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第二十讲 平面向量的数量积
【考纲解读】
理解平面向量数量积的定义和平面向量数量积的几何意义，了解用平面向量数量积可以解答有关长度，角度和垂直的问题；
掌握平面向量数量积几何运算的公式和基本方法，能够熟练地进行平面向量数量积的几何运用；
掌握平面向量数量积坐标运算的公式和基本方法，能够熟练地进行平面向量数量积的坐标运用；
掌握平面向量垂直的充分必要条件，能够运用平面向量垂直的充分必要条件解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面向量数量积的概念：
1、平面向量数量积的定义： B
（1）向量的夹角：如图设向量，是两个非零向量，
EMBED Equation.DSMT4 =称为向量与向量的夹角，记为〈，〉 O A
=，的取值范围是[，]；
（2）向量夹角的特例：
①当=时，向量与向量同向；
②当=时，向量与向量垂直，记作⊥；
③当=时，向量与向量反向。
（3）向量数量积的定义：设向量，是两个非零向量，则称数量||||COS〈，〉叫做向量与的数量积，记作.；
（4）向量的投影：①||COS〈，〉称为向量在方向上的投影；②||COS〈，〉称为向量在方向上的投影；
2、向量数量积的几何意义：
.等于向量的长度||与向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘积，也可以看作是向量的长度||与向量在向量方向上的投影||COS〈，〉，如下图所示：
B B B
O A O A O A
①〈，〉为锐角 ②〈，〉为钝角 ③〈，〉为直角
二、平面向量数量积的几何运算：
1、平面向量数量积的几何运算的公式：
.=||||COS〈，〉，规定：.=.=0；
2、平面向量数量积几何运算的性质：
设，是非零向量，是与同向的单位向量，为向量与向量的夹角。
（1）.=.=||cos；
（2）⊥.=0；
（3）当与同向时，.=||.||；当与反向时，.=-||.||；特别地.=||||=；
（4）cos= ；
（5）|.|≤||.||。
3、平面向量数量积几何运算的运算律：
设向量，，，∈R。
（1）.=.；
（2）（）. =（. ）=. （）；
（3）（+）.= .+.。
三、平面向量数量积的坐标运算：
1、平面向量数量积坐标运算的公式：
设=（，），=（，），.=+，规定：.=.=0。
2、平面向量数量积坐标运算的性质：
设=（，），=（，），=（，），为向量与向量的夹角。
（1）.=||=+，||=；特别地，若A（，），B（，），则||= ；
（2）cos= = ；
（3）⊥.==0；
（4），共线-=0，=（0，0）。
3、平面向量数量积坐标运算的运算律：
设=， =，=（，），∈R。
（1）.=.=+；
（2）（）. =（. ）=. （）=（）；
（3）（+）.= .+.=+++。
4、理解平面向量数量积定义时，应该注意的问题：
设为向量与向量的夹角，（1）若为锐角，则.>0；（2）若为直角，则.=0；（3）若为钝角，则.<0。
【探导考点】
考点1平面向量数量积的几何运算：热点①运用平面向量数量积的几何运算，求给定两个向量的数量积；热点②运用平面向量数量积的几何运算，求给定两个向量数量积的最大值；
热点③运用平面向量数量积的几何运算，求给定两个向量夹角的余弦值；
考点2平面向量数量积的坐标运算：热点①运用平面向量数量积的坐标运算，求给定两个向量的数量积；热点②运用平面向量数量积的坐标运算，求给定两个向量数量积的最大值；
热点③运用平面向量数量积的坐标运算，求给定两个向量夹角的余弦值；
考点3平面向量数量积的应用：热点①应用平面向量数量积，求给定向量的模长；热点②应用平面向量数量积，求给定两个向量夹角的余弦值；热点③应用平面向量数量积，求给定向量模长的最值；
考点4平面向量数量积与三角函数的综合：热点①应用平面向量数量积，求三角函数的解析式及相关的数学问题；热点②已知向量的三角函数坐标，求给定三角函数的值；热点③应用平面向量数量积，求给定三角形的面积。
【典例解析】
【典例1】按要求解答下列各题：
1、有四个命题：①0. =0；②.=0；③对任意向量，有.=||；④若.=.，则=。其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、若向量的方向是正南方向，向量的方向是北偏东方向，且||=||=1，则-3.（+）= ；
3、如图已知正六边形，下列向量的
数量积中最大的是（ ）
A . B . C . D .
