资源简介

1 第一章 空间向量与立体几何 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：空间向量的基底
高频考点二：用基底表示向量
高频考点三：空间向量平行与垂直
高频考点四：空间向量模的计算
高频考点五：空间向量夹角的计算
高频考点六：空间向量的投影
高频考点七：利用空间向量求距离
角度1：利用空间向量求点线距
角度2：利用空间向量求点面距
高频考点八：利用向量方法求角
角度1：利用向量方法求两异面直线所成角
角度2：利用向量方法求线面角
角度3：利用向量方法求二面角
高频考点九：利用空间向量解决探索性问题
角度1：直线与平面所成角探索性问题
角度2：平面与平面所成角探索性问题
一、基本概念回归
知识回顾1：空间向量的数乘运算
1.1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
1.2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
知识回顾2：共线向量与共面向量
2.1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
2.2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.3拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
2.4、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2.5共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
2.6拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
知识回顾3：空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
知识回顾4：两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
知识回顾5：向量长度的坐标计算公式
若，则，即
知识回顾6：两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
知识回顾7：用向量法求空间角
7.1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则
①
②.
7.2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
7.3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：空间向量的基底
1．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，，
所以由空间向量共面基本定理可知，，均与，共面，不能构成一组基底，故A、B、D错误，C正确.
故选：C．
2．（2022·全国·高二专题练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【详解】A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
故选：C
3．（多选）（2022·山东·聊城二中高二开学考试）已知是空间的一个基底，若，则错误的是（ ）
A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底
C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
【答案】ABD
【详解】解：对于A选项，，所以共面，故错误；
对于B选项，，所以共面，故错误；
对于C选项，假设，即，得，这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，正确；
对于D选项，由C选项可知D选项错误.
故选：ABD
4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　）
A．，，2 B．，，
C．，， D．2，，
【答案】ABD
【详解】解：对于A：由于向量{，，}构成空间的一个基底，且满足，故A正确；
对于B：由于，故B正确；
对于C：由于，故C错误；
对于D：由于，故D正确．
故选：ABD．
高频考点二：用基底表示向量
1．（2022·辽宁营口·高二开学考试）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为为的重心，所以.
为的中点，所以.
故选：C.
2．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ）
A． B．
C．- D．
【答案】B
【详解】因为点P在A1C上，且A1P：PC=2：3，
所以
所以
故选：B.
3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】易知，，，，，，所以.
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正三棱柱中，M为的重心，若，，，则______．（用、、表示）
【答案】
【详解】由M为的重心可得为中点，，
则
.
故答案为：.
高频考点三：空间向量平行与垂直
1．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】，，
则，
由，可得，解之得
故选：B
2．（2022·全国·高二专题练习）已知，，若，则m的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，解得，
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A．－1 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，，
因为与互相垂直，
所以，解得，
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．以上都不对
【答案】C
【详解】由题意知：，，故，.
故选：C.
5．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量 ， 若 ，则实数________．
【答案】
【详解】因为向量，且，
所以，
解得：.
故答案为：.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知空间三点、、，设，．
(1)若向量与互相垂直，求实数的值；
(2)若向量与共线，求实数的值．
【答案】(1)或
(2)或
（1）解：由已知可得，，
所以，，
，
由题意可知，
即，解得或.
（2）解：，
，
由题意，设，所以，，解得或.
因此，.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
【答案】(1)25
(2)或
（1）因为，，故，，故
（2），，，因为，故，即，故，即，故或
高频考点四：空间向量模的计算
1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【详解】由题设，则.
故选：C
2．（2022·福建泉州·高二期末）在棱长均为1的平行六面体中，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【详解】设，，，由已知，得，，，
，所以，
所以.
故选：C
3．（2022·福建·泉州师范学院附属鹏峰中学高二阶段练习）向量，，，且，，则______.
【答案】
【详解】因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案为：
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】根据题意，在中， ，
所以
所以==
则时，取得最小值，
则的最小值为.
