可得直线AM的方程为：y﹣2（x﹣1），
即x＝﹣y+3，代入抛物线的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，
代入抛物线的方程可得或，所以B（9，﹣6）；
(2)易知直线AB的斜率存在且不等于0，
设直线AB的方程：x＝my+n，因为M在直线AB上，所以m+n＝2，
P到直线AB的距离d，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由M（2，1）是AB的中点可得，y1+y2＝2×1＝2，联立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，
所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，
|AB||y1﹣y1| ，
所以S△PAB|AB| d ，
将pm＝1，代入，S△PAB2，所以当m＝2时，取等号，
所以△PAB面积的最大值为2．
8．（2022·福建·龙海二中高三阶段练习（文））已知顶点在原点，对称轴为轴的抛物线，焦点在直线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线交抛物线于、两点，求弦的中点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）焦点在直线上，
且抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，
焦点的坐标为，
设方程为，则，
求得，
则此抛物线方程为.
（2）设，，
因为、在抛物线上，
所以 ，①
，②
，，
①-②得，
当直斜率存在时，.
设直线方程：，
代入，，
得，
。
当直线斜率不存在，与重合
，满足. 。
综上，弦的中点的轨迹方程：.
9．（2022·上海·模拟预测）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）y2=4x（Ⅱ）T到y轴的距离的最小值为3，此时直线的方程为x±y-1=0.
【详解】（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，
可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，
由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，
由|AF|=1+=2，即p=2，
可得抛物线方程为y2=4x；
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，
△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，
|AB|= =8，
可得n=-m2，
=2m，==2m2+n=+m2
=+m2+1-1≥2-1=3，
当且仅当=m2+1，即m2=1，即m=±1，
T到y轴的距离的最小值为3，
此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..
高频考点八：轨迹方程问题
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线和各有一点，的面积为2，则的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：设，
则，
且有，，，
∴，
∵，∴，则，
，
即的中点M的轨迹方程为：.
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），动点P满足，则动点P的轨迹E的方程为______．
【答案】
【详解】设P（x，y），则，，．由，
知，化简得，即动点P的轨迹E的方程为．
故答案为：.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知P是圆O：上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使．则点M的轨迹E的方程为______．
【答案】
【详解】设M（x，y），因为，所以P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，所以．
因为P是圆O：上的点，所以，即点M的轨迹E的方程为．
故答案为：.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______．
【答案】
【详解】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，
所以，又因为P是椭圆上任意一点，
所以，即.
故答案为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）连接定点和曲线上动点的线段的中点的轨迹方程是______．
【答案】
【详解】设，，
因为是的中点，所以，则，
代入曲线可得，整理可得，
所以的轨迹方程是.
故答案为：.
6．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知定点，，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B（6，0），点A在轨迹C运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
（1）设动点P的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）设点的坐标为，点A坐标为，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以，即，
解得，又点A在轨迹C运动，
由（1）有：，
化简得：，
即Q的轨迹方程：.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．
【答案】(1)（在椭圆内部分）
(2)（在椭圆内部分）
(3)
（1）解：设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）解：设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
（3）解：在（1）中式子里，
将，，代入上式可求得．
所以直线方程为．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程．
【答案】(1);
(2).
【解析】（1）
,
的轨迹为对角线长分别为，边长为，原点为内切圆圆心的菱形，
其顶点分别为，
所以由题意得
所以，，所以的标准方程为．
（2）设，当AB所在直线的斜率存在且不为0时，设AB所在直线的方程为，
由 可得，，
所以，
设，由题意得，即，
又因为直线l的方程为，即，所以，
又因为，所以．
易得当AB所在直线的斜率不存在时，且；AB所在直线斜率为0时，
且，上式仍然成立．
综上所述，点M的轨迹方程为．
9．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
(1)由抛物线的定义可得，∴抛物线的方程为；
(2)由题意可得直线的斜率存在，设其为k，设，则直线的方程为；代入抛物线方程得，则有，
∵，∴，∴，即①
同理可得②，①-②有，得，∴．∴
又，设，则，
消k得，所以G的轨迹方程为．
高频考点九：面积问题
1．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
（1）解：选择条件①，
由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线C的标准方程为．
选择条件②，
因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
选择条件③．
当轴时，，所以．
故抛物线C的标准方程为．
（2）解：设，，由（1）知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．
①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
（1）设椭圆C的方程为（），，则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则．
选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．
选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．
选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为．
（2）由椭圆的定义知，①
又因为，所以，②
由①②可得，解得，因此．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)在（1）的条件下，且时，过轨迹C的焦点且倾斜角为45°的直线交轨迹C于点A、B，求△AOB的面积．
【答案】(1)或
(2)
（1）依题意①，，
两边平方得，
②，
两边平方得，
整理得，
可得或，
当时，②转化为，所以，
此时①转化为，所以.
所以点的轨迹的方程为或.