4、下列判断：①+=0，则=；②已知，，是三个非零向量，若+=0，则|.|=|.|；③，共线.=||.||；④||.||＜.；⑤..=||；⑥+ 2.；⑦向量，满足.＞0，则与的夹角为锐角；⑧若，的夹角为，则||.cos表示向量在向量方向上的投影。其中正确的是 。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与平面向量数量积的定义相关的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义和平面向量数量积的几何意义；
（2）平面向量数量积与两个向量的夹角直接相关：①若两向量的夹角是锐角，则数量积大于零；②若两向量的夹角是钝角，则数量积小于零；③若两向量的夹角是直角，则数量积等于零．
〔练习1〕解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
①若≠0，.=.，则=；②若.=.，则≠，当且仅当=0时成立；
③（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；④对任意向量有=||；
已知平面向量，满足.（+）=3，且||=2，||=1，则向量与夹角的正弦值为（ ）
A - B - C D
3、已知平面向量，的夹角为，且||=2，||=1，则.（-2）= 。
【典例2】按要求解答下列各题：
1、P是ABC所在平面上一点，若.=.=.，则P是ABC的（ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
2、已知平面上三点A，B，C满足||=3，| |=4，| |=5，则. +. + .的值等于 ；
3、给出下列命题：①（）. =（. ）=. （）；②(+).=.+.；③（+）=||+2.+||；④|.|＜||||。其中错误的命题序号为 ；
4、已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则.的值为（ ）
A - B C D
5、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则. 的值为 ；. 的最大值为 ；
6、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2），求：向量与的夹角。
7、已知||=4，||=8，与的夹角为。
（1）求：（+2）（2-）；
（2）求：|4-2|；
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量数量积的几何运算问题，解答这类问题需要理解向量数量积的定义与性质，掌握向量数量积几何运算的公式和基本方法；
（2）向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式.=||||COS〈，〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）应用向量数量积，求与的夹角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它们之间的关系，②运用公式cos= 求出向量夹角的余弦值；③利用余弦三角函数的性质，求出向量夹角的大小(注意两向量夹角的取值范围)。
〔练习2〕解答下列问题：
1、||=，||=1，与的夹角为，则使向量2+与-3的夹角为钝角的的取值范围为 ；
2、设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M，N满足=3，=2，则.等于（ ）
A 20 B 15 C 9 D 6
3、已知，是非零向量，且|+|=|-|，求证：⊥；
已知||=5，||=4，且与的夹角为，当k为何值时，向量（k-）⊥（+2）。
【典例3】按要求解答下列各题：
1、已知=（2，3），=（-4，7），则在方向上的投影为（ ）
A B C D
2、已知=（-3，2），=（-1，0），向量+与-2垂直，则实数的值为（ ）
A - B C - D
3、设向量=（x，1），=（1，y）（x，y∈R），=（2，-4），且⊥，//，则|+|=（ ）
A B C 2 D 10
4、已知=（2,3），=（-1,-2），=（2,1）。
求：①（.）.； ②.（.）。
5、已知=（2,5），=（3,-2），若（+x）与（-）垂直，求x的值；
6、设=（3,1），=（-1,2），且⊥，∥。
求满足+=的的坐标（其中O为坐标原点）；
7、平面内有向量=（1,7），=（5,1），=（2,1），点x是上的一个动点，（其中O为坐标原点）。
①当.取最小值时，求的坐标；
②当X满足①的条件和结论时，求cosAXB的值；
8、设=（,），=（,），x∈〔0, 〕.
求：①.及|+|；
②令f(x)= .+|+|,求函数f(x)的最值。
『思考问题3』
（1）【典例3】是向量数量积坐标运算的问题，解答这类问题需要理解向量坐标的定义，掌握向量数量积坐标运算的公式和基本方法；
（2）已知向量，的坐标，求向量数量积直接运用公式.=求解；
（3）已知向量的坐标，=（，），求向量的模一般运用公式||=求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知向量=（x-1，2），=（2，1），则的充要条件是（ ）
A x=- B x=-1 C x=5 D x=0
2、已知向量=（，），=（，），则ABC等于（ ）
A B C D
3、在中，=（2,3），=（1，k），且的一个内角为，求k的值。
4、设=（-3,-4），=（2,3），=（5,6）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）。
【典例4】按要求解答下列各题：
1、已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在ABC 中，=2+2，=2-6，D是BC的中点，则||= 。
2、在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是 ；
3、已知向量与的夹角为，且||=1，| 2-|=，则||= ；
4、已知单位向量与的夹角为，且cos=，向量=3-2，=3-的夹角为，则cos= ；
5、若向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），已知2-3与的夹角为钝角，则k的取值范围是 ；
6、已知=（，），=（，），则向量+与-2(-)的夹角为
；
