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1 第四章 数列 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：根据数列的前几项求通项公式
高频考点二：数列的单调性的判断及其应用
高频考点三：求数列中的最大(小)项
高频考点四：等差数列性质的应用
高频考点五：等差数列的综合问题
高频考点六：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
高频考点七：等差数列前项和的最值问题
高频考点八：等比数列性质的应用
高频考点九：等比数列前项和的性质
高频考点十：数列求通项五类
高频考点十一：数列求和六类
一、基本概念回归
知识回顾1：数列的单调性
若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；
（1）求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；
（2）求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；
知识回顾2：数列的前项和
（1）数列前项和的概念
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即
（2）数列前项和与通项的关系
当时，
当时，
用
化简得：
所以：
知识回顾3：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识回顾4：等差数列的性质
①
②，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
知识回顾5：等差数列的前项和公式
（1）首项为，末项为的等差数列的前项和公式
（2）首项为，公差为的等差数列的前项和公式
知识回顾6：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
知识回顾7：等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
知识回顾8：等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().
(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
知识回顾9：等比数列前项和公式
若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和
知识回顾10：等比数列前项和的性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时,
当是奇数时,
高频考点一：根据数列的前几项求通项公式
1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）数列1,,,，的第n项为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
高频考点二：数列的单调性的判断及其应用
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河北·高三阶段练习）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________.
4．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．
5．（2022·北京师大附中高二期中）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式______.
高频考点三：求数列中的最大(小)项
1．（2022·江西·高三阶段练习（文））记数列的前n项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项．
3．（2022·上海·高二期中）已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.
4．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））已知数列是等差数列，．
(1)求的通项公式；
(2)求的最大项．
5．（2022·重庆八中高三阶段练习）记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)讨论数列的单调性；
(2)求数列的最大项和最小项.
高频考点四：等差数列性质的应用
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，且．若，则（ ）
A．116 B．232 C．58 D．87
2．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）在等差数列中，若，则等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）已知等差数列的前项和为，若与方程的两个实根，则（ ）
A．46 B．44 C．42 D．40
4．（2022·全国·高三专题练习）若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则
A． B． C． D．
高频考点五：等差数列的综合问题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
2．（多选）（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海中学高二期中）已知等差数列满足，，记表示数列的前n项和，则当时，n的取值为______.
4．（2022·北京市翔宇中学高三期中）等差数列满足，.
(1)求的通项公式和前项和；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
5．（2022·陕西西安·高二期中）设为数列的前项和，.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)判断这个数列是否是等差数列.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为.
(1)已知，，求.
(2)已知， ，求.
(3)已知，求.
7．（2022·福建莆田·高二期中）设是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，求当为何值时，取得最小值.
(3)求数列的前项和的值.
高频考点六：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
2．（2022·江苏·西安交大苏州附中高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．-3 B．-12 C．-21 D．-30
4．（2022·上海·高二课时练习）等差数列前10项的和为10，第11项至第20项的和为，则第21项至第30项的和是_______．
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
1．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且满足，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2022·全国·高三专题练习）等差数列和的前n项和分别为与，对一切正整数n，都有，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，则＝
6．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.
高频考点七：等差数列前项和的最值问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，并且，，若对恒成立，则正整数的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（多选）（2022·江苏常州·高三期中）已知等差数列的公差，且．的前项和记为，若是的最大值，则k的可能值为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
3．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，，常数，且对一切正整数都成立.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，当为何值时，数列的前项和最大？
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若，求当取得最大值时n的值．
5．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）设是等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和的最大值．
高频考点八：等比数列性质的应用
1．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）在等比数列中，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
2．（2022·上海市行知中学高三期中）正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值____.
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期中（文））在正项等比数列中，，则______．
4．（2022·四川省通江中学高二期中（文））若等比数列的各项均为正数，且，则___________.
