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专题 圆锥曲线与方程（知识梳理）
一、曲线和方程的定义
1、一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解。
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
2、“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可。
(1)“曲线上的点的坐标都是方程的解”，即纯粹性。
(2)“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性。
这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则。
二、两曲线的交点
1、由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点。
直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于的一元二次方程的判别式分别满足、、。
2、两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题。
特别提醒：从近几年高考试题来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质。轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相交汇，着重考查分析问题解决问题的能力，对逻辑思维能力，运算能力也有很高的要求。
三、求轨迹方程的常用方法
1、直接法：直接利用条件建立、之间的关系，一般步骤为：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；
(2)写出适合条件的点的集合；
(3)用坐标表示条件，列出方程；
(4)化方程为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2、待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程—先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
3、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
4、代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用、的代数式表示、，再将、代入已知曲线得要求的轨迹方程。
5、参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将、均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
四、椭圆的基本定义和方程
1、椭圆的定义：设、是定点，为动点，则满足(为定值且)的动点的轨迹称为椭圆，符号表示：()。
注意：当时为线段，当时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质
定义方程
标准方程 () ()
一般方程 (，，)
推导方程 () ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)
顶点 、、、 、、、
轴 长轴的长为：(为长半轴) 短轴的长为：(为短半轴)
离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，，越大越扁，越小越圆 焦距：
(1)椭圆的标准方程的判定方法：
①判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在轴上，反之，焦点在轴上。
②通过、、三个量之间的关系(，，且)求出未知量。
(2)点在椭圆的的内外部的判断方法：
①点在椭圆内；②点在椭圆上；③点在椭圆外。
(3)焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
焦半径公式：为椭圆上任一点，
，；，；
对于椭圆()，设为椭圆上一点，则：
左焦半径，∴，∴，
右焦半径，∴，∴，
综上：，，即。
(4)椭圆的一般方程：
方程(、、均不为零)可化为：，即，
则只有、、同号，且时，方程表示椭圆，
当时，椭圆的焦点在轴上，当时，椭圆的焦点在轴上。
3、椭圆()的图像中线段的几何特征(如图)：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，。
五、椭圆中的焦点三角形
若、是椭圆()的两个焦点，为椭圆上一动点，则称为椭圆的焦点三角形，其周长为。
1、相关性质：
(1)当点从点逆时针运动时，由锐角逐渐增大，到达点时达到最大，过了轴之后又逐渐减小。
(2)设，则。(当且仅当动点为短轴端点时取等号)
(3)设，则焦点三角形的面积。
证明：设，，由余弦定理得，
由椭圆定义得，带入得，
(最大值为)。
(4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。
证明：设直线过椭圆：()的任意一个焦点，直线与椭圆相交于、两点，则：
①当直线与轴垂直时直线的方程为，则将代入：()，
可得，则，
②当直线与轴不垂直时设直线的方程为，
则将代入：()，可得，
化简后得，又，
，
则，
∵，则，∴，∴，
∴过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点所在的直线的弦)最短。
(5)，最大值与最小值之差一定是。
证明方法一(函数法)：，
∵，，则为单调减函数，
根据单调性性质可知也为单调减函数，
则即在长轴顶点时取最大值，此时，，
则即在短轴顶点时取最小值，
此时，。
证明方法二(向量法)：的坐标为，的坐标为，
根据椭圆方程得，
，
当时取最小值为，当时取最大值为。
2、解与焦点三角形(为椭圆上的点)有关的计算问题
(1)与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
(2)将有关线段、、，有关角()结合起来，建立和之间的关系。
六、直线与椭圆
1、由方程组，消去导成()，判断。
方程组有两解 两个交点 相交
方程组有一解 一个交点 相切
方程组无解 无交点 相离
2、过椭圆上点切线问题：
若在椭圆()上，则过的椭圆的切线方程是。
3、弦长公式：若直线与椭圆()的交点为、，则叫做弦长。
(韦达定理)。
说明：与分别是直线与曲线方程联立方程组消去后的根的判别式及项的系数。
4、焦点弦公式：椭圆方程为()，半焦距为，焦点、，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于两点、，求弦长。
解：连结、，设、，由椭圆定义得、，
由余弦定理得，整理可得，
同理可求，则；
同理可求焦点在轴上的过焦点弦长为(为长半轴，为短半轴，为半焦距)。
结论：椭圆过焦点弦长公式：。
5、椭圆的斜率公式：
(1)过椭圆上()上一点的切线斜率为。
(2)直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
(3)若、是椭圆()上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，当、的斜率和都存在时，有。
证明：如图：连结，取中点，连结，
则，∴有，
由椭圆中点弦斜率公式得：，∴。
(4)若、、、是椭圆()上的左、右、上、下顶点，是椭圆上除了、、、的任意一点，则，。
(5)椭圆()与斜率为的直线相交于、两点，设弦的中点为，则有。
七、双曲线的基本定义和方程
1、双曲线的定义：把平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
(1)取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点、上，把笔尖放在点处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
