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1 第五章 一元函数的导数及其应用 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度
高频考点二：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型，过型）
角度2：根据切线斜率求切点坐标
高频考点三：解析式中含的导数问题
高频考点四：利用相切关系求最小距离
高频考点五：求函数的单调区间
高频考点六：函数与导函数图象间的关系
高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
高频考点八：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
高频考点九：函数图象与极值（点）的关系
高频考点十：求已知函数的极值（点）
高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数
高频考点十二：函数的最值问题
高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题
高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）
高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题
一、基本概念回归
知识回顾1：函数在处的导数（瞬时变化率）
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
知识回顾2：曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
知识回顾3：导数的四则运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：
.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
知识回顾4：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
函数在区间内可导，
(1)若，则在区间内是单调递增函数；
(2)若，则在区间内是单调递减函数；
(3)若恒有，则在区间内是常数函数．
知识回顾5：求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
知识回顾6：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间使得有解
②已知在区间上存在单调减区间使得有解
3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点
知识回顾7：极大（小）值
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
知识回顾8：函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________.
【答案】5
【详解】函数在区间上的平均变化率为.
故答案为：
2．（2022·上海南汇中学高二期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．
【答案】3
【详解】解：函数在区间上的平均变化率为，
解得.
故答案为：3.
3．（2022·安徽省皖西中学高二期末）某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是____________．
【答案】8
【详解】由题知，，
当时，
故物体在时的瞬时速度为8
故答案为：8
4．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））设函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【详解】函数在点处的切线方程为，
则.
故选:C.
5．（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）设在处可导，下列式子与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A，,A错误；
对于B，，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，D错误，
故选：B
6．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数，且，则函数在处的切线方程是___________.
【答案】
【详解】解：由，得，
而，所以，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
高频考点二：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型）
1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）函数在点处的切线方程为______.
【答案】
【详解】由函数可得，
故在点处的切线的斜率为，
故切线方程为，即，
故答案为：.
2．（2022·新疆·高三期中（文））函数的图象在点处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】由得，，，所以的图象在点处的切线方程为.
故答案为：
3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．
【答案】
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以在处的切线方程为：，
又切线方程过原点，把代入得，
解得：．
故答案为：.
4．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为 __．
【答案】
【详解】解：，
，
，，
曲线在点处的切线方程为：
，即，
故答案为：．
角度2：求切线方程(过型）
`1．（2022·河北保定·高三阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程为____________________.
【答案】或
【详解】设切点为的横坐标为，
因为，故，
故，整理得到：，
故或，故切线的斜率为或，
故切线方程为或，
即或，
故答案为：或，
2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数满足，则函数在处的切线的斜率为__________.
【答案】
【详解】由，有，
所以，所以，
因此函数在处的切线的斜率为.
故答案为：.
3．（2022·山西·高三阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为___________．
【答案】
【详解】设切点为，则，
得，则切点为，
切线方程为，即．
故答案为：.
4．（2022·浙江·高三阶段练习）已知过点有三条直线与曲线相切，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设切点，由可得
切线方程为，
将代入得，
整理得，
设，
，
因为,令解得，
令解得或，
所以在，单调递减，在单调递增，
且当时，
由题意得有3个不相等的实数根，
则有，即，所以.
故选:D.
5．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为______．
【答案】
【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
所以，，令，其中，
所以，，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
由可得，解得或，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
因此，.
故答案为：.
6．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【详解】设切点坐标为，则.
由，可得，
所以切线方程为，整理得，将代入可得，
，，
则在和上单调递减；在上单调递增.
所以，在处有极小值，在处有极大值.
易知当时，（如图所示）
所以，当时，函数有3个零点，
即，当时，过点可作3条与曲线相切的直线.
故答案为：.
7．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）若过点可以作出3条直线与函数的图象相切，则的取值范围为_________．
【答案】
【详解】设过的直线与切于，
，，
∴的切线方程为，∵切线过，
∴，
问题转化为此方程有3个不等的实根，令，，
即与有3个不同的交点，
，
令，则有或，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，此时恒成立；
作出的大致图象，入下图所示：
要使与有3个不同的交点，则即可，
∴的取值范围为：．
故答案为：．
高频考点三：解析式中含的导数问题
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．e
【答案】B
【详解】因为．所以，
由，解得e．
故选：B.