5．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．
高频考点九：等比数列前项和的性质
1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180 B．108
C．75 D．63
2．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12 B．30
C．45 D．81
4．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2022·吉林·辉南县第六中学高二期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列中的最大值 D．数列无最大值
6．（2022·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（多选）（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为__________．
9．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
10．（2022·全国·高二课时练习）设Sn是等比数列的前n项和，若，则________.
高频考点十：数列求通项五类
1．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且和满足：（，2，3，…）．
(1)求的通项公式；
(2)设，的前n项和，求证：
2．（2022·江苏·南京市励志高级中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2022·新疆·高三期中（文））已知等差数列满足，，数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高三期中）设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列．
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
5．（2022·山西大同·高三阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，，其中．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)若，求数列前n项和．
6．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和.
7．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
8．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列：
(2)若，求满足条件的最大整数.
9．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
10．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求满足条件的最大整数值.
高频考点十一：数列求和六类
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
3．（2022·福建莆田·高二期中）已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；
4．（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列中，，且,,成等差数列，数列满足,，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
6．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二期中（理））在数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
7．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
8．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，，各项均为正数的等比数列满足，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
9．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
10．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
11．（2022·全国·高三专题练习）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，若，再从三个条件：①；②，；③，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答（如果选择多组条件解答，则以选择第一组解答记分）．
（1）求数列，的通项公式；
（2）定义：，记，求数列的前n项和．
13．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
14．（2022·广东广州·高三期中）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
15．（2022·浙江省新昌中学高三期中）已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.1 第四章 数列 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：根据数列的前几项求通项公式
高频考点二：数列的单调性的判断及其应用
高频考点三：求数列中的最大(小)项
高频考点四：等差数列性质的应用
高频考点五：等差数列的综合问题
高频考点六：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
高频考点七：等差数列前项和的最值问题
高频考点八：等比数列性质的应用
高频考点九：等比数列前项和的性质
高频考点十：数列求通项五类
高频考点十一：数列求和六类
一、基本概念回归
知识回顾1：数列的单调性
若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；
（1）求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；
（2）求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；
知识回顾2：数列的前项和
（1）数列前项和的概念
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即
（2）数列前项和与通项的关系
当时，
当时，
用
化简得：
所以：
知识回顾3：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识回顾4：等差数列的性质
①
②，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
知识回顾5：等差数列的前项和公式
（1）首项为，末项为的等差数列的前项和公式
（2）首项为，公差为的等差数列的前项和公式
知识回顾6：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
知识回顾7：等比数列的判断（证明）
1、定义：（或者）（可判断，可证明）
2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）
3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）
知识回顾8：等比数列常用性质
设数列是等比数列，是其前项和．
（1）
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为().
(4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
知识回顾9：等比数列前项和公式
若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和
知识回顾10：等比数列前项和的性质
公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:
(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(2)当是偶数时,
当是奇数时,
高频考点一：根据数列的前几项求通项公式
1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）数列1,,,，的第n项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】底数构成等差数列，第n项为；指数构成等差数列，第n项为.
所以数列1,,,，的第n项为.
故选：D
2．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，令，
A选项：，不合题意；
B选项：，不合题意；
C选项：，不合题意；
D选项：，符合题意
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，，……，所以．
故选：C．
4．（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
【答案】(1)；
(2)；
(3) ；
(4).
（1）
4个项都是分数，它们的分子依次为，分母是正奇数，依次为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（2）
4个项按先负数，后正数，正负相间排列，其绝对值的分子依次为，分母比对应分子多1，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（3）
4个项是第1，3项均为3，第2，4项均为4，所以给定4项都满足的一个通项公式为.
（4）
4个项，所有项都是由数字6组成的正整数，其中6的个数与对应项数一致，
依次可写为，
所以给定4项都满足的一个通项公式为.
高频考点二：数列的单调性的判断及其应用
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列的前项和，且对任意，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以数列为递减数列，当时，，
故可知当时，单调递减，
故为递减数列，只需满足，
因为,
所以,解得，
.故选:.
2．（2022·河北·高三阶段练习）已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】①当时，，
②当时，，
∴当时，，数列递减，
综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，
解得，
故答案为：.
