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第二十三讲 等比数列及其前n项和
【考纲解读】
理解等比数列和等比中项的定义，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
能够运用等比数列的知识解答简单的实际问题。
【知识精讲】
一、等比数列的概念：
1、等比数列的定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示。
2、等比中项的定义：
（1）等比中项的定义：如果三项成等比数列，那么第二项是第一项与第三项的等比中项；
（2）等比中项的性质：如果a、b、c成等比数列，则=acb=
二、等比数列的通项公式与前n项和公式：
1等比数列的通项公式：
（1）已知等比数列｛｝的首项，公比q，=；
（2）已知等比数列｛｝的第m（m＜n）项，公比q，=。
2、等比数列的前n项和公式：
（1）已知等比数列｛｝的首项，公比q（q≠1）和项数n，=；
（2）已知等比数列｛｝的第m（m＜n）项，公比q（q≠1）和项数n，=；
（3）已知等比数列｛｝的首项，公比q（q=1）和项数n，=n。
三、等比数列的常用性质：
1、设数列｛｝是等比数列：
（1）如果＞0，q＞1（或＜0，0＜q＜1）时，则数列｛｝为递增数列；
（2）如果＜0，q＞1或（＞0，0＜q＜1)时，则数列｛｝为递减数列。
2、在有穷等比数列｛｝中，与首末两项距离相等的两项的积相等，并且等于首末两项的积；特别地当数列的项数为奇数时， ==----------=。
3、设m，n，p，q，且m+n=p+q，则有=；特别地当m+n=2p时，有=（这里的，，，分别是等比数列｛｝中的项）。
4、设数列｛｝，｛｝均是等比数列，则数列｛m｝，｛m｝，｛m｝，｛｝，｛｝（m∈R，且m≠0）仍是等比数列。
5、设等比数列｛｝的前n项和为，则，-，-成等比数列。
【探导考点】
考点1等比数列基本量的运算：热点①已知数列的首项和递推公式，求等比数列的前n项和；热点②已知等比数列某几项的值（或某几项的关系式），求等比数列某项的值（或前几项的和）；热点③已知等比数列前几项的和，求等比数列某项的值；
考点2等比数列的判断（或证明）：热点①已知数列首项和递推公式，判断（或证明）数列是等比数列；热点②已知数列某几项的值（或某几项的关系式），判断（或证明）数列是等比数列；热点③已知数列满足一定条件，判断（或证明）与已知数列相关的数列是等比数列；
考点3等比数列的性质及运用：热点①等比数列性质的直接运用；热点②等比数列前n项和性质的运用；热点③等比数列和等差数列性质的综合运用。
【典例解析】
【典例1】按要求解答下列各题：
1、下面四个结论：①由第一项起乘相同常数得后一项，所得数列一定为等比数列；②常数数列b，b，b，-----，b一定为等比数列；③等比数列｛｝中，若公比q=1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不为零。说法正确的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、等比数列｛｝中，=，q=2，则与的等比中项是（ ）
A 4 B 4 C D
3、在等比数列｛｝中，，是方程3-11x+9=0的两个根，则= ；
4、观察下面四个数列：①1，-，，-，；②数列｛｝中，已知=2，=2；③常数数列a，a，a，----；④数列｛｝中，=2。其中是等比数列的为 （只填序号）
5、求出下列等比数列中的未知项：
（1）2，a，8； （2）-4，b，c，。
6、数列｛｝的前n项和为，若+ =n，=-1，
求证：数列｛｝是等比数列；
7、设a、b、c、d成等比数列，a+b，b+c，c+d均不为零，
求证：a+b，b+c，c+d成等比数列。
8、设数列｛｝的前n项和为，已知+2+3+------+n=（n-1）+2n（n∈）。
（1）求，的值； （2）求证：数列｛+2｝是等比数列。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与等比数列的定义相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列，等比中项的定义，注意等比中项的性质；
（2）【典例1】中6，7，8是等比数列判断或证明的问题，等比数列判断或证明问题的基本方法有：①定义发；②等比中项法；③通项公式法；④前n项和公式法；
（3）定义法是判断或证明=q是常数（n∈)；特别地若问题是判断或证明三项成等比数列，则可以运用等比中项的性质加以解决；
（4）等比中项法是判断或证明=.（n2，n∈）；
（5）通项公式法是当数列的通项公式容易求出时，只需判断或证明数列的通项公式是关于n的一次函数（即=c，c，q是常数，且均不为0 ，n∈）；
（6）前n和公式法是当数列的前n项和容易求出时，只需判断或证明数列的前n项和公式是关于n的二次函数，（即=k-k，k0，q0且q1为常数，n∈）。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、如果数列｛｝是等比数列，那么（ ）
A 数列｛｝是等比数列 B 数列｛｝是等比数列
C 数列｛lg｝是等比数列 D 数列｛n｝是等比数列
2、等比数列x，3x+3，6x+6，-----的第四项等于（ ）
A -24 B 0 C 12 D 24
3、设数列｛｝，｛｝是项数相同的等比数列，
求证：数列｛｝是等比数列；
4、三个数成等比数列，若三个数的和为14，三个数的积是64，求这三个数；
5、已知数列｛｝满足=1，=3+1。
（1）证明：数列｛+｝是等比数列，并求｛｝的通项公式；
（2）证明：++-------+＜。
【典例2】按要求解答下列各题：
1、已知｛｝是等比数列，=1，=2，则等于（ ）
A 2 B 2 C - 2 D 4
2、设=2，数列｛1+2｝是公比为2的等比数列，则等于（ ）
A 31.5 B 160 C 79.5 D 159.5
3、已知等比数列｛｝满足=，=4（-1），则=（ ）
A 2 B 1 C D
4、已知等比数列｛｝的前三项依次为a-1，a+1，a+4，求数列｛｝的通项公式；
5、已知等比数列｛｝中，++=7，=8。求；
6、在等比数列｛｝中。
（1）已知=2，=8，求；
（2）已知+=18，+=9，=1，求n。
7、设数列｛｝中，=，若以，，----------为系数的二次方程-x+1=0 (n≥2,n∈)。都有根，，满足：3-+3=1。
（1）求证：数列｛- ｝为等比数列； （2）求；
（3）求数列｛｝的前n项和。
8、设等差数列｛｝的前n项和，若=1+，=9+3。
（1）求数列｛｝的通项与前n项和；
（2）设=（ n∈)，求证数列｛｝中的任意不同三项都不可能为等比数列。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与等比数列通项公式相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列通项公式的定义，掌握求等比数列通项公式的基本方法；
（2）求等比数列的通项公式关键是由条件求出：①等比数列的首项；②等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等比数列首项，公比的方程组组；②求解方程组求出等比数列首项，公比的值；③把求出等比数列首项，公比的值代入等比数列通项公式。
〔练习2〕按要求解答下列各题：
1、已知等比数列｛｝中，=7，=21，则等于（ ）
A 35 B 63 C 21 D 189
2、数列｛｝的公差不为0的等差数列，且，，为等比数列｛｝中的连续三项，则数列｛｝的公比为（ ）
A B 4 C 2 D
3、在各项都为正数的等比数列｛｝中，=3，前三项的和为21，则++=（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189
4、若数列｛｝的前n项和=+，则｛｝的通项公式为= ；
5、设为等比数列｛｝的前n项和，若=1，且3,2，成等差数列，则=
（2015全国高考湖南卷）
