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第二十二讲 等差数列及其前n项和
【考纲解读】
理解等差数列和等差中项的定义，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
能够运用等差数列的知识解答简单的实际问题。
【知识精讲】
一、等差数列的概念：
1、等差数列的定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示；
2、等差中项的定义：
如果三项a，b，c成等差数列，那么中间一项b是第一项a和第三项c的等差中项；
3等差中项的性质：
如果b是a，c的等差中项，那么2b=a+c。
二、等差数列的通项公式与前n项和公式：
1、等差数列的通项公式：
（1）已知等差数列｛｝的首项，公差d时，= +（n-1）d；
（2）已知等差数列｛｝的第m项（m＜n∈），公差d时，=+（n-m）d。
2、等差数列的前n和公式：
（1）已知等差数列｛｝的首项，末项和项数n时，=；
(2) 已知等差数列｛｝的首项，公差d和项数n时，=n+。
三、等差数列常用的性质：
1、设等差数列｛｝：（1）当d＞0时，等差数列｛｝是递增数列，①当＞0时，=，无最大值；②当＜0时，= （这里的由≤0，＞0来确定），无最大值；（2）当d＜0时，等差数列｛｝是递减数列，①当＞0时，=（这里的由≥0，＜0来确定），无最小值；②当＜0时， =，无最小值。
2、在有穷等差数列｛｝中，与首末两项距离相等两项的和相等，并且等于首末两项的和。
3、设m、n、p、q∈，且m+n=p+q，则有+=+；特别地当m+n=2p时，有+=2。
4、设数列｛｝、｛｝均是等差数列，则数列｛m｝，｛k｝，｛mk｝（m，k为常数）仍是等差数列。
5、设等差数列｛｝的前n项和为，则，-，-成等差数列。
6、当等差数列｛｝的项数为偶数时，设为数列的偶数项的和，为数列的奇数项的和，则有：①=+；②-=。
7、当等差数列｛｝的项数为奇数，设为数列的偶数项的和，为数列的奇数项的和，为数列的中间项，则有：①=+=n②-=。
8、设等差数列｛｝，｛｝的前n项和分别为，，则=。
【探导考点】
考点1等差数列基本量的运算：热点①已知数列的首项和递推公式，求数列的前n项和；
热点②已知等差数列某几项的值（或某几项的关系式），求等差数列某项的值（或前几项的和）；热点③已知等差数列前几项的和，求等差数列某项的值；
考点2等差数列的判断（或证明）：热点①已知数列首项和递推公式，判断（或证明）数列是等差数列；热点②已知数列某几项的值（或某几项的关系式），判断（或证明）数列是等差数列；热点③已知数列满足一定条件，判断（或证明）与已知数列相关的数列是等差数列；
考点3等差数列的性质及运用：热点①等差数列性质的直接运用；热点②等差数列前n项和性质的运用；热点③等差数列前n项和的最值问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、若数列｛｝的通项公式为=-n+5，则此数列是（ ）
A 公差为1的等差数列 B 公差为5的等差数列
C 首项为5的等差数列 D 公差为n的等差数列
2、若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为，则其他两个角的度数为（ ）
A ， B ， C ， D ，
3、等差数列相邻4项是1，a，-7，b，那么a，b的值分别是（ ）
A 3，-11 B -3，-11 C -3，11 D 3，11
4、已知a=，b=，那么a，b的等差中项为（ ）
A B C D
5、lg2，lg(-1)，lg(+3)成等差数列，则x的值等于（ ）
A 1 B 0或32 C 32 D 5
6、设数列｛｝是等差数列，数列｛｝满足：=(n∈)，求证数列｛｝是等差数列；
7、已知数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)。
求证：数列｛｝是等差数列。
8、已知公差大于0的等差数列｛｝的前n项和为，且满足.=117，+=22。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足：=，是否存在非零实数c使得｛｝为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与等差数列概念相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等差中项的定义；
（2）【典例1】中6，7，8三个小题是等差数列的判断或证明问题，解决这类问题的基本方法是：①定义法；②等差中项；③通项公式法；④前n项和公式法；
（3）定义法是判断或证明-=d是常数（n∈)；特别地，若问题是判断或证明三项成等差数列，则可以运用等差中项的性质加以解决；
（4）等差中项法是判断或证明2=+ (n≥2,n∈)；
（5）通项公式法是当数列的通项公式容易求出时，只需判断或证明数列的通项公式是关于n的一次函数；
（6）前n项和公式法是当数列的前n项和容易求出时，只需判断或证明数列的前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设数列｛｝是等差数列，若++=12，则++----+等于（ ）
A 14 B 21 C 28 D 35
2、在数列｛｝中，=1，=，=+ (n∈)，则该数列的通项为（ ）
A = B = C = D =
3、已知数列｛｝满足：=3，-2- =0 (n≥2,n∈)。
求证：数列｛｝成等差数列；
4、两个数列｛｝和｛｝满足=。
若数列｛｝是等差数列，求证数列｛｝是等差数列。
5、已知数列｛｝中，=，=2-(n≥2,n∈)，数列｛｝满足=(n∈)。
（1）求证：数列｛｝是等差数列；
（2）求数列｛｝中的最大项和最小项，并说明理由。
【典例2】解答下列问题：
1、已知数列3，9，15，-----，3（2n-1），-----，那么81是它的（ ）
A 第12项 B 第13项 C 第14项 D 第15项
2、在数列｛｝中，=2，2=2+1，则的值为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
3、等差数列｛｝的公差d＜0，且.=12，+=8，则数列｛｝的通项公式是（ ）
A =2n-2(n∈) B =2n+4(n∈)C =-2n+12(n∈) D =-2n+10(n∈)
4、在等差数列｛｝中，已知=10，=31。求；
5、在等差数列｛｝中，已知=1，=9，=39。求n；
『思考问题2』
（1）【典例2】是与等差数列通项公式相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列通项公式的定义，掌握求等差数列通项公式的基本方法；
（2）求等差数列的通项公式的关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想，基本方法是：①根据条件列出关于首项，公差d的方程组；②求解方程组求出首项，公差d的值；③把求得的首项，公差d的值代入等差数列的通项公式。
〔练习2〕解答下列问题：
1、等差数列｛｝中，已知=，+=4，=33，则n是（ ）
A 48 B 49 C 50 D 51
2、已知数列｛｝为等差数列，且=2，+=13，则++等于（ ）
A 40 B 42 C 43 D 45
3、设｛｝为等差数列，若=n，=m（mn），则= ；
4、在等差数列｛｝中，已知=10，=19。求①；
5、已知｛｝是等差数列，=m，=n，其中nm，n，m∈，求；
6、设等差数列｛｝的前n项和为，且与的等差中项是3，=1，求；
7、设数列｛｝是公差为2的等差数列，数列｛｝满足：=2，=(n∈)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛｝的前n项和公式。