故选：B
5．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．
【答案】
【详解】因为、是空间内两个单位向量，且，
所以，，因为，则，
不妨设，，
设，则，，解得，则，
因为，可得，
则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，对于任意的实数、，的最小值为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________.
【答案】
【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，即，
又，，，
设，，则，
，
当，即时，取得最小值，即的长度的最小值为．
故答案为：．
高频考点五：空间向量夹角的计算
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【详解】解：，，
.
故选：B.
2．（2022·全国·高二专题练习）若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）
A．0 B．－ C．0或－ D．0或
【答案】C
【详解】由题知，
即，解得或.
故选：C
3．（2022·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为，则，
由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化简可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函数在上单调递减，且，
所以的最大值为.
故选：B.
4．（2022·全国·高二单元测试）已知，，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：因为与的夹角为钝角，所以且不共线，
由，可得，解得：，
故答案为：
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.
【答案】
【详解】因为向量若与的夹角为锐角，
所以，且、不同向共线.
只需满足，解得：或.
所以的范围为.
故答案为：.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数______．
【答案】
【详解】，，，，，，，，，
，，，，，，
与的夹角为，
，
解得．
故答案为：
7．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是______．
【答案】##
【详解】因为，，所以
所以，
所以
因为，所以
故答案为：
高频考点六：空间向量的投影
1．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．
【答案】
【详解】向量在向量上的投影向量是
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，，，则向量在向量方向上的投影向量为______．
【答案】
【详解】解：，，，，
，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为；
故答案为：
3．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知点，与同向单位向量为，则向量在方向上的投影向量为___________.
【答案】##
【详解】解：由已知得，
故在上的投影向量为.
故答案为：或
4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
【答案】
【详解】两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
【答案】
【详解】由题，，故在上的投影向量的模
故答案为：.
6．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知，，.
(1)求；
(2)求在上投影的数量.
【答案】(1)
(2)
（1）因为，，，所以，.
因为，，，
所以，
故.
（2）因为，，所以.
因为，所以在上投影的数量为.
高频考点七：利用空间向量求距离
角度1：利用空间向量求点线距
1．（2022·河南·中牟县第三高级中学高二阶段练习）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．
【答案】
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则
点到直线的距离：
．
点到直线的距离为．
故答案为：．
2．（2022·全国·高二专题练习）为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为__．
【答案】##
【详解】方法一
矩形中，，，，
过作，交于，连结，
平面，平面，
，
又 ，，
平面，
∵平面，
，即是点到的距离，
，，
，
点到的距离为．
方法二
∵平面，平面，
∴，
∵
∴三线两两垂直，
∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
点到的距离为
故答案为：
3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______.
【答案】
【详解】根据题意，得，，
，
；
又
点到直线l的距离为．
故答案为：
4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
【答案】
【详解】依题意得，
则到直线的距离为
故答案为：
5．（2022·全国·高二单元测试）如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．
【答案】
【详解】解：以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，
由题意得，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，则，即，令，得，
∴点到平面的距离．
故答案为：
6．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为__________.
【答案】
【详解】由题意知：
所以则点到平面的距离，
故答案为：.
角度2：利用空间向量求点面距
1．（2022·湖南怀化·高二开学考试）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，则.
.
设与平面所成的角为：则.
故到平面的距离为，即四棱锥的高为.
故选：D.
2．（2022·全国·高二课时练习）正方体的棱长为1，E F分别为 CD的中点，求点F到平面的距离.
【答案】
【详解】以点为原点，分别以和所在的直线分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
又由，所以点F到平面的距离.
故答案为：.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，求点D到平面PEF的距离．
【答案】.
【详解】依题意，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，则，
设平面PEF的一个法向量为，则，令，得，
所以点D到平面PEF的距离．
高频考点八：利用向量方法求角
角度1：利用向量方法求两异面直线所成角
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【详解】∵，，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
又异面直线所成角的取值范围
∴异面直线OB与AC所成的角为60°．
故选：B
2．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得，
，
由
可得
则异面直线与所成角的余弦值为
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正四棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【详解】以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为：.