6、已知数列｛｝是公比为正数的等比数列，若=1，=16。求；
7、在等比数列｛｝中，已知=12，=18。求；
【典例3】按要求解答下列各题：
1、设｛｝是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若｛｝是等差数列，则q等于（ ）
A 1 B 0 C 1或0 D -1
2、设等比数列｛｝的公比q=2，前n项和为，则的值为（ ）
A B C D
3、若等比数列｛｝的前n项和=k .+1，则k的值为 ；
4、已知等比数列｛｝的前n项和为，且+=，+=，则= ；
5、已知｛｝是公比为正数的等比数列，若=1，=16，求数列｛｝的前七项的和；
6、已知各项均为正数的等比数列｛｝的前n项和为，=26，前m项中数值最大的项的值为18，=728，求数列｛｝的通项公式；
7、已知等比数列｛｝的各项均为正数，=80，=6560，且在前n项中最大的项为54，求n的值；
8、在等比数列｛｝中，已知=1，项数为偶数，且=85，=170。
求：(1)q； (2)n。
9、在等比数列｛｝中，，，成等差数列。
（1）求q；
（2）设数列｛｝是2为首项，q为公差的等差数列，是数列｛｝的前n项和(n≥2,
且n∈)，比较与的大小。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与等比数列前n项和相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列前n项和的定义，掌握求等比数列前n项和的基本方法；
（2）求等比数列前n项和的关键是：①求出等比数列的首项；②求出等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等比数列首项，公比的方程组；②求解方程组求出等比数列首项，公比的值；③ 运用等比数列前n项和公式求出结果。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、设为等比数列｛｝前n项和，8+=0，则=（ ）
A -11 B -8 C 5 D 11
2、设数列｛｝是等比数列，其前n项和为，且=3，则公比q的值为（ ）
A - B C 1或- D -1或
3、等比数列首项a＞0，公比q＞0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，则a= ，q= ；
4、设等比数列｛｝前n项和为，若=3，=15，则等于（ ）
A 31 B 32 C 63 D 64
5、设｛｝是由正数组成的等比数列，为前n项和，已知=1，=7，则等于（ ）
A B C D
6、设为等比数列｛｝的前n项和，若=1，且3,2，成等差数列，则= 。
【典例4】按要求解答下列各题：
1、在等比数列｛｝中，已知=8，那么等于（ ）
A 4 B 6 C 12 D 16
2、在等比数列｛｝中，=6，+=5，则=（ ）
A - 或- B C D 或
3、在等比数列｛｝中，若+=20，+=40，则等于（ ）
A 140 B 120 C 210 D 520
4、在等比数列｛｝中，=2，=6，则+ + + 等于（ ）
A 32 B 16 C 35 D 162
5、等比数列｛｝中，＜0，｛｝是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是 ；
6、若等比数列｛｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则= ；
7、在等比数列｛｝中，已知=-512，+=124，且公比为整数，则= ；
8、在等比数列｛｝中，已知=48，=60，求。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是与等比数列性质相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列的常用性质，掌握运用等比数列性质解答问题的基本方法；
（2）针对具体问题时，应该明确问题到底与等比数列的哪些性质相关，再运用等比数列的相关性质直接求解；
（3）解答有关等比数列问题的常用思想方法有：①方程思想；②数形结合思想；③函数思想；
（4）解答等差数列与等比数列的综合问题时，应该注意挖掘问题的隐含条件，发现等差（或等比）关系，同时适当利用等差数列(或等比数列)的性质转化条件从而使问题简化。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若数列｛｝，｛｝都是等比数列，则下列数列中仍是等比数列的是（ ）
A ｛+｝ B ｛-｝ C ｛｝ D ｛+5｝
2、已知等比数列｛｝的各项均为正数，且+=18，则++------
+等于（ ）
A 12 B 10 C 8 D 2+5
3、已知｛｝是递增等比数列，=2，-=4，则此数列的公比q= ；
4、设等比数列｛｝的前n项和为，若=3，则=（ ）
A 2 B C D 3
5、已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ）
A 7 B 9 C 63 D 7或63
6、已知等比数列｛｝共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q= ；
7、在等比数列｛｝中，+=20，=64。
求：（1）； （2）。
8、设等比数列｛｝的前n项和为，且，，成等比数列。求证：2，，-成等比数列。
【追踪考试】
1、已知等比数列{ }的前3项和为168，-=42，则=（ ）（2022全国高考乙卷）
A 14 B 12 C 6 D 3
2、在等比数列{ }中，已知>0，则“>”是“>”的（ ）（成都市2019级高三二诊）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件
3、若等比数列{ }满足+=2，-=6，则=（ ）（2021成都市高三一诊）
A -32 B -8 C 8 D 64
4、记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
5、一种等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020成都市高三零诊）
A 1 B 3 C 6 D 9
6、设正项等比数列｛｝满足=81，+=36，则= （2020成都市高三一诊）
7、在等比数列｛｝中，已知=，则该数列的公比是（）（2020成都市高三三诊）
A -3 B 3 C 3 D 9
8、设数列｛｝是等比数列，且++=1，++=2，则++=（ ）（2020全国高考新课标I）
A 12 B 24 C 30 D 32
9、记为等比数列｛｝前10项和，若-=12，,-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II）
A -1 B 2- C 2- D -1
10、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020全国高考北京卷）
A 1 B 3 C 6 D 9
11、已知各项均为正数的等比数列{ }的前4项和为15，且=3+4，则=（ ）（2019全国高考新课标III）
A 16 B 8 C 4 D 2
12、记为等比数列{ }的前n项和，若=1，=，则= （2019全国高考新课标I）
13、设1------，其中，，，成公比为q的等比数列，，，成公差为1的等差数列，则q的最小值是 （2019全国高考江苏）
14、设数列｛｝是首项为m，公比为q（q 1）的等比数列，它的前n项和为，对任意的n∈，点（，）（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A在直线mx+qy-q=0上 B在直线qx-my+m=0上C在直线qx+my-q=0上D不一定在一条直线上
15、已知数列｛｝，｛｝均为等比数列，其前n项和分别为，，若对任意的n∈，都有= ，则=（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A 81 B 9 C 729 D 730