【典例3】解答下列问题：
1、等差数列｛｝中，已知+=16，则该数列的前11项和等于（ ）
A 58 B 88 C 143 D 176
2、等差数列｛｝中，=1，+=14，其前n项和=100，则n等于（ ）
A 9 B 10 C 11 D 12
3、设是等差数列｛｝的前n项和，若=，则等于（ ）
A 1 B -1 C 2 D
4、已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，,偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
5、已知等差数列｛｝中，=5，=13，若=，则数列｛｝的前10项和等于（ ）
A 100 B 110 C 190 D 250
6、设数列｛｝的前n项和为，若=-2，=0，=3，则m=（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
7、等差数列｛｝的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则｛｝的前6项和为（ ）
A -24 B -3 C 3 D 8
8、已知是等差数列｛｝的前n项和，若m＞1，+--1=0，=4025，求m的值；
9、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛｝的前n项和公式。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与等差数列前n项和相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列前n项和的定义，掌握求等差数列前n项和的基本方法；
（2）求等差数列的前n项和公式关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等差数列首项，公差的方程组；②求解方程组求出等差数列首项，公差的值；③把求得的值代入等差数列的前n项和公式并求出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、在数列｛｝中，若=-2，且对任意的n∈有2=1+2，则数列｛｝的前10项和为（ ）
A 2 B 10 C D
2、设是等差数列｛｝的前n项和，已知=3，=11，则等于（ ）
A 13 B 35 C 49 D 63
3、已知｛｝是等差数列，为其前n项和，若=6，+=0，则= ；
4、已知｛｝是等差数列，为其前n项和，且=10，=30，则= ；
5、已知｛｝是等差数列，为其前n项和，若+=-3，=10，则的值是 ；
6、已知｛｝是等差数列，=1，公差d0，是前n项和，若，，成等比数列，则= ；
7、已知，是等差数列｛｝，｛｝的前n项和，且=，则= 。
【典例4】解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，+=10，则的值为（ ）
A 5 B 6 C 8 D 10
2、在等差数列｛｝中，若++++++=420，则+等于（ ）
A 100 B 120 C 140 D 160
3、｛｝是公差为-2的等差数列，若+++---+=50，则+++---+=（）
A -182 B -78 C -148 D -82
4、在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则这个数列为 ；
5、已知数列｛｝是等差数列，且-+-+=117，则+= ；
6、设等差数列｛｝的前n项和为，若=9，=36，则++= ；
7、在等差数列｛｝中，已知+++=21，+++=67，且前n项和=286。
（1）求n；
（2）设等差数列｛｝的前n项和为，若=20，=38，求；
（3）设等差数列｛｝的项数为奇数，且=44，=33，求和n。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是与等差数列性质相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列的性质，掌握运用等差数列的性质解答相应问题的基本方法；
（2）求解与等差数列性质相关问题的基本方法是：①根据问题确定它与等差数列的哪些性质相关；②运用相关性质解答问题；③得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、等差数列｛｝中，++=9，那么关于x的方程+（+）x+10=0（ ）
A 无实数根 B 有两个相等实数根 C 有两个不等实数根 D 不能确定有无实数根
2、数列｛｝，｛｝都是等差数列，且=25，=75，+=100，那么数列｛+｝的第57项为（ ）
A 0 B 37 C 100 D -37
3、在等差数列｛｝中，=-2018，其前n项和为，若- =2，则的值等于（ ）
A -2018 B -2016 C -2019 D -2017
4、在等差数列｛｝中，已知+=16，=1，则= ；
5、在等差数列｛｝中，已知++++=20，则= ；
6、若｛｝是等差数列，且++=45，++=39，则++= ；
7、有三个数成等差数列，它们的和为9，积为-21，则这四个数依次为 ；
8、在等差数列｛｝中，若++++=25，则+= ；
9、已知数列｛｝，｛｝都是等差数列，若+=9，+=15，则+= ；
10、设等差数列｛｝的前n项和为，且=-12，=45，则= ；
11、设等差数列｛｝的前n项和为，已知=30，=50，求：
（1）；
（2）若=242，则n的值是多少？
【典例5】解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，=25，=，则的最大值= ；
2、在等差数列｛｝中，已知=20，前n项和为，且= ，求n为何值时，取得最大值，并求出最大值；
3、在等差数列｛｝中，已知＞0，设是等差数列｛｝的前n项和，若=。
（1）；
（2）当取得最大值时，求项数n的值。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与等差数列前n项和最值相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列前n项和存在最值的条件，掌握求等差数列前n项和最值的基本方法；
（2）求等差数列前n项和的最大值和最小值问题的常用方法有：①一元二次函数求最值的基本方法；②通项公式法；③不等式法；
（3）一元二次函数求最值的基本方法是：①运用公式=n+d得到=+（-）n=A+Bn，当d0时A0， 是关于n的一元二次函数；②根据（n，）是抛物线y=A+Bn上一群孤立的点，利用二次函数的性质求出｛｝的前n项和的最大值或最小值；
（4）通项公式法是直接运用等差数列的常用性质1解答问题；
（5）不等式法是运用当最大时，必有不等式组 （n2，n∈）成立，解这 ，不等式组确定n的取值范围，
进而确定n的值，再求出与n对应的的值。
〔练习5〕解答下列问题：
1、设是公差为d（d0）的无穷等差数列｛｝的前n项和，则下列命题错误的是（ ）
A 若d＜0，则数列｛｝有最大项 B 若数列｛｝有最大项，则d＜0
C 若数列｛｝是递增数列，则对任意的n∈，均有＞0
D 若对任意的n∈，均有＞0，则数列｛｝是递增数列
2、等差数列｛｝中，＞0，=，则取最大值时，n= ；
3、等差数列｛｝中，d＜0，若||=||，则数列｛｝的前n项和取最大值时，n的值为 ；
4、在等差数列｛｝中，=20，前n项和为，且=，求当n取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；
5、设等差数列｛｝的前n项和为，若=12，＞0，＜0.
