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1．2　集合间的基本关系
知识点一　子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B A B
子集
中的元素，就称集合 A 是集合 B 的子集 (或 B A)
如果集合 A B，但存在元素 x∈B，且 x A B
真子集
A，就称集合 A 是集合 B 的真子集
(或 B A)
如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的
集合相等 元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集 A＝B
合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等
2.Venn 图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 A A.
(2)对于集合 A，B，C，如果 A B，且 B C，那么 A C.
知识点二　空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
【题型目录】
题型一、子集、真子集
命题点 1. 判断集合的子集（真子集）的个数
命题点 2. 求集合的子集（真子集）
题型二、包含关系
命题点 1. 判断两个集合的包含关系
命题点 2. 根据集合的包含关系求参数
题型三、相等关系
命题点 1. 判断两个集合是否相等
命题点 2. 根据两个集合相等求参数
题型四、空集
题型一、子集、真子集
命题点 1. 判断集合的子集（真子集）的个数
1．定义 A B {Z | Z xy 1， x A， y B}，设集合 A＝{0，1}，集合 B＝{1，2，3}，则 A*B 集合的真子集的个
数是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
2 2．集合 y N∣y x 6，x N 的真子集的个数是______．
命题点 2. 求集合的子集（真子集）
3．已知集合 A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
(1)求 a；
(2)写出集合 A 的所有真子集．
题型二、包含关系
命题点 1. 判断两个集合的包含关系
1．判断下列表述是否正确：
（1） a {a}；( )
（2）{a} {a,b}；( )
（3）{a,b} {b,a}；( )
（4）{ 1,1} { 1,0,1}；( )
（5）0 ；( )
（6）{0} ；( )
（7） {0}；( )
（8） { 1,1}．( )
1
2．已知集合M {x | x m ,m N}，N {x | x
n 1
,n N}，则M , N 的关系为（ ）
6 2 3
A．M N B．N M C．M N D． N M
命题点 2. 根据集合的包含关系求参数
3．已知集合 A x∣x2 x 2 , B x∣a x a 1 ，若B A，则实数 a的取值集合为（ ）
A． 0,1 B． 1,0 C． 1, 2 D． 1,1
题型三、相等关系
命题点 1. 判断两个集合是否相等
1．（多选）下列各组集合中 M 与 N 表示同一集合的是（ ）
A．M 2, 1 与 N 1,2
1
B．M y y 2x2 与 N x y x 2