『思考问题5』
(1) 【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末高三）试卷中与等比数列相关的试题，归结起来主要包括：①等比数列基本定义及运用；②等比数列的通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用；④等比数列的性质及运用等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、“十二平均算”是通用的普算体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半普比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均算将一个纯八度普程分成十二份，依次得到十三个单普，从第二个单普起，每一个单普的频率与它的前一个单普的频率的比都等于，若第一个单普的频率为f，则第八个单普的频率为（ ）（2018全国高考北京卷）
f A f B f C f D f
2、设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ）（2018全国高考北京卷）
A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
3、已知数列｛｝是首项为2018，公比为2018的等比数列，设数列｛｝的前n项和为，则...------.= （2018成都市高三零诊）
4、在等比数列｛｝中，＞0，若.=81，=1，则=（ ）（成都市2017—2018下期高一数学质检）
A 16 B 81 C 3 D 27
5、在正项数列{}中，若=1，且对所有n满足n-（n+1）=0，则=（ ）（成都市2017—2018高一下期期末质量检测）
A 1013 B 1014 C 2016 D 2017
6、已知数列｛｝满足：=1，=2（m∈）。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）求数列｛n-｝的前n项和（成都市2017—2018下期高一数学质检（文））
7、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔7层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）（2017全国高考新课标II卷）
A 1盏 B 3盏 C 5盏 D 9盏
8、设等比数列｛｝满足：+=-1，,-=-3，则= （2017全国高考新课标III卷）
9、等比数列｛｝的各项均为实数，其前n项的和为，已知=，=，则=
（2017全国高考江苏卷）
10、已知数列｛｝是等比数列，则“＜”是“数列｛｝为递增数列”的（ ）（2017成都市高三零珍）
A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件
11、在等比数列｛｝中，已知=6，++=78，则=（ ）（2017成都市高三二诊）
A 12 B 18 C 24 D 36
12、在等比数列｛｝中，=2，公比q=2，若=（m∈)，则m=（ ）（2017成都市高三三诊）
A 11 B 10 C 9 D 8
第二十三讲 等比数列及其前n项和
【考纲解读】
1、理解等比数列和等比中项的定义，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
2、能够运用等比数列的知识解答简单的实际问题。
【知识精讲】
一、等比数列的概念：
1、等比数列的定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，通常用q表示。
2、等比中项的定义：
（1）等比中项的定义：如果三项成等比数列，那么第二项是第一项与第三项的等比中项；
（2）等比中项的性质：如果a、b、c成等比数列，则=acb=
二、等比数列的通项公式与前n项和公式：
1等比数列的通项公式：
（1）已知等比数列｛｝的首项，公比q，=；
（2）已知等比数列｛｝的第m（m＜n）项，公比q，=。
2、等比数列的前n项和公式：
（1）已知等比数列｛｝的首项，公比q（q≠1）和项数n，=；
（2）已知等比数列｛｝的第m（m＜n）项，公比q（q≠1）和项数n，=；
（3）已知等比数列｛｝的首项，公比q（q=1）和项数n，=n。
三、等比数列的常用性质：
1、设数列｛｝是等比数列：
（1）如果＞0，q＞1（或＜0，0＜q＜1）时，则数列｛｝为递增数列；
（2）如果＜0，q＞1或（＞0，0＜q＜1)时，则数列｛｝为递减数列。
2、在有穷等比数列｛｝中，与首末两项距离相等的两项的积相等，并且等于首末两项的积；特别地当数列的项数为奇数时， ==----------=。
3、设m，n，p，q，且m+n=p+q，则有=；特别地当m+n=2p时，有=（这里的，，，分别是等比数列｛｝中的项）。
4、设数列｛｝，｛｝均是等比数列，则数列｛m｝，｛m｝，｛m｝，｛｝，｛｝（m∈R，且m≠0）仍是等比数列。
5、设等比数列｛｝的前n项和为，则，-，-成等比数列。
【探导考点】
考点1等比数列基本量的运算：热点①已知数列的首项和递推公式，求等比数列的前n项和；热点②已知等比数列某几项的值（或某几项的关系式），求等比数列某项的值（或前几项的和）；热点③已知等比数列前几项的和，求等比数列某项的值；
考点2等比数列的判断（或证明）：热点①已知数列首项和递推公式，判断（或证明）数列是等比数列；热点②已知数列某几项的值（或某几项的关系式），判断（或证明）数列是等比数列；热点③已知数列满足一定条件，判断（或证明）与已知数列相关的数列是等比数列；
考点3等比数列的性质及运用：热点①等比数列性质的直接运用；热点②等比数列前n项和性质的运用；热点③等比数列和等差数列性质的综合运用。
【典例解析】
【典例1】按要求解答下列各题：
1、下面四个结论：①由第一项起乘相同常数得后一项，所得数列一定为等比数列；②常数数列b，b，b，-----，b一定为等比数列；③等比数列｛｝中，若公比q=1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不为零。说法正确的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法。
【解题思路】根据等比数列的性质和判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法，对各说法进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，当这个常数为0时，所得数列不是等比数列，①错误；对②数数列b，b，b，-----，b是公比为1的等比数列，②正确；对③，在等比数列｛｝中，若公比q=1，则数列｛｝是常数数列，③正确；对④，在等比数列中，若首项，公比有一个为0，则数列各项均为0不是等比数列，若首项，公比都不为0，则数列各项均不为0，数列是等比数列，④正确，D正确，选D。
2、等比数列｛｝中，=，q=2，则与的等比中项是（ ）
A 4 B 4 C D
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比中项定义与性质。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件求出，的值，运用等比中项的性质求出，等比中项的值就可得出选项。
【详细解答】在等比数列｛｝中，=，q=2，==1，==16，
.=116，，等比中项为=4，B正确，选B。
3、在等比数列｛｝中，，是方程3-11x+9=0的两个根，则= ；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②一元二次方程根与系数关系定理及运用；③等比中项定义与性质。
【解题思路】根据等比数列的性质和一元二次方程根与系数关系定理，结合问题条件求出.的值，运用等比中项的性质就可求出的值。
【详细解答】在等比数列｛｝中，，是方程3-11x+9=0的两个根，.
