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第二十一讲 数列的概念及其表示
【考纲解读】
理解数列的定义，掌握数列表示的基本方法；
理解并掌握数列的通项公式和数列的前n项和公式，注意数列的通项公式与数列的前n项和公式之间的关系；
了解数列的递推公式是数列表示的方法之一，能够运用数列递推公式写出数的前几项。
【知识精讲】
一、数列的概念：
1、数列的定义：
（1）数列的定义：按一定的顺序排成一列的一组数，叫做数列；
(2)数列的项：数列中的每一个数，称为数列的项，排在数列的第一个数，称为数列的第一项，通常也称为首项。
2、数列的表示：
（1）数列表示的基本方法：数列的表示方法与函数的表示方法一样有：①解析式法；②列表法；③图像法；
（2）数列的一般形式：① ，，-----，，-------；②｛｝。
3、数列的分类：
（1）按照数列项数的多少数列可以分为：① 有限数列（也称为有穷数列）；② 无限数列（也称无穷数列）；
（2）按照数列项与项之间的大小关系数列可以分为：①递增数列；②递减数列；③常数数列；④摆动数列；
（3）按照数列的结构数列可以分为：①等差数列；② 等比数列。
二、数列的通项公式与前n项和公式：
1、数列的通项公式：
（1）数列通项公式的定义：数列｛｝的第n项可以用一个与序号n相关的式子来表示，
这个式子叫做数列的通项公式，一般用表示；
（2）数列的递推公式：数列｛｝的第n项可以用它的前一项（或前几项）相关的式子来表示，这个式子叫做数列的递推公式；
2、数列的前n项和公式：
（1）数列前n项和的定义：一个数列的前n项相加所得的结果，叫做这个数列的前n项和，通常用来表示（即=++----------+）；
（2）数列｛｝的前n项和公式的定义：一个数列的前n项和可以用一个与序号n相关的式子来表示，这个式子叫做数列｛｝的前n项和公式；
（3）数列的通项与前n项和之间的关系： ， n=1，
= - ， n≥2。
3、理解数列定义应该注意的问题：
（1）数列与函数的关系：数列｛｝可以看成是以正整数的有限子集｛1， 2， 3， ------， n｝为定义域的特殊函数=f(n)，所以数列一定是函数，但函数不一定是数列；
（2）数列递推公式的特殊含义：数列递推公式是数列表示的基本方法之一，根据数列递推公式，可以写出数列的前几项；
（3）根据数列的前几项可以写出数列的一个通项公式：根据数列的前几项，运用“观察”，“分析”，“归纳”，“猜想”和“验证”的思想方法就可写出数列的一个通项公式（注意：这样的通项公式不唯一）。
【探导考点】
考点1根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：热点①已知的前几项符号交错；热点②已知的前几项整数，分数交错；
考点2根据数列通项公式与前n项和公式的关系式，求数列的通项公式：热点①已知将式子中的前换成-；热点②将式子中的-前换成；
考点3根据数列的递推公式，求数列的通项公式：热点①构造等差数列；热点②将构造等比数列；热点③使用累加法；热点④使用累乘法；
考点4数列的性质及运用：热点①数列的单调性及运用；热点②数列的周期性及运用；热点③数列相关的最值问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列四个结论：①数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）{1，2，3，---，n}上的函数；②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列的通项公式是唯一的。其中正确的是（ ）
A ①② B ①②③ C ②③ D ①②③④
2、下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A 1, ，，，----- B sin，sin ，sin ，-----
C -1, -，-，-，----- D 1，，，-------，
3、已知=n(n+1)，下列四个数中为数列｛｝中的一项的是（ ）
A 18 B 21 C 25 D 30
4、已知数列｛｝的通项公式=。
（1）写出数列的前五项；
（2）求数列的前五项的和。
5、如果数列｛｝的通项公式=n。
（1）写出数列的前十项；
（2）求数列的前十项的和。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与数列的概念相关的问题，解答这类问题需要理解数列，数列的通项公式和数列递推公式的定义，掌握数列的分类和数列表示的基本方法；
（2）数列是一个特殊的函数，它的表示与函数一样有：①解析法；②列表法；③图像法；但需要注意数列的特殊性是它的定义域是正整数的有限子集｛1， 2， 3， ------， n｝。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列说法中，正确的是（ ）
A数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列 C数列{}的第k项为1+ D数列0，2，4，6，8------可记为{2n}
2、已知数列，，，----，，----下列各数中是此数列中的项的是（ ）
A B C D
3、已知数列的通项公式为= -8n+15，则（ ）
A 3不是数列｛｝中的项 B 3只是数列｛｝中的第2项
C 3只是数列｛｝中的第6项 D 3是数列｛｝中的第2项和第6项
4、已知数列｛｝的通项公式= 。
①写出数列的前五项；
②求数列的前五项的和。
5、如果数列｛｝的通项公式= -2n。
①写出数列的前十项；
②求数列的前十项的和。
【典例2】解答下列问题：
1、数列1，3，7，15，31，------的一个通项公式是（ ）
A = B = +1 C = -1 D =
2、数列，-，，-，------的一个通项公式是（ ）
A = B = C = D =
3、下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项
公式是（ ） | | |
A =-n+1 B = | | |
C = D = | | |
4、已知数列，，，，-----则5是数列的（ ）
A 第18项 B 第19项 C 第17项 D 第20项
5、已知数列｛｝的通项公式=，那么是它的（ ）
A 第4项 B 第5项 C 第6项 D 第7项
6、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，3，5，7，------- （2）4，-，2，-，--------
（3）3，5，9，17，33，----------- （4）-，，-，，--------
（5），，，，----------
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知一个数列的前几项，写出数列一个通项公式的问题，解答这类问题需要理解通项公式的定义，了解问题的结构特征，掌握解答问题的基本方法；
（2）解答已知一个数列的前几项，写出数列的一个通项公式问题的基本方法是归纳法（即由特殊到一般）的数学思维方法，根据数列的前几项找出其共同的规律（横看“各项之间的关系”，纵看“项的各部分与项数n的关系”）；其基本步骤是：①对给出的几项认真观察，分析寻找项与项之间的关系；②如果给出的项直接找不出项与项的关系，可以对给出的几项作适当的处理使项与项之间的关系更明显；③根据项与项之间的关系得到规律，求出通项公式；④把求得的通项公式代入已知的项进行验证；
（3）解决这类问题的关键是如何去破解数列已知的前几项，在实际问题中具体包括：①已知的几项是用图形表示的数列；②已知的几项是用数组成的数列；
（4）解答已知的几项是用图形表示的数列时，应该从两个方面入手：①前后两个图形的数量关系（即递推关系）；②由递推关系求出前面几项，再进行归纳；
（5）解答已知的几项是用数组成的数列时，应该从如下四个方面入手：①把前几项化成相同的结构；②利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数n的关系；③确定项的符号特征；④注意运用“因数分解”“”的技巧。
〔练习2〕解答下列问题：
1、数列1，，，，------的一个通项公式是（ ）
A = B = C = D =
2、若数列的通项公式为=，记f(n)=2（1-）（1-）-----（1-），试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，猜测f(n)等于（ ）
A B C D
3、数列，，，，-----中，有序实数对（a，b）可以是（ ）
A （21，-5） B （16，-1） C （-，） D （，-）
4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）2，4，6，8，----------- （2），，，，----------
（3）- ，，- ，---------- （4），，，，----------
【典例3】解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，满足+ = ，且=1，那么等于（ ）
A 1 B 9 C 10 D 55
2、已知数列｛｝的前n项和=2+3n，那么此数列的通项公式为= ；
3、若数列｛｝的前n项和=+，则｛｝的通项公式= ；