2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记函数的导函数为，且溥足，则＝______．
【答案】##1.5
【详解】由题意得，，
∴，解得，
∴，∴．
故答案为：
3．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数，则___________.
【答案】2
【详解】,
所以，
故答案为：.
高频考点四：利用相切关系求最小距离
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点，
令，可得，故切点为，
以为切点平行于的切线为，此时有.
故选：A
2．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________
【答案】
【详解】函数上任意一点的坐标为，过该点的切线为，
当直线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，
所以直线的方程为，
因此函数上的任意一点到直线的距离的最小值为，
故答案为：
3．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.
【答案】
【详解】由已知，设点曲线上一点，则有，
因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即．
要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），
此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，
此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，
最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，
所以.
故答案为：.
高频考点五：求函数的单调区间
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
【答案】A
【详解】由题设，则，可得，
而，则，
所以，即，则且递增，
当时，即递减，故递减区间为(-,0).
故选：A
2．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为的定义域为，
所以，
令，得，
所以函数的单调递减区间是.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．
【答案】，
【详解】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，
当00，
当0，
∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
故答案为：，.
高频考点六：函数与导函数图象间的关系
1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由函数图象可知当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
故的解集是，
故选:C.
2．（2007·浙江·高考真题（理））设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，如果把 作为的图象，则，原点处取等号，则单调递增，故A正确；
对于B，如果把 作为的图象，则，则单调递增，故B正确；
对于C，如果把 作为的图象，则，则单调递增，故C正确；
对于D，如果把 作为的图象，则，在个别点处取等号，则单调递增，与图中不符；
如果把 作为的图象，则在图象所对应的范围内，在个别点处取等号，则单调递减，与图中不符；故D不可能，
故选：D
3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知，为偶函数，
设的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，，
由图象可得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故选项A错误，选项Ｄ错误；
由的图象可知，在左右的函数值是变化的，不同的，而选项C中，的图象在左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数为定值，故选项C错误，选项B正确．
故选：B.
4．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
【答案】C
【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，故正确，
故选：
高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数在内单调递增，则在恒成立，
即在上恒成立，
又，
所以，
即.
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x2＋ax＋在[，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[－1，0] B．[－1，＋∞)
C．[0，3] D．[3，＋∞)
【答案】D
【详解】f′(x)＝2x＋a－，由于函数f(x)在[，＋∞)上是增函数，
故f′(x)≥0在[，＋∞)上恒成立.
即a≥－2x在[，＋∞)上恒成立.
设h(x)＝－2x，x∈[，＋∞)，
易知h(x)在[，＋∞)上为减，
∴h(x)max＝h()＝3，
∴a≥3.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，即恒成立，
因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为，
故选：A
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
1．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，所以，
在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，
令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，
，故实数的取值范围为．
故选：D
2．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，
∴，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，
令，则在单调递增，
，
故.
故选：D.
3．（2020·全国·高二课时练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，
∴在区间上有解(成立)，
即在区间上成立，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，
故当时，取最小值，即，
即，得．
故选：D﹒
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
1．（2020·湖北·麻城市第二中学高三阶段练习（理））若函数的递减区间为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对函数进行求导，再根据函数的减区间为，可知在上为减函数，从而可得的范围.
【详解】由题可知
因为的解集为
所以的递减区间为
又的递减区间为
所以
故选：A
2．（2020·浙江·高三阶段练习）已知函数的单调递增区间是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题可得，则的解集为，即，，可得，∴，
故选:C．
3．（2020·全国·高二课时练习（理））已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题得的解集为，
所以不等式的解集为，
所以
故选：B
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
1．（2020·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
当函数在区间上不单调时，且在内有解，
由解得或，
在内有解，即在内有解，
因为在内递减，在内递增，
所以，即，
综上所述：.
故选：C.