3．（2022·上海师大附中高二期中）已知为递减数列，且对于任意正整数n，恒成立，恒成立，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】∵恒成立，又由，∴恒成立，
即对于任意正整数n恒成立，∴，所以的取值范围是.
故答案为：.
4．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】解：∵ 数列严格递增，
当时，，
，
∴当时，递增，
，
即，
解得，
∴ ．
故答案为：．
5．（2022·北京师大附中高二期中）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式______.
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为，则数列是递增的，
又，
所以最小，数列从第7项开始为正，而，
因此不妨设数列为等差数列，公差为1，，
所以，满足条件的数列的一个通项公式.
故答案为：（答案不唯一）.
高频考点三：求数列中的最大(小)项
1．（2022·江西·高三阶段练习（文））记数列的前n项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，因数列是公差为7的等差数列，则，
因此，当时，，而不满足上式，
当时，，即当时，，
于是当时，数列是递增的，而，，则，
所以的最小项为.
故选：C
2．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项．
【答案】4
【详解】由题意，，
故，
令，解得；令，解得；
故时，；时，，
故数列的最大项为第4项.
故答案为：4
3．（2022·上海·高二期中）已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________.
【答案】或.
【详解】由可得当时，，当时，，
当时，，故取最大值时，一定有 ，
设为数列的最大项，
则 ，即 ，解得，
则或，此时，
故答案为：或.
4．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高一阶段练习（理））已知数列是等差数列，．
(1)求的通项公式；
(2)求的最大项．
【答案】(1)；
(2).
(1)
设等差数列的公差为，
所以有，
所以；
(2)
由（1）可知：，
当时，有最大项，最大项为：.
5．（2022·重庆八中高三阶段练习）记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________.
【答案】3
【详解】设等差数列的公差为d，
由题意可得：.
所以，两边同时取对数得：
令，则.
令得：；令得：，
所以在上单增，在上单减，
所以的最大值在或处取得.
而，所以.所以当最大时，的值为3.
故答案为：3．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)讨论数列的单调性；
(2)求数列的最大项和最小项.
【答案】(1)答案见解析
(2)最大项为，
最小项为.
(1)
故，
当即时，即，但此时，
当即时，即，但此时，
而，
综上，当时，为减数列，当时，为减数列，
即，.
(2)
由（1）可得中的最大项为，
最小项为.
高频考点四：等差数列性质的应用
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，且．若，则（ ）
A．116 B．232 C．58 D．87
【答案】A
【详解】∵，∴，∴为等差数列，
∴ ，
∵，∴，
∴，
故选:A．
2．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）在等差数列中，若，则等于（ ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【详解】解：因为为等差数列，又，且，
所以，所以；
故选：C
3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）已知等差数列的前项和为，若与方程的两个实根，则（ ）
A．46 B．44 C．42 D．40
【答案】B
【详解】因为与方程的两个实根，
所以.
由等差数列的性质可得：，
所以.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为等差数列中，，，所以公差，，，
因为，所以，
因为，所以，
根据等差数列的性质可知，时，；时，.
故使前项和成立的最小正整数是.
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0）
由题意可得 即q2-2q-3=0，
解得q=-1（舍去），或q=3，
故
故选D．
高频考点五：等差数列的综合问题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
【答案】C
【详解】高阶等差数列： 1，2，4，7，11，16，22，，
令，则数列：1，2，3，4，5，6，，
则数列为等差数列，首项，公差，，则
则
故选：C
2．（多选）（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知等差数列的公差，当且仅当时，的前项和最大，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】当且仅当时，最大，当时，；当时，，
，解得：，
；
；；
；ABD正确；
，则当时，；当时，；当时，；C错误.
故选：ABD.
3．（2022·上海中学高二期中）已知等差数列满足，，记表示数列的前n项和，则当时，n的取值为______.
【答案】
【详解】，故，，故，故，
，.
，故.
故答案为：
4．（2022·北京市翔宇中学高三期中）等差数列满足，.
(1)求的通项公式和前项和；
(2)设等比数列满足，，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，，
解得：，
可得：，
.