4、设数列｛｝的前n项和为，若=1，=(n∈)。求：；
5、已知数列｛｝的各项均为正数，且=（+）。求：；
6、设数列｛｝的前n项和为，若2=（n+2）-1(n∈)。求：；
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知数列的通项与前n项和之间的关系式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解数列通项公式与前n项和公式的定义，注意通项与前n项和之间的关系式；
（2）解答这类问题的基本思路有两种：①把- (n≥2,n∈)换成；②把换成- (n≥2,n∈)；
（3）这两种方法都要运用通项与前n项和之间的一个重要关系式，这个关系式是
= ， n=1，
- ， n≥2。；
（4）解答这类问题的基本方法是：①通过把-换成（或把换成-）将数列转化为基本数列；② 根据条件求出基本数列的首项；③求出基本数列的通项公式；④求出所求数列的通项公式，并验证n=1时是否成立；⑤得出数列的通项公式；
（5）解答这类问题时，应该注意的问题是：①把-换成（或把换成-）时(n≥2,n∈)的条件，②求出结果后一定要验证n=1是否成立，若n=1时成立，则可以直接写出通项公式；若n=1时不成立，则通项公式应该写成分段式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和=3-2n+1，则其通项公式为 ；
2、已知数列｛｝的前n项和=-9n，则其通项公式= ，若它的第k项满足5＜＜8，则k= ；
3、已知数列｛｝的前n项和为，且=2. +2，则此数列的通项公式为 ；
4、若数列｛｝的前n项和=-10n（n=1，2，3，----），则此数列的通项公式= ；数列｛n｝中数值最小的项是第 项；
5、设数列｛｝的前n项和为，已知=a，=+，n∈。设=-，求数列｛｝的通项公式；
6、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)求数列｛｝的通项公式；
7、设数列｛｝的前n项和为，若=1，n=(n+3) (n∈)，求：；
8、设数列｛｝的前n项和为，满足：2=-+1（n∈），且，+5，成等差数列。
（1）求的值；
（2）求数列｛｝的通项公式。
9、设数列｛｝的前n项和为，=1，=+2（n-1）(n∈)。
（1）求证：数列｛｝为等差数列；
（2）求出与关于n的表达式。
【典例4】解答下列问题：
1、数列｛｝满足=1，=2-1（n∈），则=（ ）
A 1 B 1999 C 1000 D - 1
2、已知数列｛｝的首项=1，且满足=+，则此数列的第3项是（ ）
A 1 B C D
3、已知数列｛｝中，=1，=+1(n∈)，求：；
4、已知数列｛｝中，=a，=(n∈)，求：。
5、根据下列条件，确定数列｛｝的通项公式：
（1）=1，=；（2）=1，=3+2；（3）=2，=+ln（1+）。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是已知数列的首项和递推公式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解递推公式的定义；
（2）解答这类问题的基本思路是构造一个新数列，使构造的新数列为基本数列；
（3）这类问题常见的类型有：①=+f(n)（n2，n∈）；②=f(n) （n2，n∈）；③=+c（n2，n∈，c为常数）；
（4）求解这类问题的基本方法是：①由已知的递推公式向上（或向下）得到一个式子；②把已知式子与递推式子相减构造一个新数列，③求出新数列的通项公式；④根据新数列的通项公式求出所求数列的通项公式；
（5）求出新数列通项公式后求所求数列通项公式时常用的方法是：①累加法，适用于=+f(n)（n2，n∈）这种类型；②累乘法，适用于=f(n) （n2，n∈）这种类型；③换元法，适用于=p+q（n2，p0，且p1）；④迭代法，将=f()代入=f()得到与的关系，再将=f（）代入，-------直到=f（）代入为止。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，且=2-1(n∈)，则等于（ ）
A -16 B 16 C 31 D 32
2、已知数列｛｝满足=1，= 2，（n为正奇数），则其前6项之和为（ ）
+1，（n为正偶数），
A 16 B 20 C 33 D 120
3、在数列｛｝中，=1，=1+（n2），则等于（ ）
A B C D
4、已知数列｛｝满足=1，= .（n≥2，n∈)，则= ；
5、已知数列｛｝满足=1，=（n2，n∈)，则= ；
6、已知数列｛｝中，=9，3=4-(n∈)，求：；
7、已知数列｛｝中，=，=4+1(n∈)，求：。
【典例5】解答下列问题：
1、已知=，那么数列｛｝是（ ）
A 递增数列 B 递减数列 C 常数数列 D 不能确定
2、函数f(x)满足f(1)=1，f(n+1)=f(n)+3（n∈），则f(n)是（ ）
A 递减数列 B 递增数列 C 常数数列 D 摆动数列
3、数列｛｝的通项=，则数列｛｝中最大项是（ ）
A 3 B 19 C D
4、数列｛｝中，=-+11n，则此数列最大项的值是 。
5、数列｛｝满足=，=2，则= ；
6、若数列｛n(n+4)｝中的最大项是第k项，则k= ；
7、已知数列｛｝的通项=（n+1）（n∈），试问该数列｛｝有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由。
『思考问题5』
（1）【典例5】是数列性质及运用的问题，解答这类问题需要理解数列的性质，数列的性质主要包括：①数列的单调性；②数列的周期性；
（2）判断数列单调性的基本方法有：①作差比较法（即根据-的符号判断数列｛｝的单调性）；②作商比较法（即根据与1的大小判断数列｛｝的单调性）；③结合相应函数的图像判断数列｛｝的单调性；
（3）判断数列周期性的基本方法是：①根据已知条件求出数列的前几项；②根据数列前几项的值判断数列的周期性；
（4）求解数列的最值的基本方法是：①根据已知条件判断数列｛｝的单调性；②运用函数求最值的方法求出数列的最值；③得出问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、数列｛｝的通项公式=-58+16n-，则（ ）
A ｛｝是递增数列 B ｛｝是 递减数列
C ｛｝先增后减，有最大值 D ｛｝先减后增，有最小值
2、已知数列｛｝=，那么数列｛｝是（ ）
A 递减数列 B 递增数列 C 常数数列 D 摆动数列
3、已知｛｝是递增数列，且对于任意的n∈，=+n恒成立，则实数的取值范围是 ；
4、数列｛｝满足= 2-1，,＜1，=，则数列的第2015项为 （2016哈尔滨模拟） 2， 0，
5、设=-3+15n-18，则数列｛｝中的最大项的值是（ ）
A B C 4 D 0
6、数列｛｝的通项=，则数列｛｝中最大项是（ ）
A 3 B 19 C D
7、设=-3+15n-18，则数列｛｝中的最大项的值是（ ）
A B C 4 D 0
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}：=1+，
=1+，=1+，--------，以此类推，其中
（k=1，2，------），则（ ）（2022全国高考乙卷）
A < B < C < D <
2、已知数列{}满足=3，+2=2，则的值为 （成都市2019级高三三珍）
3、数列{}的前n项和为，+2=，数列{}满足=（3-）（n），则数列{}的前10项和为 （2021成都市高三一诊）
4、已知数列{}的前n项和满足=，记数列{}的前n项和为，n，则的值为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
5、（理）设数列｛｝的前n项和为，若=1，=35，且=+（n 2且n∈），则++------+ 的值为 ；
（文）设数列｛｝的前n项和为，若=5，=10，且{ }是等差数列，则||+||+||+------+||的值为 （2020成都市高三三诊）
6、设数列｛｝满足+ =3n-1，前16项和为540，则= （2020全国高考新课标I）
7、数列｛｝中，=2，=.，若++-----+=-，则k= （ ）（2020全国高考新课标II）
A 2 B 3 C 4 D 5
8、0—1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列，，------，，----满足∈{0，1}（i=1,2,----）,且存在正整数m，使得=（i=1,2,----）成立,则称其为0—1周期
序列，并称满足=（i=1,2,----）的最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m
的0—1序列，，------，，----C（k）=（k=1，2，----，m-1）是描述其
性能的重要指标，下列周期为5的0—1序列中，满足C（k） （k=1，2，3，4）的序
列是（ ）（2020全国高考新课标II）
A 11010 B 11011 C 10001 D 11001
9、将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列｛｝，则｛｝的前n项和为
（2020全国高考新高考I）
10、设为数列｛｝的前n项和，且=4，=，n，则= （2019成都市高三一诊）
