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高二数学选择性必修第一、二册期末模拟试卷（新高考版 提高卷1）
考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2022·山西·太原市第五十六中学校高二阶段练习）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据空间中四点共面可知，解得.
故选：D
2．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））数列满足，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【详解】由于，
所以，所以，
所以数列是公比的等比数列.
由于，所以，
所以.
故选：C
3．（2022·江苏·盐城中学高二期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示：
直线必过定点，
当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即，结合直线与半圆的相切可得，
当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
则.
故选：B.
4．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一点，F为C的左焦点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由题意可知，，
双曲线方程为，一条渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
，与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为，
所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为.
故选：C
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ,
所以，
由,可得，
所以,
平面,
所以,
所以,
即，
解得，
当为线段上靠近的四等分点时，平面.
故选:.
6．（2022·山西运城·高三期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，可知为等比数列，所以，故，进而，所以
，
故，即，
当为奇数时，则对任意的奇数，满足，由于单调递减，
当时，有最大值 ，所以,
当为偶数时，满足，由于单调递减， ，
综上可得 ，
同理，
故当 时， ，故，
综上：，
故选：D
7．（2022·四川省南充高级中学高二期中）已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆 与圆的公共弦所在直线为
，即，故，解得，
故直线过定点.
故选：A
8．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）设，，，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】令，则，
令，
则，
∵，∴，∴在上单调递减，
∴，即当时，恒成立，
∴当时，单调递减，
∵，∴，则，即．
，，
令，则，
当时，，单调递减，
∴，即，∴，
∴，∴．
故选：C．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·山东师范大学附中高二期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
A．上的点到直线的最小距离为
B．若点在上，则的最小值是－2
C．若点在上，则的最小值是－2
D．圆与有公共点，则的取值范围是
【答案】ABD
【详解】设
，，且，
，
化简得： ，
，
圆心 ，
所以上的点到直线的最小距离为
，故A正确.
令，即
当与圆相切时 取最值，
，
此时 或 ，
的最小值是－2，故B正确.
令即 ，
当与圆相切时 取最值，
，
此时 或 ，
的最小值是，故C错误.
因为圆，
圆心为 ，半径为 与有公共点，
所以 ，
即
解得，故D正确.
故选：ABD.
10．（2022·吉林松原·高二阶段练习）已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】因为是等差数列，，所以，
即，亦即，
所以，．
故选：ABC．
11．（2022·辽宁·沈阳二中高二期中）已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，其中．直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若存在，则的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为3c，则椭圆的离心率
【答案】AC
【详解】对A，根据椭圆的定义的周长为，故A正确；
对B，设，则，所以，，
由，即，故B错误；
对C，，根据
，则，故C正确；
对D，容易知道，的最小值为通径长度，所以，整理为，即，两边同时除以，得，解得：，或（舍），所以椭圆的离心率，故D错误.
故选：AC.
12．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知正方体中，为正方体表面及内部一点，且，其中，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，直线与所成角正弦值的最小值为
C．当时，的最小值为
D．当时，不存在点，使得平面平面
【答案】AD
【详解】解：根据正方体，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系
则，，，，，，，，
由于，所以，即
选项A：当时，所以，则，又，
则，，
即是平面的法向量，则点到平面的距离为为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确；
选项B：当时，点，所以，，
则令，则，所以
其中，则，设直线与所成角为，则，即，正弦值的取值范围为，故直线与所成角正弦值的最小值为，故B错误；
选项C：当时，点的轨迹在线段上，
将面与面铺平展开，最小值为长度，
，，故C错误；
选项D：当时，则，所以
设平面的法向量为，
则，所以
设平面的法向量为，
则，所以
若平面平面，则，
，故方程无解，即不存在点，使得平面平面，故D正确．
故选：AD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·四川省平昌中学高二阶段练习（文））已知圆与直线相交于A、B两点，则______.
【答案】2
【详解】圆，即，圆心，半径，
圆心到直线的距离为，故.
故答案为：2
14．（2022·上海·华师大二附中高三期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为______．
【答案】2
【详解】，故.
故答案为：2
15．（2022·辽宁·育明高中高二期中）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是______.
【答案】
【详解】设是的中点，则，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
设；设，
则，
设与所成角为，则，
，
整理得，
函数的开口向下，对称轴为，
所以函数在上递增，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
16．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的和的等差中项为.①若，则的表达式为__________.②设数列的前项和为，且，若对任意的实数（为自然对数的底数）和任意正整数，总有），则的最小值为__________.
