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专题 数列（知识梳理）
一、数列的概念
1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每个数都叫这个数列的项。数列的一般形式：，，，…，…，或简记为。
其中是数列的第项(又称首项)，是数列的第项(又称通项)。
例1-1、判断下列各组元素能否构成数列：
(1)，，，，，，，；
(2)年各省参加高考的考生人数。
解：(1)不是，∵不是一列数。
(1)是，可以看成一个有限项的数列。
2、通项公式的定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
说明：①表示数列，表示数列中的第项，表示数列的通项公式；
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，()；
③不是每个数列都有通项公式。例如：、、、、……。
3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集。
(1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。
(2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列。
(3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集{，，，…，})的函数。
即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从开始依次增大。可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。
4、数列的分类：
(1)根据数列项数的多少分：
①有穷数列：项数有限的数列；例如数列，，，，，。是有穷数列。
②无穷数列：项数无限的数列；例如数列，，，，，…是无穷数列。
(2)根据数列项的大小分：
①递增数列：从第项起，每一项都大于它的前一项的数列。
②递减数列：从第项起，每一项都小于它的前一项的数列。
③常数数列：各项相等的数列。
④摆动数列：从第项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
(3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：①有界数列；②无界数列。
二、数列的表示方法
1、列表法(又称列举法)。
2、图像法：图像过一四象限或轴正半轴，横坐标为正整数。是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性。
3、解析法：用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示数列。
例2-1、下列公式可作为数列：，，，，，，…的通项公式的是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由可得，，，，…，故选C。
三、根据数列的前项写出这个数列的通项公式
1、编号：把序号、、…标在相应项上，便于突出第项与项数的关系，即如何用表示。
2、变形：(1)出现正负间隔用或进行调整。
(2)出现分数首先考虑分子、分母是否存在规律，然后考虑通分成同分母分数。
(3)找不到规律可以考虑后再观察。
(4)当一个数列间隔几项才具有相同规律(特别是奇数项与偶数项)时，不妨用分段函数来表示其通项公式。
3、常见数列：如等差、等比数列及常见的特殊数列的通项公式：
…
(1) …
(2) …
(3) …
(4) …
(5) …
…
(6) …
…
(7) …
(8) …
…
(9) …
…
(10) …
例3-1、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，，……
【答案】
(2)，，，，，……
【答案】
(3)，，，，，，……
【答案】
(4)，，，，，，……
【答案】
(5)，，，，，，，，……
【答案】
(6)，，，，，，，，，……
【答案】
【解析】变形为，，，，，，，，…，∴。
四、根据图像写出这个数列的通项公式
1、如果给出图像，求通项公式，一般不要把图像转换为数字，而是要通过图像的变化规律来推出数列的通项公式。
例4-1、已知，则第个图中有 个点。
【答案】
【解析】，，，，…，
。
例4-2、已知，则第个图中有 个点。
【答案】
【解析】，，，，…，。
例4-3、，则第个图中有 个点。
【答案】
【解析】，，，，…，。
2、如果给出图像变化的规律，求某一点的变化规律，可寻找一定的规律或周期，从而简化试题，然后推出所求的某一点。
例4-4、如图，个连续自然数按规律排成下表，则从到的箭头方向依次为( )。
A、↑→
B、→↑
C、↓→
D、→↓
【答案】A
【解析】选取作为起点，由图可知，位置变化规律是以为周期，
由于，
可知在的位置，在的位置，在的位置，故选A。
五、根据周期性求数列的某一项
1、周期数列的定义及主要性质：对于数列，如果存在一个常数()，恒有成立，则称数列是最小正周期为的周期数列。周期数列满足以下性质：
(1)如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期。
(2)若数列满足()，则数列是周期数列且。
(3)已知数列满足(、且为常数)，分别为的前项的和，
若(，)，则，。
例：数列的周期为(即=)，则。
(4)若数列满足(为常数)或数列满足(为常数)，则数列是周期数列。
例：数列满足或，则数列是周期数列且。
数列满足或，则数列是周期数列且。
(5)若数列满足，，则数列是周期数列且。
例：数列满足，则数列是周期数列且。
2、周期数列的表示方式：周期数列的通项公式通常都可以用分段的方式表示出来，一般只需要求出它的一个最小正周期即可。
例5-1、已知数列满足，，求。
【解析】∵，，；
∴数列是的周期数列。
又，，，则=()。
3、对于求数字比较大的某一项或分段表示的数列一般考虑周期性。
例5-2、已知数列中，，，且()，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】，，，，，…，周期为，
，故选A。
例5-3、若数列满足，，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】，，，，，…，周期为，==，故选B。
例5-4、在数列中，，，则( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，，，，…，周期为，，选D。
例5-5、数列中，，()，则 。
【答案】
【解析】当时，，
则设，，
取，，，
，， ，
，
∴，。
六、数列单调性的判定及其应用
1、根据定义判定：
，或， 单调增数列
，或， 单调减数列
常数列
2、根据函数性质判定：
(1)为一次函数形式：①时为递增数列；②时为递减数列。
(2)为二次函数形式：只有对称轴才时有增减性：
①时为递增数列；②时为递减数列。
(3)为反比例函数形式：①时为递减数列；②时为递增数列。
(4)为指数函数形式：只有且时才有增减性：
①时为递增数列；②时为递减数列。
3、分段数列单调性的判定：分段数列的单调性可根据各段内单调性进行判断，但要注意如果整体具有单调性则需注意临界点应符合要求。
例10、设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】且且。
4、数列中的项的最值的求法：根据数列与函数之间的对应关系，构造相应函数，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值。
5、前项和最值的求法
(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值。