2．（2020·江苏省包场高级中学高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
若在内不单调，
则在内有实根，
即和的图象在内有交点，
显然在递增，
故，
故，
故选：．
3．（2020·陕西渭南·高二期末（理））已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得
当时，，在上单调递增，不满足题意
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增
要使得函数在区间上不是单调函数
则有，解得
故选：C
高频考点八：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析．
【详解】（1），
时，恒成立，在上是增函数，
时，时，，是减函数，时，，是增函数，
综上，时，在R上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；
2．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知函数．
(1)试判断函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）由题可知的定义域是，．
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．
综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)根据的取值，讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)分类讨论，答案见解析.
【详解】（1），
因为函数在点处的切线方程为，
所以，即，解得；
（2）恒成立，
当时，对恒成立，所以在R上单调递增；
当时，时，时，
所以在单调递减，在上单调递增；
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②
【详解】（1）解：函数的定义域为，
.
①当时，，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为；
②当时，且不恒为零，此时函数的增区间为；
③当时，，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数).
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由，
①当，即时，
因为恒成立，故在上为减函数；
②当，即时，
由得，或；由得，，
所以在和上为减函数，在上为增函数；
③当，即时，
由得，或；由得，，
所以在和上为减函数，在上为增函数.
综上：当时，在上为减函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数.
3．（2022·四川省合江县中学校高三阶段练习（理））已知函数.
(1)若，试讨论在上的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）解：，，
若，，有，则在上的单调递增；
若，令，得，
①当即时，
，有，则在上的单调递减，
，有，则在上的单调递增，
②当 即时，，有，则在上的单调递增，
综上所述：当时，在上的单调递增；
当时，在上的单调递减，在上的单调递增.
4．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）已知函数.
(1)若函数在处取得极大值，求a的值；
(2)设，试讨论函数的单调性.
【答案】(1)；
(2)见解析
【详解】（1），由在处取得极大值得；经检验成立
（2） ，，
i. 当时，（仅在取等号），故在递增；
ii. 当时，由得，得，故在递增，在递减；
iii. 当时，由得，得，故在递增，在递减.
5．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)当时，讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时：，令解得，
又因为当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数.
所以的极小值为.
（2），
当时，由，得或.
①若，则，故在上单调递增；
②若，则.故当时，或；
当时，.
所以在，单调递增，在单调递减.
③若，则.故当时，或；
当时，.
所以在，单调递增，在单调递减.
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（2022·江西九江·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
【详解】（1）由已知的定义域为.
令，，
有两根，
因为，，
时，，，单调递减；
时，，，单调递增.
故函数在单调递减，在单调递增.
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由，
得.
当，即时，
，在上单调递增.
当，即时，
令，得，.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，
在上单调递减.
高频考点九：函数图象与极值（点）的关系
1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．则函数的零点个数不可能为（ ）个．
x -1 0 4 5
1 2 2 1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】由导函数的图象知，函数在，上都单调递增，在，上都单调递减，
，函数有最大值，函数在处取得极小值，显然，
函数的零点个数即是直线与函数的图象交点个数，
当时，直线与函数的图象有4个交点，C可能；
当时，若，直线与函数的图象有2个交点，A可能；
若，直线与函数的图象有3个交点，B可能；
若，直线与函数的图象有4个交点，C可能，
所以函数的零点个数不可能为5个，即D不可能.
故选：D
2．（2022·全国·高二）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．下列关于的命题：
x -1 0 4 5
1 2 2 1
①函数在，4处取到极大值；
②函数在区间上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当时，函数不可能有3个零点．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：①观察导数的图象可得在，处左正右负，取得极大值，故①正确；
②函数在的导数为负，则在区间上是减函数，故②正确；
③如果当时，的最大值是2，可能是或，结合单调性可得t的最大值为5，故③错误；
④当时，令函数，即，
转化为图象交点个数可得零点个数，
当的极小值时,函数有三个零点，故④错误．
综上可得，①②正确．
故选：A．
3．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
【答案】B
【详解】由图知：当时，有、，
∴，，
又时，而则，即递增；
时，而则，即递减；
时，而则，即递增；
时，而则，即递增；
综上，、上递增；上递减.