（1）求公差d的取值范围；
（2），，……. ，中哪一个值最大？并说明理由。
【追踪考试】
1、记为等差数列｛｝的前n项和，若2=3+6，则公差d= （2022全国高考乙卷文）
2、中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现，如图是某古建筑物的面图，A，B，C，D柠，D，C，B，A是脊，O，D，C，B是相等的步，相邻柠的脊步的比分别为=0.5，=，=，=，若，，是公差为0.1的等差数列，直线OA的斜率为0.725，则=（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 0.75 B 0.8 C 0.85 D 0.9
3、已知数列{ }的前n项和为，若=，=++，则=（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 10 B 20 C 100 D 400
4、在等差数列{}中，已知=3，+=10，则数列{}的公差为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A -1 B 0 C 1 D 2
5、记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。
6、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C D
7、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则= （2020全国高考新课标II）
8、如图，将钢琴上的12个键依次记为，，------，设1 iA 5 B 8 C 10 D 15
9、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=，=15，则=（ ）（2019成都市高三零诊）
A B 1 C D 2
10、设为等差数列｛｝的前n项和，且2+=+，则=（ ）（2019成都市高三一诊）
A 28 B 14 C 7 D 2
11、记为等差数列{ }的前n项和，已知=0，=5，则（ ）（2019全国高考新课标I（理））
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
12、设等差数列｛｝满足3=5，且>0，则前n项和中最大的是（ ）
A B C D
已知公差大于零的等差数列｛｝中，，，依次成等比数列，则的值是
（2019成都市高三一诊）
14、记为等差数列{ }的前n项和，若=5，=13，则= （2019全国高考新课标III）
15、设等差数列{ }的前n项和为，若=-3，=-10，则= ，的最小值为 （2019全国高考北京）
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中与等差数列相关的试题，归结起来主要包括：①等差数列定义及运用；②等差数列的通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④等差数列的最值问题等几种类型，
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、记为等差数列｛｝的前n项和，若3=+，=2，=（ ）（2018全国高考新课标I卷（理））
A -12 B -10 C 10 D 12
2、等差数列｛｝的公差为2，若，，成等比数列，则｛｝的前n项和为=（ ）（2018全国高考新课标II卷（文））
A n(n+1) B n(n-1) C D
3、设｛｝是等差数列，且=3，+=36，则｛｝的通项公式为 （2018全国高考北京卷）
4、设等差数列｛｝的前n项和为，若=20，=10，则=（ ）（2018成都市高三二诊）
A -32 B 12 C 16 D 32
5、记为等差数列{ }的前n项和，已知=0，=5，则（ ）
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
6、设等差数列｛｝为1，且，，成等比数列，则｛｝的前20项和为（ ）
A 230 B -230 C 210 D -210
7、设等差数列{ }的前n项和为，若=-3，=-10，则= ，的最小值为 。
第二十二讲 等差数列及其前n项和
【考纲解读】
1、理解等差数列和等差中项的定义，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
2、能够运用等差数列的知识解答简单的实际问题。
【知识精讲】
一、等差数列的概念：
1、等差数列的定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示；
2、等差中项的定义：
如果三项a，b，c成等差数列，那么中间一项b是第一项a和第三项c的等差中项；
3等差中项的性质：
如果b是a，c的等差中项，那么2b=a+c。
二、等差数列的通项公式与前n项和公式：
1、等差数列的通项公式：
（1）已知等差数列｛｝的首项，公差d时，= +（n-1）d；
（2）已知等差数列｛｝的第m项（m＜n∈），公差d时，=+（n-m）d。
2、等差数列的前n和公式：
（1）已知等差数列｛｝的首项，末项和项数n时，=；
(2) 已知等差数列｛｝的首项，公差d和项数n时，=n+。
三、等差数列常用的性质：
1、设等差数列｛｝：（1）当d＞0时，等差数列｛｝是递增数列，①当＞0时，=，无最大值；②当＜0时，= （这里的由≤0，＞0来确定），无最大值；（2）当d＜0时，等差数列｛｝是递减数列，①当＞0时，=（这里的由≥0，＜0来确定），无最小值；②当＜0时， =，无最小值。
2、在有穷等差数列｛｝中，与首末两项距离相等两项的和相等，并且等于首末两项的和。
3、设m、n、p、q∈，且m+n=p+q，则有+=+；特别地当m+n=2p时，有+=2。
4、设数列｛｝、｛｝均是等差数列，则数列｛m｝，｛k｝，｛mk｝（m，k为常数）仍是等差数列。
5、设等差数列｛｝的前n项和为，则，-，-成等差数列。
6、当等差数列｛｝的项数为偶数时，设为数列的偶数项的和，为数列的奇数项的和，则有：①=+；②-=。
7、当等差数列｛｝的项数为奇数，设为数列的偶数项的和，为数列的奇数项的和，为数列的中间项，则有：①=+=n②-=。
8、设等差数列｛｝，｛｝的前n项和分别为，，则=。
【探导考点】
考点1等差数列基本量的运算：热点①已知数列的首项和递推公式，求数列的前n项和；
热点②已知等差数列某几项的值（或某几项的关系式），求等差数列某项的值；热点③已知等差数列前几项的和，求等差数列某项的值；
考点2等差数列的判断（或证明）：热点①已知数列的首项和递推公式，判断（或证明）数列是等差数列；热点②已知数列某几项的值（或某几项的关系式），判断（或证明）数列是等差数列；热点③已知数列满足一定条件，判断（或证明）与已知数列相关的数列是等差数列；
考点3等差数列的性质及运用：热点①等差数列性质的直接运用；热点②等差数列前n项和性质的运用；热点③等差数列前n项和的最值问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、若数列｛｝的通项公式为=-n+5，则此数列是（ ）
A 公差为1的等差数列 B 公差为5的等差数列
C 首项为5的等差数列 D 公差为n的等差数列
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③判断（或证明）数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】根据通项公式求出数列相邻两项的差，运用判断（或证明）数列是等差数列的基本方法判断数列是否是等差数列就可得出选项。
【详细解答】=-n+5，=n-1+5=n+4，-= n+5- n-4=1，数列｛｝是以1为公差的等差数列，A正确，选A。
2、若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为，则其他两个角的度数为（ ）
A ， B ， C ， D ，
【解析】
【知识点】①等差中项的定义与性质；②三角形内角和定理及运用。
【解题思路】根据等差中项的性质和三角形内角和定理求出三角形其他两个角的度数就可得出选项。
【详细解答】设三角形的三个内角分别为A，B，C，三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为， B=，C=--=， C正确，选C。
3、等差数列相邻4项是1，a，-7，b，那么a，b的值分别是（ ）
A 3，-11 B -3，-11 C -3，11 D 3，11
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差中项的定义与性质。
【解题思路】根据等差数列和等差中项的性质得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值就可得出选项。
【详细解答】等差数列相邻4项是1，a，-7，b，2a=1-7①，-14=a+b②，联立①②解得：