4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________．
【答案】
【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，0，，，,则，
因为为线段上的动点，
所以不妨设，则得，，，
所以，
则因为，，所以，进而
所以，，故当最大值时，
最小，且最小值为
所以直线与直线所成角正弦值的最小值为．
故答案为:.
5．（2022·全国·高二专题练习）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．
【答案】
【详解】设，且各长度均为，
则，
因为，，且，，
所以，
所以.
与所成角的余弦值为.
6．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点．
(1)求证平面；
(2)若E为的中点，求AE与所成的角．
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）∵在三棱柱，平面ABC，∴平面ABC，∴，又∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，故AB，BC，两两垂直，如图，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系B－xyz．
设，则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得．
∵，
∴，又平面，则平面.
得证.
（2）若为的中点，则，
，
，
由，可得，
则AE与所成的角为．
7．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)若满足，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
（1）连接交于点,连接,因为四棱锥为正四棱锥，
所以四边形为正方形，所以为的中点，因为为棱的中点，所以,因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为四棱锥为正四棱锥,所以为顶点在底面的射影，
所以平面，且,,
故以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，则
,
因为上的点满足，所以,
设，则，所以
所以，
所以
设异面直线与所成角为，则
所以异面直线与所成角的余弦值为.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，O为中点．
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与OD所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)如图，以D为原点，射线DA、DC、分别为x、y、z轴的正向，
建立空间直角坐标系，则有，， ,
故，．
设平面的一个法向量为，
由得，
令，则，，所以．
又，从而，即．
∵不在平面内，所以平面．
(2)直线与OD的一个方向向量为，，
得，
又设异面直线与OD所成角为 ，则，故 ，
所以异面直线与OD所成角的大小为．
角度2：利用向量方法求线面角
1．（2022·全国·高二课时练习）若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
设三棱柱的棱长为2，则，，所以．，，
设为平面的法向量，由，得，故，令，得．
设直线AD与平面所成的角为，则，所以直线AD与平面所成角的正弦值为．
故选：A
2．（2022·四川·成都七中高二期中（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；
【答案】##
【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，故可设.
设直线和平面所成角为，
则.
故选：
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为______．
【答案】
【详解】因为是矩形，所以，
又因为平面，平面,，平面，
所以，
以为轴，为轴为轴建立如图所示空间坐标系：
所以，因为是中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令解得，
所以与平面所成角的正弦值，
故答案为：.
4．（2022·江苏·马坝高中高二期中）在正方体中，点为线段的中点.设点在线段（不与重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是__________.
【答案】
【详解】建立如图所示的空间直角坐标第，
设正方体的棱长为，设，
，
设平面的法向量为，
，
所以有，
，
因为，所以时，有最大值，最大值为，
故答案为：
5．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．
【答案】
【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
易得不重合，设，其中，且，
所以，所以，，
因为平面，所以，可得，所以，，
因为平面，所以的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
则，
当，可得，因为，所以
当，可得，因为，所以，
所以与平面所成的角的范围是为.
故答案为：
6．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面正方形，平面底面，平面底面，，分别是的中点，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
（1）如图，取中点，连接
分别是的中点，
，又分别是的中点，
，面面，
面，
同理，分别是的中点，
∴，面，面
∴面，又，面面
面面面，
平面，
（2）面面，面面，面内存在过直线，
所以面；
面面，面面，面内存在过直线；
所以面；
又都过面，由过一点有且仅有一条直线与平面垂直，故为同一条直线，
面面，即为直线，故面，
如图，以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，得，，，
设面的法向量为，可得，令，得，
故，故与面所成角的正弦值为．
7．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．
(1)求证；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)详见解析
(2)
（1），
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
（2）连结，取中点，连结，，
在菱形中，，是等边三角形，
又为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，平面，
，
又，，
以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，又，
设与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
8．（2022·湖北武汉·高三开学考试）如图，在图1的等腰直角三角形中，，边上的点满足，将三角形沿翻折至三角形处，得到图2中的四棱锥，且二面角的大小为.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）因为，所以，
因为等腰直角三角形中，，所以，
在四棱锥中，.
