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专题01 常用逻辑用语（知识梳理）
一、命题与量词
1、命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题的分类：①真命题：判断为真的语句叫做真命题；
②假命题：判断为假的语句叫做假命题。
一个命题要么是真，要么是假。数学中的定义、公理、定理等都是真命题。
3、全称量词：短语“所有”、“任意”、“每一个”、“一切”等在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题称为全称命题。
4、存在量词与存在性命题：短语“有一个”、“存在一个”、“至少有一个”、“有的”、“有些”、“某个”等在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中叫做存在量词，并用符号“”表示，读作“存在”。存在量词的命题称为存在性命题。
5、基本逻辑联结词：“或()”、“且()”、“非()”这些词叫做逻辑联结词。
(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
(2)复合命题的构成形式：①或；②且；③非 (即命题的否定)。
(3)复合命题的真假判断(利用真值表)：
非() 非() 或() 且()
真 真 假 假 真 真
真 假 假 真 真 假
假 真 真 假 真 假
假 假 真 真 假 假
例1-1．判断下列语句是否为命题，并说明理由。
①。
②梯形是不是平面图形呢？
③若与是无理数，则是无理数。
④这盆花长得太好了！
⑤若，则。
【解析】①不是命题，∵变量的值没有给定，不能判断真假。
②不是命题，疑问句不是命题。
③是命题，∵此语句是陈述句且是假的。(反例)
④不是命题，感叹句不是命题。
⑤是命题，∵此语句是陈述句且是真的。
变式1-1．判断下列语句是不是命题，并说明理由。
(1)函数()是指数函数。
(2)。
(3)函数是周期函数吗？
(4)集合有个子集。
【解析】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题。
(2)不是命题，不能判断真假。
(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假。
(4)是命题。∵集合有个子集，∴集合有个子集为假命题。
例1-2．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假。
(1)当时，。
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。
(3)同弧所对的圆周角不相等。
【解析】(1)若，则，假命题。
(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题；
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题。
变式1-2．将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假。
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行。
(2)负数的立方是负数。
(3)对顶角相等。
【解析】(1)若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行。它是假命题。
(2)若一个数是负数，则这一个数的立方是负数。它是真命题。
(3)若两个角是对顶角，则这两个角相等。它是真命题。
例1-3．下列命题中的假命题是( )。
A、， B、，
C、， D、，
【答案】C
【解析】∵当，，∴C为假命题。
变式1-3．以下四个命题：：，；：，；：，；：；其中是假命题的是( )。
A、、 B、、 C、、 D、、
【答案】A
【解析】，，故是假命题，
当时，，故是真命题，
当时，，
故是真命题，
当、时，，但，故是假命题，
故选A。
例1-4．命题“对任意的，”的否定是( )。
A、不存在， B、存在，
C、存在， D、对任意的，
【答案】C
【解析】“对任意的，”的否定是：存在，，故选C。
变式1-4．命题“，”的否定是( )。
A、， B、，
C、， D、，
【答案】C
【解析】“，”的否定是：，，故选C。
例1-5．若是真命题，是假命题，则( )。
A、是真命题 B、是假命题 C、是真命题 D、是真命题
【答案】D
【解析】若真假，则为假，为真，为假，为真，故选D。
变式1-5．已知命题：、为直线，为平面，若，，则；命题：若，则，则下列命题为真命题的是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】命题：当、时，有可能，则为假命题，
命题：若，当时，，则为假命题，
则为假，为假，为假，为真，故选D。
二、四种命题的关系
1、四种命题的形式：用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，则四种命题的形式为：①原命题：若则；②逆命题：若则；③否命题：若则；④逆否命题：若则。
(1)原命题逆否命题，它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一。
(2)逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径。
除以上两点之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系。
