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北京市西城区 2022—2023 学年度第一学期期末试卷
高三数学答案及评分参考 2023.1
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）B （ 2 ）A （ 3 ）C （ 4 ）B （ 5 ）D
（ 6 ）D （ 7 ）C （ 8 ）C （ 9 ）B （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 4 （12） ( x 1)2 y2 4
（13） 5 n2 6n （14） (1,2] (0 , 2 ]
（15）① ②③（选① ②③得 5 分；只选出其中 1 个得 2 分；只选出其中 2 个得 3 分）
注：（13）（14）题第一空 3 分，第二空 2 分；其中（14）题第一空答 (1,2)也正确。
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
2 x 2 x解：（Ⅰ） f (x) 2sin x (cos sin ) 3 cos2x
2 2
2sin xcos x 3 cos2x ………2 分
sin 2x 3 cos2x ………4 分
π
2sin (2x )． ………6 分
3
所以 f (x) 的最小正周期为 π． ………7 分
π π 5π
（Ⅱ）因为 0 x π ，所以 2x ． ………8 分
3 3 3
π 1
因为 f (x) 1，所以 sin (2x ) ． ………9 分
3 2
π π 7π
所以 2x ． ………11 分
6 3 6
π 3π π 3π
解得 x ，所以 x的取值范围是 ( , ) ． ………13 分
12 4 12 4
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（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）如图，在射线 AB 上取点 P ，使 AP DC ． ………1 分
由题设，得 AP//DC ，所以四边形 APCD为平行四边形．
所以 PC //AD 且 PC AD ． ………2 分
又四边形 ADEF 为平行四边形，
所以 AD//EF 且 AD EF ．
所以 PC //EF 且 PC EF ． ………3 分
所以四边形 PCEF 为平行四边形，
所以 PF //CE ． ………4 分
因为CE 平面 ABF ， PF 平面 ABF ，
所以CE// 平面 ABF ． ………5 分
（Ⅱ）（ⅰ）因为AB 平面 ADEF ，所以 AB AD , AB AF ．
又 AD AF ，所以 AB , AD , AF 两两相互垂直． ………6 分
如图建立空间直角坐标系 A x y z ，
则 A(0,0,0) ， B(2,0,0)，C(1,1,0) ， F (0,0,1) ．

所以 BC ( 1,1,0)， BF ( 2,0,1)， AB (2,0,0) ． ………7 分
m
BC 0, x y 0,
设平面 BCF 的法向量为m (x, y, z) ，则 即

2x z 0.
m BF 0,
令 x 1，则 y 1， z 2．于是m (1,1,2)． ………9 分
设直线 AB 与平面 BCF 所成角为 ，则

| m AB | 6
sin | cos m, AB | ． ………11 分
| m || AB | 6
6
所以直线 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值为 ．
6
（ⅱ）因为 AB // CD，
6
所以直线CD与平面 BCF 所成角的正弦值为 ． ………12 分
6
6
所以点 D 到平面 BCF 的距离为 d CD sin ． ………14 分
6
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（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）这 6 个月MPV 车型月度零售销量平均值为
1
x (0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4) 0.38．
6
故MPV 月度零售销量超过 x 的月份为12月， 4月，5 月． ………2 分
所以从 2021年12月至 2022 年 5 月中任选1个月份，该月MPV 零售销量超过 x 的
3
概率为 0.5． ………4 分
6
（Ⅱ）从 2022 年1月至 2022 年5 月， SUV 的月度零售销量相比上个月份增加的月份有
2个：3月和5 月．
所以 X 的所有可能取值为0,1, 2 ． ………5 分
C3 C1 C2 2 11
P(X 0) 3 ， P(X 1) 2 3
3 C C
， P(X 2) 2 3
3
．……8 分
C3 10 C3 5 C3 105 5 5
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 6 6
故 X 的数学期望 EX 0 1 2 ． ………10 分
10 5 10 5
（Ⅲ） s2 s21 2 ． ………13 分
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（19）（共 15 分）
c 1,
c 2
解：（Ⅰ）由题设， , ………3 分
a 2
a2 2 b c
2 .