11、记为数列｛｝的前n项和，若=2+1，则= （2018全国高考新课标I）
12、数列｛｝满足：=，=2，则= （2018全国高考新课标II卷）
13、已知集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x= ，n}，将A B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列｛｝，记为数列｛｝的前n项和，则使得＞12成立的n的最小值为 （2018全国高考江苏卷）
14、已知数列｛｝共16项，且=1，=4，记关于x的函数（x）=-+（-1）x，n∈。若（1n15）是函数（x）的极值点，且曲线y=（x）在点（，（））处的切线的斜率为15，则满足条件的数列｛｝的个数为 （2018成都市高三二诊）
『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年的高考（或高三诊断考试或高一下期期末质量检测考试）试卷中与数列概念相关的试题，归结起来主要包括：①数列的定义及表示；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列递推公式及运用；⑤数列的性质及运用等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题属于哪种类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、若数列{}满足=-1，=1-，则=（ ）（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
A -1 B 2 C D 1
2、若数列{}满足+=3n+1，为数列{}的前n项和，则=（ ）（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
A 300 B 320 C 340 D 360
3、在数列{}中，=2，=（n2，n），则= （成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
4、已知数列{}满足=（n2，n），且=，则{}的第n项为（ ）（成都市高2019级2019-2020学年度下期期末调研考试）
A 2n B C 3n-1 D
5、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，-------，其中第一项是，接下来两项是，，再接下来的三项是，，，依次类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100，且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是（ ）（2017全国高考新课标I卷）
A 440 B 330 C 220 D 110
在数列｛｝中，=1，+++------+=（n∈），则数列｛｝的通项公式= （2017成都市高三二诊）
第二十一讲 数列的概念及其表示
【考纲解读】
1、理解数列的定义，掌握数列表示的基本方法；
2、理解并掌握数列的通项公式和数列的前n项和公式，注意数列的通项公式与数列的前n项和公式之间的关系；
3、了解数列的递推公式是数列表示的方法之一，能够运用数列递推公式写出数的前几项。
【知识精讲】
一、数列的概念：
1、数列的定义：
（1）数列的定义：按一定的顺序排成一列的一组数，叫做数列；
(2)数列的项：数列中的每一个数，称为数列的项，排在数列的第一个数，称为数列的第一项，通常也称为首项。
2、数列的表示：
（1）数列表示的基本方法：数列的表示方法与函数的表示方法一样有：①解析式法；②列表法；③图像法；
（2）数列的一般形式：① ，，-----，，-------；②｛｝。
3、数列的分类：
（1）按照数列项数的多少数列可以分为：① 有限数列（也称为有穷数列）；② 无限数列（也称无穷数列）；
（2）按照数列项与项之间的大小关系数列可以分为：①递增数列；②递减数列；③常数数列；④摆动数列；
（3）按照数列的结构数列可以分为：①等差数列；② 等比数列。
二、数列的通项公式与前n项和公式：
1、数列的通项公式：
（1）数列通项公式的定义：数列｛｝的第n项可以用一个与序号n相关的式子来表示，
这个式子叫做数列的通项公式，一般用表示；
（2）数列的递推公式：数列｛｝的第n项可以用它的前一项（或前几项）相关的式子来表示，这个式子叫做数列的递推公式；
2、数列的前n项和公式：
（1）数列前n项和的定义：一个数列的前n项相加所得的结果，叫做这个数列的前n项和，通常用来表示（即=++----------+）；
（2）数列｛｝的前n项和公式的定义：一个数列的前n项和可以用一个与序号n相关的式子来表示，这个式子叫做数列｛｝的前n项和公式；
（3）数列的通项与前n项和之间的关系： ， n=1，
= - ， n≥2。
3、理解数列定义应该注意的问题：
（1）数列与函数的关系：数列｛｝可以看成是以正整数的有限子集｛1， 2， 3， ------， n｝为定义域的特殊函数=f(n)，所以数列一定是函数，但函数不一定是数列；
（2）数列递推公式的特殊含义：数列递推公式是数列表示的基本方法之一，根据数列递推公式，可以写出数列的前几项；
（3）根据数列的前几项可以写出数列的一个通项公式：根据数列的前几项，运用“观察”，“分析”，“归纳”，“猜想”和“验证”的思想方法就可写出数列的一个通项公式（注意：这样的通项公式不唯一）。
【探导考点】
考点1根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：热点①已知的前几项符号交错；热点②已知的前几项整数，分数交错；
考点2根据数列通项公式与前n项和公式的关系式，求数列的通项公式：热点①已知将式子中的前换成-；热点②将式子中的-前换成；
考点3根据数列的递推公式，求数列的通项公式：热点①构造等差数列；热点②将构造等比数列；热点③使用累加法；热点④使用累乘法；
考点4数列的性质及运用：热点①数列的单调性及运用；热点②数列的周期性及运用；热点③数列相关的最值问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列四个结论：①数列可以看作一个定义在正整数集（或它的有限子集）{1，2，3，---，n}上的函数；②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列的通项公式是唯一的。其中正确的是（ ）
A ①② B ①②③ C ②③ D ①②③④
【解析】
【知识点】①数列的定义与性质；②函数的定义与性质。
【解答思路】根据数列，函数的定义能够判断①，②是正确的，可以排除C；由数列的分类能够判断③是错误的，可以排除B，D。
【详细解答】根据数列，函数的定义能够判断①，②是正确的，可以排除C；由数列的分类能够判断③是错误的，可以排除B，D；A正确，选A。
2、下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A 1, ，，，----- B sin，sin ，sin ，-----
C -1, -，-，-，----- D 1，，，-------，
【解析】
【知识点】①数列的分类的基本方法；②判断数列的单调性的基本方法。
【解答思路】根据数列的分类能够判断A，B，C，D都是正确的；由数列的单调性能够判断A，B，C是错误的，可以排除A，B，C。
【详细解答】根据数列的单调性能够判断A，B，C是错误的，可以排除A，B，C；
；D正确，选D。
3、已知=n(n+1)，下列四个数中为数列｛｝中的一项的是（ ）
A 18 B 21 C 25 D 30
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②根据数列通项公式求数列某一项值的基本方法。
【解答思路】根据数列通项公式=n(n+1)，可知是两个相邻正整数的积能够判断D是正确的。
【详细解答】数列通项公式=n(n+1)，可知是两个相邻正整数的积， D=30=56正确，选D。
4、已知数列｛｝的通项公式=。
（1）写出数列的前五项；
（2）求数列的前五项的和。
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②根据数列通项公式求数列某一项的值的基本方法；
③数列前n项和公式及运用；④求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（1）根据数列通项公式=，分别求数列的前五项；（2）运用数列前n项和公式，求出数列前五项的和。
【详细解答】（1）数列通项公式=，==，==，==，==，==；（2）=++++=++++=+
+++=++=+==3。
5、如果数列｛｝的通项公式=n。
（1）写出数列的前十项；
（2）求数列的前十项的和。
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②根据数列通项公式求数列某一项的值的基本方法；
③数列前n项和公式及运用；④求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（1）根据数列通项公式=n，分别求数列的前十项；（2）运用数列前n项和公式，求出数列前十项的和。
【详细解答】（1）数列通项公式=n，= 1=-1，= 2=2，=3=-3，= 4=4，=5=-5，= 6=6，=7=-7，= 8=8，=9=-9，= 10=10；（2）=++++