7、设=（m+1，-3），=（1，m-1），若（+）⊥（-），则m= ；
8、已知=（1，2），=（-3，2），若k+2与2-4平行，则k= 。
『思考问题4』
（1）【典例4】是向量数量积的应用问题，这类问题主要包括：①求向量的模；②求向量的夹角；③向量的垂直或平行问题；
（2）求向量模的基本方法是：①运用公式.=||=+，||=；②求|m+n|时，需先求出（m+n），再求|m+n|；③利用方程或方程组求向量模；
（3）求向量夹角的基本方法是：①运用公式cos= = 求解；②构造三角形，利用解三角形的知识求解（注意夹角的定义与取值范围，对特殊情况应该考虑同向和反向的问题）；
（4）求解向量垂直或平行问题的基本方法是运用向量数量积的性质⊥.=
=0或∥=0解答问题。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知向量与的夹角为，且||=2，||=1，那么|-4|等于（ ）
A 2 B 2 C 6 D 12
2、设=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，则||= ；
3、已知非零向量，满足⊥，且+2与-2的夹角为，则= ；
4、在ABC中，若A=，.=-1，则||的最小值是（ ）
A B 2 C D 6
5、向量=（1，-2），=（6，3），则与的夹角为（ ）
A B C D
6、已知||=，||=1，,与的夹角为，则使向量2+与-3的夹角为钝角的的取值范围为 ；
7、已知与是非零向量，且向量+3与7-5垂直，-4与7-2垂直，则与的夹角为 ；
8、已知向量⊥，||=3，则.= 。
9、向量与向量=（-3，4）的夹角为，||=10，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（ ）
A （-7，8） B （9，-4） C （-5，10） D （7，-6）
10、向量，，满足++=0，（-）⊥，⊥，若| |=1，则| |+||+||的值是 ；
11、若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则.= ；
12、已知向量与的夹角为，||=3，||=2，若=+，且⊥，求实数的值。
【典例5】解答下列问题：
1、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=0，则ABC最小角的正弦值等于（ ）
A B C D
2、在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=，E为CD的中点，若.=1，则AB= ；
3、已知ABC是等腰直角三角形，B=，D是BC边的中点，BE AD，延长BE交AC于F，连接DF，求证：ADB=FDC； A
4、如图所示正三角形ABC中，D、E分别
是AB、BC上的一个三等分点且分别靠近点 D P
A点B，AE、CD相交于点P。
求证：BPDC。 yx，
5、已知x，y满足 x+y2，若=（x，1）， B E C
=（2，y）， xa，且.的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是 ；
6、已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A，B，C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点（2，-1）的直线方程为 ；
7、设O为坐标原点，C为圆（x-2）+y=3的圆心，且圆上有一点M（x，y）满足.=0，则= ；
8、在平面直角坐标系XOY中，已知向量=（，-），=（sinx，cosx），x（0，）。
（1）若，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值。
『思考问题5』
（1）【典例5】是平面向量的综合应用问题，这类问题主要包括：①向量在平面几何中的应用；②向量在不等式中的应用，③向量在解析几何中的应用，④向量在三角函数中的应用；
（2）运用向量解决平面几何问题的基本方法是：①建立平面几何与平面向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素（搭建桥梁是建立平面直角坐标系）；②通过向量运算研究几何元素之间的关系；③把运算结果转化为几何关系；
（3）运用向量解决平面几何问题时，经常涉及到距离、夹角等问题，解答时，可适当选取一组平面向量的基底来沟通向量之间的关系，利用向量之间的关系构造关于未知量的方程或方程组求解，尤其是向量数量积，向量模与夹角的求法这些基本问题应该特别重视；
（4）运用向量解决不等式，最值问题，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；常用公式：①0≤||=.= +；②|.|≤||.||；③|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|；④|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|来解决不等式或最值的问题；
（5）向量在解析几何中的两个作用：①载体的作用，解答这类问题的基本方法是利用向量的定义和运算导出曲线上点的坐标之间的关系，从而达到解决问题的目的；②工具作用，解答这类问题的基本方法是运用向量垂直，平行的充要条件从而达到解决问题的目的；
（6）解答向量与三角函数综合应用问题的基本方法是：①问题中条件的坐标涉及到数据函数时，运用向量垂直或平行的充要条件得到数据函数的关系式，从而达到解决问题的目的；②问题条件中坐标涉及涉及函数，求向量的模或与向量相关的表达式，通过向量运算再利用三角函数值域的有界性解答问题。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知点O为三角形ABC所在平面内一点，若++=0，则点O是三角形ABC的（ ）
A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心
2、若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且（+）.（+）=0，则四边形EFGH是（ ）
A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形
3、若点O是所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则的形状为（ ）