a=-3，b=-11，B正确，选B。
4、已知a=，b=，那么a，b的等差中项为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①等差中项的定义与性质；②分母有理化的基本方法。
【解题思路】根据等差中项的性质得到a，b的等差中项为(+)，运用分母有理化的基本方法求出结果就可得出选项。
【详细解答】 a=，b=，a，b的等差中项为(+)
=(-+-)=，A正确，选A。
5、lg2，lg(-1)，lg(+3)成等差数列，则x的值等于（ ）
A 1 B 0或32 C 32 D 5
【解析】
【知识点】①等差中项的定义与性质；②指数的定义与性质；③对数的定义与性质；④求解指数方程的基本方法。
【解题思路】根据等差中项的性质得到关于对数的等式，运用对数的性质得到关于x的指数方程，利用求解指数方程的基本方程求出x的值就可得出选项。
【详细解答】 lg2，lg(-1)，lg(+3)成等差数列，2 lg(-1)= lg2+ lg(+3)，lg
=lg2(+3)，-4-5=0，=5，x=5，D正确，选D。
6、设数列｛｝是等差数列，数列｛｝满足：=(n∈)，求证数列｛｝是等差数列；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③判断（或证明）数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】根据等差数列通项公式求出数列｛｝的通项公式，从而得到数列｛｝的通项公式，运用证明数列是等差数列的基本方法就可证明数列｛｝是等差数列。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+（n-1）d，
==+（2n+1-1）d=+2nd，=+（2n-2-1）d=+（2n-3）d，-
=+2nd --（2n-3）d=3d，==+2d，数列｛｝是以+2d为首项，3d为公差的等差数列。
7、已知数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)。
求证：数列｛｝是等差数列。
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列通项与前n项和之间的关系；⑤判断（或证明）数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】根据数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，从而得到-=2，由=，+2求出的值，从而求出的值，运用证明数列是等差数列的基本方法证明数列｛｝当n≥2时,是等差数列，由=，求出的值，从而求出-的值为2，于是得到数列｛｝是以2为首项，2为公差的等差数列。
【详细解答】当n≥2时, +2=0，-+2=0，-+2=0，
-=2，=，+2=0，=-，=+=-=，=4，即当n≥2时, 数列｛｝是以4为首项，2为公差的等差数列，=，=2，
-=4-2=2，数列｛｝是以2为首项，2为公差的等差数列。
8、已知公差大于0的等差数列｛｝的前n项和为，且满足.=117，+=22。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足：=，是否存在非零实数c使得｛｝为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由。
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求等差数列通项公式的基本方法；⑤求解探索性问题的基本方法；⑥判断（或证明）数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列通项公式与等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值就可得到数列｛｝的通项公式；（2）设存在非零实数c使得｛｝为等差数列，根据（1）求出数列｛｝的前n项和公式，从而求出=，得到关于c的方程，求解方程，若有解，则存在非零实数c使得｛｝为等差数列，若无解，则不存在非零实数c使得｛｝为等差数列。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的首项为，公差为d，.=117，+=22，
（+2d）（+3d）=117①，2+5d=22②，联立①②解得：=1，d=4或=21，d=-4，
d,>0，=1，d=4，即=1+4（n-1）=4n-3；（2）设存在非零实数c使得｛｝为等差数列，由（1）得=n+4=2-n，==，==，
==，，，成等差数列，=+，6（+4c+3）=(8c
+9)（c+2），解之得：c=0或c=，存在非零实数c=，使得｛｝为等差数列。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与等差数列概念相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等差中项的定义；
（2）【典例1】中6，7，8三个小题是等差数列的判断或证明问题，解决这类问题的基本方法是：①定义法；②等差中项；③通项公式法；④前n项和公式法；
（3）定义法是判断或证明-=d是常数（n∈)；特别地，若问题是判断或证明三项成等差数列，则可以运用等差中项的性质加以解决；
（4）等差中项法是判断或证明2=+ (n≥2,n∈)；
（5）通项公式法是当数列的通项公式容易求出时，只需判断或证明数列的通项公式是关于n的一次函数；
（6）前n项和公式法是当数列的前n项和容易求出时，只需判断或证明数列的前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设数列｛｝是等差数列，若++=12，则++----+等于（ ）（答案；C）
A 14 B 21 C 28 D 35
2、在数列｛｝中，=1，=，=+ (n∈)，则该数列的通项为（ ）
A = B = C = D = （答案；A）
3、已知数列｛｝满足：=3，-2- =0 (n≥2,n∈)。
求证：数列｛｝成等差数列；（提示：将-2- =0 两边同除以）
4、两个数列｛｝和｛｝满足=。
若数列｛｝是等差数列，求证数列｛｝是等差数列。（提示：证明-为常数）
5、已知数列｛｝中，=，=2-(n≥2,n∈)，数列｛｝满足=(n∈)。
（1）求证：数列｛｝是等差数列；
（2）求数列｛｝中的最大项和最小项，并说明理由。（答案：（1）提示：证明-=1为常数；（2）当n=3时，取得最小值-1，当n=4时，取得最大值3）
【典例2】解答下列问题：
1、已知数列3，9，15，-----，3（2n-1），-----，那么81是它的（ ）
A 第12项 B 第13项 C 第14项 D 第15项
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式得到关于n的方程，求解方程求出n的值就可得出选项。
【详细解答】3（2n-1）=81，n=14，C正确，选C。
2、在数列｛｝中，=2，2=2+1，则的值为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②判断（或证明）数列是等差数列的基本方法；③求出数列通项公式的基本方法；④等差数列通项公式及运用。
【解题思路】根据判断（或证明）数列是等差数列的基本方法，得到数列｛｝是以2为首项，为公差的等差数列，运用数列通项公式的基本方法求出数列｛｝的通项公式，利用等差数列的通项公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】=2，2=2+1，-=，数列｛｝是以2为首项，为公差的等差数列，=2+（n-1）=n+，即=9+=6，D正确，选D。
3、等差数列｛｝的公差d＜0，且.=12，+=8，则数列｛｝的通项公式是（ ）
A =2n-2(n∈) B =2n+4(n∈)C =-2n+12(n∈) D =-2n+10(n∈)
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③求等差数列通项公式的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，从而得到等差数列｛｝的通项公式就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝首项为，公差为d，.=12，+=8，（+d）（+3d）=12①，2+4d=8②，联立①②解得：=0，d=2或=8，d=-2，d<0，=8，d=-2，即=8-2（n-1）=-2n+10，D正确，选D。
4、在等差数列｛｝中，已知=10，=31。求；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③求等差数列通项公式的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，从而得到等差数列｛｝的通项公式就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝首项为，公差为d，=+4d =10①，=+11d =31②，联立①②解得：=-2，d=3，=-2+3（n-1）=3n-5，即=320-5=55。