+++++=-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10=1+1+1+1+1=5。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与数列的概念相关的问题，解答这类问题需要理解数列，数列的通项公式和数列递推公式的定义，掌握数列的分类和数列表示的基本方法；
（2）数列是一个特殊的函数，它的表示与函数一样有：①解析法；②列表法；③图像法；但需要注意数列的特殊性是它的定义域是正整数的有限子集｛1， 2， 3， ------， n｝。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列说法中，正确的是（ ）（答案：C）
A数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列 C数列{}的第k项为1+ D数列0，2，4，6，8------可记为{2n}
2、已知数列，，，----，，----下列各数中是此数列中的项的是（ ）
A B C D （答案：B）
3、已知数列的通项公式为= -8n+15，则（ ）（答案：D）
A 3不是数列｛｝中的项 B 3只是数列｛｝中的第2项
C 3只是数列｛｝中的第6项 D 3是数列｛｝中的第2项和第6项
4、已知数列｛｝的通项公式= 。
（1）写出数列的前五项；
（2）求数列的前五项的和。（答案：（1），1，，，；（2）=4+。）
5、如果数列｛｝的通项公式= -2n。
（1）写出数列的前十项；
（2）求数列的前十项的和。（答案：（1）-1，0，3，8，15，24，35，48，63，80；（2）=275。）
【典例2】解答下列问题：
1、数列1，3，7，15，31，------的一个通项公式是（ ）
A = B = +1 C = -1 D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法；③由特殊到一般的数学思想与方法及运用。
【解答思路】根据数列的前几项为：1，3，7，15，31，-------1=2-1，3=4-1=-1，7=8-1
=-1，15=16-1=-1，31=32-1=-1，------=-1。
【详细解答】数列的前几项为：1，3，7，15，31，-----，1=2-1，3=4-1=-1，7=8-1
=-1，15=16-1=-1，31=32-1=-1，------=-1；C =-1正确，选C。
2、数列，-，，-，------的一个通项公式是（ ）
A = B = C = D =
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法；③由特殊到一般的数学思想与方法及运用。
【解答思路】根据数列的前几项为：，-，，-，-----①从各项的符号来看，奇数项为正，偶数项为负；②注意各项的绝对值，，，，都是分数，分母分别是2=，4=，8=，16=，------分子分别是1=21-1，3=22-1，5=23-1，7=24-1，-------=；
【详细解答】数列的前几项为：，-，，-，----，①从各项的符号来看，奇数项为正，偶数项为负；②注意各项的绝对值，，，，都是分数，分母分别是2=，
4=，8=，16=，------分子分别是1=21-1，3=22-1，5=23-1，7=24-1，-------
=，C =正确，选C。
3、下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项
公式是（ ） | | |
A =-n+1 B = | | |
C = D = | | |
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法；③由特殊到一般的数学思想与方法及运用。
【解答思路】根据图形可知数列的前几项为：1，3，6，10，-------1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，------=1+2+3+-------+n=。
【详细解答】根据图形可知数列的前几项为：1，3，6，10，-----，1=1，3=1+2，6=1+2+3
4、已知数列，，，，-----则5是数列的（ ）
A 第18项 B 第19项 C 第17项 D 第20项
【解析】
【知识点】①已知一个数列的前几项，求数列通项公式的基本方法；②根据数列通项公式求数列某一项的值的基本方法。
【解答思路】根据数列的前几项为，，，，确定数列的通项公式，运用通项公式与某一项的值为5得到关于n的方程，求解方程得出结果。
【详细解答】数列的前几项为：，，，，数列的一个通项公式是=(n)， ==5=，4n-1=75，n=19，B正确，
选B。
5、已知数列｛｝的通项公式=，那么是它的（ ）
A 第4项 B 第5项 C 第6项 D 第7项
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②根据数列通项公式求数列某一项的值的基本方法。
【解答思路】根据数列通项公式==，可知是一个分数，分子是常数2，分母是相邻两个正整数的积，由==能够判断A是正确的。
【详细解答】数列通项公式==，可知是一个分数，分子是常数2，分母是相邻两个正整数的积，==， A正确，选A。
10=1+2+3+4，------=1+2+3+-------+n= C =正确，选C。
6、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，3，5，7，-------
（2）4，-，2，-，--------
（3）3，5，9，17，33，-----------
（4）-，，-，，--------
（5），，，，----------
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②已知数列前几项，求数列通项公式的基本方法；③由特殊到一般的数学思想与方法及运用。
【解答思路】（1）根据数列的前几项为：1，3，5，7，-------1=21-1，3=22-1，5=23-1，7=24-1，-------=2n-1；（2）根据数列的前几项为：（2）4，-，2，-，--------
①从各项的符号来看，奇数项为正，偶数项为负；②注意各项的绝对值4，，2，，既有整数又有分数，先把它们统一成分数，，，，，分母分别是1，2，3，4-----与序号一致，分子分别是4=1+3，5=2+3，6=3+3，7=4+3，-------=；
（3）根据数列的前几项为：3，5，9，17，33，-----------3=2+1，5=4+1=+1，9=8+1
=+1，17=16+1=+1，33=32+1=+1，------=+1；（4）根据数列的前几项为：
-，，-，，--------①从各项的符号来看，奇数项为负，偶数项为正；②注意各项的绝对值，，，，-------都是分数，分母分别是2=12，6=23，12=34，20=45，--------分子是常数1，=；（5）根据数列的前几项为：，，，，----------都是假分数，=1+，=2+，=3+，=4+，-------各项的整数部分1，2，3，4，------与序号一致，分数部分分子与序号一致，分母比分子大1，
=n+=。
【详细解答】（1）数列的前几项为：数列的前几项为：1，3，5，7，-------1=21-1，3=22-1，5=23-1，7=24-1，-------=2n-1；（2）数列的前几项为：（2）4，-，2，-，--------①从各项的符号来看，奇数项为正，偶数项为负；②注意各项的绝对值4，，2，，既有整数又有分数，先把它们统一成分数，，，，，分母分别是1，2，3，4-----与序号一致，分子分别是4=1+3，5=2+3，6=3+3，7=4+3，-------=；
（3）根据数列的前几项为：3，5，9，17，33，-----------3=2+1，5=4+1=+1，9=8+1
=+1，17=16+1=+1，33=32+1=+1，------=+1；（4）根据数列的前几项为：
-，，-，，--------①从各项的符号来看，奇数项为负，偶数项为正；②注意各项的绝对值，，，，-------都是分数，分母分别是2=12，6=23，12=34，20=45，--------分子是常数1，=；（5）根据数列的前几项为：，，，，----------都是假分数，=1+，=2+，=3+，=4+，-------各项的整数部分1，2，3，4，------与序号一致，分数部分分子与序号一致，分母比分子大1，=n+=。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知一个数列的前几项，写出数列一个通项公式的问题，解答这类问题需要理解通项公式的定义，了解问题的结构特征，掌握解答问题的基本方法；
（2）解答已知一个数列的前几项，写出数列的一个通项公式问题的基本方法是归纳法（即由特殊到一般）的数学思维方法，根据数列的前几项找出其共同的规律（横看“各项之间的关系”，纵看“项的各部分与项数n的关系”）；其基本步骤是：①对给出的几项认真观察，分析寻找项与项之间的关系；②如果给出的项直接找不出项与项的关系，可以对给出的几项作适当的处理使项与项之间的关系更明显；③根据项与项之间的关系得到规律，求出通项公式；④把求得的通项公式代入已知的项进行验证；