∴函数有极大值和极小值.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（ ）
A．有极大值和极小值
B．有极大值和极小值
C．有极大值和极小值
D．有极大值和极小值
【答案】B
【详解】解：由函数图像可知，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以有极大值和极小值，
故选：B
高频考点十：求已知函数的极值（点）
1．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极大值；
【答案】(1)0
【详解】（1）当时，，且
则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以的极大值为．
2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)求函数的极值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）解：当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，
所以，即函数在区间上的值域.
（2）解：因为，，则，
当时，所以在定义域上单调递增，不存在极值；
当时令，解得或，又，
所以当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，，
在处取得极小值，，
当时令，解得或，又，
所以当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，，
在处取得极小值，，
综上可得：当时无极值，
当时，，，
当时，，．
3．（2022·青海玉树·高二期末（理））已知．
(1)若，求的单调区间与极值；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，
，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
极大值为，即小值为.
4．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，．
(1)若，求的极值；
【答案】(1)极小值为，无极大值
【详解】（1）由函数，则，．
当时，令得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数
1．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））若函数处有极大值，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数，
依题意得，即或，
时，，
当时，，当时，，
则在处取极小值，不符合条件，
时，，
当时，，当时，，
则在处取极大值，符合条件，
所以常数的值为6.
故选：D.
2．（2022·河南·高三期中（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)设分别是的极大值点与极小值点，若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
∵有两个极值点，∴有两个零点，
∴，即，解得或，
∴实数的取值范围是.
（2）由（1）知，且，
令，则，
∵，∴，∴，
即，得，
得或，
∴的取值范围为.
3．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数．
(1)若在（0，+∞）上存在极值，求a的取值范围；
【答案】(1)；
【详解】（1），
令，解得
因为，所以，所以，
所以，经检验当时，存在极值，
故a的取值范围是.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
【答案】(1)
（1）
由题得，其中，
当时，，单调递增，无极值；
当时，令，解得或；令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，
所以当时，取得极小值，
所以，解得.
高频考点十二：函数的最值问题
1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数在上有最小值，
所以函数在上先减后增，
即在上先小于0，再大于0，
令，得，
，，
故只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，
设切点，则切线方程为：，
把代入切线方程可得，故切点为，切线斜率为，
故只需.
故选：A
2．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）已知在时有极小值．
(1)求常数，的值；
(2)求在区间上的最值．
【答案】(1)，
(2)最大值为，最小值为
【详解】（1）由，得，
在时有极小值，，
，解得或，
经检验，当，时，符合题意，
，．
（2）由（1）知，，
令，则或，，
当或时，，
当时，；
函数在和上单调递增，上单调递减；
的极大值为，极小值为，
又，；，，
的最大值为，最小值为.
3．（2022·上海市松江二中高二期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
【答案】(1)答案见详解
(2)或
【详解】（1）由得，当时，，故在上单增；
当时，令，解得，
时，，单增；
时，，单减；
时，，单增；
综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增；
（2）由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故；
当时，令，解得，
和时，，单增；
时，，单减；
故最大值在或处取到，，
解得（舍去），，解得舍去；
当，即时，时，，单增；时，，单减，
故，解得，故；
当时，即时，时，，单减，
故，解得（舍去），
综上所述，或
4．（2022·四川省隆昌市第七中学高三阶段练习（文））已知函数.
(1)若，曲线在处的切线过点，求的值；
(2)若，求在区间上的最大值.
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）解：当时，，，
，，
所以，曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
整理可得，解得或.
（2）解：因为且，，则，
①当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增，当时，；
②当时，，当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，
故当时，.
综上所述，当时，.
5．（2022·贵州毕节·高三期中（文））已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.
【答案】(1)；
(2)1
【详解】（1）当时，，则，
令得.
若，则；若，则.
所以；
（2）（法一）由，可得在上恒成立.
令，则，
令，则，因此在上为减函数.
而，可知在区间上必存在，使得满足，且在上单调递增，在上单调递减.
由于，而，故，
由，可知，
所以，因此整数a的最小值为1.
