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第二章 直线和圆的方程 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：直线的倾斜角和斜率
高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直）
高频考点三：直线的方程
高频考点四：直线过定点问题
高频考点五：点到直线的距离
高频考点六：对称问题
高频考点七：根据对称性求最值
高频考点八：圆的方程
高频考点九：与圆有关的最值问题
高频考点十：轨迹方程
高频考点十一：直线与圆相交的弦长问题
高频考点十二：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题
高频考点十三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
高频考点十四：直线与圆的综合问题
一、基本概念回归
知识回顾1：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
知识回顾2：直线的斜率
2.1倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即
2.2如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
知识回顾3：两条直线平行
两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
知识回顾4：两条直线垂直
两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
知识回顾5：直线方程
5.1直线的点斜式方程:直线过点和斜率（已知一点+斜率）:
5.2直线的斜截式方程:直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）:
5.3直线的截距式方程:直线在轴上的截距为，在轴上的截距为:
5.4直线的一般式方程:定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一
次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
知识回顾6：直线系方程
6.1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
6.2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
知识回顾7：两条直线的交点坐标
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
知识回顾8：距离
8.1两点间的距离公式：平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
8.2点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
8.3两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
知识回顾9：圆的方程
9.1圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
9.2圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
知识回顾10：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识回顾11：直线与圆的位置关系
11.1几何法（优先推荐）
图象
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。
11.2代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
知识回顾12：直线与圆相交弦长
12.1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
12.2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
知识回顾13：圆与圆的位置关系
13.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
13.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
知识回顾14：圆与圆的公共弦
14.1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
14.2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：直线的倾斜角和斜率
1．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】易得斜率必存在，设的倾斜角为且，
由可得斜率，
因为，所以，
所以，即，
所以
故选：C
2．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为，
易得，，
又因为，所以，
所以所求直线的倾斜角的取值范围为.
故选：A.
.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示：
由斜率公式可知，直线的斜率为，
直线的斜率为，
若与线段相交，只需要或，
故实数a的取值范围是或.
故选：D.
4．（2022·全国·高二课时练习）若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题设，表示上对应点与所成直线的斜率范围，
如图，，则，，故的取值范围是.
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．
【答案】;.
【详解】因为，，由与线段相交，
所以，
所以或，
由于在及均为增函数，
所以直线的倾斜角的范围为：.
故倾斜角的范围为，斜率k的范围是.
高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直）
1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）是直线和平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，直线和分别为：
和 ，显然，两直线平行；
当直线和平行时，
有 成立，解得或，
当时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；
当时，两直线为 和 ，显然，两直线不重合是平行关系；
由此可判断是直线和平行的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知直线：，与：平行，则a的值是（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或5
【答案】D
【详解】由解得或，
当时，直线：，直线：，有，
当时，直线：，直线：，有，
所以a的值是3或5.
故选：D
3．（2022·全国·高二课时练习）直线：与直线：相交，则m的取值范围为______．
【答案】
【详解】若与平行，则，可得，
所以要使与有交点，则.
故答案为：
4．（2022·陕西汉中·高一期末）若直线与直线平行，则__________.
【答案】
【详解】由直线与直线平行，可得:
，
解得，
所以，.
故答案为：
5．（2022·重庆八中高二期末）若直线与直线垂直，则_______.
【答案】##0.5
【详解】直线：的斜率为，直线：与直线：垂直时，
，解之得，
故答案为：.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线和直线互相垂直，求的取值范围．
【答案】
【详解】因为，所以，所以，因为，所以．
因为，所以，所以，故的取值范围为．
7．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知两条直线，.当m为何值时，与：
(1)相交？
(2)平行？
【答案】(1)且；
(2).
(1)若两直线相交，则，即且.
(2)若两直线平行，则，即或.
当时，，，满足题设；
当时，，，即两线重合，不合题设；
所以.
高频考点三：直线的方程
1．（多选）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，
所以直线的斜率或或或，
所以直线的方程可以为或或 或，
由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.
故选：ABC.