（3）解决这类问题的关键是如何去破解数列已知的前几项，在实际问题中具体包括：①已知的几项是用图形表示的数列；②已知的几项是用数组成的数列；
（4）解答已知的几项是用图形表示的数列时，应该从两个方面入手：①前后两个图形的数量关系（即递推关系）；②由递推关系求出前面几项，再进行归纳；
（5）解答已知的几项是用数组成的数列时，应该从如下四个方面入手：①把前几项化成相同的结构；②利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数n的关系；③确定项的符号特征；④注意运用“因数分解”“”的技巧。
〔练习2〕解答下列问题：
1、数列1，，，，------的一个通项公式是（ ）（答案：D）
A = B = C = D =
2、若数列的通项公式为=，记f(n)=2（1-）（1-）-----（1-），试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，猜测f(n)等于（ ）（答案：C）
A B C D
3、数列，，，，-----中，有序实数对（a，b）可以是（ ）（答案：D）
A （21，-5） B （16，-1） C （-，） D （，-）
4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）2，4，6，8，----------- （答案：=2n）
（2），，，，----------（答案：=）
（3）- ，，- ，---------- （答案：=）
（4），，，，---------- （答案：=）
【典例3】解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，满足+ = ，且=1，那么等于（ ）
A 1 B 9 C 10 D 55
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件求出数列的通项公式，从而求出的值。
【详细解答】当n=m=1时，+ = ，+=，+=+，
=，当n=1，m=2时，+ = ，+=，++=++，
=，当n=1，m=3时，+ = ，+=，+++=+++，=，------，当n=1，m=9时，+ = ，+ = ，+++
+------+=+++-------+，=，A正确，选A。
2、已知数列｛｝的前n项和=2+3n，那么此数列的通项公式为= ；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件就可求出数列的通项公式。
【详细解答】当n=1时，==21+31=2+3=5，当n≥2时, =2+3n，=-=2+3n-2-3（n-1）=2+3n-2+4n-2-3n+3=4n+1，当n=1时，
=41+1=5成立，数列的通项公式为=4n+1(n∈)。
3、若数列｛｝的前n项和=+，则｛｝的通项公式= ；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时， ==+，=1，当n≥2时, =+，=-=+--=-，=-，=-2，
=1，=+=+，=-2，数列｛｝是以-2为首项，-2为公比的等比数列，=-2=（n≥2），当n=1时，==1成立，数列
｛｝的通项公式=(n∈)。
4、设数列｛｝的前n项和为，若=1，=(n∈)。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n≥2时， =(n∈)，-=（-）=，
=，=，=1，===，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，==（n≥2），当n=1时，==,1，数列｛｝的通项公式= 1，n=1，
，n≥2。
5、已知数列｛｝的各项均为正数，且=（+）。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，根据等差数列判定的基本方法，判定数列｛｝为等差数列，利用等差数列通项公式的求法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，进一步求出，再利用公式=-求出，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时，==（+），=1，=1，>0，=1，当n≥2时， =（+），=（-+），2（-）=
+1，-=1，=1，=+=（+），2+2=+1，
+2-1=0，=-1，>0，=-1，=+=1+-1=，=2，数列｛｝是以2为首项，1为公差的等差数列，=2+（n-2）1=n，
数列｛｝的各项均为正数，=，=-=-（n≥2），当n=1时，=-=1成立，数列｛｝的通项公式=- (n∈)。
6、设数列｛｝的前n项和为，若2=（n+2）-1(n∈)。求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前n和公式的定义与性质。
【解题思路】当n=1时，求出的值；当n≥2时,运用数列前n项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于，的等式，求出关于n的代数式，利用叠乘法求出当n≥2时,数列｛｝的通项公式，验证当n=1时是否成立，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】当n=1时，2=2=（1+2）-1，=1，当n≥2时， 2=（n+2）-1，2（-）=2=（n+2）-（n+1），n=（n+1），
=，=，=，-------，=，=，=，
==（n≥2），当n=1时，==1成立，数列｛｝的通项公式= (n∈)。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知数列的通项与前n项和之间的关系式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解数列通项公式与前n项和公式的定义，注意通项与前n项和之间的关系式；
（2）解答这类问题的基本思路有两种：①把- (n≥2,n∈)换成；②把换成- (n≥2,n∈)；
（3）这两种方法都要运用通项与前n项和之间的一个重要关系式，这个关系式是
= ， n=1，
- ， n≥2。；
（4）解答这类问题的基本方法是：①通过把-换成（或把换成-）将数列转化为基本数列；② 根据条件求出基本数列的首项；③求出基本数列的通项公式；④求出所求数列的通项公式，并验证n=1时是否成立；⑤得出数列的通项公式；
（5）解答这类问题时，应该注意的问题是：①把-换成（或把换成-）时(n≥2,n∈)的条件，②求出结果后一定要验证n=1是否成立，若n=1时成立，则可以直接写出通项公式；若n=1时不成立，则通项公式应该写成分段式。
〔练习3〕解答下列问题： 2，n=1，
1、已知数列｛｝的前n项和=3-2n+1，则其通项公式为 ；（答案：=6n-5，n≥2）
2、已知数列｛｝的前n项和=-9n，则其通项公式= ，若它的第k项满足5＜＜8，则k= ；（答案：=2n-10）
3、已知数列｛｝的前n项和为，且=2. +2，则此数列的通项公式为 ；（答案：
12，n=1，
= 8，n≥2）
4、若数列｛｝的前n项和=-10n（n=1，2，3，----），则此数列的通项公式= ；数列｛n｝中数值最小的项是第 项；（答案：=2n-11；数列｛n｝中数值最小的项是第3项）
5、设数列｛｝的前n项和为，已知=a，=+，n∈。设=-，求数列｛｝的通项公式；（答案：=（a-3））
6、设数列｛｝的前n项和为 ，若=，+2=0 (n≥2,n∈)求数列｛｝的通项公式；（答案：=，n=1，） 7、（答案：=1，n=1，）
-，n≥2 3n(n+1)，n≥2
7、设数列｛｝的前n项和为，若=1，n=(n+3) (n∈)，求：；
8、设数列｛｝的前n项和为，满足：2=-+1（n∈），且，+5，成等差数列。
（1）求的值； 3，n=1，
（2）求数列｛｝的通项公式。（答案：（1）=3；（2）=-，n≥2）
9、设数列｛｝的前n项和为，=1，=+2（n-1）(n∈)。
（1）求证：数列｛｝为等差数列；
（2）求出与关于n的表达式。（答案：（1）提示：求出就可证明结论；（2）=4n-3，=n(2n-1)。）
【典例4】解答下列问题：
1、数列｛｝满足=1，=2-1（n∈），则=（ ）
A 1 B 1999 C 1000 D - 1
【解析】
【知识点】①数列递推公式的定义；②运用数列递推公式求数列通项公式的基本求法；③数列通项公式的定义；④根据数列通项公式求数列某一项的值的方法；
【解答思路】根据数列｛｝满足：=1，=2-1（n∈），=2-1，
-=2（-），=2（n∈，且n2），由=1，==2-1
=21-1=1，-=1-1=0，-=0=0，==-----==1；
【详细解答】数列｛｝满足：=1，=2+1（n∈），=2-1，-=2（-），=2（n∈，且n2），=1，==2-1，-=1-1=0，-=0=0，==-----==1=1，A=1正确，选A。
2、已知数列｛｝的首项=1，且满足=+，则此数列的第3项是（ ）
A 1 B C D
【解析】
【知识点】①数列递推公式的定义；②运用数列递推公式求数列某一项的基本求法；
【解答思路】根据数列｛｝满足：=1，且=+，==+
=+=1， ==+=+=；
【详细解答】数列｛｝满足：=1，且=+，==+
=+=1， ==+=+=，C=-30正确，选C。