解得 a 2 , b 1． ………4 分
y2
所以椭圆 E 的方程为 x2 1． ………5 分
2
（Ⅱ）直线 AB 的方程为 y kx 1．
y k x 1,
由 得 (k
2 2)x2 2kx 1 0． ………7 分
2x2 2 y 2
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
2k 4
则 x1 x2 ， y1 y2 k(x1 x2 ) 2 ． ………9 分
k 2 2 k 2 2
因为△ABC 与△ABO 的面积相等，所以点C 和点O 到直线 AB 的距离相等．
所以M 为线段OC 的中点，即四边形OACB 为平行四边形． ………11 分
设C(x0 , y0 )，则OC OA OB ． ………12 分
2k 4
所以 x0 x1 x2 ， y0 y1 y2 ．
k 2 2 k 2 2
将上述两式代入 2x2 2 ， 0 y0 2
8k 2 16
得 2． ………14 分
(k 2 2)2 (k 2 2)2
解得 k 2 ． ………15 分
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（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）当 a 0时， f (x) xex e，
所以 f (x) (1 x)ex ． ………2 分
所以 f (1) 0， f (1) 2e ．
所以曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 2ex 2e． ………4 分
（Ⅱ） f (x) 有且只有一个零点，证明如下： ………5 分
x a
f (x) 的定义域为 (0, )，且 f (x) (1 x)e ． ………6 分
x
a
因为 a 0，所以 f (x) (1 x)ex 0．
x
所以函数 f (x) 在 (0, )上单调递增． ………8 分
因为 f (1) 0，
所以 f (x) 有且只有一个零点 x 1． ………9 分
a x(1 x)ex a
（Ⅲ）当 a 0 时， f (x) (1 x)ex ．
x x
设 g(x) x(1 x)ex a ，则 g (x) (x2 3x 1)ex 0．
所以函数 g(x) 在 (0, )上单调递增． ………10 分
因为 g(0) a 0， g( a) a[1 (1 a)e a ] 0，
所以存在 x0 (0, a)，使得 g(x0 ) 0 ． ………12 分
f (x) 与 f (x) 在区间 (0, )上的情况如下：
x (0, x0 ) x0 (x0 , )
f (x) 0
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以 x (0, )， f (x)≥ f (x0 )． ………14 分
取m≤ f (x0 )，则对于任意的 x (0, )，都有 f (x)≥m成立． ………15 分
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（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ）数列 A4 不具有性质P ，数列 A5 具有性质P ． ………2 分
T5 {(1,4),(2,4),(2,5),(3,5)}． ………4 分
（Ⅱ）“T ”等价于“证明 (1,3) 与 (2,4) 两元素中至少有一个在4 T 中”． 4
假设 (1,3) 与 (2,4)两元素都不在T 中， 4
则有 | a3 a1 | 1，且 | a4 a2 | 1． ………5 分
不妨设 a ≤a ． 1 2
若 a ，则由2 a3 a3 a1 (a3 a2 ) (a2 a ) ，得1 1≤a3 a ， 1 1
这与 | a3 a1 | 1矛盾． 从而有 a ≤a ． ………7 分 2 3
同理 a ≤a ，从而有 a1 ≤ a ≤ a3 4 2 3 ≤ a4 ．
所以 | a0 a1 | | a4 a1 | (a4 a2 ) (a2 a1)≥a4 a2 1．
这与 A 具有性质 P 矛盾． 4
所以假设不成立，即T ． ………9 分 4
（Ⅲ）设ak min{a1,a2 , ,an} (2≤ k ≤n 1)，规定k 1时，a ；k n时， ． k 1 an ak +1 a1
则 a ,a ，所以 a a ． k 1 k 1 [ak ,ak 1] | k 1 k 1 |≤1
考虑数列 B 和3 : ak 1 ,ak ,ak 1 Cn 1 : a ,a , ,a ,a , ,a ， 1 2 k 1 k 1 n
由题设知，他们均具有性质 P ． ………11 分
设Tn 中元素个数的最小值为 d ，所以n dn ≥dn 1 1．
所以 dn ≥dn 1 1≥dn 2 2≥ ≥d4 n 4．
由（Ⅱ）知 d ≥1，从而 d ≥n 3． ………13 分 4 n
3
当 n 2m 1时，令 a i (i 1,2, ,m) ， am i m i (i 1,2, ,m 1) ； i
2
1
当 n 2m 时，令 ai i (i 1,2, ,m) ， am i m i (i 1,2, ,m) ，
2
此时均有 dn n 3．
所以Tn 中元素个数的最小值为 n 3 ． ………15 分
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高三数学
2023.1
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（ 1） 已知全集 U = { - 2， - 1，0，1，2，3}，集合 A = { x Z | x ≤ 2} ，则
（A）{－ 1，0，1} （B）{ － 2，2，3} （C）{ － 2， - 1，2} （D）{ －2，0，3}
（ 2） 设复数 z = 3 － i，则复数i ·z 在复平面内对应的点的坐标是
（A） （1，3） （B）（ －1，3） （C） （3，1） （D） （3， －1 ）
（ 3） 已知函数 ，则
（A）是奇函数，且在 上是增函数
（B）是奇函数，且在上是减函数
（C）是偶函数，且在上是增函数
（D）是偶函数，且在上是减函数
（ 4） 已知双曲线 C : ，则 C 的焦点到其渐近线的距离为