2．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为______．
【答案】或
【详解】由题设，直线斜率为，则其倾斜角为，
所以直线的倾斜角为或，且过，
故直线的方程为或，即或.
故答案为：或
3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______．
【答案】
【详解】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，且，所以，
所以可得直线l的方程为，即．
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）过点且与直线成角的直线的一般式方程是______．
【答案】或
【详解】由直线方程，可得此直线的斜率为，倾斜角为，
则与该直线成角的直线的倾斜角为或，
又因为所求直线过点，
所以所求直线方程为或，
即或．
故答案为：或
5．（2022·全国·高二）经过点）且在x轴上的截距为3的直线方程是______．
【答案】
【详解】当斜率不存在时，直线为：，横截距为-1，不符合题意；
当斜率存在时，设其为k，直线可设为：.
由在x轴上的截距为3，可得：，解得：，
所以直线方程为：.
故答案为：.
6．（2022·全国·高二课时练习）设直线l的方程为．
(1)若直线l在x轴上的截距为-3，求m的值；
(2)若直线l的倾斜角为，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
（1）由题意得,解得，
故当时，直线l在x轴上的截距为-3；
（2）由题意得，解得，
故当时，直线l的倾斜角为45°
7．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率为，与y的正半轴有交点且与坐标轴围成的三角形的周长是30，求直线l的方程．
【答案】.
【详解】依题意，设直线l与y轴交于点，则直线交x轴于点，
即有，则有，解得，
所以直线l的方程为，即.
8．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）设直线的方程为.
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若直线与轴 轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为
（1）直线的方程可化为，因为不过第二象限，所以，解得，从而的取值范围为
（2）直线的方程可化为，所以，从而，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最小值为，此时直线的方程为
高频考点四：直线过定点问题
1．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，
所以所有直线都通过定点为.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知是直线上任意一点，则直线恒过定点的坐标为______．
【答案】
【详解】由题可得，
∴，
∴直线，可化为，即，
由，可得，
故直线直线恒过定点.
故答案为：.
3．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）无论实数k取何值，直线都恒过定点，则该定点的坐标为___________.
【答案】
【详解】方程可化为，
令，解得，即直线恒过点.
故答案为：
高频考点五：点到直线的距离
1．（2022·全国·高二课时练习）点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为点到直线的距离大于5，
所以，解得：或，
所以实数的取值范围为.
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，那么的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】A
【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，
则的最小值为，
故选：A
3．（2022·四川·仁寿一中高二开学考试）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【详解】解：点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，
可得3，解得a＝2，
故选：A．
4．（2022·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，当变化时，动直线始终没有经过点P，定点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由原点O到直线：的距离为，
可知直线是单位圆的切线，
又动直线始终没有经过点，所以点在该单位圆内，
，
，
即的取值范围为.
故选：D．
5．（2022·四川泸州·高一期末）若点到直线的距离等于4，则的值为___________.
【答案】或
【详解】直线，化为一般式方程为，
又点到直线的距离等于4，
所以，所以，解得：或.
故答案为：或.
6．（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
【答案】
【详解】记为点到直线的距离，则，其中；
当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为.
故答案为：.
7．（2022·全国·高二期末）设直线，为直线上动点，则的最小值为______．
【答案】
【详解】记点，设，则.
要求的最小，只需最小，即为点到直线的距离，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
高频考点六：对称问题
1．（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
2．（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选：D.
3．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上，
即，解得：
在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上，
由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为：
即
故选：C
4．（多选）（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）
【答案】AD
【详解】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n），
则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，
所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，，
故选：AD
5．（2022·全国·高二课时练习）直线关于直线对称的直线的方程为______．
【答案】
【详解】解：设直线上任意一点，
关于直线对称的对称点为，
则，所以，
代入，得，
即，
故答案为：.
6．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
【答案】.
【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，
设点关于直线的对称点为，
则， 解得，即，
将代入的方程得，
所以直线的方程为.
故答案为：
7．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线，，则关于对称的直线方程为_____.