所以为二面角的平面角，即.
又，所以，
满足.
即，又，且，平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由，且，平面，
故平面，则有.
又，所以，即两两垂直.
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有：.
.
设平面的法向量.
，令，得.
设所求角的大小为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
9．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线上．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
（1），平面，平面．
平面，
由，同理可得平面，
又，
平面平面，平面，
平面；
（2）
如图所示，
过作，过作平面，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
在平面上的射影在直线上，
设，
，3，，且，；
，解得；
；
，
，且，5，，
设平面的法向量为，，，则，即
解得，令，得，
得到平面的法向量为，0，；
又，5，，，2，，
，，，
直线与平面所成角的正弦值为，．
10．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因为，，，则，所以，
又，平面，平面，所以平面，平面，所以.
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
故，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
角度3：利用向量方法求二面角
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1平面AEC，则二面角E-AC-B的正切值为（ ）
A． B．- C． D．-
【答案】B
【详解】解：连接BD交AC于点F，连接EF，
由题意可知，BD1∥EF，
因为F为BD的中点，
所以E为DD1的中点，
又AC⊥平面BDD1B1，
则∠EFD为二面角E﹣AC﹣D的平面角，
设AD＝a，则ED＝a，DF＝，
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，
又二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，
所以二面角E﹣AC﹣B的正切值为．
故选：.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：以点为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
因为是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，
所以，
故，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
故选：B．
3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，二面角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，易求得平面的一个法向量为，平面ACD的一个法向量为，所以，且二面角是锐二面角，所以正弦值为：，
正切值为：．
故选：D
4．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点 分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，
所以，，
设平面的法向量为，则即取
又因为平面的法向量为，
所以
故选：B
5．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
【答案】
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
直线与平面所成角为，
，
故答案为：.
6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，，.记平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）因为，平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）因为，所以，又，所以，
又，所以，所以，
又，，平面，平面，所以平面.
取，中点分别为，，连接，，，则，
所以平面，又平面，所以.
又因为，所以.
如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则，，，所以，.
设是平面的法向量，则，即，
取，得，，则.
又是平面的一个法向量，
所以，
即平面与平面所成的角的正弦值为.
7．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是平行四边形.为的中点.
(1)证明: 平面.
(2)若是棱上一点，且，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
（1）因为平面，平面，则，而，，平面，
于是得平面，因，且为的中点，即有，
又，因此四边形是平行四边形，则，
所以平面．
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的法向量为，则，
又二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
8．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））如图，三棱柱中，，交于点O，AO⊥平面.
(1)求证：；
(2)若，且直线AB与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵AO⊥平面，平面，∴，
∵，，∴，∴四边形为菱形，∴，
又，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴.
（2）令，在等腰中，，∴OB＝1，，.
∵AO⊥平面，∴∠ABO为直线AB与平面所成的角，
∴∠ABO＝60°，∴，
由（1）得OB，，OA两两垂直，所以以O为坐标原点，分别以OB，，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，，∴.
令y＝1，，z＝1得，
设平面的一个法向量为，，∴，
令y＝1，，z＝－1，解得，
设二面角大小为，∵为锐角，∴.
∴二面角的余弦值为.
9．（2022·河北·元氏县第四中学高二期末）如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．
(1)求证：DE⊥平面PCB；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）证明:PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，
且面，面
∴DE⊥平面PCB
（2）
以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：
则，
设平面BDE的法向量为，
则，
令，得到，
又，则，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
高频考点九：利用空间向量解决探索性问题
角度1：直线与平面所成角探索性问题
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
2．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故选：D
3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，点O为线段的中点.设点P在线段（P不与B重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以D为原点，分别以，，为x，y，z轴，建立坐标系，如图，
设，
则平面的法向量为，，，
则，
当且仅当时取等号.