=3，.，成等比数列，==。
4、观察下面四个数列：①1，-，，-，；②数列｛｝中，已知=2，=2；③常数数列a，a，a，----；④数列｛｝中，=2。其中是等比数列的为 （只填序号）
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法。
【解题思路】根据等比数列的性质和判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法，对各数列进行判断就可得出结果。
【详细解答】对①，数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于-，数列是等比数列；对②数列｛｝中，只有前三项满足=2，=2，后面的项无法确定，数列不一定是等比数列；对③，常数数列a，a，a，----的首项为a，公比为1，数列是等比数列；对④，数列｛｝中，=2，=2，即数列｛｝是首项为，公比为2的等比数列，其中是等比数列的为①，③，④。
5、求出下列等比数列中的未知项：
（1）2，a，8； （2）-4，b，c，。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】（1）根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件求出等比数列公比的值，运用等比数列通项公式就可求出a的值；（2）根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件求出等比数列公比的值，运用等比数列通项公式就可求出b，c的值。
【详细解答】（1）设等比数列的公比为q，2=8，q=2，即a=4；(2)设等比数列的公比为q，-4=，q=-，即b=-4（-）=2，c=-4=-1。
6、数列｛｝的前n项和为，若+ =n，=-1，
求证：数列｛｝是等比数列；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列通项与前n项和之间的关系；⑤判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法。
【解题思路】根据数列通项公式，前n项和公式与数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，从而得到关于，的等式，推出=，运用判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法就可证明数列｛｝是等比数列。
【详细解答】证明：当n=1时， + =n，+=1，=，当n2时，+ =n，+=n-1，-+=1，2（-1）=-1，即=，
=-1，=-1，=，=-1=-1=-，数列｛｝是以-为首项，为公比的等比数列。
7、设a、b、c、d成等比数列，a+b，b+c，c+d均不为零，
求证：a+b，b+c，c+d成等比数列。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比中项的定义与性质；③判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法。
【解题思路】根据等比数列的性质，结合问题条件得到=ac，ad=bc，=bd，从而证明=（a+b）（c+d）就可证明a+b，b+c，c+d成等比数列。
【详细解答】证明： a，b，c，d成等比数列，=ac，ad=bc，=bd，=+2bc+= ac+ ad+ bc+ bd，（a+b）（c+d）= ac+ ad+ bc+ bd，=（a+b）（c+d），即a+b，b+c，c+d成等比数列。
8、设数列｛｝的前n项和为，已知+2+3+------+n=（n-1）+2n（n∈）。
（1）求，的值； （2）求证：数列｛+2｝是等比数列。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列通项与前n项和之间的关系；⑤判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法。
【解题思路】（1）根据数列通项公式，前n项和公式与数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件由n=1，n=2，n=3就可求出，，的值；（2）根据数列通项公式，前n项和公式与数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，从而证明数列｛+2｝是等比数列。
【详细解答】（1）当n=1时，=（1-1）+2，=2；当n=2时，+2=（2-1）+4，=4；当n=3时，+2+3=（3-1）+6，=8；（2）+2+3
+------+（n-1）+n=（n-1）+2n，+2+3+------+（n-1）=（n-2）+2（n-1），n=（n-1）-（n-2）+2，n（-）=（n-1）-（n-2）+2，
=2+2，+2=2（+2），=2，=+=2+4=6，+2=8，即当当n2时，数列｛+2｝是以8为首项，2为公比的等比数列，+2=8=，
当n=1时，+2=2+2=4=成立，数列｛+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与等比数列的定义相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列，等比中项的定义，注意等比中项的性质；
（2）【典例1】中6，7，8是等比数列判断或证明的问题，等比数列判断或证明问题的基本方法有：①定义发；②等比中项法；③通项公式法；④前n项和公式法；
（3）定义法是判断或证明=q是常数（n∈)；特别地若问题是判断或证明三项成等比数列，则可以运用等比中项的性质加以解决；
（4）等比中项法是判断或证明=.（n2，n∈）；
（5）通项公式法是当数列的通项公式容易求出时，只需判断或证明数列的通项公式是关于n的一次函数（即=c，c，q是常数，且均不为0 ，n∈）；
（6）前n和公式法是当数列的前n项和容易求出时，只需判断或证明数列的前n项和公式是关于n的二次函数，（即=k-k，k0，q0且q1为常数，n∈）。
〔练习1〕按要求解答下列各题：
1、如果数列｛｝是等比数列，那么（ ）（答案：A）
A 数列｛｝是等比数列 B 数列｛｝是等比数列
C 数列｛lg｝是等比数列 D 数列｛n｝是等比数列
2、等比数列x，3x+3，6x+6，-----的第四项等于（ ）（答案：A）
A -24 B 0 C 12 D 24
3、设数列｛｝，｛｝是项数相同的等比数列，
求证：数列｛｝是等比数列；（提示：证明为常数）
4、三个数成等比数列，若三个数的和为14，三个数的积是64，求这三个数；（答案：2，4，8或8，4，2。）
5、已知数列｛｝满足=1，=3+1。
（1）证明：数列｛+｝是等比数列，并求｛｝的通项公式；
（2）证明：++-------+＜。（答案：（1）提示：证明=3，=-；（2）提示：由（1）得=≤，从而可以证明结论。）
【典例2】按要求解答下列各题：
1、已知｛｝是等比数列，=1，=2，则等于（ ）
A 2 B 2 C - 2 D 4
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法。
【解题思路】根据等比数列的性质和通项公式，结合问题条件得到关于等比数列首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列首项，公比q的值，从而求出等比数列｛｝的通项公式，运用等比数列｛｝的通项公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=1①，==2②，联立①②解得：q=，==，即==2，B正确，选B。
2、设=2，数列｛1+2｝是公比为2的等比数列，则等于（ ）
A 31.5 B 160 C 79.5 D 159.5
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④数列通项公式即运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和求等比数列通项公式的基本方法，结合问题条件求出等比数列｛1+2｝的通项公式，从而求出数列｛｝的通项公式，运用数列｛｝的通项公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】=2，数列｛1+2｝是公比为2的等比数列，1+2=1+22=5，即数列｛1+2｝是以首项为5，公比为2的等比数列，1+2=5，=5-，
=5-0.5=80-0.5=79.5，C正确，选C。
3、已知等比数列｛｝满足=，=4（-1），则=（ ）
A 2 B 1 C D
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④数列通项公式即运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列首项，公比q的值，从而求出等比数列｛｝的通项公式，运用等比数列｛｝的通项公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=①，=4（-1），=4（-1）②，联立①②解得：q=2，==，即==，C正确，选C。
4、已知等比数列｛｝的前三项依次为a-1，a+1，a+4，求数列｛｝的通项公式；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比中项的定义与性质；③求等比数列通项公式的基本方法。
【解题思路】根据等比中项的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值，从而求出等比数列｛｝首项，公比q的值，运用求等比数列｛｝通项公式的基本方法就可求出等比数列｛｝的通项公式。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，等比数列｛｝的前三项依次为a-1，a+1，a+4，=（a-1）（a+4），a=5，=a-1=5-1=4，q=（a+1）-（a-1）=2，即=4=，数列｛｝的通项公式为：=。