【答案】
【详解】联立，解得，
∴直线与的交点坐标为，
在直线上任取一点，其关于直线的对称点为，
由点和点，可得，即．
故答案为：．
高频考点七：根据对称性求最值
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】关于直线的对称点的坐标为，
则，
则的最小值是.
故选：C
2．（2022·河南·模拟预测（文））在平面直角坐标系中，A（0，1），B（0，4），C是直线上的一动点，M是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】作A关于直线的对称点，可得（1，0），
则，
解得当C（，）时取等号，
所以．
故选：A．
3．（2022·全国·高二单元测试）已知点、，点是轴上的点，当最小时的点的坐标为______．
【答案】
【详解】关于轴对称的点为，则，
即当三点共线时，取得最小值；
直线方程为：，即，
令得：，当最小时，点的坐标为.
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______．
【答案】
【详解】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，
如图所示，连接交于点，交轴于点，
由对称性可知，，
所以，，
当且仅当、、、四点共线时，等号成立，
因为点与关于直线对称，
所以，解得，所以．
因为与关于轴对称，所以，
所以的周长的最小值为．
故答案为：.
5．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
【答案】
【详解】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，
所以，，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
6．（2022·江苏南京·高二开学考试）在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为___________.
【答案】
【详解】设关于直线的对称点为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立.
而，
解得，故，故直线，
故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即.
故答案为：.
高频考点八：圆的方程
1．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）以两点A(1，0)和B(3，0)为直径端点的圆的标准方程是______________ .
【答案】
【详解】圆心坐标为，即.
，
所以圆的半径为，
所以所求的圆的标准方程为.
故答案为：
2．（2022·全国·高二课时练习）过点，且与已知圆切于点的圆的方程为______.
【答案】
【详解】设所求圆心，半径为，
因为到点与点的距离相等，
所以点在线段的垂直平分线上，
因为，，垂直平分线方程为，
所以，即
圆的标准方程为，其圆心为，
而三点共线，所以，解得，即
，
圆的标准方程为.
故答案为：
3．（2022·全国·高二单元测试）若，，则以为直径的圆的标准方程是______．
【答案】
【详解】以为直径的圆的圆心为，半径为，则以为直径的圆的标准方程是
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）过点，圆心为的圆的标准方程是______.
【答案】
【详解】由题意可知，所求圆的半径长为，
因此，所求圆的标准方程为.
故答案为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程．
【答案】
【详解】由题意设所求圆的方程为，
即，
此时圆心为，
当圆心在直线上时，圆的半径最小，此时圆的面积最小，
所以，得，
所以所求的圆方程为．
6．（2022·河南·南阳中学高二开学考试）已知的顶点，直角顶点为，顶点在轴上，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
【答案】(1)
(2)
（1）设顶点，显然直线斜率均存在，
由题意得，且，
所以，解得，所以顶点；
（2）设外接圆的方程为，
由题意知，解得，
7．（2022·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知，，以为直径；
(2)圆心为点且与直线相切.
【答案】(1)
(2)
（1）圆心为的中点，半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）点C到直线的距离为，
所以圆的标准方程为.
8．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆的标准方程.
(1)圆心为点，且与直线相切；
(2)已知、，以线段AB为直径.
【答案】(1)
(2)
（1）因为圆心为点，且与直线相切，
则所求圆的半径等于圆心到直线的距离，
所以半径为，
则所求圆的标准方程为
（2）因为点、，
所以线段的中点坐标为，即，所以圆心为，
，即半径为，
所以圆的标准方程为.
高频考点九：与圆有关的最值问题
1．（2022·上海·高三开学考试）已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．
【答案】##0.25．
【详解】圆的圆心，
因为直线是圆的一条对称轴，
故直线经过圆心，即得，
则，当且仅当时取等号，
所以ab的最大值为．
故答案为：.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆关于直线对称，设点，若点Q是圆C上任意一点，则的最小值是______．
【答案】##
【详解】圆化为，圆的圆心坐标为，半径为．
圆关于直线对称，所以在直线上，可得，即．
圆心到直线的距离为，
的最小值是．
故答案为：．
3．（2022·全国·高三专题练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______.