故选：B
4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面，，且．设CE与平面ABE所成的角为，，若，则k的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，则，取AB的中点M，则，连接CM，则，又平面，因为平面ABC，所以，又因为，所以，则平面ABE的一个法向量为．由题意知，又由，可得：，结合可得：，所以k的最大值为.
故选：C．
5．（2022·湖南怀化·高二开学考试）如图，在几何体中，平面平面，.四边形为矩形.在四边形中，，，.
(1)点在线段上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1)存在实数，使得，且的值为
(2)
（1）解：因为四边形为矩形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面
不妨设，则.
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过D与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
所以，.
因为，所以，解得.
故存在实数，使得，且的值为
（2）解：设平面的法向量，则，即，
不妨取，则.
设，，
则，.
直线与平面所成的角为，
则.…
令，当时，；当时，.
所以.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
6．（2022·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，∠∠，，，，分别为线段，上的点(不在端点)．当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由．
【答案】存在，
【详解】平面，∠，则两两垂直
以P为原点，分别以为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则，，，
假设存在存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，则，
解得，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
整理，得，解之得或（舍），
存在使得直线与平面所成角的正弦值为．
由，可得，即
7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析；
(2)存在点且为的中点；.
（1）证明：如图所示：
在图1中连接AC，交BE于O，
因为四边形是边长为2的菱形，并且，
所以，且，
在图2中，相交直线均与BE垂直，
所以是二面角的平面角，
因为，则，
所以平面平面；
（2）由（1）分别以为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
因为到平面的距离为，
所以，解得，
则，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为：.
8．（2022·河北衡水·高三阶段练习）如图，已知四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，，，E为AD的中点，过BE作平面，分别交侧棱PC，PD于M，N两点，且.
(1)求证：平面平面ABCD.
(2)若，是否存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
(1)证明：因为，E为AD的中点，，
即，，所以四边形BCDE是平行四边形，所以.
因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.
又平面，平面平面，所以.
又，所以.
又，，所以平面PAD.
又平面ABCD，所以平面平面ABCD.
(2)连接PE，因为，所以为正三角形.
又因为E为AD的中点，所以.
又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABCD.
如图，以E为坐标原点，EA，EB，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，.
设，则，.
设平面BMNE的法向量为，
则，即，
不妨令，则，
所以平面BMNE的一个法向量为.
设直线PB与平面BMNE所成角为β，
则，
解得或（舍去），
即当时，直线PB与平面BMNE所成角的正弦值为.
所以存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为.
角度2：平面与平面所成角探索性问题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，点是的中点，点为棱上的动点，则平面与平面所成的锐二面角正切的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、、、其中.
则,.
设是平面的一个法向量，则，不妨设x=-1，则，
显然是面的一个法向量.
设平面与平面所成的锐二面角为，则，
要使平面与平面所成的锐二面角正切的最小，只需平面与平面所成的锐二面角最小，只需平面与平面所成的锐二面角余弦最大.
所以当时，最小，最大.
此时，
所以.
故选：B
2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________.
【答案】
【详解】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则≌，
∴，设，则，
∵为的中点，则，
∴，即，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，则、、、，
设，，，则，而，，
∴、、，
∴，
∴、、、，
设面的一个法向量，则，
即，令，则，
设面的一个法向量 ，则，即，
令，则，
面与面所成锐二面角的平面角为，则，
当时 ，即的最大值为.
故答案为：.
3．（2022·山西·高三阶段练习）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
（1）由题设，△为等边三角形，则，
又四边形为梯形，，则，
在△中，，即，
面面，面面，面，则面，
又面，故.
（2）若为中点，，则，
面面，面面，面，则面，
连接，则，且面，故，
综上，，两两垂直，
构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
所以，，，，若且，则，
而面的一个法向量为，，
所以，可得，故，
所以，，，
若是面的一个法向量，则，
取，
若是面的一个法向量，则，取，
所以，
由图知：锐二面角的余弦值.