2、否命题与否定命题的区别：
“否命题”与“命题的否定”这两个概念，如果原命题是“若则”，那么这个命题的否命题是“若非，则非”，而这个命题的否定是“若则非”。可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。
命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。
得到一个问题的否命题很容易，把限定词，条件，结论全部否定就可以了。
例如：所有自然数的平方都是正数。
原命题的标准形式：任意，(若是自然数，则是正数)。
原命题的否定命题：任意，(若是自然数，则是非正数)。
原命题的否命题：存在，(若不是自然数，则不是正数)。
原命题的逆否命题：任意，(若不是正数，则不是自然数)
例2-1．全称命题“，是整数”的逆命题是( )。
A、若是整数，则 B、若是奇数，则
C、若是偶数，则 D、若能被3整除，则
【答案】A
【解析】逆命题为：若是整数，则，故选A。
变式2-1．命题“若，则”的逆否命题是( )。
A、若，则或 B、若，则
C、若或，则 D、若或，则
【答案】D
【解析】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故选D。
例2-2．写出下列命题的否定形式与否命题，并判断真假：
(1)若，则、。
(2)若，则、中至少有一个为。
(3)若，则、中至多有一个大于。
【解析】(1)否定：若，则或(假)；否命题：若，则或(真)。
(2)否定：若，则、都不为(假)；否命题：若，则、都不为(真)。
(3)否定：若，则、都大于(假)；否命题：若，则、都大于(假)。
变式2-2．下列选项中，说法正确的是( )。
A、命题“若，则”的逆命题是真命题
B、设、是向量，命题 “若，则”的否命题是真命题
C、命题“”为真命题，则命题和均为真命题
D、命题“，”的否定是“，”
【答案】D
【解析】“若，则”的逆命题是“若，则”，当时逆命题不成立，
∴命题“若，则”的逆命题是假命题，A错，
“若，则”的否命题是“若，则”，
当时，否命题不成立，∴命题“若，则”的否命题是假命题，B错，
命题“”为真命题，则命题和可能一真一假，C错，
命题“，”的否定是“，”，D对，故选D。
三、充分条件与必要条件
1、定义：对于“若则”形式的命题：
　　从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件与结论之间的关系。
(1)若，则是的充分条件，是的必要条件；
(2)若但 ，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
(3)若且 ，则是成立的必要不充分条件；
(4)若既有，又有，记作，则是的充分必要条件(充要条件)。
(5)若 且 ，则是成立的既不充分也不必要条件。
2、从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系。
建立与、相应的集合，即：，：。
(1)若，则是的充分条件，若，则是q成立的充分不必要条件；
(2)若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；
(3)若，则是成立的充要条件；
(4)若且，则是成立的既不充分也不必要条件。
例3-1．“”是“”的 ( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】或，故“”是“”的充分不必要条件，故选A。
变式3-1．设：或；：或，则是的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】：，：，，但 ，∴是的充分不必要条件。
例3-2．已知命题：，命题：，且是的充分而不必要条件，则的取值范围为 。
【答案】
【解析】：，：，
∵是的充分而不必要条件，∴解得，
经验证或时，是的充分而不必要条件，故的取值范围为。
变式3-2．“”是“函数在上单调递减”的( )。
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵“函数在上单调递减”，
∴“”是“函数在上单调递减”的必要不充分条件，故选B。专题01 常用逻辑用语（知识梳理）
一、命题与量词
1、命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题的分类：①真命题：判断为真的语句叫做真命题；
②假命题：判断为假的语句叫做假命题。
一个命题要么是真，要么是假。数学中的定义、公理、定理等都是真命题。
3、全称量词：短语“所有”、“任意”、“每一个”、“一切”等在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题称为全称命题。
4、存在量词与存在性命题：短语“有一个”、“存在一个”、“至少有一个”、“有的”、“有些”、“某个”等在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中叫做存在量词，并用符号“”表示，读作“存在”。存在量词的命题称为存在性命题。
5、基本逻辑联结词：“或()”、“且()”、“非()”这些词叫做逻辑联结词。
(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
(2)复合命题的构成形式：①或；②且；③非 (即命题的否定)。
(3)复合命题的真假判断(利用真值表)：
非() 非() 或() 且()
真 真 假 假 真 真
真 假 假 真 真 假
假 真 真 假 真 假