M x x x 2 0 N x 4 x 1 1
x
, x R C． 与 2
D．M x x 2k 1,k Z 与 N x x 4k 1,k Z
命题点 2. 根据两个集合相等求参数
b
2 2．含有三个实数的集合可表示为 a, ,1 ，也可表示为 a ,a b,0 ，求 a2021 b2022 的值．
a
题型四、空集
1．空集是任意非空集合的真子集.( )
2．（多选）给出下列四个集合，其中为空集的是（　　）
A．{ } B．{x∈R|x2+x+1＝0}
1
y
C．{（x，y）| x ，x，y∈R} D．{x∈R||x|＜0}
y x
【答案】BCD
【详解】对于 A，表示集合中的元素为空集，故 A 不是空集；
对于 B，集合中的元素为方程 x2+x+1＝0 的实根，
∵Δ＝12﹣4＝﹣1＜0，
∴方程 x2+x+1＝0 无实根，故 B 为空集；
1
对于 C，方程 x 无实数解，故 C 为空集；
x
对于 D，不等式|x|＜0 的解集是空集，故 D 为空集．
故选：BCD．
1．集合 P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q ＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q 的真子集个数为（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64
2．已知集合B x, y ∣4x 3y 12 0, x N*, y N* ，则 B 的子集个数为________
x
3．定义 A B＝{z|z＝xy y ，x∈A，y∈B}．设集合 A＝{0，2}，B＝{1，2}．
(1)求集合 A B 的所有元素之和．
(2)写出集合 A B 的所有真子集．
4．集合M {x | x 3k 2,k Z}，P {y | y 3n 1,n Z}， S {z | z 6m 1,m Z}之间的关系是（ ）
A．S 真包含于 P 真包含于M B． S P真包含于M
C．S 真包含于P M D．M P真包含于S
5．已知集合 A {x |1 x 2}，B {x | x2 ax 4 0}，若 A B，求实数 a的取值范围．
6．下列集合与集合 2021,2022 相等的是（ ）
A． 2021,2022 B． x x 2022 x 2021 0
C． 2021, 2022 D． x, y x 2021, y 2022
7．已知集合M 3, 4 , N x∣ x 3 x a 0,a R ， 若M N ， 则a （ ）
A．3 B．4 C． 3 D． 4
8．在下面的写法中：① 0 ；② 0 0,1 ；③ 0 ；④ 0,1 1,0 ；⑤ 0 ，错误的写法的序号是
______．
1．集合 a，b，c，d 的非空真子集的个数（ ）
A．16 个 B．15 个 C．14 个 D．13 个
2．以下六个写法中：① 0 0,1,2 ；② 1, 2 ；③ 0 ；④ 0,1,2 2,0,1 ；⑤ 0
；正确的个数有（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
3．设 A, B是两个集合，有下列四个结论：
①若 A B，则对任意 x A，有 x B；
②若 A B，则集合A 中的元素个数多于集合 B 中的元素个数；
③若 A B，则B A；
④若 A B，则一定存在 x A，有 x B．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．同时满足：① M 1, 2,3, 4,5 ，② a M ，则6 a M 的非空集合 M 有（ ）
A．6 个 B．7 个 C．15 个 D．16 个
M y | y 2x 1, x Z N y | y 25 ．已知集合 ， x 1, x Z ，则集合M，N 的关系是（3 3 ）
A．M =N B．M N C．M N D．M N =
6．（多选）已知集合M 2,4 ，集合M N 1,2,3,4,5 ，则集合 N 可以是（ ）
A． 2,4 B． 2,3,4 C． 1,2,3,4 D． 1,2,3,4,5
7．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合 a,b 共有 4 个子集
C．集合{x∣x 3n 1,n Z} {x∣x 3n 2,n Z}
D．集合 x∣x 1 a2 ,a N x∣x a2 4a 5, a N
8 2．集合M x x 4x 0 ，则 M 的子集个数为___________.
9．集合 A 1, 4, a2 ，B 4,a ，若 A B ，则 a的值为__________.
10．已知集合 A {x | x2 ax b 0}， B {3}，若 A B ，则实数 a b _______
11．设集合 M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和 P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么 M 与 P 的关系为________．