（2）设等比数列的公比为，
由足，，可得：，，
解得：，
则数列的前项和为：.
5．（2022·陕西西安·高二期中）设为数列的前项和，.
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)判断这个数列是否是等差数列.
【答案】(1)，.
(2)数列为等差数列，理由见解析
【详解】（1）解：当时，，
当且时，，
也满足，故对任意的，.
（2）解：对任意的，.
因此，数列为等差数列.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为.
(1)已知，，求.
(2)已知， ，求.
(3)已知，求.
【答案】(1)2700
(2)
(3)66
【详解】（1）由题意得：
（2）由题意得：公差，
故
（3）由题意得：
7．（2022·福建莆田·高二期中）设是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，求当为何值时，取得最小值.
(3)求数列的前项和的值.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1），，成等比数列，，
设等差数列的公差为，则，解得：，
.
（2）由（1）得：，
当或时，取得最小值.
（3），，
是以为首项，为公差的等差数列，.
高频考点六：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
【答案】D
【详解】由等差数列片段和的性质：成等差数列，
∴，可得，同理可得，
∴，可得.
故选：D
2．（2022·江苏·西安交大苏州附中高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
【答案】B
【详解】由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．-3 B．-12 C．-21 D．-30
【答案】D
【详解】由等差数列的性质知：成等差数列，
∴，则，可得.
同理：，即，得.
故选：D
4．（2022·上海·高二课时练习）等差数列前10项的和为10，第11项至第20项的和为，则第21项至第30项的和是_______．
【答案】
【详解】设该等差数列为，其公差为，前项和为.
前10项的和为，则
由第11项至第20项的和为，
所以，即，所以
则第21项至第30项的和是：
故答案为：
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
1．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】两等差数列，，前n项和分别是，，满足，
所以.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】由题意，令，
∴，
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）等差数列和的前n项和分别为与，对一切正整数n，都有，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由等差数列的求和公式得，即满足型
则可令
，
故选：A
4．（多选）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意，可得，
∵和均为等差数列，
∴，
同理，，
∴，
若为整数，则只需，，，.
故选：AC.
5．（2022·全国·高二课时练习）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，则＝
【答案】
【详解】试题分析：若Sn是等差数列｛an｝的前n项和，
则也是等差数列；
所以也是等差数列，
由可设，则，
于是可得相邻三项和依次为，
即，
所以.
6．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.
【答案】
【详解】由等差数列的性质可得，
，
若为整数，且，故能被整除，故或，解得或，
所以，使得为整数的值个数为.
故答案为：；.
高频考点七：等差数列前项和的最值问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，并且，，若对恒成立，则正整数的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】由题意可得，
所以，
又，所以，
又可得，
所以等差数列的前6项为正数，从第7项起为负数，
所以， 所以.
故选：C.
2．（多选）（2022·江苏常州·高三期中）已知等差数列的公差，且．的前项和记为，若是的最大值，则k的可能值为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
【答案】AB
【详解】，即，又，故数列单调递减，
则，∴，故该数列的前项都为正数，且从第7项开始都为负数，
故是的最大值，则的可能只为或.
故选：AB．
3．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，，常数，且对一切正整数都成立.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，当为何值时，数列的前项和最大？
【答案】(1)；
(2)6.
【详解】（1）取，得，，，则，
当时，，，
上述两个式子相减得：，所以数列是等比数列,
当，则.
（2）当，且时，令，所以，
所以，单调递减的等差数列（公差为）
则
当时，
故数列的前6项的和最大.
4．（2022·广东·高三阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若，求当取得最大值时n的值．
【答案】(1)；
(2)4或5.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
根据题意有，解得，
则；
即等差数列的通项公式为.
（2）由，得，即，从而，
即，从而，则，
因为，所以，
由得，解得，又，则或，
所以当取得最大值时n的值为4或5．
5．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）设是等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
故.
（2）因为当时，，当时，，当时，，
故当或时有最大值且最大值为.