解：如图，曲线上的点满足条件：常数；
如果改变一下位置，使常数，可得到另一条曲线。
(2)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
解：若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支。
(3)双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数，？
解：只有当时，动点的轨迹才是双曲线；
当时，动点的轨迹是两条射线；
当时，满足条件的点不存在。
2、曲线的标准方程：
定义方程
标准方程 (，) (，)
一般方程 ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为双曲线的中心)
顶点 、、、 、、、
实轴长(为实半轴)，虚轴长(为虚半轴)，焦距，
渐近线 (或) (或)
离心率 双曲线的焦距与长轴长度的比：，，越大开口越大
(1)类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？
解：①建系：以直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系。
②设点：设是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为、。
③列式：由，可得。
④化简：移项，平方后可得，令，
得双曲线的标准方程为(，)。
(2)两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？
解：两个标准方程的区别：双曲线标准方程中与的系数符号决定了焦点所在的坐标轴，
当系数为正时，焦点在轴上，当系数为正时，焦点在轴上，而与分母的大小无关。
两种形式可统一表示为()。
(3)如图，类比椭圆中、、的意义，你能在轴上找一点，使吗？
解：以双曲线与轴的交点为圆心，以线段为半径画圆交轴于点。
3、曲线的几何性质：实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两端点构成的三角形)研究它们之间的相互关系。
(1)共轭双曲线：是以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，也可以看做把原方程中的正负号交换了位置后得到的新方程。
(，)与(，)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距。
其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于。
(2)等轴双曲线：，其主要性质有：离心率为，等轴双曲线两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
(3)双曲线形状与的关系：，越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
①已知双曲线的离心率求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置。
②已知渐近线方程()求离心率时，当焦点不确定时，或因此离心率有两种可能。
(4)双曲线：(，)的渐近线为，焦点，则焦点到渐近线的距离。
证明：到直线的距离。
八、抛物线
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、抛物线的图形和性质：
(1)顶点是焦点向准线所作垂线段的中点；
(2)焦准距：；
(3)通径：过焦点垂直于轴的弦长为；
(4)顶点平分焦点到准线的垂线段：。
3、抛物线标准方程的四种形式：，，，。
特点：焦点在一次项的轴上，开口与“”方向同向。
4、抛物线的图像和性质：
(1)焦点坐标是：； (2)准线方程是：； (3)焦半径公式：；
(4)抛物线上的动点可设为或。
5、一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
时开口向右 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向左
时开口向上 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向下
6、焦点弦的相关公式：直线经过抛物线()的焦点，且与抛物线相交于、两点，其中、。
(1)焦点弦长公式：过焦点弦长。
证明：；
(2)以为直径的圆必与抛物线的准线相切。
证法一：设抛物线方程为()，则焦点，准线：，
设以过焦点的弦为直径的圆的圆心，
、、在准线上的射影分别是、、，
则，又，
∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，∴命题成立。
证法二：设抛物线方程为()，则焦点，准线：。
过点的抛物线的弦的两个端点、，线段的中点，
则，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径：
，
点到准线：的距离，∴圆与准线相切。
(3)，的值。
证法一：设直线的方程为，与抛物线方程()联立可得：，
则，化简得，则，
又，且，则。
证法一：设直线的方程为，与抛物线方程()联立可得：，
则，化简得，则，又。
(4)直线与直线必经过原点。
证法一：设：，代入，得，
由韦达定理，得，即，
∵轴，且在准线上，∴，
则，故直线经过原点。
证法二：如图，记准线与轴的交点为，过作，垂足为，则，
连结交于点，则，，
∵，，∴，
即是的中点，从而点与点重合，故直线经过原点。
(5)，即。
证明：，，∵、、三点共线，
∴，∴，
∴，∴，即。
(6)。
证明：、，，则，，
则
，
∴。
(7)。
证明：
。专题 圆锥曲线与方程（知识梳理）
一、曲线和方程的定义
1、一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解。
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
2、“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可。
(1)“曲线上的点的坐标都是方程的解”，即纯粹性。
(2)“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性。
这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则。
二、两曲线的交点
1、由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点。
直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于的一元二次方程的判别式分别满足、、。
2、两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题。
特别提醒：从近几年高考试题来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质。轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相交汇，着重考查分析问题解决问题的能力，对逻辑思维能力，运算能力也有很高的要求。
三、求轨迹方程的常用方法
1、直接法：直接利用条件建立、之间的关系，一般步骤为：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；
(2)写出适合条件的点的集合；
(3)用坐标表示条件，列出方程；
(4)化方程为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2、待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程—先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
3、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