1 1
12．若对任意的 x A，有 A

，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M - 1,0, ,1,2 的所有非空子集中，具有伙x 2
伴关系的集合的个数为________.
13．已知集合 A x x 1 ，B x ax 1 ，若B A，则实数 a的取值范围______．
14．设 A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，写出集合 A 的所有子集．
15 2．已知集合 A x x 2x m 0 ，是否存在这样的实数 m，使得集合 A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有
的 m 的值组成的集合 M；若不存在，请说明理由.
16．已知 M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
(1)若 M N，求实数 a 的取值范围；
(2)若 M N，求实数 a 的取值范围．
17．已知集合 A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若 A 只有一个元素，试求 a 的值，并求出这个元素；
（2）若 A 是空集，求 a 的取值范围；
（3）若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围．1．2　集合间的基本关系
知识点一　子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B A B
子集
中的元素，就称集合 A 是集合 B 的子集 (或 B A)
如果集合 A B，但存在元素 x∈B，且 x A B
真子集
A，就称集合 A 是集合 B 的真子集
(或 B A)
如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的
集合相等 元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集 A＝B
合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等
2.Venn 图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 A A.
(2)对于集合 A，B，C，如果 A B，且 B C，那么 A C.
知识点二　空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
2．规定：空集是任何集合的子集．
【题型目录】
题型一、子集、真子集
命题点 1. 判断集合的子集（真子集）的个数
命题点 2. 求集合的子集（真子集）
题型二、包含关系
命题点 1. 判断两个集合的包含关系
命题点 2. 根据集合的包含关系求参数
题型三、相等关系
命题点 1. 判断两个集合是否相等
命题点 2. 根据两个集合相等求参数
题型四、空集
题型一、子集、真子集
命题点 1. 判断集合的子集（真子集）的个数
1．定义 A B {Z | Z xy 1， x A， y B}，设集合 A＝{0，1}，集合 B＝{1，2，3}，则 A*B 集合的真子集的个
数是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【详解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则 A*B 集合的真子集的个数是 24﹣1＝15 个，
故选：B
2．集合 y N∣y x2 6，x N 的真子集的个数是______．
【答案】7
【详解】由 x2 6 0得， 6 x 6 ，又 x N ，所以 x 0,1,2，
x 0时， y 6 N， x 1时， y 5 N ， x 2时， y 2 N，
所以原集合为{0,1,2}，有 3 个元素，真子集个数为 23 1 7 ．
故答案为：7．
命题点 2. 求集合的子集（真子集）
3．已知集合 A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A．
(1)求 a；
(2)写出集合 A 的所有真子集．
3
(1)a (2)
7
【答案】 ； ，
2
，{﹣3} ．
2
【详解】(1)∵A＝{a﹣2，2a2+5a}，且﹣3∈A，
∴a﹣2＝﹣3 或 2a2+5a＝﹣3，
①若 a﹣2＝﹣3，a＝﹣1，2a2+5a＝﹣3，故不成立，
3
②若 2a2+5a＝﹣3，a＝﹣1 或 a ，
2
由①知 a＝﹣1 不成立，
3 7
若 a ，a﹣2 ，2a2+5a＝﹣3，成立，
2 2
3
故 a ；
2
(2)∵ A
7
， 3