5、在等差数列｛｝中，已知=1，=9，=39。求n；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③求等差数列通项公式的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于公差d的方程，求解方程求出公差d的值，从而得到等差数列｛｝的通项公式，由=39得到关于n的方程，求解方程就可求出n的值。
【详细解答】设等差数列｛｝公差为d，=1①，=+4d =9②，联立①②解得： d=2，=1+2（n-1）=2n-1，=2n-1=39，n=20。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与等差数列通项公式相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列通项公式的定义，掌握求等差数列通项公式的基本方法；
（2）求等差数列的通项公式的关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想，基本方法是：①根据条件列出关于首项，公差d的方程组；②求解方程组求出首项，公差d的值；③把求得的首项，公差d的值代入等差数列的通项公式。
〔练习2〕解答下列问题：
1、等差数列｛｝中，已知=，+=4，=33，则n是（ ） （答案：C）
A 48 B 49 C 50 D 51
2、已知数列｛｝为等差数列，且=2，+=13，则++等于（ ）
A 40 B 42 C 43 D 45 （答案：B）
3、设｛｝为等差数列，若=n，=m（mn），则= ；（答案：=0）
4、在等差数列｛｝中，已知=10，=19。求；（答案：=58）
5、已知｛｝是等差数列，=m，=n，其中nm，n，m∈，求；（答案：=-（n+m)）
6、设等差数列｛｝的前n项和为，且与的等差中项是3，=1，求；（答案：=2n-1）
7、设数列｛｝是公差为2的等差数列，数列｛｝满足：=2，=(n∈)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛｝的前n项和公式。（答案：（1）=4n-2；（2）=2）
【典例3】解答下列问题：
1、等差数列｛｝中，已知+=16，则该数列的前11项和等于（ ）
A 58 B 88 C 143 D 176
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于等差数列首项，公差d的等式，从而求出+5d的值，运用等差数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，+=2+10d =16，+5d
=8，即=11+55d=11（+5d）=118=88，B正确，选B。
2、等差数列｛｝中，=1，+=14，其前n项和=100，则n等于（ ）
A 9 B 10 C 11 D 12
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于等差数列公差d的方程，求解方程求出d的值，运用等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于n的方程，求解方程求出n的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=1①，+=2+6d =14②，联立①②解得： d=2，=n+-n==100，n=10，B正确，选B。
3、设是等差数列｛｝的前n项和，若=，则等于（ ）
A 1 B -1 C 2 D
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于等差数列前n项和的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，====
=，=1，A正确，选A。
4、已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，,偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等差数列的性质与等差数列的通项公式，等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，等差数列共有10项，其奇数项之和为15，,偶数项之和为30，5+20d=15①，5+25d=30②，联立①②解得： d=3，B正确，选B。
5、已知等差数列｛｝中，=5，=13，若=，则数列｛｝的前10项和等于（ ）
A 100 B 110 C 190 D 250
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③求等差数列通项公式的基本方法；④等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列的通项公式，结合问题条件得到关于等差数列首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，得到等差数列｛｝的通项公式，从而得到数列｛｝的通项公式，由数列｛｝的通项公式可知，数列｛｝是以1为首项，4为公差的等差数列，利用等差数列前n项和公式求出数列｛｝的前10项和的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+2d =5①，=+6d =13②，联立①②解得： d=2，=1， =1+2（n-1）=2n-1，==，数列｛｝的前10项和=++-----+=10+454=190，C正确，选C。
6、设数列｛｝的前n项和为，若=-2，=0，=3，则m=（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②数列前n项和公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据数列通项公式与n项和公式及运用之间的关系，结合问题条件求出，的值，得到数列｛｝是以为首项，1为公差的等差数列，运用等差数列前n项和公式得到关于首项，项数m的方程组，求解方程组求出m的值就可得出选项。
【详细解答】=-2，=0，=3，=-=0-（-2）=2，=-=3-0=3，-=3-2=1，数列｛｝是以首项为，公差为1的等差数列，=m+
-①，=（m+1）++②，②-①得：+m=3，=3-m，把=3-m代入①得：m（3-m）+-=0，-+=0，m=5，C正确，选C。,
7、等差数列｛｝的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则｛｝的前6项和为（ ）
A -24 B -3 C 3 D 8
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等比中项的定义与性质；④等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等差数列通项公式和等比中项的性质，结合问题条件得到关于公差d的方程，求解方程求出公差d的值，运用等差数列前n项和公式求出数列｛｝的前6项和的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，等差数列｛｝的首项为1，，，成等比数列，=（1+d）（1+5d），+2d=0，公差不为0，d=-2，即=6
1+15（-2）=-24，A正确，选A。
8、已知是等差数列｛｝的前n项和，若m＞1，+--1=0，=4025，求m的值；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等差数列的通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝首项，公差d和项数m的方程组，求解方程组就可求出m的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， m＞1，+--1=0，=4025，++2（m-1）d-2-2(m-1)d+1=0①，(2m-1) +(2m-1)
(m-1)d=4025②，联立①②解得：m=2013。
9、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛｝的前n项和公式。
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列通项与前n项和之间的关系；⑤判断（或证明）数列是等差数列的基本方法；⑥求数列通项公式的基本方法；⑦裂项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，从而得到-=2，由=，+2求出的值，从而求出的值，运用证明数列是等差数列的基本方法证明数列｛｝当n≥2时,是等差数列，由=，求出的值，从而求出-的值为2，于是得到数列｛｝是以2为首项，2为公差的等差数列，求出的表达式就可求出数列｛｝的通项公式；（2）根据（1）求出数列｛｝的通项公式，运用裂项相消法求数列前n项和的基本方法就可求出数列｛｝的前n项和公式。