5、已知等比数列｛｝中，++=7，=8。求；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列首项，公比q的值，运用求等比数列｛｝通项公式的基本方法就可求出等比数列｛｝的通项公式。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，++=7，=8。（1+q+）
=7①，=8②，联立①②解得：=1，q=2或=4，q=，等比数列｛｝的通项公式为：=1=或=4=。
6、在等比数列｛｝中。
（1）已知=2，=8，求； （2）已知+=18，+=9，=1，求n。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法。
【解题思路】（1）根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列首项，公比q的值，运用求等比数列｛｝通项公式的基本方法就可求出等比数列｛｝的通项公式；（2）根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列首项，公比q的值，运用求等比数列｛｝通项公式的基本方法就可求出等比数列｛｝的通项公式，由比数列｛｝的通项公式得到关于n的方程，求解方程就可求出n的值。
【详细解答】（1）设等比数列｛｝的首项为，公比为q，==2①，==8②，联立①②解得：=，q=2或=，q=-2，等比数列｛｝的通项公式为：==或==-；（2）设等比数列｛｝的首项为，公比为q，+=q(1+)=18①，+=(1+)=9②，联立①②解得：=32，q=，等比数列｛｝的通项公式为：=32=，==1，
n-6=0，即n=6。
7、设数列｛｝中，=，若以，，----------为系数的二次方程-x+1=0 (n≥2,n∈)。都有根，，满足：3-+3=1。
（1）求证：数列｛- ｝为等比数列； （2）求；
（3）求数列｛｝的前n项和。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②一元二次方程根与系数的关系定理及运用；③等比数列通项公式及运用；④判断（或证明）一个数列是等比数列的基本方法；⑤求等比数列通项公式的基本方法；⑥数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据等一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件得到关于；的等式，从而证明数列｛- ｝为等比数列；（2）根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件求出数列｛- ｝的通项公式，从而求出数列｛｝的通项公式；（3）根据数列数列｛｝的通项公式就可求出数列｛｝的前n项和公式。
【详细解答】（1）以，，----------为系数的二次方程-x+1=0(n≥2,n∈)。都有根，，满足：3-+3=1，+=，.=，3-+3
=-=1，3-1=，3（-）=-，=，=，-
=-=，数列｛- ｝是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，- ==，=+；（3）=++----------+=［++----
+］+n=+n=-+n=［n+1-］，数列｛｝的前n项和=［n+1-］。
8、设等差数列｛｝的前n项和，若=1+，=9+3。
（1）求数列｛｝的通项与前n项和；
（2）设=（ n∈)，求证数列｛｝中的任意不同三项都不可能为等比数列。
【解析】
【知识点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④等比中项的定义与性质。
【解题思路】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列｛｝首项，公差d的方程组，求解方程组求出首项，公差d的值，运用等差数列通项公式与前n项和公式就可求出数列｛｝的通项与前n项和；（2）设存在，，（i，j，k∈，且i j k)成等比数列，根据等比中项的性质，得到关于，，的等式，从而得出i，j，k不全为正整数与假设矛盾，从而证明数列｛｝中的任意不同三项都不可能为等比数列和。
【详细解答】（1）设等差数列｛｝的公差为d，=1+①，=3（+d）=9+3②，联立①②解得：d=2，=+（n-1）d=1++2(n-1)=2n-1+,=n(1+)+-n
=+n；（2）设存在，，（i，j，k∈，且i j k)成等比数列，=，
==i+，==j+，==k+，，，成等比数列，
=（i+）（k+），+2j=ik+（i+k），（-ik）+（2j-i-k）=0,
=ik，2j=i+k，i，k是方程-2Jx+=0的正整数解，i=k=j与假设矛盾，数列｛｝中的任意不同三项都不可能为等比数列。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与等比数列通项公式相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列通项公式的定义，掌握求等比数列通项公式的基本方法；
（2）求等比数列的通项公式关键是由条件求出：①等比数列的首项；②等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等比数列首项，公比的方程组组；②求解方程组求出等比数列首项，公比的值；③把求出等比数列首项，公比的值代入等比数列通项公式。
〔练习2〕按要求解答下列各题：
1、已知等比数列｛｝中，=7，=21，则等于（ ）（答案：D）
A 35 B 63 C 21 D 189
2、数列｛｝的公差不为0的等差数列，且，，为等比数列｛｝中的连续三项，则数列｛｝的公比为（ ） （答案：C）
A B 4 C 2 D
3、在各项都为正数的等比数列｛｝中，=3，前三项的和为21，则++=（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189 （答案：C）
4、若数列｛｝的前n项和=+，则｛｝的通项公式为= ；（答案：=）
5、已知数列｛｝是公比为正数的等比数列，若=1，=16。求；（答案：=）
6、在等比数列｛｝中，已知=12，=18。求；（答案：=8）
【典例3】按要求解答下列各题：
1、设｛｝是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若｛｝是等差数列，则q等于（ ）
A 1 B 0 C 1或0 D -1
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等差数列的定义与性质；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列公比q的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为， =，=+q=(1+q)，=+q
+=（1+q+），，，成等差数列，2(1+q)= +（1+q+），
2 (1+q)= 1+（1+q+），-q=0，q=0或q=1，C正确，选C。
2、设等比数列｛｝的公比q=2，前n项和为，则的值为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质，等比数列通项公式与等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项的式子，求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，等比数列｛｝的公比q=2，
==，A正确，选A。
3、若等比数列｛｝的前n项和=k .+1，则k的值为 ；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用；④数列通项公式与前n项和公式之间的关系；⑤等比中项的定义与性质。
【解题思路】根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系，结合问题条件求出等比数列｛｝的首项，公比q关于k的式子，运用等中项的性质得到关于k的方程，求解方程就可求出k的值。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，等比数列｛｝的前n项和=k .+1，①当n=1时，==3k+1；当n2时，=-= k .+1- k .-1=2k,
=6k，=18k，，，成等比数列，36=18k（3k+1），18k（k+1）=0,
k=0或k=-1。
4、已知等比数列｛｝的前n项和为，且+=，+=，则= ；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质，等比数列通项公式与等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列｛｝首项，公比q的值，从而得到，关于n的式子，就可求出的值。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，+=（1+）=①，+
=q（1+）=②，联立①②解得：=2，q=，==4-，
=2=，即==-1。
5、已知｛｝是公比为正数的等比数列，若=1，=16，求数列｛｝的前七项的和；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质，等比数列通项公式与等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列｛｝首项，公比q的值，运用等比数列前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=1①，==16②，联立①②解得：q=2，==-1=128-1=127。