2
，

∴A
7
的真子集有 ， ，{﹣3}．
2
题型二、包含关系
命题点 1. 判断两个集合的包含关系
1．判断下列表述是否正确：
（1） a {a}；( )
（2）{a} {a,b}；( )
（3）{a,b} {b,a}；( )
（4）{ 1,1} { 1,0,1}；( )
（5）0 ；( )
（6）{0} ；( )
（7） {0}；( )
（8） { 1,1}．( )
【答案】 不正确 不正确 正确 正确 不正确 不正确 正确 正确
【详解】
（1）因为a {a}，所以 a {a}错误，故（1）不正确；
（2）因为{a} {a,b}，所以{a} {a,b}错误，故（2）不正确；
（3）因为{a,b} {b,a}，所以{a,b} {b, a}正确，故（3）正确；
（4）因为{ 1,1} { 1,0,1}，所以（4）正确；
（5）因为0 ，所以0 错误，故（5）不正确；
（6）因为 {0}，所以{0} 错误，故（6）不正确；
（7）因为空集是任何集合的子集，所以 {0}正确，所以（7）正确；
（8）因为空集是任何非空集合的真子集，所以 { 1,1}正确，故（8）正确．
故答案为：（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确；（5）不正确；（6）不正确；（7）正确；（8）
正确．
1
2．已知集合M {x | x m ,m N}，N
n 1
{x | x ,n N}，则M , N 的关系为（ ）
6 2 3
A．M N B．N M C．M N D． N M
【答案】C
M {x | x 3 2m 1 3n 2 3n 1 1【详解】因为 ,m N}， N {x | x ,n N}，
6 6 6
所以 M N.
故选：C．
命题点 2. 根据集合的包含关系求参数
3．已知集合 A x∣x2 x 2 , B x∣a x a 1 ，若B A，则实数 a的取值集合为（ ）
A． 0,1 B． 1,0 C． 1, 2 D． 1,1
【答案】D
2 a 1
【详解】 A x∣x x 2 x∣ x 2 x 1 0 1,2 ，因为B A，故 1 a 1
a 1 2
，解得
故选：D
题型三、相等关系
命题点 1. 判断两个集合是否相等
1．（多选）下列各组集合中 M 与 N 表示同一集合的是（ ）
A．M 2, 1 与 N 1,2
1
B 2．M y y 2x 与 N x y x 2

x
C．M x x x 2 0 与 N x 4 x 1 1 , x R
2
D．M x x 2k 1,k Z 与 N x x 4k 1,k Z
【答案】BCD
【详解】对 A：因为M , N 集合中的元素对应不同的两个点，故集合不相等；
1
对 B：因为 y 2x2 0，故集合M 0, ； y x 2 x ，其定义域为 0, ，
即 N 0, ，故M N ；
对 C： x x 2 0，解得 x 2或 x 0，
又当 x 0时， x 2 0不满足题意，舍去；即M 2 ；
x
4 x 1 1 ，即 2 2x 2 2 x ， 2x 2 x，解得 x 2，故 N 2 ，则M N ；
2
对 D：集合M , N 均表示奇数构成的集合，故M N .
故选：BCD.
命题点 2. 根据两个集合相等求参数
b
2．含有三个实数的集合可表示为 a, ,1 ，也可表示为 a2 ,a b,0 ，求 a2021 b2022 的值．
a
【答案】 1