【答案】
【详解】设，，所以，又，所以.
因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，
所以，解得，所以，又，所以，
因为，所以的最小值为，当且仅当三点共线时取等.
故答案为：.
所以外接圆的一般方程为.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知实数满足，求：
(1)的最小值；
(2)的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）由题意，圆的标准方程为．
令，当直线与圆相切时，取得最值，
则，解得或．
所以的最小值为．
（2）令，则表示点到点距离的平方，
因为圆上的点到原点距离最大值为
，
所以．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知 为圆：上任意一点，点.
(1)若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
(2)求的最大值和最小值.
【答案】(1)，
(2)，
（1）因为点在圆上，所以，
即，解得a＝4，所以P（4，5）.
所以，PQ的斜率.
（2）圆的圆心，半径，
则.
所以，
.
高频考点十：轨迹方程
1．（2022·全国·高二课时练习）动圆与x轴相切，且被直线所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程是______．
【答案】
【详解】设动圆圆心为，由动圆与x轴相切可知，动圆半径为 ，
又动圆被直线所截得的弦长为2，则 ，
即，化简可得，
将方程中的a,b换为x,y,
则动圆圆心的轨迹方程是，
故答案为：
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C：0内有一点Q（4，2），A、B为圆上两动点，且满足∠AQB＝90°．求弦AB中点M所在的圆的方程．
【答案】
【详解】解法一：连接QM，CM，BC．
的圆心为，半径，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，
垂径定理得：
因为所以，
设，则代入坐标即得，
整理得：．
解法二：设，，，
根据条件得
③＋④＋⑤×2并代入①②即得：．
3．（2022·全国·高二课时练面上有两个不同的定点、，这两点距离为定值．求证：到定点的距离与到定点的距离之比为定值的点的轨迹是一个圆．
【答案】证明见解析
【详解】证明：以所在直线为轴，中点为原点建立坐标系，
则、，设满足条件的点为点，则，
整理可得，
因为，所以点的轨迹是一个圆．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点（三点均不重合）．
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
（1）设线段中点为，，，则；
在圆上，，整理得：，
即线段的中点的轨迹方程为：.
（2）设线段的中点为，
，；
，，，
即，整理可得：，
即线段的中点的轨迹方程为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
【答案】(1)
(2)
（1）解：设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，．于是有，．①
因为点A在圆上运动，
所以点A的坐标满足方程，即．②
把①代入②，得，
整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.求点的轨迹方程；
【答案】
【详解】设线段中点为，点，
，，
，，
又因为点A在圆上，
，
即点C的轨迹方程为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）若动直线和圆相交于、两点，则弦的中点坐标所满足的等式为______．
【答案】
【详解】对于直线，由可得，即直线过定点，
设线段的中点为，圆的圆心为原点，
由垂径定理可知，则，
即，即，
作出圆与圆的图形如下图所示：
因为直线的斜率存在，所以，点不在轴上，故.
所以，弦的中点坐标所满足的等式为.
故答案为：.
高频考点十一：直线与圆相交的弦长问题
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）直线：被圆：截得的弦长为_____________.
【答案】
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为6，
因为圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
故答案为：
2．（2022·江苏·高二专题练习）若直线与圆的一个交点在x轴上，则l被C截得的弦长为______．
【答案】##
【详解】由题意得，直线与轴的交点为，则点在圆上，即，解得，则，
圆心到的距离为，则l被C截得的弦长为.
故答案为：.
3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】AB
【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径.
又直线被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离.
又，
所以，解得或.