3、已知数列｛｝中，=1，=+1(n∈)，求：；
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】 =+1(n∈)，-2=+1-2，-2=（-2），
=，=1，-2=1-2=-1，数列｛-2｝是以-1为首项，为公比的等比数列，-2=（-1）=-，=2-(n∈)。
4、已知数列｛｝中，=a，=(n∈)，求：。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】 =(n∈)，+=2，+1=，
+1-2=-2，-1=2(-1)，=，=a，-1=-1=，数列｛-1｝是以为首项，为公比的等比数列，-1==，
= (n∈)。
5、根据下列条件，确定数列｛｝的通项公式：
（1）=1，=；（2）=1，=3+2；（3）=2，=+ln（1+）。
【解析】
【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。
【解题思路】（1）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于n的代数式，利用叠乘法就可求出数列｛｝的通项公式；（2）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛+c｝（c为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛+c｝的通项公式，从而得出数列｛｝的通项公式；（3）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到-关于n的代数式，利用叠加法就可求出数列｛｝的通项公式。
【详细解答】（1） =，=，=，=，--------，
=，=2，=..--------..2==，=1，=
= (n∈)；（2）=3+2，+1=3+2+1，+1=3（+1），
=3，=1，+1=1+1=2，数列｛+1｝是以2为首项，3为公比的等比数列，+1=2，=2-1 (n∈)；（3）=+ln（1+），,-=ln（1+）=ln，-= ln ，-= ln ，--------，-= ln ，
-=ln2，-= ln+ ln +--------+ ln + ln2，=ln-------
2=lnn，=lnn+，=2，=2+lnn=lnn (n∈)。
『思考问题4』
(1) 【典例4】是已知数列的首项和递推公式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解递推公式的定义；
（2）解答这类问题的基本思路是构造一个新数列，使构造的新数列为基本数列；
（3）这类问题常见的类型有：①=+f(n)（n2，n∈）；②=f(n) （n2，n∈）；③=+c（n2，n∈，c为常数）；
（4）求解这类问题的基本方法是：①由已知的递推公式向上（或向下）得到一个式子；②把已知式子与递推式子相减构造一个新数列，③求出新数列的通项公式；④根据新数列的通项公式求出所求数列的通项公式；
（5）求出新数列通项公式后求所求数列通项公式时常用的方法是：①累加法，适用于=+f(n)（n2，n∈）这种类型；②累乘法，适用于=f(n) （n2，n∈）这种类型；③换元法，适用于=p+q（n2，p0，且p1）；④迭代法，将=f()代入=f()得到与的关系，再将=f（）代入，-------直到=f（）代入为止。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知数列｛｝的前n项和为，且=2-1(n∈)，则等于（ ）（答案：C）
A -16 B 16 C 31 D 32
2、已知数列｛｝满足=1，= 2，（n为正奇数），则其前6项之和为（ ）
+1，（n为正偶数），（答案：C）
A 16 B 20 C 33 D 120
3、在数列｛｝中，=1，=1+（n2），则等于（ ）（答案：D）
A B C D
4、已知数列｛｝满足=1，=（n2，n∈)，则= ；（答案：=）
5、已知数列｛｝中，=9，3=4-(n∈)，求：；（答案：=8+1）
6、已知数列｛｝中，=，=4+1(n∈)，求：。（答案：=-）
【典例5】解答下列问题：
1、已知=，那么数列｛｝是（ ）
A 递增数列 B 递减数列 C 常数数列 D 不能确定
【解析】
【知识点】①数列的定义与性质；②判断数列单调性的基本方法；
【解答思路】根据数列的性质和判断数列单调性的基本方法，结合问题条件对数列｛｝的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】==1-，数列｛｝是递增数列， A正确，选A。
2、函数f(x)满足f(1)=1，f(n+1)=f(n)+3（n∈），则f(n)是（ ）
A 递减数列 B 递增数列 C 常数数列 D 摆动数列
【解析】
【知识点】①数列的定义与性质；②判断数列单调性的基本方法。
【解答思路】根据数列的性质和判断数列单调性的基本方法，结合问题条件对函数f(x)的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)满足f(1)=1，f(n+1)=f(n)+3（n∈）， f(n+1)-f(n)=3>，函数 f(n)表示的数列是以1为首项，3为公差的等差数列，3>0，函数 f(n)表示的数列是递增数列， B正确，选B。
3、数列｛｝的通项=，则数列｛｝中最大项是（ ）
A 3 B 19 C D
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②基本不等式运用。
【解答思路】根据数列｛｝的通项公式和基本不等式，结合问题条件求出的最大值就可得出选项。
【详细解答】数列｛｝的通项===，当且仅当n=，即n=10时等号成立， 数列｛｝中的最大项的值是，D正确，选D。
4、数列｛｝中，=-+11n，则此数列最大项的值是 。
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②一元二次函数的定义与性质性质。
【解答思路】根据数列通项公式=-+11n，可以视为关于n的一元二次函数，运用一元二次函数的性质就能够得出结果。
【详细解答】数列通项公式=-+11n，-1<0，当n=-=，n，取
n=6，=-+116=30为最大项，数列最大项的值是30。
5、数列｛｝满足=，=2，则= ；
【解析】
【知识点】①数列递推公式及运用；②运用数列递推公式求数列某一项值的基本求法。
【解答思路】根据数列｛｝的递推公式，结合问题条件就可求出的值。
【详细解答】数列｛｝满足：=，=2，=1-，=1-
=，=1-2=-1，=1+1=2，数列｛｝是以正整数为定义域，3为周期的周期函数，==。
6、若数列｛n(n+4)｝中的最大项是第k项，则k= ；
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②判断数列单调性的基本方法；③递增数列的定义与性质；④函数最值的求法；
【解答思路】根据数列｛｝的通项公式和判断数列单调性的基本方法，得到数列｛｝关于n的不等式，求解不等式求出n的最大值，从而就可求出k的值。
【详细解答】数列｛｝的通项=n(n+4)，n∈， -=（n+1）（n+5）- n(n+4)= (+4n+--4n)= （-），当1n3时，数列｛｝是单调递增数列，当n4时，数列｛｝是单调递减数列，=37
=，=48=，-=-=>0， 数列｛｝中第四项最大，即： k=4。
7、已知数列｛｝的通项=（n+1）（n∈），试问该数列｛｝有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由。
【解析】
【知识点】①数列通项公式及运用；②判断数列函数单调性的基本方法；③递增数列的定义与性质；④求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据数列｛｝的通项公式和判断数列单调性的基本方法，得到数列｛｝关于n的不等式，求解不等式求出n的最大值，从而得出数列｛｝存在最大项，并求出最大项的项数。
【详细解答】数列｛｝的通项=（n+1）（n∈）， -=（n+2）
-(n+1)= （n+-n-1）=(-n)，当1n9时，数列｛｝是单调递增数列，当n10时，数列｛｝是单调递减数列，=10，=
11，-=（-10）=0， 数列｛｝存在最大项，最大项的项数是9或10。
『思考问题5』
（1）【典例5】是数列性质及运用的问题，解答这类问题需要理解数列的性质，数列的性质主要包括：①数列的单调性；②数列的周期性；
（2）判断数列单调性的基本方法有：①作差比较法（即根据-的符号判断数列｛｝的单调性）；②作商比较法（即根据与1的大小判断数列｛｝的单调性）；③结合相应函数的图像判断数列｛｝的单调性；
（3）判断数列周期性的基本方法是：①根据已知条件求出数列的前几项；②根据数列前几项的值判断数列的周期性；
（4）求解数列的最值的基本方法是：①根据已知条件判断数列｛｝的单调性；②运用函数求最值的方法求出数列的最值；③得出问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、数列｛｝的通项公式=-58+16n-，则（ ）（答案：C）
A ｛｝是递增数列 B ｛｝是 递减数列
C ｛｝先增后减，有最大值 D ｛｝先减后增，有最小值
2、已知数列｛｝=，那么数列｛｝是（ ）（答案：B）