4．（2022·河北·衡水市第十四中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N，Q分别为CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且.
(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；
(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点P，A1P
（1）证明：如图所示：
连接A1Q.
因为AA1=AC=1，M，Q分别是CC1，AC的中点，
所以Rt AA1Q≌RtCAM，
所以∠MAC=∠QA1A，所以∠MAC+∠AQA1=∠QA1A+∠AQA1=90°，
所以AM⊥A1Q.
因为N，Q分别是BC，AC的中点，
所以NQAB.
又AB⊥AC，所以NQ⊥AC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，所以NQ⊥AA1.
又AC∩AA1=A，AC，AA1 平面ACC1A1，
所以NQ⊥平面ACC1A1，
所以NQ⊥AM.
由NQAB和ABA1B1可得NQA1B1，
所以N，Q，A1，P四点共面，
所以A1Q 平面PNQ.
因为NQ∩A1Q=Q，NQ，A1Q 平面PNQ，
所以AM⊥平面PNQ，
所以无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ.
（2）存在点P，当时，平面PMN与平面ABC的夹角为60°.
理由如下：以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴 y轴 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
由，
可得点P（λ，0，1），所以.
设是平面PMN的一个法向量，
则，即，
解得，
令x=3，则y=1+2λ，z=2-2λ，
所以=（3，1+2λ，2-2λ）是平面PMN的一个法向量.
取平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）.
假设存在符合条件的点P，则，
化简得4λ2-14λ+1=0，
解得λ=或λ=（舍去）.
综上，存在点P，且当A1P时，满足平面PMN与平面ABC的夹角为60°.
5．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
(1)证明：平面；
(2)已知，为上的点且，，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
设平面中有任一直线，则直线，
，直线，
所以由线面垂直的定义得平面；
（2）由（1）得如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系
则，
设，所以,
设平面的法向量为，
则，所以，取，可得，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
即与平面所成角的正弦值的最大值为．
6．（2022·江苏镇江·高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．
(1)求二面角的大小；
(2)已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
（1）因为面，面，所以，．
,,平面，
所以平面，而平面，所以
分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量．
因为，，．
所以，取，得．所以．
因为，，，，
所以，取得，，所以．
因，
设二面角的大小为，为钝角，则，而，所以．
（2）
假设线段上存在一点，使得与垂直，设，，可得，，，
因为，所以，解得．
．
7．（2022·四川省绵阳南山中学高三开学考试（理））如图，在直角梯形中，，，平面，，．
(1)求证：；
(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析.
(2)存在，.
（1）
如图，作，，连接交于，连接，，
∵且，∴，即点在平面内．
在平行四边形中，，
∴，又由平面知，
∴平面，∴①
在矩形中，，∴②
∴由①②知，平面，∴．
（2）
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
∴，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，∴，
又平面，∴为平面的一个法向量，
∴，解得，
故在上存在点，且．
8．（2022·全国·高二单元测试）条件①：图1中．条件②：图1中．条件③：图2中，．在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
如图1所示，在中，，BC＝3，，沿AD将折起，使（如图2），点M为棱AC的中点．已知______，在棱CD上取一点N，使得，求锐二面角的余弦值．
【答案】
【详解】选①，
在图1的中，设，则，
在中，，解得
∴，．
由题意知，BD，CD，AD两两垂直，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，∴．
由，可得，．
设平面BNM的法向量，由，得，
令x＝1，则是平面BNM的一个法向量．
取平面BNC的一个法向量，
∴，
∴锐二面角的余弦值为．
选②，
在图1的中，由，得，即．
∵，，∴CD＝2，BD＝1，
以下步骤和①相同．
选③，
设，则CD＝3－x，∴，解得x＝1或x＝2．
又∵，∴CD＝2，BD＝1．
以下步骤和①相同．
9．（2022·江苏南京·高三开学考试）如图，四棱锥P-ABCD的体积为，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是面积为的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，BC=1，E为棱PA上一动点.