【答案】 4
【详解】因为和的的等差中项为，所以①，②，
②–①得 ，
因为 ，所以 ，
由，令 ，解得 ，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以 ；
，
所以
，
因为随着n的增大而减小，,故当时，取最大值，
所以，，所以 ，
若对任意的实数（为自然对数的底数）和任意正整数，总有），则有 ，所以k的最小值为4，
故答案为：；4.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2022·新疆·乌市八中高二期中）已知圆经过坐标原点，圆心为；直线
(1)若，记为圆上的点到直线的距离，求的最大值；
(2)设直线与圆的相交弦为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题可知圆的半径为
当时，直线，
所以圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为，
即的最大值为；
（2）由直线，可得，
令，可得，即直线恒过定点，
根据圆的性质可知当直线过圆心时，，
当时，弦长最小，因为，
所以，
所以.
18．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知等差数列为递增数列，为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设数列的公差为，易知，因为，即，
即，又，故为方程的两根，解得或，
又数列为递增数列，故可得，即，解得，
故.
（2），故
即，
则，
作差可得，
即，
解得.
19．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，，．
(1)若，函数在处取得极大值，求实数a的值；
(2)若，求函数的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调增区间是和，减区间是
【详解】（1），令，解得；或，
若函数在处取得极大值，则，解得，
当时，，或，
所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.
此时函数在处取得极大值，满足题意.
故．
（2），则，
当时，和；
当时，，
所以函数的单调增区间是和，减区间是.
20．（2022·重庆市第七中学校高二期中）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
(1)证明：平面；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：正方形中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，且，又，
，又，，
，又，，
又平面，
平面；
（2）解：如图，以B为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设点，，，
，
，
设平面的法向量为，
，
令，
显然，平面的法向量为，
，
即，即
即，解得或（舍），
所以存在一点，且.
21．（2022·江苏·盐城中学高二期中）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线 的斜率分别为 ，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值
【详解】（1）（1）由题意得，解得，
故椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，，，
由得，
∴，，
由A 三点共线可知，
∴
同理可得：，
故
，
因此 为定值.
22．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）已知是函数的一个极值点．
(1)求值；
(2)判断的单调性；
(3)是否存在实数，使得关于的不等式的解集为 直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)函数在上单调递增，在上单调递减.
(3)存在，
【详解】（1），则，
，解得.
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故是函数的极大值点，满足.
（2），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
（3），
当，易知，，故.
故，满足条件.
当时，设，故，
故，即，
当时，设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，故.
，
即可以无限接近.
综上所述：.高二数学选择性必修第一、二册期末模拟试卷（新高考版 提高卷1）
考试范围：选择性必修第一册+选择性必修第二册
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2022·山西·太原市第五十六中学校高二阶段练习）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））数列满足，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2022·江苏·盐城中学高二期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一点，F为C的左焦点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西运城·高三期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川省南充高级中学高二期中）已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）设，，，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·山东师范大学附中高二期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
A．上的点到直线的最小距离为
B．若点在上，则的最小值是－2
C．若点在上，则的最小值是－2
D．圆与有公共点，则的取值范围是
10．（2022·吉林松原·高二阶段练习）已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·辽宁·沈阳二中高二期中）已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，其中．直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若存在，则的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为3c，则椭圆的离心率
12．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知正方体中，为正方体表面及内部一点，且，其中，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，直线与所成角正弦值的最小值为
C．当时，的最小值为
D．当时，不存在点，使得平面平面
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·四川省平昌中学高二阶段练习（文））已知圆与直线相交于A、B两点，则______.
14．（2022·上海·华师大二附中高三期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为______．
15．（2022·辽宁·育明高中高二期中）已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是______.
16．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的和的等差中项为.①若，则的表达式为__________.②设数列的前项和为，且，若对任意的实数（为自然对数的底数）和任意正整数，总有），则的最小值为__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2022·新疆·乌市八中高二期中）已知圆经过坐标原点，圆心为；直线
(1)若，记为圆上的点到直线的距离，求的最大值；
(2)设直线与圆的相交弦为，求的值.
18．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知等差数列为递增数列，为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
19．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，，．
(1)若，函数在处取得极大值，求实数a的值；
(2)若，求函数的单调区间．
20．（2022·重庆市第七中学校高二期中）如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.
(1)证明：平面；
(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（2022·江苏·盐城中学高二期中）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线 的斜率分别为 ，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
22．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）已知是函数的一个极值点．
(1)求值；
(2)判断的单调性；
(3)是否存在实数，使得关于的不等式的解集为 直接写出的取值范围．

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