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高二数学选择性必修第一、二册期末模拟试卷（新高考版 基础卷2）
考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·高二阶段练习（文））若直线l经过第一、三、四象限，且其倾斜角为，斜率为k，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·深圳市南头中学高二期中）设，向量且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古·包头一中高二期中（理））已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“做切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
6．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）设P为直线的动点，，为圆的两条切线，A，B为切点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列满足，则满足的的最小值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·山东·新泰市第一中学高二期中）关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
10．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）若数列对任意满足，若，则可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．（2022·山西大同·高二期中）若实数x，y满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
12．（2022·浙江金华·高三阶段练习）已知函数，，，为图象上的三点，则（ ）
A．有两个零点
B．若为极小值点，则
C．直线是曲线的切线
D．若，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·天津蓟州·高二期中）直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为___________
14．（2022·江西抚州·高二期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，若点，则的最小值为______.
15．（2022·四川省合江县中学校高三阶段练习（理））已知直线与曲线相切，则的最小值为________.
16．（2022·江苏扬州·高二期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则______；______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）已知圆，圆.
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于两点，求AB直线方程.
18．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．
19．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求侧棱的长.
20．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和.
21．（2022·山东·邹平市第一中学高三期中）已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
22．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆，椭圆上的点到两焦点的距离和为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，点为点关于轴的对称点，求面积的最大值.高二数学选择性必修第一、二册期末模拟试卷（新高考版 基础卷2）
考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意，
在数列中，
分母是以2为首项，2为公比的等比数列
分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，
∴比例系数为
∴数列的一个通项公式为：
故选：C.
2．（2022·河南·高二阶段练习（文））若直线l经过第一、三、四象限，且其倾斜角为，斜率为k，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，其斜率，直线l的倾斜角的取值范围是，
所以，，.
所以，，，D选项错误.
故选：D.
3．（2022·广东·深圳市南头中学高二期中）设，向量且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，故，故，
故，故，
故选：D.
4．（2022·内蒙古·包头一中高二期中（理））已知圆外一点，点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线l和直线MP交于点Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，半径，
由于线段的垂直平分线交直线于，
所以，
所以，
所以点的轨迹是双曲线，且，
所以点的轨迹方程为.
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“做切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【答案】B
【详解】，
，，在点的切线方程为，令解得，
，，在点的切线方程为，
令解得.
故选：B
6．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）设P为直线的动点，，为圆的两条切线，A，B为切点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得，
所以，
所以当最小时，最小，
因为，所以当最小时，最小，
当时，最小，最小值为，
所以，的最小值为，
故选：C
7．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列满足，则满足的的最小值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【详解】因为当时，，，
所以，
当时，，
所以当时，是以，的等比数列，故，
所以，
故，即，
因为，，所以，即，
所以的最小值为.
故选：A.
8．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为双曲线的离心率为2，
所以c=2a，
因为过斜率为，所以，
则，
在中，设，则，
由余弦定理得，
解得，则，
同理在中，设，则，
由余弦定理得，
解得，则，则，
所以在中，由余弦定理得，
故选：C
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·山东·新泰市第一中学高二期中）关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】AC
【详解】对于A，向量，，若，若向量，均为非零向量，则由向量垂直的性质可得；若向量，其中一个为零向量，则与不垂直，故A错误；
对于B，若对空间中任意一点，有，
因为，所以，，，四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点，，，，，由共线向量定理可知：，，三点共线，故D正确，
故选：.
10．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）若数列对任意满足，若，则可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABD
【详解】由得或，
由，若，，则
由，若，
由，若，
由可知要么为3，要么为2，可以为5，6或者4，可以为7，10，8，12，6，故不可能为9，
故选：ABD
11．（2022·山西大同·高二期中）若实数x，y满足，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】CD
【详解】由题意可得方程为圆心是 ，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点连线的斜率，
由于直线和没有交点，
故设过点的斜率存在的直线为 ，即 ，
当直线与圆相切时，圆心到该直线的距离，即 ，
可得，解得 ，
所以 ，即最大值为，最小值为
故选：
12．（2022·浙江金华·高三阶段练习）已知函数，，，为图象上的三点，则（ ）
A．有两个零点
B．若为极小值点，则
C．直线是曲线的切线
D．若，则
【答案】AC
【详解】由题设，易知：、上，即递增，上，即递减.
所以极大值为，极小值为，且，显然有两个零点，A正确，B错误；
的函数图象如下：
由上分析及图知：直线是曲线的切线，C正确；
在图象上任找两点，线段中垂线交图象于点，此时，
如上图，在图象中可取三点，其中，，，
所以，存在，D错误.
故选：AC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·天津蓟州·高二期中）直三棱柱中，，分别是的中点，，则所成角的余弦值为___________
【答案】
【详解】依题意可知两两相互垂直，
由此建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，
设所成角为，
则.
故答案为：
14．（2022·江西抚州·高二期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，若点，则的最小值为______.
【答案】##3.5
【详解】记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故答案为：.
15．（2022·四川省合江县中学校高三阶段练习（理））已知直线与曲线相切，则的最小值为________.
【答案】2
【详解】设切点为，由求导得，
因直线与曲线相切, 则，
解得，则，
而切点在直线上，即，于是得，
因此，，当且仅当时取“”，
所以当时，取最小值2 .
故答案为：2.
16．（2022·江苏扬州·高二期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则______；______.
【答案】 55
【详解】根据三角形数可知，，则，…，，
累加得，
，经检验也满足上式，故，
则；
根据正方形数可知，
当时，，
则
.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）已知圆，圆.
(1)若圆与圆外切，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于两点，求AB直线方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）圆，即，所以，
圆，所以，
因为两圆外切，所以，得，
化简得，所以.
（2）时，圆，即，
将圆与圆的方程联立，得到方程组
两式相减得公共弦的方程为：.
18．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题知，，
设右焦点，取一条渐近线，
则焦点到渐近线的距离，
，从而，
所以双曲线的方程为.
（2）解：设，，
由，得，
则，，
所以，
则中点坐标为，
代入圆，得，
所以．
19．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求侧棱的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，
所以，且，
又因为，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接、，设与相交于，
因为，，且，
所以四边形为正方形；
因为，所以点在平面的射影为的外心，
即正方形的中心，所以平面；
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），
设（），则，，，，，，
所以，，，，
设平面、的法向量分别为、，
则，即，取，
又，即，取；
因为平面与平面的夹角为，
所以，
即，所以，
即侧棱的长为.
20．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知数列的前项和为，且满足，等差数列中，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：因为，当时，解得，
当时，所以，即，
所以，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
设数列的公差为，由，，可得，解得，
所以.
（2）解：因为，即数列为递增数列，
即数列单调递减，
，，，，，，
，，，，，，
所以当时，当时，
所以，
所以
.
21．（2022·山东·邹平市第一中学高三期中）已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)；
(2)见解析.
【详解】（1）当时，，
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
又，，
整理可得曲线在点处的切线方程为；
（2），
若，由可得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，
可得或，
所以在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
综上可得：
若，
在上为增函数，在上为减函数，
当时， 在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，在 为减函数，在上为增函数.
22．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆，椭圆上的点到两焦点的距离和为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，点为点关于轴的对称点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵椭圆上的点到两焦点的距离和为，∴，∴，
∵点在椭圆上.
∴，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由，消去得，
设，
∴，解得，
，，
∴
，
令，
∴，
所以当时，△ABE面积最大，最大值为.

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