(1)若直线EC与平面ABCD的夹角为60°，求二面角B-CE-D的正弦值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）（1）因为是面积为的等边三角形，所以，因为平面平面，四边形是等腰梯形，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，连接,因为平面平面,其交线为,,故平面,故为直线与平面的夹角，记中点为，连接，所以，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，且，又四棱锥的体积为，所以四边形的面积为故设，又，所以，,，即，解得两点重合，又，设平面的法向量，平面的法向量，且即,令，则，故即，令，则，故记二面角的平面角为，则，即二面角的正弦值为；
（2）（2）因为，所以当时，，当且仅当时取等号，且时，，所以.1 第一章 空间向量与立体几何 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：空间向量的基底
高频考点二：用基底表示向量
高频考点三：空间向量平行与垂直
高频考点四：空间向量模的计算
高频考点五：空间向量夹角的计算
高频考点六：空间向量的投影
高频考点七：利用空间向量求距离
角度1：利用空间向量求点线距
角度2：利用空间向量求点面距
高频考点八：利用向量方法求角
角度1：利用向量方法求两异面直线所成角
角度2：利用向量方法求线面角
角度3：利用向量方法求二面角
高频考点九：利用空间向量解决探索性问题
角度1：直线与平面所成角探索性问题
角度2：平面与平面所成角探索性问题
一、基本概念回归
知识回顾1：空间向量的数乘运算
1.1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
1.2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
知识回顾2：共线向量与共面向量
2.1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
2.2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.3拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
2.4、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2.5共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
2.6拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
知识回顾3：空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
知识回顾4：两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
知识回顾5：向量长度的坐标计算公式
若，则，即
知识回顾6：两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
知识回顾7：用向量法求空间角
7.1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则
①
②.
7.2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
7.3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：空间向量的基底
1．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二专题练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（多选）（2022·山东·聊城二中高二开学考试）已知是空间的一个基底，若，则错误的是（ ）
A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底
C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　）
A．，，2 B．，，
C．，， D．2，，
高频考点二：用基底表示向量
1．（2022·辽宁营口·高二开学考试）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ）
A． B．
C．- D．
3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正三棱柱中，M为的重心，若，，，则______．（用、、表示）
高频考点三：空间向量平行与垂直
1．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022·全国·高二专题练习）已知，，若，则m的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A．－1 B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．以上都不对
5．（2022·山东省郓城第一中学高二开学考试）已知向量 ， 若 ，则实数________．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知空间三点、、，设，．
(1)若向量与互相垂直，求实数的值；
(2)若向量与共线，求实数的值．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知，．
(1)求的值；
(2)当时，求实数k的值．
高频考点四：空间向量模的计算
1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
2．（2022·福建泉州·高二期末）在棱长均为1的平行六面体中，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
3．（2022·福建·泉州师范学院附属鹏峰中学高二阶段练习）向量，，，且，，则______.
4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知、是空间内两个单位向量，且，如果空间向量满足，且，，则对于任意的实数、，的最小值为______．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________.
高频考点五：空间向量夹角的计算
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022·全国·高二专题练习）若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）
A．0 B．－ C．0或－ D．0或
3．（2022·河北石家庄·一模）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二单元测试）已知，，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是______．
5．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数______．
7．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是______．
高频考点六：空间向量的投影
1．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，，，则向量在向量方向上的投影向量为______．
3．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知点，与同向单位向量为，则向量在方向上的投影向量为___________.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
6．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知，，.
(1)求；
(2)求在上投影的数量.
高频考点七：利用空间向量求距离
角度1：利用空间向量求点线距
1．（2022·河南·中牟县第三高级中学高二阶段练习）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．
2．（2022·全国·高二专题练习）为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为__．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______.
4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为__________．
5．（2022·全国·高二单元测试）如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．
6．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为__________.