6、已知各项均为正数的等比数列｛｝的前n项和为，=26，前m项中数值最大的项的值为18，=728，求数列｛｝的通项公式；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质，等比数列通项公式与等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列｛｝首项，公比q的值就可求出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，==26①， =
=18②，==728③，联立①②③解得：q=3, =2，数列｛｝的通项公式为：=2。
7、已知等比数列｛｝的各项均为正数，=80，=6560，且在前n项中最大的项为54，求n的值；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质，等比数列通项公式与等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列｛｝首项，公比q的值就可求出数列｛｝的通项公式，从而得到关于n的方程，求解方程就可求出n的值。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，==80①， =
=54②，==6560③，联立①②③解得：q=3, =2，数列｛｝的通项公式为：=2，=2=54，n=4。
8、在等比数列｛｝中，已知=1，项数为偶数，且=85，=170。
求：(1)q； (2)n。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】(1)根据等比数列的性质，等比数列通项公式与等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组就可求出等比数列｛｝公比q的值；（2）运用等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于n的方程，求解方程就可求出n的值。
【详细解答】(1)设等比数列｛｝的公比为q， =1①，==85 ②，
==170③，联立①②③解得：q=2，等比数列｛｝的公比q=2；（2）
==-1=+=85+170=255，=256，即n=8。
9、在等比数列｛｝中，，，成等差数列。
（1）求q；
（2）设数列｛｝是2为首项，q为公差的等差数列，是数列｛｝的前n项和(n≥2,
且n∈)，比较与的大小。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等差中项的定义与性质；④等差数列前n项和公式及运用；⑤等差数列通项公式及运用。
【解题思路】(1)根据等比数列的性质，等比数列通项公式和等差中项的性质，结合问题条件得到关于等比数列｛｝公比q的方程，求解方程就可求出等比数列｛｝公比q的值；（2）运用等差数列前n项和公式与通项公式，结合问题条件得到与关于n的式子，利用实数比较大小的基本方法就可得出与的大小。
【详细解答】(1)设等比数列｛｝的公比为q， =q，=，，，成等差数列，2=+q，2-q-1=0，q=1或q=-；（2）①当q=1时，
=2+（n-1）=n+1，=2n+=n（n+3）, -=n（n+1）-1＞0，＞；
②当q=-时，=2-（n-1）=-n+，=2n-=n（-n+5）, -
=n（-n+5）-n-1=n（-n+1）-1＜0, ＜,综上所述，当q=1时，＞，当q=-时，＜。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与等比数列前n项和相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列前n项和的定义，掌握求等比数列前n项和的基本方法；
（2）求等比数列前n项和的关键是：①求出等比数列的首项；②求出等比数列的公比；
（3）求等比数列的首项，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根据条件列出关于等比数列首项，公比的方程组；②求解方程组求出等比数列首项，公比的值；③ 运用等比数列前n项和公式求出结果。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、设为等比数列｛｝前n项和，8+=0，则=（ ）（答案：A）
A -11 B -8 C 5 D 11
2、设数列｛｝是等比数列，其前n项和为，且=3，则公比q的值为（ ）（答案：C）
A - B C 1或- D -1或
3、等比数列首项a＞0，公比q＞0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，则a= ，q= ；（答案：a=2，q=3。）
4、设等比数列｛｝前n项和为，若=3，=15，则等于（ ）（答案：C）
A 31 B 32 C 63 D 64
5、设｛｝是由正数组成的等比数列，为其前n项和，已知=1，=7，则等于（ ）（答案：B）
A B C D
6、设为等比数列｛｝的前n项和，若=1，且3,2，成等差数列，则=
。（答案：=）
【典例4】按要求解答下列各题：
1、在等比数列｛｝中，已知=8，那么等于（ ）
A 4 B 6 C 12 D 16
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③运用等比数列性质解答问题的基本方法。
【解题思路】根据等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，==8，=2，即
===4，A正确，选A。
2、在等比数列｛｝中，=6，+=5，则=（ ）
A - 或- B C D 或
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列｛｝公比的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项，公比为q，==6①，+=q（1+）=5②，联立①②解得：=或=，===或，D正确，选D。
3、在等比数列｛｝中，若+=20，+=40，则等于（ ）
A 140 B 120 C 210 D 520
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列｛｝首项，公比q的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，+=（1+q）=20①，+=（1+q）=40②，联立①②解得：q=，=20（-1）或q=-，=-20（+1），
==140或==140，A正确，选A。
4、在等比数列｛｝中，=2，=6，则+ + + 等于（ ）
A 32 B 16 C 35 D 162
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝首项，公比q的方程组，求解方程组求出等比数列｛｝首项，公比q的值，运用等比数列前n项和公式求出，的值，从而求出+ + + 就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项，公比为q，==2①，=
==6②，联立①②解得：=2，=-2（1-q），==-2（1-16）=30，==-2（1-32）=62，即：+ + + =-=62-30=32，A正确，选A。
5、等比数列｛｝中，＜0，｛｝是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②递增数列的定义与性质。
【解题思路】根据等比数列和递增数列的性质，结合问题条件就可求出等比数列｛｝公比q的取值范围。
【详细解答】等比数列｛｝的首项＜0，等比数列｛｝是递增数列，公比q的取值范围是（0，1） 。
6、若等比数列｛｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则= ；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列性质，通项公式，前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝的首项，公比为q的方程组，求解方程组就可求出的值，从而求出的值。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项，公比为q，等比数列｛｝共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，=100①，=120②，联立①②解得：=，==。
7、在等比数列｛｝中，已知=-512，+=124，且公比为整数，则= ；
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法。
【解题思路】根据等比数列性质，通项公式，结合问题条件得到关于等比数列｛｝的首项，公比为q的方程组，求解方程组求出就可求出等比数列｛｝的首项，公比为q的值，就可求出的值。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项，公比为q，==-512①，+=
（1+）=124②，联立①②解得：q=-2，=-1或q=- ，=512，等比数列｛｝的公比为整数， q=-2，=-1，即：=-=512。
8、在等比数列｛｝中，已知=48，=60，求。
【解析】
【知识点】①等比数列定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用；③等比中项的定义与性质。
【解题思路】根据等比数列和等比中项的性质，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】在等比数列｛｝中，=48，=60，，-，-成等比数列，=（-），=+60=3+60=63。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是与等比数列性质相关的问题，解答这类问题需要理解等比数列的常用性质，掌握运用等比数列性质解答问题的基本方法；