故选：AB
4．（2022·全国·高二课时练习）不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，则m的值为______．
【答案】-4
【详解】由题意知曲线C是圆心坐标为（1，1），半径为2的圆，∴圆心到直线l的距离，
∴，
解得或．
∵直线不经过坐标原点，
∴，
故答案为：-4.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C与x轴相切，圆心在直线上，且直线被圆C截得的弦长为，则圆C的方程为______．
【答案】或
【详解】因为圆C与x轴相切，且圆心C在直线上，故设圆C的方程为．
又因为直线被圆C截得的弦长为，所以，解得，故所求圆C的方程为或．
故答案为：或
6．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
【答案】4
【详解】解：圆C：，其圆心坐标为，半径为3．
圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，
则．
故答案为:4.
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.
【答案】或
【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
由，得或，
此时，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线，
因为圆的圆心，半径，
所以圆心C到直线l的距离.
因为，所以，解得，
所以直线l的方程为，即.
综上，直线l的方程为或.
故答案为：或
高频考点十二：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题
1．（2022·宁夏·银川二中一模（理））若直线与圆交于、两点，则弦长的最小值为___________.
【答案】
【详解】直线的方程可化为，由，得，
所以，直线过定点，因为，即点在圆内，
圆的圆心为原点，半径为，
当时，圆心到直线的距离取得最大值，
此时取最小值，故.
故答案为：.
2．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】由，得，
由，得直线过定点，且在圆的内部，
由圆可得圆心，半径，
当时，取得最小值，
圆心与定点的距离为，
则的最小值为.
故答案为：.
3．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高二阶段练习）若直线：与圆：相交于，两点，则弦长的最小值为___________.
【答案】
【详解】由可得：，
由可得，所以直线过定点，
由可得，所以圆心，半径，
因为，所以点在圆内部，
所以当直线与垂直时，最小为，
故答案为：.
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））圆内有一点，AB为圆的过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求的长；
(2)当弦AB最短时，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)
(1)直线AB的斜率，圆的半径．
则直线AB的点斜式方程为，即．
则圆心到直线AB的距离．
由垂径定理，得，
所以,
解得．
(2)当弦AB最短时，P为AB的中点，
由题意，则．
则直线AB的点斜式方程为，即．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点交圆于A、B两点．
(1)当直线l的倾斜角为时，求的长；
(2)当最小时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
（1）
圆的圆心，半径
因为直线l的斜率为，
则过点的直线l的方程为，即，
则圆心到直线l的距离，
所以．
（2）由题知，当直线时，最小，此时，
故直线l的方程为，即．
高频考点十三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
1．（2022·江苏·高二）已知的圆心在轴上，半径为1，且过点，，则与的公共弦长为___________.
【答案】##
【详解】根据题意设圆的方程为，则有，解得，所以圆的方程为，即①，
将圆化为一般方程得：②，
①-②得公共弦所在直线l的方程为：，
则圆心到直线l的距离，所以公共弦.
故答案为：
2．（2022·山西临汾·一模（理））已知圆O的直径，动点M满足，则动点M的轨迹与圆O的公共弦长为___.
【答案】##
【详解】解：如图所示，以点O为圆心建立直角坐标系，所以,设，
因为，
所以，
所以，（1）
所以点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆.
又圆方程为，（2）
所以（1）-（2）得两圆的公共弦方程为，
所以.
所以动点M的轨迹与圆O的公共弦长为.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆的公共弦长为___________.
【答案】##
【详解】由题得两圆的公共弦直线的方程为，
圆的圆心为（1,2），半径为3，
所以圆心到直线的距离为.
所以公共弦长为.
故答案为：
4．（2022·福建福州·高二期末）圆的圆心为，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线：与圆交两点，且，求．
【答案】(1)
(2)或
（1）解：因为圆的圆心为，且过点,
所以半径，
所以，圆的标准方程为
（2）解：设圆心到直线的距离为，因为
所以，解得
所以，由圆心到直线距离公式可得．
解得或．
5．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知圆：，直线：.
(1)求圆的圆心及半径；
(2)求直线被圆截得的弦的长度.