高频考点八：等比数列性质的应用
1．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）在等比数列中，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【答案】D
【详解】数列是等比数列，则，，
而，故．
故选：D
2．（2022·上海市行知中学高三期中）正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值____.
【答案】##
【详解】在正项等比数列中有，由等比数列的性质知，即，解得或（舍），
则，可得，其中.
所以，当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为：.
3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期中（文））在正项等比数列中，，则______．
【答案】2
【详解】在正项等比数列中，，
所以，
所以，，
．
故答案为：2
4．（2022·四川省通江中学高二期中（文））若等比数列的各项均为正数，且，则___________.
【答案】2022
【详解】因为是等比数列，
所以，
即，
所以
故答案为：2022
5．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．
【答案】
【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，，
即，
∴，当且仅当，即公比为1时等号成立，
故的最大值是.
故答案为：.
高频考点九：等比数列前项和的性质
1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180 B．108
C．75 D．63
【答案】D
【详解】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12 B．30
C．45 D．81
【答案】C
【详解】显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，
，，
，则，
，则.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
5．（2022·吉林·辉南县第六中学高二期中）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】A
【详解】根据题意，等比数列中，，则有，有，
又由0，即 ，必有， 由此分析选项：
对于A， ，故 ，A正确；
对于B，等比数列中，，，则 ，则 ，即 ，B错误；
对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误；
对于D，由C的结论，D错误；
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】设数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，
故
.
故选：B
7．（多选）（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为为等比数列，所以也构成等比数列.
因为，所以，
得.
因为，所以，解得.
因为，
所以，，故A错误，B正确；
因为，且，所以，故C正确，D错误.
故选：BC
8．（2022·全国·高三专题练习）已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为__________．
【答案】##0.75
【详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则解得或,
又因为的各项均不相等，所以，
则．
当n为奇数时，，易知单调递减，最大值为，且；
当n为偶数时，，易知单调递增，最小值为，且．
所以的最大值为，最小值为，
所以的最大值与最小值之差为．
故答案为：.
9．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
【答案】450
【详解】在等比数列中，公比，则有，
而，于是得，
所以数列的前100项和．
故答案为：450
10．（2022·全国·高二课时练习）设Sn是等比数列的前n项和，若，则________.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为q，由已知，因为，，
，，，
．
∴．
故答案为：．
高频考点十：数列求通项五类
1．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且和满足：（，2，3，…）．
(1)求的通项公式；
(2)设，的前n项和，求证：
【答案】(1)；
(2)见解析.
【详解】（1）解：∵，
∴，①
∴，②
①－②得，
∴，化简．
∵，
∴，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∴
∵，
∴，
∴，即.
2．（2022·江苏·南京市励志高级中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，又的各项均为正数，所以；
当时，得，所以，
又的各项均为正数，所以，所以，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）知，，
所以，①
，②
①-②得：
所以.
3．（2022·新疆·高三期中（文））已知等差数列满足，，数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）设数列的公差为，由题可得，解得，
故；
因为满足，，
故当时，
，
故，符合该式，所以；
（2）由题可得，设的前项和为，
则，
故，
则
即，故.
故数列的前项和为.
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高三期中）设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列．
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）证明：因为，
所以，
又，
所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
则，
当则
，n=1成立
所以；
（2）解：由，得，
又成等比数列，使用，
即，解得（舍去），
所以，
则，
所以.
5．（2022·山西大同·高三阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，，其中．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)若，求数列前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，由，
得，所以，即，故，
当时，，故，
故数列的通项公式为；
由得，
故，，，…，，，
以上个式子相乘得，，
故，验证也符合上式，
所以．
（2）由，结合（1）可得，
所以，
，
两式相减得，
所以，
故．
6．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，则，
即，当时，，两式相减可得：，整理可得，
故，将代入上式，，
故的通项公式为.
（2）由，则.
7．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
又因为，则，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，故.
（2）由（1）得，
所以.
8．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列：
(2)若，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)50
【详解】（1）证明：由，可得，
又
故数列为等比数列.