（2）针对具体问题时，应该明确问题到底与等比数列的哪些性质相关，再运用等比数列的相关性质直接求解；
（3）解答有关等比数列问题的常用思想方法有：①方程思想；②数形结合思想；③函数思想；
（4）解答等差数列与等比数列的综合问题时，应该注意挖掘问题的隐含条件，发现等差（或等比）关系，同时适当利用等差数列(或等比数列)的性质转化条件从而使问题简化。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若数列｛｝，｛｝都是等比数列，则下列数列中仍是等比数列的是（ ）（答案：C）
A ｛+｝ B ｛-｝ C ｛｝ D ｛+5｝
2、已知等比数列｛｝的各项均为正数，且+=18，则++------
+等于（ ）（答案：B）
A 12 B 10 C 8 D 2+5
3、已知｛｝是递增等比数列，=2，-=4，则此数列的公比q= ；（答案：q=2）
4、设等比数列｛｝的前n项和为，若=3，则=（ ）（答案：B）
A 2 B C D 3
5、已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ）（答案：A）
A 7 B 9 C 63 D 7或63
6、已知等比数列｛｝共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q= ；（答案：q=2）
7、在等比数列｛｝中，+=20，=64。求：
（1）； （2）。（答案：（1）=或=；
（2）=-1，或=-，或=128-，或=+。）
8、设等比数列｛｝的前n项和为，且，，成等比数列。求证：2，，-成等比数列。（提示：证明=2（-））
【追踪考试】
1、已知等比数列{ }的前3项和为168，-=42，则=（ ）（2022全国高考乙卷）
A 14 B 12 C 6 D 3
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列{}的首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}的首项，公比的值，从而求出
的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，++=（1+q+）=168①，-=q（1-）=q（1-q）（1+q+）=42②，联立①②解得：=96，q=，
==96=3，D正确，选D。
2、在等比数列{ }中，已知>0，则“>”是“>”的（ ）（成都市2019级高三二诊）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；③判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据等比数列和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，结合问题条件，运用判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法，判断出“>”是
“>”的所属条件就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{ }的公比为q，>0，=q>=, -q<0, 0，“>”是 “>”的
充分条件；>0，=>=，-1<0, q<1，当q<0时，等比数列{ }是摆动数列，不能推出>，“>”不是 “>”的必要条件，综上所述，“>”是 “>”的充分不必要条件，A正确，选A。
3、若等比数列{ }满足+=2，-=6，则=（ ）（2021成都市高三一诊）
A -32 B -8 C 8 D 64
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列{}的首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}的首项，公比的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，+=2，-=6，q（1+q）=2①；q（1+q）（1-q）=6②，联立①②解得：=1，q=-2，=，=1
=-32，A正确，选A。
4、记为等比数列{}的前n项和，若=4，=6，则=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 7 B 8 C 9 D 10
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】根据等比数列的性质和等比数列前n项和公式，结合问题条件得到关于等比数列{}首项，公比的方程组，求解方程组求出等比数列{}首项，公比的值，运用等比数列前n项和公式求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q， =（1+q）=4①，=（1+q++）=6②，联立①②解得：=8-4，q=，==7，A正确，选A。
5、一种等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020成都市高三零诊）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【知识点】①等比数列通项公式的定义与性质；②等比数列的定义与性质；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，求出首项关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法把表示成关于，q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++------+
===12，=，=9，
==9，D正确，选D。
6、设正项等比数列｛｝满足=81，+=36，则= （2020成都市高三一诊）
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比，再根据求等比数列通项公的基本方法求出结果。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，==84+=q+
=36， 4-9q-9=0，q=3或q=-，等比数列{}为正项等比数列， q=3，=3，=3=。
7、在等比数列｛｝中，已知=，则该数列的公比是（）（2020成都市高三三诊）
A -3 B 3 C 3 D 9
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式，结合问题条件得到关于等比数列的首项和公比的等式，求出等比数列的公比就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，=.=
==，=，当且仅当=时，q=3，B正确，选B。
8、设数列｛｝是等比数列，且++=1，++=2，则++=（ ）（2020全国高考新课标I）
A 12 B 24 C 30 D 32
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列的通项公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出++的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，++=1，++=2，
（1+q+）=1①, q（1+q+）=2②,联立①②解得：=，q=2，++=
（1+q+）=132=32，D正确，选D。
9、记为等比数列｛｝前10项和，若-=12，-=24，则=（ ）（2020全国高考新课标II）
A -1 B 2- C 2- D -1
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解题思路】运用等比数列通项公式结合问题条件求出等比数列的首项和公比的值，求出等比数列通项与前n项和，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列{}的首项为，公比为q，-=12，-=24，（
-1）=12①，（-1）=24②，联立①②解得：=1，q=2，=，==-1，==2-，B正确，选B。
10、已知等比数列｛｝的各项均为正数，若++------+=12，则=（ ）（2020全国高考北京卷）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④对数的定义与性质。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和对数的性质，结合问题条件得到关于首项，公比q的等式，把首项表示成关于公比q的式子，运用求等比数列通项公式的基本方法将表示成关于公比q的式子，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，=，++-----+
===12，=，=9，==9，D正确，选D。
11、已知各项均为正数的等比数列{ }的前4项和为15，且=3+4，则=（ ）（2019全国高考新课标III）
A 16 B 8 C 4 D 2
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，根据等比数列｛｝通项公式和前n项公式，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝的首项为，公比为q，， （1+q++）=15①，==3+4②，联立①②解得：q=2，=1或q=-2，=-3，数列{ }各项均为正数，q=2，=1，==4，C正确，选C。
12、记为等比数列{ }的前n项和，若=1，=，则= （2019全国高考新课标I）
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等比数列｛｝的公比为q，根据等比数列｛｝通项公式的性质，前n项的求法，结合问题条件得到关于，q的方程组，解方程组求出，q的值，从而求出的值.