【答案】(1)，
(2)
（1）解：圆：整理得，圆心，半径为；
（2）解：圆心到直线：的距离，所以弦的长度.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l上．
(1)求圆的方程；
(2)若圆与圆相交于M，N两点，求两圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
（1）经过点与点的直线l的方程为，即，
因为圆与y轴相切于点，所以圆心在直线上，
联立解得可得圆心坐标为，
又因为圆与y轴相切于点，故圆的半径为4，
故圆的方程为．
（2）圆的方程为，
即，圆，
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为，
圆的圆心到直线的距离，
所以两圆的公共弦长为．
7．（2022·全国·高二期中）已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程．
【答案】证明见解析，公共弦所在直线的方程为.
【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径；
圆的标准方程为，所以圆心为，半径.
两圆圆心距，，，
所以，圆和圆相交.
将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为.
高频考点十四：直线与圆的综合问题
1．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点A，，与圆：交于点，.
(1)若，求直线的一般方程；
(2)若的中点为，求面积的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
（1）由题可知，，∵，直线斜率显然存在，设为，则直线.
因为点到直线的距离，∴，∴，由解得.
则直线的一般方程为或
（2）当直线的斜率不存在时，，则的面积
当直线的斜率存在时，设为，则直线，，直线.
此时A到直线CD的距离小于AP，则，解得，所以.
因为，所以.
因为，则点到直线的距离即点到直线的距离.
所以的面积.
令，则
∵，∴，∴.
综上，面积的取值范围是
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的圆心在坐标原点，且过点.
(1)求圆的方程；
(2)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最小值；
(3)若直线与圆相切，且与轴的正半轴分别相交于两点，求的面积最小时直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）由题意知：圆心，半径，
圆的方程为：.
（2）圆心到直线的距离，
点到直线的距离最小值为.
（3）设直线，即，
则圆心到直线距离，
（当且仅当时取等号），解得：，
当时，面积取得最小值，
则直线，即.
3．（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线与圆.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析，定点
(2)是定值，定值为
（1）由直线得，
联立，解得，
直线l恒过定点.
（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，
直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，
联立，得，
设，，则，，
是定值，定值为
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值为
（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为.
若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由题意可得，解得.
因此，直线的斜率的取值范围是.
（2）解：设，，设直线的方程为.
联立，得，其中，
所以，，
则，
所以为定值.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
（1）解：设圆C的方程为，
∴，解得，
∴圆C的方程为，其标准方程为．
（2）解：设，．由题意得直线l的方程为，
由，得，
∴，
∴，
∴，
.
即为定值0．
6．（2022·湖南·长沙一中高一期末）已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；定点.
(1)解：设圆的标准为，把代入得，
故圆的标准方程为．
(2)证明：当直线n斜率不存在时，设，，
直线，的斜率之积为2，，
，即，
点在圆上，
，
联立，，舍去，
当直线n斜率存在时，设直线n：，，，，，
①
联立方程，
，，
代入①，得，
化简得或，
若，则直线过，与题设矛盾， 舍.
直线n的方程为：，所以且
所以.
所以过定点．
7．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中．已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
(1)解：由题意，圆心坐标为，半径为，则
设直线的方程，即，
圆心到直线的距离，
舍)或，
直线的方程为；
(2)解：设，由点在线段上，得，
即，
由，得，即，
依题意，线段与圆至多有一个公共点，
故，
解得舍)或，
是使恒成立的最小正整数，，
圆的方程为．
①当直线：时，直线的方程为，此时；
②当直线的斜率存在时，设的方程为，，
则的方程为，点，，
又圆心到的距离为，
，
,
，
．第二章 直线和圆的方程 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：直线的倾斜角和斜率
高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直）
高频考点三：直线的方程
高频考点四：直线过定点问题
高频考点五：点到直线的距离
高频考点六：对称问题
高频考点七：根据对称性求最值
高频考点八：圆的方程
高频考点九：与圆有关的最值问题
高频考点十：轨迹方程
高频考点十一：直线与圆相交的弦长问题
高频考点十二：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题
高频考点十三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
高频考点十四：直线与圆的综合问题
一、基本概念回归
知识回顾1：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
知识回顾2：直线的斜率
2.1倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用字母表示，即
2.2如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
知识回顾3：两条直线平行
两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
知识回顾4：两条直线垂直
两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
知识回顾5：直线方程
5.1直线的点斜式方程:直线过点和斜率（已知一点+斜率）:
5.2直线的斜截式方程:直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）:
5.3直线的截距式方程:直线在轴上的截距为，在轴上的截距为:
5.4直线的一般式方程:定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一
次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
知识回顾6：直线系方程
6.1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
6.2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
知识回顾7：两条直线的交点坐标
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
知识回顾8：距离
8.1两点间的距离公式：平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
8.2点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
8.3两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
知识回顾9：圆的方程
9.1圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
9.2圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
知识回顾10：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识回顾11：直线与圆的位置关系
11.1几何法（优先推荐）
图象
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。
11.2代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
知识回顾12：直线与圆相交弦长
12.1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
12.2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
知识回顾13：圆与圆的位置关系
13.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
13.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
知识回顾14：圆与圆的公共弦
14.1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
14.2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：直线的倾斜角和斜率
1．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
4．（2022·全国·高二课时练习）若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是___________.