【详细解答】（1）当n≥2时, +2=0，-+2=0，-+2=0，-=2，=，+2=0，=-，=+=-=，=4，即当n≥2时, 数列｛｝是以4为首项，2为公差的等差数列，=，=2，
-=4-2=2，数列｛｝是以2为首项，2为公差的等差数列，=2+2（n-1）=2n，
=，当n≥2时, =-=-==-，当n=1时,
，= ，n=1，（2）由（1）知，当n≥2时, =-=-（-）
-，n≥2；=-（1-+-+-------+-+-
）=-（1-）=-=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与等差数列前n项和相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列前n项和的定义，掌握求等差数列前n项和的基本方法；
（2）求等差数列的前n项和公式关键是由条件求出：①等差数列的首项；②等差数列的公差；
（3）求等差数列的首项，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等差数列首项，公差的方程组；②求解方程组求出等差数列首项，公差的值；③把求得的值代入等差数列的前n项和公式并求出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、在数列｛｝中，若=-2，且对任意的n∈有2=1+2，则数列｛｝的前10项和为（ ）（答案：C）
A 2 B 10 C D
2、设是等差数列｛｝的前n项和，已知=3，=11，则等于（ ）（答案：C）
A 13 B 35 C 49 D 63
3、已知｛｝是等差数列，为其前n项和，若=6，+=0，则= ；（答案：=6）
4、已知｛｝是等差数列，为其前n项和，且=10，=30，则= ；（答案：=45）
5、已知｛｝是等差数列，为其前n项和，若+=-3，=10，则的值是 ；（答案：=12）
6、已知｛｝是等差数列，=1，公差d0，是前n项和，若，，成等比数列，则= ；（答案：=64）
7、已知，是等差数列｛｝，｛｝的前n项和，且=，则= 。（答案：=）
【典例4】解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，+=10，则的值为（ ）
A 5 B 6 C 8 D 10
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②运用等差数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，结合问题条件求出的值就可得出选项。
【详细解答】在等差数列｛｝中，+=10，+=+=2，=
==5，A正确，选A。
2、在等差数列｛｝中，若++++++=420，则+等于（ ）
A 100 B 120 C 140 D 160
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②运用等差数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，结合问题条件求出+的值就可得出选项。
【详细解答】在等差数列｛｝中，++++++=420，+=+
=+=+=2，+===120，B正确，选B。
3、｛｝是公差为-2的等差数列，若+++---+=50，则+++---+=（）
A -182 B -78 C -148 D -82
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②运用等差数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，结合问题条件求出+++---+的值就可得出选项。
【详细解答】数列｛｝是公差为-2的等差数列，=-4，=-192，=
-196，+++---+==（-96）33=33-3168=50，33
=3218，即+++---+==（-100）33=33-3300=3218
-3300=-82，D正确，选D。,
4、在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则这个数列为 ；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②运用等差数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组就可求出a，b，c的值。
【详细解答】-1，a，b，c，7成等差数列，2a=-1+b①，2b= a+c②，2c= b+7③，联立①②③解得：a=1，b=3，c=5，这个数列为：-1，1，3，5，7。
5、已知数列｛｝是等差数列，且-+-+=117，则+= ；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②运用等差数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，结合问题条件就可求出+的值。
【详细解答】数列｛｝是等差数列，+=+=+=2，-+
-+==117，+=2=2117=234。
6、设等差数列｛｝的前n项和为，若=9，=36，则++= ；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②运用等差数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，结合问题条件得到关于，，的方程，求解方程求出的值就可求出++的值。
【详细解答】等差数列｛｝的前n项和为，，-，-成等差数列，
2（-）=+-，=9，=36，++=-，++=2（-）-=2-3=236-39=45。
7、在等差数列｛｝中，已知+++=21，+++=67，且前n项和=286。
（1）求n；
（2）设等差数列｛｝的前n项和为，若=20，=38，求；
（3）设等差数列｛｝的项数为奇数，且=44，=33，求和n。
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列前n项和公式及运用；③运用等差数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质，结合问题条件得到关于+的方程，求解方程求出+的值，运用等差数列前n项和公式得到关于n的方程，求解方程就可求出n的值；（2）根据等差数列的性质，结合问题条件得到关于，，的方程，求解方程就可求出的值；（3）根据等差数列的性质，结合问题条件得到关于n的方程，求解方程求出n的值，从而求出的值。
【详细解答】（1）在等差数列｛｝中，+=+=+=+，+++=21，+++=67，4（+）=21+67=88，+=22，
===11n=286，n=26；（2）等差数列｛｝的前n项和为，
，-，-成等差数列，2（-）=+-，=20，=38，
=3（-）=3（38-20）=54；（3）等差数列｛｝的项数为奇数，=44，=33，
=-=44-33，===11n=+=44+33=77，n=7。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是与等差数列性质相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列的性质，掌握运用等差数列的性质解答相应问题的基本方法；
（2）求解与等差数列性质相关问题的基本方法是：①根据问题确定它与等差数列的哪些性质相关；②运用相关性质解答问题；③得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、等差数列｛｝中，++=9，那么关于x的方程+（+）x+10=0（ ）（答案：A）
A 无实数根 B 有两个相等实数根 C 有两个不等实数根 D 不能确定有无实数根
2、数列｛｝，｛｝都是等差数列，且=25，=75，+=100，那么数列｛+｝的第57项为（ ）（答案：C）
A 0 B 37 C 100 D -37
3、在等差数列｛｝中，=-2018，其前n项和为，若- =2，则的值等于（ ）（答案：A）
A -2018 B -2016 C -2019 D -2017
4、在等差数列｛｝中，已知+=16，=1，则= ；（答案：=15）
5、在等差数列｛｝中，已知++++=20，则= ；（答案：=4）
6、若｛｝是等差数列，且++=45，++=39，则++= ；（答案：++=33）
7、有三个数成等差数列，它们的和为9，积为-21，则这3个数依次为 ；（答案：-1，3，7或7，3，-1）
8、在等差数列｛｝中，若++++=25，则+= ；（答案：+=10）
9、已知数列｛｝，｛｝都是等差数列，若+=9，+=15，则+= ；（答案：+=21）