【详解】由 a,
b ,1
a ，可得 a 0，a 1（否则不满足集合中元素的互异性）．

a a b, a a2 ,
2 a 1, a 1,
所以 1 a , ，或 1 a b,解得 b 或 0 b 0.
．
b 0 b 0,
a a
经检验 a 1，b 0满足题意．
所以 a2021 b2022 1 2021 1．
题型四、空集
1．空集是任意非空集合的真子集.( )
【答案】正确
【详解】空集元素个数为零，比任何非空集合元素都少，故规定空集是任意非空集合的真子集﹒
故答案为：正确
2．（多选）给出下列四个集合，其中为空集的是（　　）
A．{ } B．{x∈R|x2+x+1＝0}
1
y
C．{（x，y）| x ，x，y∈R} D．{x∈R||x|＜0}
y x
【答案】BCD
【详解】对于 A，表示集合中的元素为空集，故 A 不是空集；
对于 B，集合中的元素为方程 x2+x+1＝0 的实根，
∵Δ＝12﹣4＝﹣1＜0，
∴方程 x2+x+1＝0 无实根，故 B 为空集；
1
对于 C，方程 x 无实数解，故 C 为空集；
x
对于 D，不等式|x|＜0 的解集是空集，故 D 为空集．
故选：BCD．
1．集合 P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q ＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q 的真子集个数为（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64
【答案】B
【详解】根据题意得，P*Q (3,6), (3,7), (4,6), (4,7), (5,6), (5,7) ，则P*Q 中有 6 个元素，
∴ P*Q 的真子集个数为 26﹣1＝63 个．
故选：B．
2．已知集合B x, y ∣4x 3y 12 0, x N*, y N* ，则 B 的子集个数为________
【答案】8
【详解】由B x, y ∣4x 3y 12 0, x N*, y N* ，得B 1，1 ， 1，2 ， 2，1 .
所以 B 中含有3个元素，集合 B 的子集个数有 23 8 ．
故答案为：8 .
x
3．定义 A B＝{z|z＝xy y ，x∈A，y∈B}．设集合 A＝{0，2}，B＝{1，2}．
(1)求集合 A B 的所有元素之和．
(2)写出集合 A B 的所有真子集．
【答案】(1)9；(2) ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}
【详解】(1)因为 A B＝{0，4，5}，所以集合所有元素和 9
(2) ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}共 7 种可能．
4．集合M {x | x 3k 2,k Z}，P {y | y 3n 1,n Z}， S {z | z 6m 1,m Z}之间的关系是（ ）
A．S 真包含于 P 真包含于M B． S P真包含于M
C．S 真包含于P M D．M P真包含于S
【答案】C
【详解】 M {x | x 3k 2,k Z}，P {y | y 3n 1,n Z}， S {y | y 6m 1, m Z}，
M 8, 5, 2,1,4,7,10,13,16 ，P 8, 5, 2,1,4,7,10,13,16 ， S 1,7,13,19,25, ，
S 真包含于P M ，
故选：C．
5．已知集合 A {x |1 x 2}，B {x | x2 ax 4 0}，若 A B，求实数 a的取值范围．
【答案】 a ，4
【详解】集合 A {x |1 x 2}，B {x | x2 ax 4 0}，
若 A B ， B 一定非空，
若 a2 16 0，得 4 a 4，B R ， A B 成立，
若 0，即 a 4或者 a 4，设 f x x2 ax 4，
(1) f 1 1 a 4 5 a 0，
a
即 a 5，对称轴 0，所以 a 4，
2
(2) f 2 8 2a 0，
a 4 a即 ，对称轴 2，不成立，
2
综上， a ，4 ．
6．下列集合与集合 2021,2022 相等的是（ ）
A． 2021,2022 B． x x 2022 x 2021 0
C． 2021, 2022 D． x, y x 2021, y 2022
【答案】B
【详解】 2021,2022 、 x, y | x 2021, y 2022 都表示一个元素的集合，给出的集合有两个元素，A、D 不符；
2021,2022 表示有无数个元素的集合，D 也不符合； x x 2022 x 2021 0 2021,2022 ，故 B 符合题意；
故选：B.
7．已知集合M 3,4 , N x∣ x 3 x a 0,a R ， 若M N ， 则a （ ）
A．3 B．4 C． 3 D． 4
【答案】D
【详解】因为M 3,4 且M N ，所以3 N ，且 4 N ，
又 N x∣ x 3 x a 0,a R ，
所以 x 3和 x 4为方程 x 3 x a 0的两个实数根，所以 a 4 ；
故选：D
8．在下面的写法中：① 0 ；② 0 0,1 ；③ 0 ；④ 0,1 1,0 ；⑤ 0 ，错误的写法的序号是
______．
【答案】②③⑤
【详解】
①，空集是任何非空集合的真子集，①正确.
②，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，②错误.
③，空集没有任何元素，③错误.
④，根据集合元素的无序性可知④正确.
⑤，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，⑤错误.
故答案为：②③⑤
1．集合 a，b，c，d 的非空真子集的个数（ ）
A．16 个 B．15 个 C．14 个 D．13 个
【答案】C
【详解】 集合 a,b,c, d 有 4个元素， 则集合 a,b,c, d 有24 16个子集，故集合 a,b,c, d 的非空真子集的个数
为14 .
故选：C．
2．以下六个写法中：① 0 0,1,2 ；② 1, 2 ；③ 0 ；④ 0,1,2 2,0,1 ；⑤ 0 ；正确的个数有
（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】B
【详解】
对于①：是集合与集合的关系，应该是 0 0,1, 2 ， ①不对；
对于②：空集是任何集合的子集， 1, 2 ， ②对；
对于③： 是一个集合，是集合与集合的关系， 0 ， ③不对；
对于④：根据集合的无序性可知 0,1,2 2,0,1 ， ④对；
对于⑤： 是空集，表示没有任何元素，应该是0 ， ⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
3．设 A, B是两个集合，有下列四个结论：
①若 A B，则对任意 x A，有 x B；
②若 A B，则集合A 中的元素个数多于集合 B 中的元素个数；
③若 A B，则B A；
④若 A B，则一定存在 x A，有 x B．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】对于①，不一定，比如 A 1,2,4 , B 1,2,3 ，故①错误；
②若 A B，不一定，比如 A 1,2,4 , B 1, 2,3,5,6 ，故②错误；
③若 B A，则 A B，但B A不成立，故③错误；
④若 A B，则一定存在 x A，有 x B，故④正确．
所以正确结论的个数为1个，
故选：D.
4．同时满足：① M 1, 2,3, 4,5 ，② a M ，则6 a M 的非空集合 M 有（ ）
A．6 个 B．7 个 C．15 个 D．16 个
【答案】B
【详解】 a 1时， 6 a 5； a 2时， 6 a 4； a 3时， 6 a 3； a 4时，6 a 2； a 5，6 a 1，
∴非空集合 M 为 3 ， 1,5 ， 2,4 ， 1,3,5 ， 2,3,4 ， 1,2,4,5 ， 1,2,3,4,5 ，共 7 个．
故选：B
M y | y 2x 1 25．已知集合 , x Z