A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
4、已知平面上的直线l的方向向量=（- ，），点O（0，0）和点A（1，-2）在直线l上的投影分别是和，且=，则等于（ ）
A B - C 2 D -2
5、已知点A（-2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足. = -6，则点P的轨迹为（ ）
A 直线 B 线段 C 圆 D 抛物线
6、已知直线ax+by+c=0与圆+=1相交于A，B两点，且|AB|=，则.= ；
7、在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，则对角线AC的长为 ；
8、已知点P（-3，0），点A在Y轴上，点Q在X轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足.=0，=-，当点A在Y轴上移动时，求动点M的轨迹方程；
9、如图在矩形ABCD中，||=，||=2， D F C
点E为BC的中点，点F在边CD上，若. E
=，则.的值是 ； A B
10、已知O为坐标原点，向量=（3sin，cos），=（2sin，5sin-4cos），（，2），且⊥，则tan的值为（ ）
A - B - C D
11、已知向量=（-，），=-，=+，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为 ； y
12、函数y=sin(x+)在一个周期内的图像如图 M
所示，M，N分别是最高点和最低点，O为坐标原
点，且.=0，则函数f(x)的最小正周期是 0 x
； N
13、已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，1），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0.1，0.1，则z=.的最大值为 。
【追踪考试】
1、已知向量=（m，3），=（1，m+1），若，则m= （2022全国高考甲卷）
2、已知向量=（2，1），=（-2，4），则|-|=（ ）（2022全国高考乙卷）
A 2 B 3 C 4 D 5
3、已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，则实数t=（）（2022全国高考新高考II卷）
A -6 B - 5 C 5 D 6
4、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （成都市2019级高三一诊）
5、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （成都市2019级高三二诊）
6、在ABC中，已知A=，C=，AC=2，则向量在方向上的投影为（ ）（成都市2019级高三三诊）
A 2 B 2 C D -
7、在菱形ABCD中，若| +|=3，则. =（ ）（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
A B C 3 D 9
8、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，则k= （2021全国高甲卷）
9、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），则= （2021全国高考乙卷）
10、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全国高考高考II）
11、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （
成都市高2018级高三一诊）
12、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （成都市高2018级高三二诊）
13、已知向量，满足||=5，||=6，.=-6，则cos<，+>=（ ）（2020全国高考新课标III）
A - B - C D
14、设=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，则m= （2020全国高考新课标I）
15、已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
16、若向量，满足| |=2，||=1，（ +2）. =6，则cos<，>=（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C - D -
17、在ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且. =3，则BC边的长度为（ ）（2020成都市高三二诊）
A B 2 C 2 D 6
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中关于平面向量数量积的试题，归结起来主要包括：①平面向量数量积的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；③平面向量数量积的应用等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
已知平面向量，满足||=2，||=，且⊥（-），则向量与的夹角的大小为 （2020成都市高三一诊）
2、已知平面向量=（1，），=（2，3），且⊥，则实数的值为 （2020成都
市高三三诊）
3、设向量=（1，-1），=（m+1，2m-1），若⊥，则m= （2020全国高考新课标I）
4、已知单位向量，的夹角为，则下列向量中与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
5、在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若. =1，则点C的轨迹为（ ）（2020全国高考新课标III）
A 圆 B 椭圆 C 抛物线 D 直线
6、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则.的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
7、在平面直角坐标系XOY中，点A（1，0），直线l：y=k(x-1)+2，设点A关于直线l的对称点为B，则.的取值范围是 （2019成都市高三三诊）