（法二）由，可得，当时，，则，即.
当时，令，则，
则在上单调递增，所以，所以成立.
因此整数a的最小值为1.
6．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）已知，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上的最小值是，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
所求切线的斜率为，切点为，
所求切线的方程为，即．
（2）假设存在实数a，使有最小值3，
①当时，在上单调递减，故，解得（舍去），
所以此时不存在符合题意的实数a；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，满足条件；
③当，即时，在上单调递减，
故，解得（舍去），
所以此时不存在符合题意的实数a．
综上，存在实数，在区间上的最小值是．
高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题
1．（2022·广东·惠州市光正实验学校高三阶段练习）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由得
且，
两边同时除以x得，
两边同时除以得，
即，
设函数，则，
当时，，递增．
若，则,
若，有，
于是得，
，
设，则，
当时，，递减，
，
，
，
．
若，，，符合题意，
．
综上：．
故选：A．
2．（2022·湖北·高三期中）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________.
【答案】
【详解】由，
令，
即对任意恒成立，
易知时为增函数，
且时，时，
故存在使得，即，
所以时为减函数，
时为增函数，
所以
所以，
即，
所以，，
故答案为：
3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数，其中，设为的导函数.
(1)若，证明：；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由题设，则，
所以，令，故，
所以在R上单调递增，而，
故上，上，
则上递减，上递增，故，得证.
（2）由，则，
由（1）知：上，故在上递增，
所以，而，
当时，即，趋向时趋向，故使，
所以上，递减，上，递增，
故，不满足恒成立；
当时，即，故在上，
所以上递增，此时恒有，满足恒成立；
综上，时，时恒成立.
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数，的值；
(2)设函数的两个极值点为，且，若恒成立，求满足条件的的最大整数值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），因为在切线方程上，
所以，解得：，
所以，所以，
解得：.
（2）由（1）知，，
的定义域为，
则，
由，得，
因为（）是函数的两个极值点，
所以方程有两个不相等的正实根，
所以，，
所以，
因为，所以，解得或，
因为，所以，
所以
令，则
，
所以在上单调递减，
所以当时，取得最小值，即，
所以，
所以实数的最大整数值为：.
5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，且，
当时，，当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，有两根－1，，
且，
，则；
，则；
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
综上可知：
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数恒成立转化为在上恒成立.
令，则，
，，，，
故在上为增函数，在上为减函数.
所以，则，又，故实数的取值范围为.
高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）
1．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，显然成立，符合题意；
当时，由，，可得，
即，，
令，，在上单增，
又，故，即，即，，即使成立，令，则，
当时，单增，当时，单减，故，故；
综上：.
故选：A.
2．（2022·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数.若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则，
当时，，函数在上单调递减，
，
若存在实数，使得不等式成立，等价于成立，
又，，
，所以.
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
为正实数，，
又函数在上单调递增，，解得
正实数的取值范围为.
故选：A.
3．（2022·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，其中，若不等式有解，则______
【答案】2
【详解】不等式有解，即.
表示动点到动点间距离的平方，
其最小值即函数上的动点到直线距离的最小值的平方.
令，解得，即函数上的动点为时，
其到直线距离最小，最小值为，即，
又，此时直线只有唯一点满足题意，
即，，即.
故答案为：2
4．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数
(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；
(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1），在处取得极值，
则.
，当，
所以f（x）的减区间为 ，增区间为符合题意.
（2）由（1）知，函数
，使得不等式成立
等价于不等式在时有解
即不等式在时有解...
设
时， 而所以恒成立
即F（x）在[0，]上是增函数，则
因此a的取值范围是
5．（2022·全国·高二期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
(2)
(1)
当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
(2)
因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是.
高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题
1．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，由得，，则，令，
依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，
则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，
即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，
函数在上单调递减，在单调递增，则，
要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，
所以的取值范围.
故选：C
2．（2022·青海·海东市教育研究室高二期末（文））已知函数在上有零点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数在上有零点，
等价于关于的方程在上有解，
即在上有解.
令，则.
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，
所以，则，
即的最小值为.