（2）由（1）可知，故.
令，易知随的增大而增大，，故满足的最大整数为50.
9．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
(1)
∵，等式两边同时加1整理得
又∵，∴
∴是首项为2，公比为2的等比数列．
∴， ∴
(2)
∵， ∴.
记的前n项和为
则
所以
相减得
整理得.
所以
10．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求满足条件的最大整数值.
【答案】(1)
(2)99
(1)
解：因为，
所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
(2)
解：由（1）可得，
则，
由，则，
因为函数是增函数，
且当时，，
当时，，
所以满足的最大正整数的值为99.
高频考点十一：数列求和六类
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，
设，是函数图像上的两点， 其中且，
则有，
因此函数图像关于点对称 ；
（2）由（1）知当时，，
①，
②，
①+②得，即.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
【答案】
【详解】因为，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以数列的通项公式为.
3．（2022·福建莆田·高二期中）已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）数列的前n项和，，
则当时，，即，
当时，，解得，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，，，
当n为偶数时，，
于是得，
当n为奇数时，，
所以.
4．（2022·河北·高三阶段练习）已知在等比数列中，，且,,成等差数列，数列满足,，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1);
(2).
【详解】（1）因为,,成等差数列，所以 ,
又因为在等比数列中，,所以，得的公比 ，
所以 ,解得 ，故.
（2）由,，，得 ，
则是等差数列，因为,所以，
则 ，
则
．
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，
当时，，解得，
当时，由，得①，
所以②，
①-②得：，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
（2）由得，
所以，
所以.
6．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二期中（理））在数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则
当时，，
当时，，
与相减，得，
所以，又，所以，
所以当时，，
当时，满足上式，当时，上式不成立，
所以
（2）知，
因为，
所以当时，，
当时，
．
显然当时，上式成立，所以．
7．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足，是以为首项且公差不为0的等差数列，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）由，取可得，又，
所以，则.
当时，由条件可得，两式相减可得，，又，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，
因为，设等差数列的公差为，则，由成等比数列，所以，又，所以解得，
故，
（2），
，
.
相减得，
所以，所以
所以.
8．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，，各项均为正数的等比数列满足，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，，
∴；
设等比数列的公比为，
则，解得，，，
∴，
（2）由（1）可知
∴，
则，
两式相减得：，
∴．
9．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和
，
.
综上所述：
10．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
（1）解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.
（2）解：由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述，
11．（2022·全国·高三专题练习）在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令其中表示不超过的最大整数，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【详解】若选：由已知，所以
通项，
故
不妨设的公差为.则
解得所以
由，则，
，
所以.
若选：由已知，，
通项
故.
不妨设的公差为，则，
解得所以.
由，则，
，
所以.
若选：由已知，所以
通项，
故
不妨设的公差为.则，
因为解得所以.
由
则
，
所以.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和是，数列的前n项和是，若，再从三个条件：①；②，；③，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答（如果选择多组条件解答，则以选择第一组解答记分）．
（1）求数列，的通项公式；
（2）定义：，记，求数列的前n项和．
【答案】选择见解析；（1）；；（2）.
【详解】解：（1）由，得，又，则，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，即．
若选①，当时，，当时，，
∴．
若选②由得，所以数列是以20为首项，为公差的等差数列，∴．
若选③，则．
（2）由（1）知，
∴当时，，
当时，
，
∴
13．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）当时，.
因为，所以，所以.
因为，所以.
两式相减，得，即
又因为，所以.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）由（1）可知
故当为偶数时，
当为奇数时，
所以
14．（2022·广东广州·高三期中）设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知得， 即，
是以2为首项， 2为公差的等差数列.
，
当时，,
当时，也满足上式，所以;
（2）,
当时，
15．（2022·浙江省新昌中学高三期中）已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为
选择①：由题意得，
故，解得，
所以.
选择②：由题意得，即
解得，
所以.
选择③：由题意得，
故，解得，
所以.
（2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为
，
由当为偶数时，，
得数列的前项中偶数项的和为
，
故.

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