（A） （B） （C） 2 （D）3
（ 5） 设 ，且，则
（A） （B）
（C） （D）
（ 6） 在 △ ABC中，若 c = 4 ， b － a = 1， cos C = ，则 △ ABC的面积是
（A）1 （B） （C） （D）
（ 7）“ 空气质量指数（ AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当 AQI 大于 200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0 ~ 24 时的空气质量指数 y 随时间 t 变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展 户外活动的时长至多为
（A） 5 小时 （B） 6 小时（C） 7 小时 （D）8小时
（ 8） 设， 均为锐角，则“ ” 是“>”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（ 9）在 △ ABC中， AC = BC = 1，∠ C= 90 0 .P 为 AB 边上的动点， 则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）如图，正方形 ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直. Ω1 是正方形 ABCD 及 其内部的点构成的集合， Ω2 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合.设 AB = 1 ，给出下列三个结论：
① ，，使 MN = 2;
② ，，使 EM 土 BN;
③ ，，使 EM 与 BN 所成的角为600 .
其中所有正确结论的个数是
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）的展开式中常数项为_______.（用数字作答） ）
（12）已知抛物线的焦点为 F ，准线为l .则以点 F 为圆心，且与直线l 相切的圆 的方程是_______.
（13）已知{ an } 是等差数列， a1 = 5，且 a2 + 2， a3 + 4， a4+ 6成等比数列，则 a6 = _______; { an } 的前 n 项和 Sn =
（14）设函数= ，若 a = 2，则 的单调递增区间是_______；若 的值域为，则a的取值范围是________.
（15）人口问题是关系民族发展的大事.历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有 学者提出了“ Logistic model ”: ，其中 K ， r 0 ， x 0 均为正常数，且 K > x 0，该模型描述了人口随时间t 的变化规律.给出下列三个结论：
① x 0;
② 在上是增函数；
③ ， < K .
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若，且 > －1，求 x 的取值范围.
（17）（本小题 14 分）
如图，四边形 ABCD 为梯形， AB //CD ，四边形 ADEF 为平行四边形.
（Ⅰ）求证： CE //平面 ABF ;
（Ⅱ）若 AB ⊥平面 ADEF ， AF ⊥ AD，
AF = AD = CD= AB = 2，求：
（ⅰ）直线 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值；
（ⅱ）点 D 到平面 BCF 的距离.
（18）（本小题 13 分）
近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计， 2021年12 月至 2022 年5 月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）:
（Ⅰ）从 2021年12 月至 2022 年5 月中任选1个月份，求该月 MPV 零售销量超过这 6 个月 该车型月度零售销量平均值的概率；
（Ⅱ）从2022 年1月至2022 年5 月中任选3个月份，将其中SUV 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望 E X;
（Ⅲ）记 2021年12 月至 2022 年5 月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与 对应的 MPV 月度零售销量分别相加得到 6 个数据的方差为 ，写出 与的大小 关系.（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
如图，已知椭圆 ：的一个焦点为 F 1（0，1） ，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点F 1作斜率为 k 的直线交椭圆 E 于两点 A， B ， AB 的中点为 M .设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C .当 △ ABC与 △ ABO的面积相等时，求k 的值.
（20）（本小题 15 分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当 a = 0时， 求曲线在点（1，）处的切线方程；
（Ⅱ）当 a > 0时，判断的零点个数， 并加以证明；
（Ⅲ）当 a < 0时，证明：存在实数m ，使≥ m 恒成立.
（21）（本小题 15 分） 已知 An : a1，a2，…an， （n ≥ 4） 为有穷数列.若对任意的，都有 ≤ 1 （规定 a0 = an），则称An 具有性质 P.
设 Tn =
（Ⅰ）判断数列 A4 :1，0.1，－1.2，－0.5， A5 :1，2，2.5，1.5，2是否具有性质 P 若具有性质 P，写 出对应的集合 Tn；
（Ⅱ）若A4具有性质 P ，证明：T4 ；
（Ⅲ）给定正整数 n ，对所有具有性质 P 的数列An ，求Tn 中元素个数的最小值.

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