故选：D.
3．（多选）（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】ACD
【详解】由已知可得的定义域为.
对于A、当时，，
则.
当或时，;当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
因为 且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于B、当时，，则.
当或时，;当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有两个交点，
故此时有且只有两个零点，故该选项不合题意.
对于C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，
又因为 ，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于D、当时，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
故选:ACD.
4．（2023·广东广州·高三阶段练习）方程有唯一的实数解，实数的取值范围为__________．
【答案】
【详解】令函数，依题意，函数有唯一零点，求导得，
当时，，无零点，
当时，，函数在上单调递增，，当且时，
，则在上存在唯一零点，因此，
当时，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
，当且仅当，即时，在上存在唯一零点，因此，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
5．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）设定义在上的函数满足，且，函数有且只有一个零点，则的取值范围为______
【答案】
【详解】，
设函数，即，
所以，
因为，所以，即，即，
于是有，
所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递增，当时，，
当时，，
函数图象如下图所示：
函数有且只有一个零点，即方程有一个实数根，
即函数的图象与直线有一个交点，如上图所示：所以，
因此的取值范围为，
故答案为：
6．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数．
(1)若存在，使得成立，求的取值范围；
(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若存在，使得成立，
则在时成立，故，
令，，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，所以，
故的取值范围为；
（2）有3个不同实数解，所以有三个不同的实数解，
令，则，
令，则，
因为，所以当或时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，，
由题意得，
故的取值范围为．
7．（2022·江苏盐城·高三期中）已知函数是常数．
(1)求函数的图象在点处的切线的方程.并证明函数的图象在直线的下方；
(2)讨论函数零点的个数．
【答案】(1)切线的方程为，证明见解析；
(2)见解析
【详解】（1），，，
所以函数的图象在点处的切线的方程为，即.
证明：令，其中；
，令得.
当时，，为增函数；当时，，为减函数；
所以有最大值，即时，，所以函数的图象在直线的下方.
（2）令，即，
由（1）知，当时，直线与曲线相切于点，此时只有一个零点；
作出简图，直线恒过.
当时，直线与的图象有且只有一个交点，即只有一个零点；
当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点；
当时，直线与的图象没有交点，即无零点.
综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.1 第五章 一元函数的导数及其应用 典型例题讲解
目录
一、基本概念回归
二、重点例题（高频考点）
高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度
高频考点二：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型，过型）
角度2：根据切线斜率求切点坐标
高频考点三：解析式中含的导数问题
高频考点四：利用相切关系求最小距离
高频考点五：求函数的单调区间
高频考点六：函数与导函数图象间的关系
高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
高频考点八：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
高频考点九：函数图象与极值（点）的关系
高频考点十：求已知函数的极值（点）
高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数
高频考点十二：函数的最值问题
高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题
高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）
高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题
一、基本概念回归
知识回顾1：函数在处的导数（瞬时变化率）
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
知识回顾2：曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
知识回顾3：导数的四则运算法则
1、两个函数和的和（或差）的导数法则：
.
2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：
；
.
3、由函数的乘积的导数法则可以得出，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
知识回顾4：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
函数在区间内可导，
(1)若，则在区间内是单调递增函数；
(2)若，则在区间内是单调递减函数；
(3)若恒有，则在区间内是常数函数．
知识回顾5：求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
知识回顾6：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
1、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
2、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间使得有解
②已知在区间上存在单调减区间使得有解
3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点
知识回顾7：极大（小）值
1、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
知识回顾8：函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度
1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________.
2．（2022·上海南汇中学高二期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．
3．（2022·安徽省皖西中学高二期末）某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是____________．
4．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））设函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
5．（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）设在处可导，下列式子与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数，且，则函数在处的切线方程是___________.
高频考点二：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型）
1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）函数在点处的切线方程为______.
2．（2022·新疆·高三期中（文））函数的图象在点处的切线方程为__________．
3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．
4．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为 __．
角度2：求切线方程(过型）
`1．（2022·河北保定·高三阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程为____________________.
2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数满足，则函数在处的切线的斜率为__________.