A 递减数列 B 递增数列 C 常数数列 D 摆动数列
3、已知｛｝是递增数列，且对于任意的n∈，=+n恒成立，则实数的取值范围是 ； （答案：实数的取值范围是（-3，+））
4、数列｛｝满足= 2-1，,＜1，=，则数列的第2015项为 2， 0，（答案：）
5、设=-3+15n-18，则数列｛｝中的最大项的值是（ ）（答案：D）
A B C 4 D 0
6、数列｛｝的通项=，则数列｛｝中最大项是（ ）（答案：C）
A 3 B 19 C D
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}：=1+，=1+，=1+，--------，以此类推，其中
（k=1，2，------），则（ ）（2022全国高考乙卷）
A < B < C < D <
【解析】
【考点】①数列的定义与性质；②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据数列的性质，结合问题条件分别求出，，-----，，的值，运用实数比较大小的基本方法分别对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（k=1，2，------），为时问题简化，不妨设=1（k=1，2，------），
=1+=1+1=2，=1+=，=1+=，=1+=，
=，=，=，=，对A，2-=>0， >，A错误；对B，-
=>0， >，B错误；对C，-=>0， >，C错误；对D，
-=-<0， >，D正确，选D。
2、已知数列{}满足=3，+2=2，则的值为 （成都市2019级高三三珍）
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②数列递推公式 及运用；③周期函数定义与性质。
【解题思路】根据数列的性质，运用数列递推公式，结合问题条件分别求出，，，的值，从而得到数列{}是以4为周期的周期数列，利用周期函数的性质就可求出的值。
【详细解答】数列{}满足=3，+2=2， =2（1-），=2（1-）
=，=2（1-）=，=2（1-2）=-2，=2（1+）=3，数列{}是以4为周期的周期数列，===。
3、数列{}的前n项和为，+2=，数列{}满足=（3-）（n），则数列{}的前10项和为 （2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②数列前n项和公式及运用；③数列通项与前n项和之间的关系；④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】根据数列通项公式，前n项和公式及数列通项与前n项和之间的关系，结合问题条件，得到3-=2，从而得到=（3-）=2=，求出数列{}的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前10项和。
【详细解答】当n=1时，+2=3=3，=1，当n2时，+2=， +2=，+2（-）-=3-=2，=（3-）
=2=， =n+1，数列{}的前10项和为2+3+4+-----+11=65。
4、已知数列{}的前n项和满足=，记数列{}的前n项和为，n，则的值为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④裂
项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】根据数列通项公式与前n项和公式，求出数列{}的通项公式，从而得到数列{}的通项公式，运用裂项相消法求数列前n项和的基本方法求出的值就可得出选项。
【详细解答】①当n=1时，==1，=1；②当n 2，=-=-
=2n-1, 当n=1时，=2-1=1成立，数列{}的通项公式为=2n-1, = =（-），=（1-+-+-------
+-+-）=（1-）=， C正确，选C。
5、设数列｛｝的前n项和为，若=5，=10，且{ }是等差数列，则||+||+||+------+||的值为 （2020成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④裂项相消法求数列前n项和的基本方法；⑤等差数列的定义余性质；⑥求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】根据等差数列的性质，结合问题条件求出数列｛｝的前n项和为，运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，从而求出||+||+||+------+||的值。
【详细解答】设等差数列{ }的公差为d ，数列｛｝的前n项和为，=5，=10，
且{ }是等差数列， ==5，==2，-=2-5==3=4d, d=-，数列{ }是以5为首项，-为公差的等差数列，=5-（n-1），即=-+n，当n 2时，=-=-（-+2n-1）+（n-n+1）=-n+, 当n =1时，=-
+=5成立，=-n+（n∈），即||+||+||+------+||=5++2++1+
+4++7+=。
6、设数列｛｝满足+ =3n-1，前16项和为540，则= （2020全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①数列前n项和公式及运用；②数列通项公式及运用；③数列递推公式及运用。
【解答思路】当为奇数时，根据问题条件得到-=3n-1，从而得到++-----+含的式子；当n为偶数时，根据问题条件得到+ =3n-1，从而求出++----+的值，根据前16项和为540得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】当为奇数时，-=2，-=8，-=14，数列{-}是以2为首项，6为公差的等差的等差数列，-=2+66=38，-=27+6=140，
=140+,++-----+=（2+10+24+44+70+102+140）+8=392+8；当n为偶
数时，+=5，+=11，+=17，数列{+}是以5为首项，6为公差的等
差数列，+=5+66=41， ++++，+++=5+17+29+41=92，
=+++-----++=392+92+8=484+8=540，=7。
7、数列｛｝中，=2，=.，若++-----+=-，则k= （ ）（2020全国高考新课标II）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①数列通项公式及运用；②数列递推公式及运用；③等比数列的定义与性质。
【解答思路】令m=1,根据问题条件得到=.=2，从而判断数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列｛｝的通项公式，由++-----+=-得到关于k的方程，求解方程求出k的值就可得出选项。
【详细解答】令m=1, =2，=.，=.=2，数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，=2=，++-----+=++---
+=（1+2++----+）=（-1）=-，k=4，C正确，选C。
8、0—1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列，，------，，----满足∈{0，1}（i=1,2,----）,且存在正整数m，使得=（i=1,2,----）成立,则称其为0—1周期
序列，并称满足=（i=1,2,----）的最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m
的0—1序列，，------，，----C（k）=（k=1，2，----，m-1）是描述其
性能的重要指标，下列周期为5的0—1序列中，满足C（k） （k=1，2，3，4）的序
列是（ ）（2020全国高考新课标II）
A 11010 B 11011 C 10001 D 11001
【解析】
【考点】①0—1周期序列的定义与性质；②0—1周期序列周期的定义与性质。
【解答思路】根据0—1周期序列和0—1周期序列周期的性质，运用公式C（k）=（k=1，2，----，m-1）对各选项通过计算就可得出选项。
【详细解答】对A, C（k）== （11+10+11+10+10+11+10
+01+00+10）=＞，排除A；对B, C（k）== （11+10+1
1+11+10+11+11+01+01+11）=＞，排除B；对C, C（k）=
= （10+10+10+11+00+00+01+00+01+01）=，C正确，选C。
9、将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列｛｝，则｛｝的前n项和为
（2020全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①数列的定义与性质；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④等差数列的定义与性质。