假 假 真 真 假 假
例1-1．判断下列语句是否为命题，并说明理由。
①。
②梯形是不是平面图形呢？
③若与是无理数，则是无理数。
④这盆花长得太好了！
⑤若，则。
变式1-1．判断下列语句是不是命题，并说明理由。
(1)函数()是指数函数。
(2)。
(3)函数是周期函数吗？
(4)集合有个子集。
例1-2．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假。
(1)当时，。
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。
(3)同弧所对的圆周角不相等。
变式1-2．将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假。
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行。
(2)负数的立方是负数。
(3)对顶角相等。
例1-3．下列命题中的假命题是( )。
A、，
B、，
C、，
D、，
变式1-3．以下四个命题：：，；：，；：，；：；其中是假命题的是( )。
A、、
B、、
C、、
D、、
例1-4．命题“对任意的，”的否定是( )。
A、不存在，
B、存在，
C、存在，
D、对任意的，
变式1-4．命题“，”的否定是( )。
A、，
B、，
C、，
D、，
例1-5．若是真命题，是假命题，则( )。
A、是真命题
B、是假命题
C、是真命题
D、是真命题
变式1-5．已知命题：、为直线，为平面，若，，则；命题：若，则，则下列命题为真命题的是( )。
A、
B、
C、
D、
二、四种命题的关系
1、四种命题的形式：用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，则四种命题的形式为：①原命题：若则；②逆命题：若则；③否命题：若则；④逆否命题：若则。
(1)原命题逆否命题，它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一。
(2)逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径。
除以上两点之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系。
2、否命题与否定命题的区别：
“否命题”与“命题的否定”这两个概念，如果原命题是“若则”，那么这个命题的否命题是“若非，则非”，而这个命题的否定是“若则非”。可见，否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。
命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。
得到一个问题的否命题很容易，把限定词，条件，结论全部否定就可以了。
例如：所有自然数的平方都是正数。
原命题的标准形式：任意，(若是自然数，则是正数)。
原命题的否定命题：任意，(若是自然数，则是非正数)。
原命题的否命题：存在，(若不是自然数，则不是正数)。
原命题的逆否命题：任意，(若不是正数，则不是自然数)
例2-1．全称命题“，是整数”的逆命题是( )。
A、若是整数，则
B、若是奇数，则
C、若是偶数，则
D、若能被3整除，则
变式2-1．命题“若，则”的逆否命题是( )。
A、若，则或
B、若，则
C、若或，则
D、若或，则
例2-2．写出下列命题的否定形式与否命题，并判断真假：
(1)若，则、。
(2)若，则、中至少有一个为。
(3)若，则、中至多有一个大于。
变式2-2．下列选项中，说法正确的是( )。
A、命题“若，则”的逆命题是真命题
B、设、是向量，命题 “若，则”的否命题是真命题
C、命题“”为真命题，则命题和均为真命题
D、命题“，”的否定是“，”
三、充分条件与必要条件
1、定义：对于“若则”形式的命题：
　　从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件与结论之间的关系。
(1)若，则是的充分条件，是的必要条件；
(2)若但 ，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
(3)若且 ，则是成立的必要不充分条件；
(4)若既有，又有，记作，则是的充分必要条件(充要条件)。
(5)若 且 ，则是成立的既不充分也不必要条件。
2、从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系。
建立与、相应的集合，即：，：。
(1)若，则是的充分条件，若，则是q成立的充分不必要条件；
(2)若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；
(3)若，则是成立的充要条件；
(4)若且，则是成立的既不充分也不必要条件。
例3-1．“”是“”的 ( )。
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
变式3-1．设：或；：或，则是的( )。
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
例3-2．已知命题：，命题：，且是的充分而不必要条件，则的取值范围为 。
变式3-2．“”是“函数在上单调递减”的( )。
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件

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