例6-1、下面是关于公差的等差数列的四个命题：：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列。其中的真命题为( )。
A、、 B、、 C、、 D、、
【答案】D
【解析】∵数列中，∴是递增数列，则为真命题。
而数列也是递增数列，∴为真命题，故选D。
例6-2、已知数列的通项公式为。
(1)为何值时，有最小值？并求出最小值；
(2)为何值时，该数列的前项和最小？
【解析】(1)，对称轴方程为，
又，则或时有最小值。
(2)，
当时且，从第项起为正数，
∴该数列前或项和最小。专题 数列（知识梳理）
一、数列的概念
1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每个数都叫这个数列的项。数列的一般形式：，，，…，…，或简记为。
其中是数列的第项(又称首项)，是数列的第项(又称通项)。
例1-1、判断下列各组元素能否构成数列：
(1)，，，，，，，；
(2)年各省参加高考的考生人数。
2、通项公式的定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
说明：①表示数列，表示数列中的第项，表示数列的通项公式；
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，()；
③不是每个数列都有通项公式。例如：、、、、……。
3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集。
(1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。
(2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列。
(3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集{，，，…，})的函数。
即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从开始依次增大。可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。
4、数列的分类：
(1)根据数列项数的多少分：
①有穷数列：项数有限的数列；例如数列，，，，，。是有穷数列。
②无穷数列：项数无限的数列；例如数列，，，，，…是无穷数列。
(2)根据数列项的大小分：
①递增数列：从第项起，每一项都大于它的前一项的数列。
②递减数列：从第项起，每一项都小于它的前一项的数列。
③常数数列：各项相等的数列。
④摆动数列：从第项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
(3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：①有界数列；②无界数列。
二、数列的表示方法
1、列表法(又称列举法)。
2、图像法：图像过一四象限或轴正半轴，横坐标为正整数。是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性。
3、解析法：用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示数列。
例2-1、下列公式可作为数列：，，，，，，…的通项公式的是( )。
A、 B、 C、 D、
三、根据数列的前项写出这个数列的通项公式
1、编号：把序号、、…标在相应项上，便于突出第项与项数的关系，即如何用表示。
2、变形：(1)出现正负间隔用或进行调整。
(2)出现分数首先考虑分子、分母是否存在规律，然后考虑通分成同分母分数。
(3)找不到规律可以考虑后再观察。
(4)当一个数列间隔几项才具有相同规律(特别是奇数项与偶数项)时，不妨用分段函数来表示其通项公式。
3、常见数列：如等差、等比数列及常见的特殊数列的通项公式：
…
(1) …
(2) …
(3) …
(4) …
(5) …
…
(6) …
…
(7) …
(8) …
…
(9) …
…
(10) …
例3-1、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，，……
(2)，，，，，……
(3)，，，，，，……
(4)，，，，，，……
(5)，，，，，，，，……
(6)，，，，，，，，，……
四、根据图像写出这个数列的通项公式
1、如果给出图像，求通项公式，一般不要把图像转换为数字，而是要通过图像的变化规律来推出数列的通项公式。
例4-1、已知，则第个图中有 个点。
例4-2、已知，则第个图中有 个点。
例4-3、，则第个图中有 个点。
2、如果给出图像变化的规律，求某一点的变化规律，可寻找一定的规律或周期，从而简化试题，然后推出所求的某一点。
例4-4、如图，个连续自然数按规律排成下表，则从到的箭头方向依次为( )。
A、↑→
B、→↑
C、↓→
D、→↓
五、根据周期性求数列的某一项
1、周期数列的定义及主要性质：对于数列，如果存在一个常数()，恒有成立，则称数列是最小正周期为的周期数列。周期数列满足以下性质：
(1)如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期。
(2)若数列满足()，则数列是周期数列且。
(3)已知数列满足(、且为常数)，分别为的前项的和，
若(，)，则，。
例：数列的周期为(即=)，则。
(4)若数列满足(为常数)或数列满足(为常数)，则数列是周期数列。
例：数列满足或，则数列是周期数列且。
数列满足或，则数列是周期数列且。
(5)若数列满足，，则数列是周期数列且。
例：数列满足，则数列是周期数列且。
2、周期数列的表示方式：周期数列的通项公式通常都可以用分段的方式表示出来，一般只需要求出它的一个最小正周期即可。
例5-1、已知数列满足，，求。
3、对于求数字比较大的某一项或分段表示的数列一般考虑周期性。
例5-2、已知数列中，，，且()，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
例5-3、若数列满足，，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
例5-4、在数列中，，，则( )。
A、 B、 C、 D、
例5-5、数列中，，()，则 。
六、数列单调性的判定及其应用
1、根据定义判定：
，或， 单调增数列
，或， 单调减数列
常数列
2、根据函数性质判定：
(1)为一次函数形式：①时为递增数列；②时为递减数列。
(2)为二次函数形式：只有对称轴才时有增减性：
①时为递增数列；②时为递减数列。
(3)为反比例函数形式：①时为递减数列；②时为递增数列。
(4)为指数函数形式：只有且时才有增减性：
①时为递增数列；②时为递减数列。
3、分段数列单调性的判定：分段数列的单调性可根据各段内单调性进行判断，但要注意如果整体具有单调性则需注意临界点应符合要求。
例10、设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 。
4、数列中的项的最值的求法：根据数列与函数之间的对应关系，构造相应函数，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值。
5、前项和最值的求法
(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值。
例6-1、下面是关于公差的等差数列的四个命题：：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列。其中的真命题为( )。
A、、 B、、 C、、 D、、
例6-2、已知数列的通项公式为。
(1)为何值时，有最小值？并求出最小值；
(2)为何值时，该数列的前项和最小？

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