5．（2022·全国·高三专题练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围．
高频考点二：两条直线的位置关系（平行，垂直）
1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）是直线和平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·四川雅安·高二期末（理））已知直线：，与：平行，则a的值是（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或5
3．（2022·全国·高二课时练习）直线：与直线：相交，则m的取值范围为______．
4．（2022·陕西汉中·高一期末）若直线与直线平行，则__________.
5．（2022·重庆八中高二期末）若直线与直线垂直，则_______.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线和直线互相垂直，求的取值范围．
7．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知两条直线，.当m为何值时，与：
(1)相交？
(2)平行？
高频考点三：直线的方程
1．（多选）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为______．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且l经过点，则直线l的方程为______．
4．（2022·全国·高二课时练习）过点且与直线成角的直线的一般式方程是______．
5．（2022·全国·高二）经过点）且在x轴上的截距为3的直线方程是______．
6．（2022·全国·高二课时练习）设直线l的方程为．
(1)若直线l在x轴上的截距为-3，求m的值；
(2)若直线l的倾斜角为，求m的值．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的斜率为，与y的正半轴有交点且与坐标轴围成的三角形的周长是30，求直线l的方程．
8．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）设直线的方程为.
(1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
(2)若直线与轴 轴分别交于点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程.
高频考点四：直线过定点问题
1．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知是直线上任意一点，则直线恒过定点的坐标为______．
3．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）无论实数k取何值，直线都恒过定点，则该定点的坐标为___________.
高频考点五：点到直线的距离
1．（2022·全国·高二课时练习）点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，那么的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
3．（2022·四川·仁寿一中高二开学考试）若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A．2 B．3 C． D．4
4．（2022·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，当变化时，动直线始终没有经过点P，定点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川泸州·高一期末）若点到直线的距离等于4，则的值为___________.
6．（2022·全国·高二专题练习）点到直线的距离的取值范围为____．
7．（2022·全国·高二期末）设直线，为直线上动点，则的最小值为______．
高频考点六：对称问题
1．（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
2．（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（ ）
A． B．（14，1） C．（13，2） D．（13，1）
5．（2022·全国·高二课时练习）直线关于直线对称的直线的方程为______．
6．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．
7．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线，，则关于对称的直线方程为_____.
高频考点七：根据对称性求最值
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·河南·模拟预测（文））在平面直角坐标系中，A（0，1），B（0，4），C是直线上的一动点，M是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二单元测试）已知点、，点是轴上的点，当最小时的点的坐标为______．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知点，点在轴上，点在直线上，则的周长的最小值为______．
5．（2022·四川达州·高一期末（理））在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
6．（2022·江苏南京·高二开学考试）在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为___________.
高频考点八：圆的方程
1．（2022·江苏·徐州华顿学校高二阶段练习）以两点A(1，0)和B(3，0)为直径端点的圆的标准方程是______________ .
2．（2022·全国·高二课时练习）过点，且与已知圆切于点的圆的方程为______.