（2）当时，轨迹的方程为，是抛物线，
，所以轨迹的焦点为.
所以直线的方程为，，
由消去并化简得，
设，则，
所以.
原点到直线的距离为.
所以三角形的面积为.
4．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，求的面积．
【答案】12
【详解】∵，是双曲线的两个焦点，
∴不妨设，，∴，
由，可设，则．
由双曲线的定义知，解得，
∴，，
∴，∴．
∴的面积为．
5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）依题可得，，解得，
所以椭圆的方程为.
所以离心率.
（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，
，而，即，
化简可得，
，
化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.
设定点
，
因为，所以，
设，
所以，
当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.
6．（2022·全国·高二单元测试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
(1)若点是的中点，求的值；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
（1）设
联立直线与双曲线方程，消去得，
由韦达定理可知，
联立直线与其中一条渐近线方程，解得
即，同理可得，
则，
则可知的中点与中点重合.
由于是的中点，所以，解得；
（2）与联立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直线的距离，所以
整理得，
令，则，
当，即时，
的最大值为2，所以的最小值为.
高频考点十：圆锥曲线中的定点、定值问题
1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．
【答案】证明见解析
【详解】证明：连结BD，设，，直线CD的方程为：，代入椭圆方程，整理得，，∴，
，
又，∴（定值）．
2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上，过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线与椭圆相交于两点，且四边形的面积为6.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)轴上有一点，直线过点且与椭圆相交于两点，若的值与的取值无关，求直线的斜率.
【答案】(1)(2)(3)
(1)由题意，知，把代入椭圆方程有，，
，，
点在椭圆上，，，
则椭圆的标准方程为；
(2)由题意知，，
设，，则，
则；
(3)由题意知斜率存在，设直线的方程为，
联立方程有，
△
设，，，，，，
．
要使的值与的取值无关，则，
，
则直线的斜率为．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，．焦距为，浙近线方程为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点直线PM、PN分别交x轴于点了T、S，试问：是否为定值．若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）
【答案】（1）；（2）是定值，定值为2．
【详解】（1）
又因为渐近线方程为，，
，，.
（2）是定值，定值为2
设直线的方程为，，则，
将直线方程代入得，
因为渐近线方程为，与渐近线不平行，.
设点，，则，
由韦达定理可得，，
由N，S，P三点共线得，
故，
，即为定值且定值为2.
4．（2017·上海交大附中高二阶段练习）设双曲线：的一个焦点为，右顶点到的两渐近线的距离之积为.
（1）求双曲线方程；
（2）点是双曲线上的一个动点，过的右顶点引的两条渐近线的平行线与直线（为坐标原点）分别交于与两点.若，.试探求是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）；（2）是，理由见解析.
【详解】（1），两渐近线方程：与，故，又，故可得，，得双曲线方程.
（2）设，则由，得，，
分别代入，得
，，
可解得：，，
又，故.
5．（2021·全国·高二课时练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到y轴的距离之差为1．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l1，l2为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．
（ⅰ）求点M的轨迹方程；
（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)或
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，
(1)解：设，则当时，，所以，
当时化简得；
当时，由题意得，所以曲线的方程为：或.
(2)解：（ⅰ）设，，当时，则，则，即过的切线的斜率为，若时，则，则，即过的切线的斜率为，所以过点的切线为，同理可得过点的切线为，
根据，可得．
所以联立两条切线方程，即，即，即，即，所以的轨迹为，
（ⅱ） 由题意可得的直线方程为，即，
所以必过．
6．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：抛物线的焦点坐标为，将代入，得，
所以点和点的坐标为，.
所以，
所以，所以（舍去）.
所以的方程为.
(2)证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点，
所以直线，斜率存在且不为0.
设直线的方程为，，，
联立得，
恒成立.
所以，
所以.
因为，所以将换成，得，
所以，
所以为定值.
高频考点十一：圆锥曲线中的向量问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为；③过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)选①③或②③，；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
(1)选①③：且，可得 ，则双曲线为；
选②③：且，可得 ，则双曲线为；
选①②：无法确定双曲线C的方程.
(2)由题设，令直线l为，联立双曲线可得：，
要使直线与双曲线右支交于两点，则且，
所以，可得.
(3)由（2）知：，且，
要使为直径的圆过原点，则 ，
显然不成立，故不存在以AB为直径的圆经过坐标原点O.
2．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，
故C的方程为：；
（2）设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．
3．（2022·北京四中高三开学考试）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点，直线、与直线分别交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）由题意设椭圆的标准方程为（），
由题意，得，解得，，
即椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，
设，，，
联立，得，
即，则，，
直线，的方程分别为，，
令，则，，
则，
，
所以
因为，所以，，
即的取值范围为.
4．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；，
（1）因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得
（2）设，可知直线l斜率存在；设l：，
联立方程得：，所以，
所以，
又：
，
令，解之得：，即，此时

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