3．（2022·山西·高三阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为___________．
4．（2022·浙江·高三阶段练习）已知过点有三条直线与曲线相切，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为______．
6．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．
7．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）若过点可以作出3条直线与函数的图象相切，则的取值范围为_________．
高频考点三：解析式中含的导数问题
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．e
2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记函数的导函数为，且溥足，则＝______．
3．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数，则___________.
高频考点四：利用相切关系求最小距离
1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________
3．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.
高频考点五：求函数的单调区间
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
2．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．， B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．
高频考点六：函数与导函数图象间的关系
1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2007·浙江·高考真题（理））设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：
角度1：已知函数在区间上单调，求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x2＋ax＋在[，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[－1，0] B．[－1，＋∞)
C．[0，3] D．[3，＋∞)
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数
1．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高二课时练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数
1．（2020·湖北·麻城市第二中学高三阶段练习（理））若函数的递减区间为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江·高三阶段练习）已知函数的单调递增区间是，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高二课时练习（理））已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
角度4：已知函数在区间上不单调，求参数
1．（2020·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏省包场高级中学高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·陕西渭南·高二期末（理））已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点八：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
2．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知函数．
(1)试判断函数的单调性；
3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数．
(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)根据的取值，讨论函数的单调性；
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数).
(1)讨论的单调性；
3．（2022·四川省合江县中学校高三阶段练习（理））已知函数.
(1)若，试讨论在上的单调性；
4．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）已知函数.
(1)若函数在处取得极大值，求a的值；
(2)设，试讨论函数的单调性.
5．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)当时，讨论的单调性.
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（2022·江西九江·高三阶段练习（文））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））已知函数.
(1)讨论的单调性；
高频考点九：函数图象与极值（点）的关系
1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．则函数的零点个数不可能为（ ）个．
x -1 0 4 5
1 2 2 1
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·全国·高二）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．下列关于的命题：
x -1 0 4 5
1 2 2 1
①函数在，4处取到极大值；
②函数在区间上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当时，函数不可能有3个零点．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
4．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（ ）
A．有极大值和极小值
B．有极大值和极小值
C．有极大值和极小值
D．有极大值和极小值
高频考点十：求已知函数的极值（点）
1．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知函数．
(1)若，求的极大值；
2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)求函数的极值．
3．（2022·青海玉树·高二期末（理））已知．
(1)若，求的单调区间与极值；
4．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，．
(1)若，求的极值；
高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数
1．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））若函数处有极大值，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·高三期中（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)设分别是的极大值点与极小值点，若，求的取值范围.
3．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数．
(1)若在（0，+∞）上存在极值，求a的取值范围；
4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
高频考点十二：函数的最值问题
1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）已知在时有极小值．
(1)求常数，的值；
(2)求在区间上的最值．
3．（2022·上海市松江二中高二期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
4．（2022·四川省隆昌市第七中学高三阶段练习（文））已知函数.
(1)若，曲线在处的切线过点，求的值；
(2)若，求在区间上的最大值.
5．（2022·贵州毕节·高三期中（文））已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.
6．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）已知，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上的最小值是，求的值．
高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题
1．（2022·广东·惠州市光正实验学校高三阶段练习）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·高三期中）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________.
3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数，其中，设为的导函数.
(1)若，证明：；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数，的值；
(2)设函数的两个极值点为，且，若恒成立，求满足条件的的最大整数值.
5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.
高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）
1．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数.若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，其中，若不等式有解，则______
4．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数
(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；
(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.
5．（2022·全国·高二期末）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数a的取值范围.
高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题
1．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·青海·海东市教育研究室高二期末（文））已知函数在上有零点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2023·广东广州·高三阶段练习）方程有唯一的实数解，实数的取值范围为__________．
5．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）设定义在上的函数满足，且，函数有且只有一个零点，则的取值范围为______
6．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数．
(1)若存在，使得成立，求的取值范围；
(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
7．（2022·江苏盐城·高三期中）已知函数是常数．
(1)求函数的图象在点处的切线的方程.并证明函数的图象在直线的下方；
(2)讨论函数零点的个数．

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