【详细解答】设等比数列｛｝的公比为q，， =1，=1+q+=，=1，q=-，==。
13、设1------，其中，，，成公比为q的等比数列，，，成公差为1的等差数列，则q的最小值是 （2019全国高考江苏）
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等差数列的定义与性质；③等比数列通项公式及运用；④等差数列通项公式及运用。
【解答思路】根据等差数列和等比数列的通项公式，结合问题条件得到1+23，=3，从而得到关于q的不等式，求解不等式求出公比q的取值范围就可求出q的最小值。
【详细解答】1------，，，成公差为1的等差数列，1+23，，，，成公比为q的等比数列，=，3，
q，即q的最小值是。
14、设数列｛｝是首项为m，公比为q（q 1）的等比数列，它的前n项和为，对任意的n∈，点（，）（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A在直线mx+qy-q=0上 B在直线qx-my+m=0上C在直线qx+my-q=0上D不一定在一条直线上
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④等比数列前n项和公式及运用；⑤直线与点的位置关系。
【解答思路】根据等比数列｛｝通项公式与前n项和公式，结合问题条件得到，，从而得出点（，）的坐标，运用判断点与直线位置关系的基本方法就可得出选项。
【详细解答】数列｛｝是首项为m，公比为q（q 1）的等比数列，=m，==1+，点（，）为（m，1+）， qx-my+m=q. m-m（1+）+m=m-m-m+m=0，点（m，1+）在直线qx-my+m=0上，B正确，选B。
15、已知数列｛｝，｛｝均为等比数列，其前n项和分别为，，若对任意的n∈，都有= ，则=（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A 81 B 9 C 729 D 730
【解析】
【知识点】①等比数列的定义与性质；②等比数列通项公式及运用；③求等比数列通项公式的基本方法；④等比数列前n项和公式及运用。
【解答思路】设等比数列｛｝，｛｝的首项分别为，，公比分别为，，根据等比数列｛｝通项公式的性质，前n项的求法，结合问题条件求出，，，的值，从而得出，，运用等比数列通项公式的性质求出的值就可得出选项。
【详细解答】设等比数列｛｝，｛｝的首项分别为，，公比分别为，，前n项和，，对任意的n∈，都有= ，===1，===，===7，=，2=3+5，+=6+7+7，=，=4，=1或=，=9，=4，当n=4，===与题意不符合，=，=9，=4， =9，=，=729，C正确，选C。
『思考问题5』
(1) 【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末高三）试卷中与等比数列相关的试题，归结起来主要包括：①等比数列基本定义及运用；②等比数列的通项公式及运用；③等比数列前n项和公式及运用；④等比数列的性质及运用等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、若等比数列{}满足=10，则lg=（ ）（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）（答案：B）
A 1 B 2 C 3 D 1+lg2
2、已知单调递减的等比数列{}中，>0，则该数列的公比q的取值范围是（ ）（成都市高2019级2019-2020学年度下期期末质量检测考试）（答案：D）
A q=1 B q<0 C q>1 D 03、“十二平均算”是通用的普算体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半普比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均算将一个纯八度普程分成十二份，依次得到十三个单普，从第二个单普起，每一个单普的频率与它的前一个单普的频率的比都等于，若第一个单普的频率为f，则第八个单普的频率为（ ）（2018全国高考北京卷）（答案：D）
f A f B f C f D f
4、设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ）（2018全国高考北京卷）（答案：B）
A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
5、已知数列｛｝是首项为2018，公比为2018的等比数列，设数列｛｝
的前n项和为，则...------.= （2018成都市高三零诊）（答案：）
6、在等比数列｛｝中，＞0，若.=81，=1，则=（ ）（成都市2017—2018下期高一数学质检）（答案：D）
A 16 B 81 C 3 D 27
7、在正项数列{}中，若=1，且对所有n满足n-（n+1）=0，则=（ ）（成都市2017—2018高一下期期末质量检测）（答案：D）
A 1013 B 1014 C 2016 D 2017
8、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔7层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）（2017全国高考新课标II卷）
A 1盏 B 3盏 C 5盏 D 9盏 （答案：B）
9、设等比数列｛｝满足：+=-1，-=-3，则= （2017全国高考新课标III卷）（答案：=-8）
10、等比数列｛｝的各项均为实数，其前n项的和为，已知=，=，则=
（2017全国高考江苏卷）（答案：=32）
11、已知数列｛｝是等比数列，则“＜”是“数列｛｝为递增数列”的（ ）（2017成都市高三零珍）（答案：C）
A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件
12、在等比数列｛｝中，已知=6，++=78，则=（ ）（2017成都市高三二诊）
A 12 B 18 C 24 D 36 （答案：B）
13、在等比数列｛｝中，=2，公比q=2，若=（m∈)，则m=（ ）（2017成都市高三三诊）（答案：B）
A 11 B 10 C 9 D 8
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