8、已知向量=（2，2），=（-3，6），则cos<，>= （2019全国高考新课标III）
9、已知非零向量，满足||=2||，且（-），则与的夹角为（ ）（2019全国高考新课标I）
A B C D
10、已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（ ）（2019全国高考新课标II）
A B 2 C 5 D 50
11、已知向量=（-4，3），=（6，m），且，则m= （2019全国高考北京）
12、已知，是夹角为的两个单位向量，=-2，=k+，若.=0，则k的值为 （2019全国高考江苏）
13、已知向量，满足||=1，.=-1，.（2-）=（ ）（2018全国高考新课标II卷）
A 4 B 3 C 2 D 0
14、设向量=（1，0），=（-1，m），若⊥（m-），则m= （2018全国高考北京卷）
15、已知平面向量=（1，1），=（t+1，1），若⊥，则实数t的值为（ ）（2018成都市高三一诊）
A -2 B 0 C 2 D -1
16、在平面直角坐标系XOY中，已知=（1,0），=（0，b）（b R），若=
2+，点M满足=（R），且||.||=36，则.的最大值为 （2018成都市高三零诊）
第二十讲 平面向量的数量积
【考纲解读】
1、理解平面向量数量积的定义和平面向量数量积的几何意义，了解用平面向量数量积可以解答有关长度，角度和垂直的问题；
2、掌握平面向量数量积几何运算的公式和基本方法，能够熟练地进行平面向量数量积的几何运用；
3、掌握平面向量数量积坐标运算的公式和基本方法，能够熟练地进行平面向量数量积的坐标运用；
4、掌握平面向量垂直的充分必要条件，能够运用平面向量垂直的充分必要条件解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面向量数量积的概念：
1、平面向量数量积的定义： B
（1）向量的夹角：如图设向量，是两个非零向量，
EMBED Equation.DSMT4 =称为向量与向量的夹角，记为〈，〉 O A
=，的取值范围是[，]；
（2）向量夹角的特例：
①当=时，向量与向量同向；
②当=时，向量与向量垂直，记作⊥；
③当=时，向量与向量反向。
（3）向量数量积的定义：设向量，是两个非零向量，则称数量||||COS〈，〉叫做向量与的数量积，记作.；
（4）向量的投影：①||COS〈，〉称为向量在方向上的投影；②||COS〈，〉称为向量在方向上的投影；
2、向量数量积的几何意义：
.等于向量的长度||与向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘积，也可以看作是向量的长度||与向量在向量方向上的投影||COS〈，〉，如下图所示：
B B B
O A O A O A
①〈，〉为锐角 ②〈，〉为钝角 ③〈，〉为直角
二、平面向量数量积的几何运算：
1、平面向量数量积的几何运算的公式：
.=||||COS〈，〉，规定：.=.=0；
2、平面向量数量积几何运算的性质：
设，是非零向量，是与同向的单位向量，为向量与向量的夹角。
（1）.=.=||cos；
（2）⊥.=0；
（3）当与同向时，.=||.||；当与反向时，.=-||.||；特别地.=||||=；
（4）cos= ；
（5）|.|≤||.||。
3、平面向量数量积几何运算的运算律：
设向量，，，∈R。
（1）.=.；
（2）（）. =（. ）=. （）；
（3）（+）.= .+.。
三、平面向量数量积的坐标运算：
1、平面向量数量积坐标运算的公式：
设=（，），=（，），.=+，规定：.=.=0。
2、平面向量数量积坐标运算的性质：
设=（，），=（，），=（，），为向量与向量的夹角。
（1）.=||=+，||=；特别地，若A（，），B（，），则||= ；
（2）cos= = ；
（3）⊥.==0；
（4），共线-=0，=（0，0）。
3、平面向量数量积坐标运算的运算律：
设=， =，=（，），∈R。
（1）.=.=+；
（2）（）. =（. ）=. （）=（）；
（3）（+）.= .+.=+++。
4、理解平面向量数量积定义时，应该注意的问题：
设为向量与向量的夹角，（1）若为锐角，则.>0；（2）若为直角，则.=0；（3）若为钝角，则.<0。
【探导考点】
考点1平面向量数量积的几何运算：热点①运用平面向量数量积的几何运算，求给定两个向量的数量积；热点②运用平面向量数量积的几何运算，求给定两个向量数量积的最大值；
热点③运用平面向量数量积的几何运算，求给定两个向量夹角的余弦值；
考点2平面向量数量积的坐标运算：热点①运用平面向量数量积的坐标运算，求给定两个向量的数量积；热点②运用平面向量数量积的坐标运算，求给定两个向量数量积的最大值；
热点③运用平面向量数量积的坐标运算，求给定两个向量夹角的余弦值；
考点3平面向量数量积的应用：热点①应用平面向量数量积，求给定向量的模长；热点②应用平面向量数量积，求给定两个向量夹角的余弦值；热点③应用平面向量数量积，求给定向量模长的最值；
考点4平面向量数量积与三角函数的综合：热点①应用平面向量数量积，求三角函数的解析式及相关的数学问题；热点②已知向量的三角函数坐标，求给定三角函数的值；热点③应用平面向量数量积，求给定三角形的面积。
【典例解析】
【典例1】按要求解答下列各题：
1、有四个命题：①0. =0；②.=0；③对任意向量，有.=||；④若.=.，则=。其中正确的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①向量数量积定义与性质；②平面向量数量积几何运算的法则和基本方法；③平面向量数量积的运算性质。
【解题思路】根据平面向量数量积和数量积几何运算的性质，运用平面向量数量积几何运算运算的法则和基本方法求，对各命题的真假解析判断就可得出选项。
【详细解答】对①，0. =，①错误；对②，.=0，②正确；对③，对任意向量，有.=||，③正确；对④，由.=.，不一定能推出=，④错误，四个命题中正确的有②③两个，B正确，选B。
若向量的方向是正南方向，向量的方向是北偏东方向，且||=||=1，则-3.（+）= ；
【解析】
【知识点】①向量数量积定义与性质；②平面向量数量积几何运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算运算的法则和基本方法，就可求出3.（+）的值。
【详细解答】如图，向量的方向是正南方向，
向量的方向是北偏东方向，向量与向量的夹
角为，3.（+）=3||+3||.||cos
=31+311(-)=-3+=-。
3、如图已知正六边形，下列向量的
数量积中最大的是（ ）
A . B . C . D .