角度2：利用空间向量求点面距
1．（2022·湖南怀化·高二开学考试）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）正方体的棱长为1，E F分别为 CD的中点，求点F到平面的距离.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，求点D到平面PEF的距离．
高频考点八：利用向量方法求角
角度1：利用向量方法求两异面直线所成角
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正四棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与MN所成角的正弦值的最小值为________．
5．（2022·全国·高二专题练习）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．
6．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点．
(1)求证平面；(2)若E为的中点，求AE与所成的角．
7．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）如图，正四棱锥中，，，为棱上的动点．
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)若满足，求异面直线与所成角的余弦值．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，O为中点．
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与OD所成角的大小．
角度2：利用向量方法求线面角
1．（2022·全国·高二课时练习）若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·成都七中高二期中（理））如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是____；
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，若，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为______．
4．（2022·江苏·马坝高中高二期中）在正方体中，点为线段的中点.设点在线段（不与重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是__________.
5．（2022·福建·三明市第二中学高二开学考试）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．
6．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面正方形，平面底面，平面底面，，分别是的中点，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
7．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．
(1)求证；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2022·湖北武汉·高三开学考试）如图，在图1的等腰直角三角形中，，边上的点满足，将三角形沿翻折至三角形处，得到图2中的四棱锥，且二面角的大小为.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
9．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线上．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
10．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
角度3：利用向量方法求二面角
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AD，E为侧棱DD1上一点，若直线BD1平面AEC，则二面角E-AC-B的正切值为（ ）
A． B．- C． D．-
2．（2022·全国·高二课时练习）已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，二面角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点 分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．
6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，，.记平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成的角的正弦值.
7．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是平行四边形.为的中点.
(1)证明: 平面.
(2)若是棱上一点，且，求二面角的余弦值.
8．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））如图，三棱柱中，，交于点O，AO⊥平面.
(1)求证：；
(2)若，且直线AB与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.
9．（2022·河北·元氏县第四中学高二期末）如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．
(1)求证：DE⊥平面PCB；
(2)求二面角的余弦值．
高频考点九：利用空间向量解决探索性问题
角度1：直线与平面所成角探索性问题
1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）在正方体中，点O为线段的中点.设点P在线段（P不与B重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面，，且．设CE与平面ABE所成的角为，，若，则k的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2022·湖南怀化·高二开学考试）如图，在几何体中，平面平面，.四边形为矩形.在四边形中，，，.
(1)点在线段上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
6．（2022·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，∠∠，，，，分别为线段，上的点(不在端点)．当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由．
7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值.
8．（2022·河北衡水·高三阶段练习）如图，已知四棱锥，底面ABCD为直角梯形，，，，E为AD的中点，过BE作平面，分别交侧棱PC，PD于M，N两点，且.
(1)求证：平面平面ABCD.
(2)若，是否存在平面，使得直线PB与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
角度2：平面与平面所成角探索性问题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，，，点是的中点，点为棱上的动点，则平面与平面所成的锐二面角正切的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为_________.
3．（2022·山西·高三阶段练习）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．
(1)证明：；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．
4．（2022·河北·衡水市第十四中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N，Q分别为CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动，且.
(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ；
(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
5．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
(1)证明：平面；
(2)已知，为上的点且，，求与平面所成角的正弦值的最大值．
6．（2022·江苏镇江·高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．
(1)求二面角的大小；
(2)已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
7．（2022·四川省绵阳南山中学高三开学考试（理））如图，在直角梯形中，，，平面，，．
(1)求证：；
(2)在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
8．（2022·全国·高二单元测试）条件①：图1中．条件②：图1中．条件③：图2中，．在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
如图1所示，在中，，BC＝3，，沿AD将折起，使（如图2），点M为棱AC的中点．已知______，在棱CD上取一点N，使得，求锐二面角的余弦值．
9．（2022·江苏南京·高三开学考试）如图，四棱锥P-ABCD的体积为，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是面积为的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，BC=1，E为棱PA上一动点.
(1)若直线EC与平面ABCD的夹角为60°，求二面角B-CE-D的正弦值；
(2)求的取值范围.

展开更多......

收起↑