10、设等差数列｛｝的前n项和为，且=-12，=45，则= ；（答案：=114）
11、设等差数列｛｝的前n项和为，已知=30，=50，求：
（1）；
（2）若=242，则n的值是多少？（答案：（1）=2n+10；（2）n的值是11.）
【典例5】解答下列问题：
1、在等差数列｛｝中，=25，=，则的最大值= ；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列前n项和公式及运用；③求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质与前n项和公式，结合问题条件得到等差数列前n项和关于自变量n的一元二次函数，运用求一元二次函数最值的基本方法就可求出的最大值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，在等差数列｛｝中，=25，=，1725+136d=925+36d，d=-2，=25n-2=-+26n，当且仅当n
=-=13时，=-169+2613=169，的最大值,169。
2、在等差数列｛｝中，已知=20，前n项和为，且= ，求n为何值时，取得最大值，并求出最大值；
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列前n项和公式及运用；③求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质与前n项和公式，结合问题条件得到等差数列前n项和关于自变量n的一元二次函数，运用求一元二次函数最值的基本方法就可求出的最大值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，在等差数列｛｝中，已知=20，前n项和为，= ，1020+55d=1520+105d，d=-2，=20n-2=-
+21n，当且仅当n=- =11时，=-121+2111=110，当n=11时，取得最大值，的最大值为110。
3、在等差数列｛｝中，已知＞0，设是等差数列｛｝的前n项和，若=。
（1）；
（2）当取得最大值时，求项数n的值。
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列前n项和公式及运用；③求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据等差数列的性质与前n项和公式，结合问题条件得到等差数列前n项和关于自变量n的一元二次函数，运用求一元二次函数最值的基本方法就可求出的最大值；（2）由（1）就可求出当取得最大值时，项数n的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，在等差数列｛｝中，已知＞0，设是等差数列｛｝的前n项和，=，3+3d=11+55d，d=-，>0，
d=-<0，=n-=-+n，当且仅当n=- =7时，=-49+7=；（2）由（1）知，当取得最大值时，项数n的值为7。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与等差数列前n项和最值相关的问题，解答这类问题需要理解等差数列前n项和存在最值的条件，掌握求等差数列前n项和最值的基本方法；
（2）求等差数列前n项和的最大值和最小值问题的常用方法有：①一元二次函数求最值的基本方法；②通项公式法；③不等式法；
（3）一元二次函数求最值的基本方法是：①运用公式=n+d得到=+（-）n=A+Bn，当d0时A0， 是关于n的一元二次函数；②根据（n，）是抛物线y=A+Bn上一群孤立的点，利用二次函数的性质求出｛｝的前n项和的最大值或最小值；
（4）通项公式法是直接运用等差数列的常用性质1解答问题；
（5）不等式法是运用当最大时，必有不等式组 （n2，n∈）成立，解这 ，不等式组确定n的取值范围，
进而确定n的值，再求出与n对应的的值。
〔练习5〕解答下列问题：
1、设是公差为d（d0）的无穷等差数列｛｝的前n项和，则下列命题错误的是（ ）
A 若d＜0，则数列｛｝有最大项 B 若数列｛｝有最大项，则d＜0
C 若数列｛｝是递增数列，则对任意的n∈，均有＞0
D 若对任意的n∈，均有＞0，则数列｛｝是递增数列 （答案：C）
2、等差数列｛｝中，＞0，=，则取最大值时，n= ；（答案：n=6(或n=7)）
3、等差数列｛｝中，d＜0，若||=||，则数列｛｝的前n项和取最大值时，n的值为 ；（答案：n=5(或n=6)）
4、在等差数列｛｝中，=20，前n项和为，且=，求当n取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；（答案：当n=12（或n=13）时，取得最大值为130）
【追踪考试】
1、记为等差数列｛｝的前n项和，若2=3+6，则公差d= （2022全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列的性质，运用等差数列前n项和公式，结合问题条件得到关于，d的方程，求解方程就可求出d的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，2=3+6，6+6d=6+3d+6，
d=2。
2、中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现，如图是某古建筑物的面图，A，B，C，D柠，D，C，B，A是脊，O，D，C，B是相等的步，相邻柠的脊步的比分别为=0.5，=，=，=，若，，是公差为0.1的等差数列，直线OA的斜率为0.725，则=（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A 0.75 B 0.8 C 0.85 D 0.9
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③直线斜率定义与性质。
【解答思路】如图，设O=D=C=B=1，根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式，结合问题条件得到D=1，C=，B=+0.1，A=+0.2，利用直线斜率的性质得到关于的方程，求解方程求出的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】如图，设O=D=C=B=1， =0.5，=，=，=，，，是公差为0.1的等差数列， D=0.5，C=，B=+0.1，A=+0.2，直线OA的斜率为0.725， = =0.725，
=0.7，=+0.2=0.9，D正确，选D。
3、已知数列{ }的前n项和为，若=，=++，则=（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 10 B 20 C 100 D 400
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列前n项和公式与通项公式之间的关系及运用；⑤等差数列定义与性质；⑥求等差数列前n项和的基本方法。
【解题思路】根据数列通项公式与前n项和公式，得到数列{ }是以为首项，为公差的等差数列，运用等差数列的性质和求等差数列前n项和的基本方法求的值就可得出选项。
【详细解答】=，=++， -=+，-=，数列{ }是以为首项，为公差的等差数列，=20+=5+519
=100，C正确，选C。
4、在等差数列{}中，已知=3，+=10，则数列{}的公差为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A -1 B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②求等差数列公差的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质，运用求等差数列公差的基本方法，结合问题条件求出数列{}的公差就可得出选项。
【详细解答】设数列{}的公差为d，=+2d=3①，+=2+6d =10②，联立①②解得：=-1，d=2，D正确，选D。
5、记为{}的前n项和，已知>0，=3，且数列{}是等差数列，证明：数列{}是等差数列（2021全国高考甲卷）。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④证明数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】根据等差数列的性质和等差数列通项公式，结合问题条件得到关于等差数列{}公差d，的等式，从而把公差d表示为关于首项的式子，运用等差数列前n项和公式得到关于数列首项的式子，从而得到关于数列首项的式子，利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。
【详细解答】证明：设等差数列{}的公差为d，>0，=3，=，==2，d=-=2-
=， =+（n-1）=n，=，当n=1时，==，当
n2时，=-=-=（-+2n-1）=（2n-1），=[2（n-1）-1] =（2n-3），-=[2n-1-(2n-3)] =2为常数， -=3