【解析】
【知识点】①向量数量积定义与性质；②平面向量数量积几何运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量数量积和数量积几何运算的性质，运用平面向量数量积几何运算运算的法则和基本的真假解析判断就可得出选项。方法求，求出各选项向量的数量积，从二得到数量积的最大值就可得出选项。
【详细解答】设正六边形的边长为1，.=.+.=1-11(-)
=1+=， .=.+.+.=1-11(-)+11(-)
=1+-=1， .=.+.=11(-)-11(-)=-+=0，
.=11(-)=-，>1>0>-，数量积中 .， .，
.， .最大值是.，A正确，选A。
4、下列判断：①+=0，则=；②已知，，是三个非零向量，若+=0，则|.|=|.|；③，共线.=||.||；④||.||＜.；⑤..=||；⑥+ 2.；⑦向量，满足.＞0，则与的夹角为锐角；⑧若，的夹角为，则||.cos表示向量在向量方向上的投影。其中正确的是 。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③判断命题真假的基本方
法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用判断命题真假的基本方法，对各命题的真假进行判断就可得出正确的命题序号。
【详细解答】对命题①，+=0，==，命题①为真命题；对命题②，，，是三个非零向量，且+=0，=-，|.|=|.|=|-.|=|.|，命题为②真命题；对命题③，当向量，反向时，.=-||.||，命题③是假命题；对命题④，当向量，同向时，.=||.||，命题④是假命题；对命题⑤，..=||
||，命题⑤是假命题；对命题⑥，（-）=+- 2.≥0，+≥ 2.，命题⑥是真命题；对命题⑦，若向量，满足.＞0，则与的夹角为锐角，命题⑦是真命题；对命题⑧，若，的夹角为，则||.cos表示向量在向量方向上的投影命题⑧是真命题，综上所述，其中正确的命题是①②⑥⑦⑧。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与平面向量数量积的定义相关的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义和平面向量数量积的几何意义；
（2）平面向量数量积与两个向量的夹角直接相关：①若两向量的夹角是锐角，则数量积大于零；②若两向量的夹角是钝角，则数量积小于零；③若两向量的夹角是直角，则数量积等于零．
〔练习1〕解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
①若≠0，.=.，则=；②若.=.，则≠，当且仅当=0时成立；
③（.）.= .（.）对任意向量，，都成立；④对任意向量有=||。
（答案：①假；②假；③假；④真。）
2、已知平面向量，满足.（+）=3，且||=2，||=1，则向量与夹角的正弦值为（ ）（答案：D）
A - B - C D
3、已知平面向量，的夹角为，且||=2，||=1，则.（-2）= 。（答案：2）【典例2】解答下列问题：
1、P是ABC所在平面上一点，若.=.=.，则P是ABC的（ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②三角形外心，内心，重心，垂心定义与性质；③平面
向量几何运算法则和基本方法；④平面向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据平面向量和三角形外心，内心，重心，垂心性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件分别对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对选项A，只有当且仅当ABC是正三角形时，才有.=.
=.成立，点P不一定是三角形的外心，A错误；对选项B，只有当且仅当ABC是正三角形时，才有.=.=.成立，点P不一定是三角形的内心，B错误；对选项C，点P是ABC的重心，++=0，.=.（--）=-|PA|-..，点P不一定是三角形的重心，C错误；对选项D，点P是ABC的垂心，如图，=+， A
=+，=+， E P
.=.（+）=.+0= B D C
.，.=.（+）=.+0=.，.=，同理可证.=.，.=.=.成立，D正确，选D。
2、已知平面上三点A，B，C满足||=3，| |=4，| |=5，则. +. + .的值等于 ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件就可求出. +. + .的值。
【详细解答】平面上三点A，B，C满足||=3，| |=4，| |=5，. +. + .=（. +. + .+. +. + .）=[（+）+（+）+（+）=（-||-||-||）=（-16-9-25）=-25。
3、给出下列命题：①（）. =（. ）=. （）；②(+).=.+.；③（+）=||+2.+||；④|.|＜||||。其中错误的命题序号为 ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③判断命题真假的基本方
法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用判断命题真假的基本方法，对各命题的真假进行判断就可得出错误的命题序号。
【详细解答】对命题①，（）. =（. ）=. （），命题①为真命题；对命题②，(+).=.+.，命题②为真命题；对命题③，（+）=||+2.+||，命题③为真命题；对命题④，当向量， 同向时，|.|=||||，命题④为假命题，综上所述，错误的命题序号为④。
4、已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则.的值为（ ）
A - B C D
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②正三角形定义与性质；③平面向量几何运算法则和基本
方法；④平面向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据平面向量和正三角形的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件得到，关于向量， 的表示式，利用向量数量积的性质求出.的值就可得出选项。
【详细解答】ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，==，=+=+
，=-，，=（+）.（-）=-
.-||+||=-11-+=-+=，B正确，选B。
已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则. 的值为 ；
.的最大值为 ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②正方形定义与性质；③平面向量几何运算法则和基本方
法；④平面向量数量积定义与性质。
【解答思路】根据平面向量和正方形的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件得到关于向量， 的表示式，利用向量数量积的性质就可求出. 的值和. 的最大值。
【详细解答】正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，=+=+t
（0≤t≤1），. =（+t）.=||+t.=1+0=1；.