3．（2022·全国·高二单元测试）若，，则以为直径的圆的标准方程是______．
4．（2022·全国·高二课时练习）过点，圆心为的圆的标准方程是______.
5．（2022·全国·高二课时练习）求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程．
6．（2022·河南·南阳中学高二开学考试）已知的顶点，直角顶点为，顶点在轴上，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
7．（2022·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知，，以为直径；
(2)圆心为点且与直线相切.
8．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求圆的标准方程.
(1)圆心为点，且与直线相切；
(2)已知、，以线段AB为直径.
高频考点九：与圆有关的最值问题
1．（2022·上海·高三开学考试）已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆关于直线对称，设点，若点Q是圆C上任意一点，则的最小值是______．
3．（2022·全国·高三专题练习）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.
4．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知实数满足，求：
(1)的最小值；
(2)的最大值．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知 为圆：上任意一点，点.
(1)若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
(2)求的最大值和最小值.
高频考点十：轨迹方程
1．（2022·全国·高二课时练习）动圆与x轴相切，且被直线所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程是______．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C：0内有一点Q（4，2），A、B为圆上两动点，且满足∠AQB＝90°．求弦AB中点M所在的圆的方程．
3．（2022·全国·高二课时练面上有两个不同的定点、，这两点距离为定值．求证：到定点的距离与到定点的距离之比为定值的点的轨迹是一个圆．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆上一定点，点为圆内一点，为圆上的动点（三点均不重合）．
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段的中点的轨迹方程．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
6．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.求点的轨迹方程；
7．（2022·全国·高二课时练习）若动直线和圆相交于、两点，则弦的中点坐标所满足的等式为______．
高频考点十一：直线与圆相交的弦长问题
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）直线：被圆：截得的弦长为_____________.
2．（2022·江苏·高二专题练习）若直线与圆的一个交点在x轴上，则l被C截得的弦长为______．
3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．0 B．4 C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，则m的值为______．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C与x轴相切，圆心在直线上，且直线被圆C截得的弦长为，则圆C的方程为______．
6．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________.
高频考点十二：过定点的直线和圆相交的判定与最短弦长问题
1．（2022·宁夏·银川二中一模（理））若直线与圆交于、两点，则弦长的最小值为___________.
2．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为__________.
3．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高二阶段练习）若直线：与圆：相交于，两点，则弦长的最小值为___________.
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））圆内有一点，AB为圆的过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求的长；
(2)当弦AB最短时，求直线AB的方程．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l过点交圆于A、B两点．
(1)当直线l的倾斜角为时，求的长；
(2)当最小时，求直线l的方程．
高频考点十三：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长
1．（2022·江苏·高二）已知的圆心在轴上，半径为1，且过点，，则与的公共弦长为___________.
2．（2022·山西临汾·一模（理））已知圆O的直径，动点M满足，则动点M的轨迹与圆O的公共弦长为___.
3．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆的公共弦长为___________.
4．（2022·福建福州·高二期末）圆的圆心为，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线：与圆交两点，且，求．
5．（2022·天津红桥·高二学业考试）已知圆：，直线：.
(1)求圆的圆心及半径；
(2)求直线被圆截得的弦的长度.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l上．
(1)求圆的方程；
(2)若圆与圆相交于M，N两点，求两圆的公共弦长．
7．（2022·全国·高二期中）已知圆，圆，证明圆与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程．
高频考点十四：直线与圆的综合问题
1．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点A，，与圆：交于点，.
(1)若，求直线的一般方程；
(2)若的中点为，求面积的取值范围.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的圆心在坐标原点，且过点.
(1)求圆的方程；
(2)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最小值；
(3)若直线与圆相切，且与轴的正半轴分别相交于两点，求的面积最小时直线的方程.
3．（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线与圆.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值．
6．（2022·湖南·长沙一中高一期末）已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线n交圆C于的M，N两点（点M，N异于A点），若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标．
7．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中．已知圆经过，，三点，是线段上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值．

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