-=2，数列{}是以为首，2为公差的等差数列。
6、设等差数列｛｝的前n项和为，且0，=3，则=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C D
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的等式，从而把d表示成关于的式子，得出数列前n项和，求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+4d=3=3+6d，
d=-,=n+=n(n+1), ==,C正确，选C。
7、记为等差数列｛｝的前n项和，若=-2，+=2，则= （2020全国高考新课标II）
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，结合问题条件得到关于d的方程，求解方程得出d的值，从而求出数列前n项和就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=-2，+=2，-4+6d=2，d=1，=10（-2）+1=-20+45=25。
8、如图，将钢琴上的12个键依次记为，，------，设1 iA 5 B 8 C 10 D 15
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用。
【解答思路】根据原位大三和弦的定义，运用k-j=3且j-i=4，求出，，的所有可能取值就可得出原位大三和弦的个数，根据原位小三和弦的定义，运用k-j=4且j-i=3，求出，，的所有可能取值就可得出原位小三和弦的个数，从而求出原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和就可得出选项。
【详细解答】当i=1时， k-j=3且j-i=4，j=5，k=8；当i=2时， k-j=3且j-i=4，j=6，k=9；当i=3时， k-j=3且j-i=4，j=7，k=10；当i=4时， k-j=3且j-i=4，j=8，k=11；
当i=5时， k-j=3且j-i=4，j=9，k=12；所有原位大三和弦有：，，；，，；，，；，，；，，共5个；原位小三和弦满足：k-j=4且j-i=3，k-i=7，k=8，9，10，11，12也是5个，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10，C正确，选C。
9、已知等差数列｛｝的前n项和为，且=，=15，则=（ ）（2019成都市高三零诊）
A B 1 C D 2
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项公式的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， =+3d=①， =10+45d=15②，联立①②解得：=，d=-，=+（7-1）（-）
=，A正确，选A。
10、设为等差数列｛｝的前n项和，且2+=+，则=（ ）（2019成都市高三一诊）
A 28 B 14 C 7 D 2
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得到首项关于公差d表示式，运用求等差数列前n项和的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， 2+=+， +4d+2=2+7d，+3d=2，=7+21d=7（+3d）=72=14，B正确，选B。
11、记为等差数列{ }的前n项和，已知=0，=5，则（ ）（2019全国高考新课标I）
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项（或前n项和）的基本方法把（或）表示成关于n的函数就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=4+6d=0①， =+4d=5②，联立①②解得：=-3，d=2，=-3+（n-1）2=2n-5，=-3n+2=-4n，A正确，选A。
12、设等差数列｛｝满足3=5，且>0，则前n项和中最大的是（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求等差数列前n项和的基本方法。
【解答思路】设等差数列｛｝的公差为d，根据等差数列｛｝通项公式的性质，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得出公差d关于首项的表示式，运用求等差数列前n项和的基本方法把表示成关于n的函数，利用函数求最值的基本方法求出的最大值就可得出选项。
【详细解答】设等差数列｛｝的公差为d，=+7d，=+12d，3=5，3+21d=5+60d, d=-，=n+(-)=（-+40n），当n=-=20时，取的最大值，C正确，选C。
已知公差大于零的等差数列｛｝中，，，依次成等比数列，则的值是
（2019成都市高三一诊）
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等比中项的定义与性质。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和等比中项的性质，结合问题条件得到关于首项，公差d的等式，从而得到首项关于公差d表示式，运用求等差数列通项公式的基本方法表示出，关于公差d的式子就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d， ，，，=（+d）(+11d)，5-4d=d(5d-4)=0, 公差d＞0，=d，
=d+11d=d，=d+d=d，=。
14、记为等差数列{ }的前n项和，若=5，=13，则= （2019全国高考新课标III）
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，结合问题条件得到关于，d的方程组，求解方程组求出，d的值，利用等差数列前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+2d=5①，=+6d=13②，联立①②解得：=1，d=2，=1+（10-1）2=19。
15、设等差数列{ }的前n项和为，若=-3，=-10，则= ，的最小值为 （2019全国高考北京（理））
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解答思路】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，根据等差数列｛｝通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于首项，公差d的方程组，求解方程组求出公差d，首项的值，运用求等差数列通项公式（或前n项和）的基本方法求出的值，并把表示成关于n的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】设等差数列｛｝的首项为，公差为d，=+d=-3①， =5+10d=-10②，联立①②解得：=-4，d=1，=-4+（5-1）1=0，=-4n+
1=-n，n∈，当且仅当n=-=5时，=25-5=-10。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中与等差数列相关的试题，归结起来主要包括：①等差数列定义及运用；②等差数列的通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④等差数列的最值问题等几种类型，
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、记为等差数列｛｝的前n项和，若3=+，=2，=（ ）（2018全国高考新课标I卷）（答案：D）
A -12 B -10 C 10 D 12
2、等差数列｛｝的公差为2，若，，成等比数列，则｛｝的前n项和为=（ ）（2018全国高考新课标II卷）（答案：A）
A n(n+1) B n(n-1) C D
3、设｛｝是等差数列，且=3，+=36，则｛｝的通项公式为 （2018全国高考北京卷）（答案：=6n-3）
4、设等差数列｛｝的前n项和为，若=20，=10，则=（ ）（2018成都市高三二诊）（答案：D）
A -32 B 12 C 16 D 32
5、记为等差数列{ }的前n项和，已知=0，=5，则（ ）（答案：A）
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
6、设等差数列｛｝的公差为1，且，，成等比数列，则｛｝的前20项和为（ ）
A 230 B -230 C 210 D -210 （答案：A）
7、设等差数列{ }的前n项和为，若=-3，=-10，则= ，的最小值为 。（答案：=0）
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