4、代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用、的代数式表示、，再将、代入已知曲线得要求的轨迹方程。
5、参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将、均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。
四、椭圆的基本定义和方程
1、椭圆的定义：设、是定点，为动点，则满足(为定值且)的动点的轨迹称为椭圆，符号表示：()。
注意：当时为线段，当时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质
定义方程
标准方程 () ()
一般方程 (，，)
推导方程 () ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)
顶点 、、、 、、、
轴 长轴的长为：(为长半轴) 短轴的长为：(为短半轴)
离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，，越大越扁，越小越圆 焦距：
(1)椭圆的标准方程的判定方法：
①判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在轴上，反之，焦点在轴上。
②通过、、三个量之间的关系(，，且)求出未知量。
(2)点在椭圆的的内外部的判断方法：
①点在椭圆内；②点在椭圆上；③点在椭圆外。
(3)焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
焦半径公式：为椭圆上任一点，
，；，；
对于椭圆()，设为椭圆上一点，则：
左焦半径，∴，∴，
右焦半径，∴，∴，
综上：，，即。
(4)椭圆的一般方程：
方程(、、均不为零)可化为：，即，
则只有、、同号，且时，方程表示椭圆，
当时，椭圆的焦点在轴上，当时，椭圆的焦点在轴上。
3、椭圆()的图像中线段的几何特征(如图)：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，。
五、椭圆中的焦点三角形
若、是椭圆()的两个焦点，为椭圆上一动点，则称为椭圆的焦点三角形，其周长为。
1、相关性质：
(1)当点从点逆时针运动时，由锐角逐渐增大，到达点时达到最大，过了轴之后又逐渐减小。
(2)设，则。(当且仅当动点为短轴端点时取等号)
(3)设，则焦点三角形的面积。
(4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。
(5)，最大值与最小值之差一定是。
2、解与焦点三角形(为椭圆上的点)有关的计算问题
(1)与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
(2)将有关线段、、，有关角()结合起来，建立和之间的关系。
六、直线与椭圆
1、由方程组，消去导成()，判断。
方程组有两解 两个交点 相交
方程组有一解 一个交点 相切
方程组无解 无交点 相离
2、过椭圆上点切线问题：
若在椭圆()上，则过的椭圆的切线方程是。
3、弦长公式：若直线与椭圆()的交点为、，则叫做弦长。
(韦达定理)。
说明：与分别是直线与曲线方程联立方程组消去后的根的判别式及项的系数。
4、焦点弦公式：椭圆方程为()，半焦距为，焦点、，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于两点、，求弦长。
5、椭圆的斜率公式：
(1)过椭圆上()上一点的切线斜率为。
(2)直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。
(3)若、是椭圆()上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，当、的斜率和都存在时，有。
(4)若、、、是椭圆()上的左、右、上、下顶点，是椭圆上除了、、、的任意一点，则，。
(5)椭圆()与斜率为的直线相交于、两点，设弦的中点为，则有。
七、双曲线的基本定义和方程
1、双曲线的定义：把平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
(1)取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点、上，把笔尖放在点处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
(2)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
(3)双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数，？
2、曲线的标准方程：
定义方程
标准方程 (，) (，)
一般方程 ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为双曲线的中心)
顶点 、、、 、、、
实轴长(为实半轴)，虚轴长(为虚半轴)，焦距，
渐近线 (或) (或)
离心率 双曲线的焦距与长轴长度的比：，，越大开口越大
(1)类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？
(2)两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？
(3)如图，类比椭圆中、、的意义，你能在轴上找一点，使吗？
3、曲线的几何性质：实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两端点构成的三角形)研究它们之间的相互关系。
(1)共轭双曲线：是以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，也可以看做把原方程中的正负号交换了位置后得到的新方程。
(，)与(，)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距。
其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于。
(2)等轴双曲线：，其主要性质有：离心率为，等轴双曲线两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
(3)双曲线形状与的关系：，越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
①已知双曲线的离心率求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置。
②已知渐近线方程()求离心率时，当焦点不确定时，或因此离心率有两种可能。
(4)双曲线：(，)的渐近线为，焦点，则焦点到渐近线的距离。
八、抛物线
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、抛物线的图形和性质：
(1)顶点是焦点向准线所作垂线段的中点；
(2)焦准距：；
(3)通径：过焦点垂直于轴的弦长为；
(4)顶点平分焦点到准线的垂线段：。
3、抛物线标准方程的四种形式：，，，。
4、抛物线的图像和性质：
(1)焦点坐标是：； (2)准线方程是：； (3)焦半径公式：；
(4)抛物线上的动点可设为或。
5、一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
时开口向右 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向左
时开口向上 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向下
6、焦点弦的相关公式：直线经过抛物线()的焦点，且与抛物线相交于、两点，其中、。
(1)焦点弦长公式：过焦点弦长。
(2)以为直径的圆必与抛物线的准线相切。
(3)，的值。
(4)直线与直线必经过原点。
(5)，即。
(6)。
(7)。

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