=（+t）.=.+t||=0+t=t，当且仅当t=1时，. 的最大值为1。
6、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2），求：向量与的夹角。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量夹角大小的基本方法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件得到关于向量，的方程组，求解方程组求出||与||的关系式，从而求出向量与夹角的余弦值，利用余弦三角函数的性质就可求出向量与夹角的大小。
【详细解答】向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2），（+3）.（7-5）=7||+16.-15||=0①，（-4）.（7-2）=7||-30.+8||=0②，联立①②得：||=||，cos<，>=，向量与夹角的大小为。
7、已知||=4，||=8，与的夹角为。
（1）求：（+2）（2-）；
（2）求：|4-2|；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量模长的基本方法。
【解答思路】（1）根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件就可求出（+2）（2-）的值；（2）根据求向量模长的基本方法，求出|4-2|，从而求出|4-2|的值。
【详细解答】（1）||=4，||=8，与的夹角为，（+2）（2-）=2||+3
.-2||=32+348（-）-128=-96-48=-48（2+）；（2）|4-2|=16||
-16.+4||=256-1648（-）+256=512+256=256（2+），|4-2|=16
=8（+）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量数量积的几何运算问题，解答这类问题需要理解向量数量积的定义与性质，掌握向量数量积几何运算的公式和基本方法；
（2）向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式.=||||COS〈，〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）应用向量数量积，求与的夹角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它们之间的关系，②运用公式cos= 求出向量夹角的余弦值；③利用余弦三角函数的性质，求出向量夹角的大小(注意两向量夹角的取值范围)。
〔练习2〕解答下列问题：
1、||=，||=1，与的夹角为，则使向量2+与-3的夹角为钝角的的取值范围为 ；（答案：-3＜＜2）
2、设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M，N满足=3，=2，则.等于（ ）（答案：C）
A 20 B 15 C 9 D 6
3、已知，是非零向量，且|+|=|-|，求证：⊥；（提示：证明.=0）
4、已知||=5，||=4，且与的夹角为，当k为何值时，向量（k-）⊥（+2）。（答案：）
【典例3】解答下列问题：
1、已知=（2，3），=（-4，7），则在方向上的投影为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
的几何意义及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质，运用平面向量坐标运算的法则与基本方法和向量数量积的几何意义，结合问题条件求出向量在方向上的投影|就可得出选项。
【详细解答】=（2，3），=（-4，7），.=-8+21=13，||==，
.=||.||cos<，>，||cos<，>===，C正确，选C。
2、已知=（-3，2），=（-1，0），向量+与-2垂直，则实数的值为（ ）
A - B C - D
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量垂直的
充分必要条件及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质，运用平面向量坐标运算的法则与基本方法和向量垂直的充分必要条件，结合问题条件得到关于的方程，求解方程求出的值|就可得出选项。
【详细解答】=（-3，2），=（-1，0），+=（-3，2）+（-1，0）=（-3-1，2），-2=（-3，2）-（-2，0）=（-1，2），向量+与-2垂直，（+）.（-2）=3+1+4=7+1=0，=-，A正确，选A。
3、设向量=（x，1），=（1，y）（x，yR），=（2，-4），且⊥，//，则|+|=（ ）
A B C 2 D 10
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量垂直的
充分必要条件及运用；④平面向量平行的充分必要条件及运用；⑤求向量模长的基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质，运用平面向量坐标运算的法则与基本方法和向量垂直，平行的充分必要条件，结合问题条件，求出x，y的值，利用求向量模长的基本方法求出|+|的值就可得出选项。
【详细解答】=（x，1），=（1，y）（x，yR），=（2，-4），且⊥，//，
.=2x-4=0①，=②，联立①②解得：x=2，y=-2，+=（2，1）+（1，-2）
=（3，-1），|+|==，B正确，选B。
4、已知=（2，3），=（-1，-2），=（2，1）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件，就可求出（1）（.）.；（2）.（.）的结果。
【详细解答】=（2，3），=（-1，-2），=（2，1），（1）（.）.=（-2-6）（2，1）=（-16，-8）；（2）.（.）=（2，3）（-2-2）=（-8，-12）。
5、已知=（2，5），=（3，-2），若（+x）与（-）垂直，求x的值；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量垂直的
充分必要条件及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，运用向量垂直的充分必要条件，结合问题条件，就可求出x的值。
【详细解答】=（2，5），=（3，-2），+x=（2，5）+（3x，-2x）=（2+3x，5-2x），-=（2，5）-（3，-2）=（-1，7），向量（+x）与（-）垂直，（+x）.（-）=-2-3x+35-14x=-17x+33=0，x=。
6、设=（3，1），=（-1，2），且⊥，∥。
求满足+=的的坐标（其中O为坐标原点）；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量垂直的
充分必要条件及运用；④平面向量平行的充分必要条件及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，运用向量垂直和平行的充分必要条件，结合问题条件，求出点C的坐标，从而就可求出向量|的坐标。
【详细解答】设C（x，y），=（3，1），=（-1，2），=（x，y），
=（x+1，y-2），⊥，∥，.=-x+2y=0①,=②，联立①②解得：x=14，y=7，=（14，7），+=，=-=（14，7）-（3，1）=（11，6），
7、平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X是上的一个动点，（其中O为坐标原点）。
（1）当.取最小值时，求的坐标；
（2）当X满足①的条件和结论时，求cosAXB的值；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量夹角余弦值的基本方法。
【解答思路】（1）根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件，就可求出向量|的坐标；（2）由（1）求出.，||，||的值，运用求平面向量夹角余弦值的基本方法就可求出cosAXB的值。
【详细解答】（1）设X（x，y），=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X是上的一个动点，=（x，y）=t=（2t，t）tR，X（2t，t），=-
=（1，7）-（2t，t）=（1-2t，7-t），=-=（5，1）--（2t，t）=（5-2t，1-t），.