【解答思路】根据数列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},数列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，从而得到数列｛｝=｛1，7，13，19，------｝是以1为首项，6为公差的等差数列，利用等差数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】数列{2n-1}={1，3，5，7，9，11，13，-----,2n-1},数列{3n-2}={1，4，7，10，13，----，3n-2}，数列｛｝=｛1，7，13，19，------｝，数列｛｝是以1为首项，6为公差的等差数列，=n+6=3-2n。
10、设为数列｛｝的前n项和，且=4，=，n，则= （2019成都市高三一诊）
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式的定义；②数列通项公式的定义；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④已知数列通项公式求数列某一项的基本方法；
【解答思路】根据=，=，-=-=，=2，=2，由=4，=，n，====4，当n2时，数列｛｝是,以4为首项，2为公比的等比数列， =4=（n2），当n=1时，=24，数列｛｝的通项公式是：当n=1时，=4，当n2时，=；
【详细解答】=，=，-=-=，=2，=2，=4，=，n，====4，当n2时，数列｛｝是,以4为首项，2为公比的等比数列， =4=（n2），当n=1时，=24，数列｛｝的通项公式是：当n=1时，=4，当n2时，=，==32。
11、记为数列｛｝的前n项和，若=2+1，则= （2018全国高考新课标I卷）
【解析】
【知识点】①数列前n项和公式的定义；②数列通项公式的定义；③数列通项公式与前n项和公式之间的关系；④前n项和的求法；
【解答思路】根据为数列｛｝的前n项和，且=2+1，=2（-）+1，=2-1， -1=2（-1），=2，由=2+1，当n=1时，得： ==2+1，=-1，当n2时，=+=2+1，=-2，=+=-1-2=-3， -1=-3-1=-4，当n2时，数列｛-1｝是,以-4为首项，2为公比的等比数列， -1=-4=-，=-+1（n2），当n=1时，=-2+1=-1成立，数列｛｝ 的通项公式是=-+1；
【详细解答】为数列｛｝的前n项和，且=2+1，=2（-）+1，=2-1， -1=2（-1），=2，由=2+1，当n=1时，得： ==2+1，=-1，当n2时，=+=2+1，=-2，=+=-1-2=-3， -1=-3-1=-4，当n2时，数列｛-1｝是,以-4为首项，2为公比的等比数列， -1=-4=-，=-+1（n2），当n=1时，=-2+1=-1成立，数列｛｝ 的通项公式是=-+1=-+1=-63。
12、数列｛｝满足：=，=2，则= （2018全国高考新课标II卷）
【解析】
【知识点】①数列递推公式的定义；②运用数列递推公式求数列某一项的基本求法；
【解答思路】根据数列｛｝满足：=，=2得到=1-，从而求出的值。
【详细解答】数列｛｝满足：=，=2，=1-，=1-=。
13、已知集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x= ，n}，将A B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列｛｝，记为数列｛｝的前n项和，则使得＞12成立的n的最小值为 （2018全国高考江苏卷）
【解析】
【知识点】①集合的表示法；②集合的运算；③数列通项公式的定义；④数列前n项和公式的定义；
【解答思路】根据集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x= ，n}，集合A={1，3，5，7，-------，2n-1，-------}，集合B={2，4，8，16，------，，------}，数列｛｝=A B的所有元素从小到大依次排列构成的数列可表示为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，------- =+=441+62=503，=43，12=1243=516，=+=484+62=546，=45，12=1245=540，<12，>12， 使得>12成立的n的最小值是27；
【详细解答】集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x= ，n}，集合A={1，3，5，7，-------，2n-1，-------}，集合B={2，4，8，16，------，，------}，数列｛｝=A B的所有元素从小到大依次排列构成的数列可表示为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，------- =+=441+62=503，=43，12=1243=516，=+=484+62=546，=45，12=1245=540，<12，>12，使得>12成立的n的最小值是27。
14、已知数列｛｝共16项，且=1，=4，记关于x的函数（x）=-+（-1）x，n∈。若（1n15）是函数（x）的极值点，且曲线y=（x）在点（，（））处的切线的斜率为15，则满足条件的数列｛｝的个数为 （2018成都市高三二诊）
【解析】
【知识点】①导数的定义与几何意义；②导数的求法；③函数极值点的定义与确定；④数列递推公式的定义与运用；⑤排列，组合的定义与排列数，组合数的求法；
【解答思路】根据（x）=-2x+( -1)=[x-（+1）] [x-（-1）]，（1n15）是函数（x）的极值点， =+1或=-1| -|=1，由=-8x+15=15， -8+15=15，=0或=8， 当=0时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15 ，i）有6个为-1，2个为1， 数列｛｝的个数为.=588；当=8时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）
+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15 ，i）有2个为-1，6个为1， 数列｛｝的个数为.=588；综上所述，数列｛｝的个数为.+.=588+588=1176；
【详细解答】（x）=-2x+( -1)=[x-（+1）] [x-（-1）]，（1n15）是函数（x）的极值点， =+1或=-1| -|=1，=-8x+15=15，-8+15=15，=0或=8， 当=0时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15 ，i）有6个为-1，2个为1， 数列｛｝的个数为.=588；当=8时，由-=（-）+（-）+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2个为-1，5个为1，由-=（-）+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15 ，i）有2个为-1，6个为1， 数列｛｝的个数为.=588；综上所述，数列｛｝的个数为.
+.=588+588=1176；
『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年的高考（或高三诊断考试或高一下期期末质量检测考试）试卷中与数列概念相关的试题，归结起来主要包括：①数列的定义及表示；②数列通项公式及运用；③数列前n项和公式及运用；④数列递推公式及运用；⑤数列的性质及运用等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题属于哪种类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、若数列{}满足=-1，=1-，则=（ ）（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）（答案：C）
A -1 B 2 C D 1
2、若数列{}满足+=3n+1，为数列{}的前n项和，则=（ ）（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）（答案：C）
A 300 B 320 C 340 D 360
3、在数列{}中，=2，=（n2，n），则= （成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）（答案：=18。）
4、已知数列{}满足=（n2，n），且=，则{}的第n项为（ ）（成都市高2019级2019-2020学年度下期期末调研考试）（答案：A）
A 2n B C 3n-1 D
5、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，-------，其中第一项是，接下来两项是，，再接下来的三项是，，，依次类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100，且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是（ ）（2017全国高考新课标I卷）（答案：A）
A 440 B 330 C 220 D 110
6、在数列｛｝中，=1，+++------+=（n∈），则数列｛｝的通项公式= （2017成都市高三二诊）（答案：=）
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