， N
y | y x 1, x Z ，则集合M，N 的关系是（ ）
3
3
A．M =N B．M N C．M N D．M N =
【答案】A
M , 3 , 1 , 1 , 3 , 5 , 7 , N , 3 , 1 , 1 , 3 5 7 【详解】 ， , , , M =N
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
，发现 ，

故选：A．
6．（多选）已知集合M 2,4 ，集合M N 1,2,3,4,5 ，则集合 N 可以是（ ）
A． 2,4 B． 2,3,4 C． 1,2,3,4 D． 1,2,3,4,5
【答案】ABC
【详解】因为集合M 2,4 ，
对于 A： N 2,4 满足M N 1,2,3,4,5 ，所以选项 A 符合题意；
对于 B： N 2,3,4 满足M N 1,2,3,4,5 ，所以选项 B 符合题意；
对于 C： N 1,2,3,4 满足M N 1,2,3,4,5 ，所以选项 C 符合题意；
对于 D： N 1,2,3,4,5 不是 1,2,3,4,5 的真子集，故选项 D 不符合题意，
故选：ABC.
7．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合 a,b 共有 4 个子集
C．集合{x∣x 3n 1,n Z} {x∣x 3n 2,n Z}
D．集合 x∣x 1 a2 ,a N x∣x a2 4a 5, a N
【答案】BC
【详解】
对 A，空集不是它自身的真子集，故 A 错误；
对 B，因为集合 a,b 中有 2 个元素，所以有 22 4个子集，故 B 正确；
对 C，因为两个集合中的元素均为被 3 除余 1 的所有整数，所以两个集合相等，故 C 正确；
对 D，因为 x a2 4a 5 (a 2)2 1，当 a 2时， x 1，所以1 x∣x a2 4a 5,a N ，但
1 x∣x 1 a2 ,a N ，故两个集合不相等，故 D 错误.
故选：BC.
8 2．集合M x x 4x 0 ，则 M 的子集个数为___________.
【答案】4
2
【详解】M x x 4x 0 0,4 ，则 M 的子集个数为 22 4 .
故答案为：4.
9．集合 A 1, 4, a2 ，B 4,a ，若 A B ，则 a的值为__________.
【答案】0
【详解】因为 A B ，所以 a A，显然 a 4，
若 a 1，则 a2 1与集合元素的互异性矛盾，舍去；
若 a a2，则 a 0或 a 1（舍去），
综上， a 0．
故答案为：0．
10．已知集合 A {x | x2 ax b 0}， B {3}，若 A B ，则实数 a b _______
【答案】3
【详解】因为 A B {3}，所以方程 x2 ax b 0 有且只有一个实数根 x 3，
a2 4b 0
所以 ，解得 a 6,b 9 . 所以 a b 3
3a b 9 0
故答案为：3
11．设集合 M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和 P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么 M 与 P 的关系为________．
【答案】M＝P
【详解】因为 xy>0，所以 x，y 同号，又 x＋y<0，所以 x<0，y<0，即集合 M 表示第三象限内的点，而集合 P 表示
第三象限内的点，故 M＝P.
1 1
12．若对任意的 x A，有 A，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M - 1,0, ,1,2 的所有非空子集中，具有伙x 2
伴关系的集合的个数为________.
【答案】 7
1 1
【详解】因为 x A，则 A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M 1,0, ,1,2x
，
2
1 , 1 , 1 , 2 所以具有伙伴关系的集合有 , 1,1 , 1 1 1, , 2 , 1, , 2 , 1,1, 1 ,2 共 7 个.
2 2

2 2


故答案为： 7
13．已知集合 A x x 1 ，B x ax 1 ，若B A，则实数 a的取值范围______．
【答案】 0，1
【详解】 a 0时，B ，满足B A，
1
a 0时，B {x | x }，不满足B A，
a
a 0时，B {x | x
1 1
}，由B A得 1，解得0 a 1．
a a
综上，0 a 1．
故答案为：[0,1]．
14．设 A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，写出集合 A 的所有子集．
【答案】 ，{1}，{2}，{1，2}．
【详解】∵A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
∴集合 A 的所有子集是： ，{1}，{2}，{1，2}．
15 A x x2．已知集合 2x m 0 ，是否存在这样的实数 m，使得集合 A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有
的 m 的值组成的集合 M；若不存在，请说明理由.
【答案】存在， 1
【详解】存在实数 m 满足条件，理由如下：
若集合 A 有且仅有两个子集，则 A 有且仅有一个元素，
即方程 x2 2x m 0只有一个根，
∴ 22 4m 0，解得m 1.
∴所有的 m 的值组成的集合M 1 .
16．已知 M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
(1)若 M N，求实数 a 的取值范围；
(2)若 M N，求实数 a 的取值范围．
【答案】(1)a∈ ；(2)a≤3
a 1 2
【详解】(1)∵M N，∴ 2a 1 5，∴a∈ ；
(2)①若 N＝ ，即 a+1＞2a﹣1，解得 a＜2 时，满足 M N．
②若 N≠ ，即 a≥2 时，要使 M N 成立，
a 1 2
则 2a 1 5，解得 1≤a≤3，此时 2≤a≤3．
综上 a≤3．
17．已知集合 A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若 A 只有一个元素，试求 a 的值，并求出这个元素；
（2）若 A 是空集，求 a 的取值范围；
（3）若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围．
【详解】（1）若 A 中只有一个元素，则方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个实根，
当 a=0 1时，方程为一元一次方程，满足条件，此时 x=- 2 ，
当 a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时 x=-1，
（2）若 A 是空集，
则方程 ax2+2x+1=0 无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若 A 中至多只有一个元素，
则 A 为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的 a 的取值范围是：a=0 或 a≥1.

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