=（1-2t）（5-2t）+（7-t）（1-t）=5t-20t+12，当且仅当t=-=2时，.=20-40+12=-8为最小值，=（4，2）；（2）由（1）知，=（1-2t，7-t）=（-3，5），=（5-2t，1-t）=（1，-1），.=-3-5=-8，||==，||==，cosAXB
===-。
8、设=（，），=（，），x〔0, 〕.
求：（1）.及|+|；
（2）令f(x)= .+|+|，求函数f(x)的最值。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量模长的基本方法。
【解答思路】（1）根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件，运用求平面向量模长的基本方法就可求出.及|+|的值；（2）由（1）知，f(x)= .+|+|=sin2x+2（sinx+cosx）
【详细解答】（1）=（，），=（，），x〔0, 〕.=+=sin(+）=sin2x，+=（+，+），|+|=cos+2+sin+sin+2
+cos=2+2sin2x，|+|=（sinx+cosx）；（2）由（1）知，f(x)=.+|+
|=sin2x+2（sinx+cosx），设t=sinx+cosx=sin(x+)，x〔0, 〕，x+〔, 〕，t〔1, 〕，t=1+sin2x，sin2x=t-1，f(t)=t+2t-1=（t+1)-2，函数f(t)在〔1, 〕上单调递增，当t〔1, 〕时，=f()=2+2-1=1+2，=f(1)=1+2-1=2，当x〔0, 〕时，函数f(x)的最大值为1+2，最小值为2。
『思考问题3』
（1）【典例3】是向量数量积坐标运算的问题，解答这类问题需要理解向量坐标的定义，掌握向量数量积坐标运算的公式和基本方法；
（2）已知向量，的坐标，求向量数量积直接运用公式.=求解；
（3）已知向量的坐标，=（，），求向量的模一般运用公式||=求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知向量=（x-1，2），=（2，1），则的充要条件是（ ）（答案：D）
A x=- B x=-1 C x=5 D x=0
2、已知向量=（，），=（，），则ABC等于（ ）（答案：A）
A B C D
3、在中，=（2,3），=（1，k），且的一个内角为，求k的值。（答案：或）
4、设=（-3,-4），=（2,3），=（5,6）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）。
（答案：（1）（-90，-108）（2）（-84，-112））
【典例4】解答下列问题：
已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在ABC 中，=2+2，=2-6，D是BC的中点，则||= 。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量模长的基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件得到向量关于平面向量，的表示式，运用求平面向量模长的基本方法就可求出||的值。
【详细解答】在ABC 中，=2+2，=2-6，D是BC的中点，
==（-）=（2-6-2-2）=-4，=+=2+2-4
=2-2，平面向量，的夹角为，且||=，||=2，||=4||-8.
+4||=12-16+16=28-24=4，||=2。
在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是 ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量模长的基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件得到向量++的坐标表示式，运用求平面向量模长的基本方法就可求出|+
+|的最大值。
【详细解答】设D（x，y），C（3，0），动点D满足||=1，点D在圆+y=1
上，A（-1，0），B（0，），++=（-1，0）+（0，）+（x，y）=（x-1，
y+），|++|==
==（tan=），当且仅当
=1时，|++|取得最大值为+1。
已知向量与的夹角为，且||=1，| 2-|=，则||= ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量模长的基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件得到关于||的方程，求解方程就可求出||的值。
【详细解答】向量与的夹角为，且||=1，| 2-|=，4-4||+||
=||-2||+4=10，||=3。
已知单位向量与的夹角为，且cos=，向量=3-2，=3-的夹角为，则cos= ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求平面向量夹角余弦值的基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量几何运算的法则与基本方法，结合问题条件求出.，||，||的值，运用求平面向量夹角余弦值的基本方法就可求出cos的值。
【详细解答】单位向量与的夹角为，且cos=，向量=3-2，=3-，.=9-911+2=11-3=8，||=9-1211+4=13-4=9，||=9-611
+1=10-2=8，||=3，||=2，向量=3-2，=3-的夹角为，cos
===。
若向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），已知2-3与的夹角为钝角，则k的取值范围是 ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求解不等式的基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件求出2-3的坐标表示式，从而得到关于k的不等式，运用求解不等式的基本方法就可求出k的取值范围。
【详细解答】向量=（k，3），=（1，4），2-3=（2k，6）-（3，12）=（2k-3，-6），=（2，1），向量2-3与的夹角为钝角，（2-3）.=4k-6-6=4k-12<0，
k<3，若向量2-3与的夹角为钝角，则k的取值范围是（-，3）。
6、已知=（，），=（，），则向量+与-2(-)的夹角为
；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④求向量夹角大小的基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件求出向量+，-2(-)的坐标表示式，运用求向量夹角大小的基本方法就可求出向量+与-2(-)的夹角。
【详细解答】=（，），=（，），+=（，）+（，）=（，），-2(-)=-2[（，）
-（，）]=（，），（+）.(-2+2)
=-+=-4，|+|=2，|-2(-)|=4，cos<+，-2+2>=
=-，向量+与-2(-)的夹角为。
7、设=（m+1，-3），=（1，m-1），若（+）⊥（-），则m= ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④两向量垂直的充分必要条件及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件求出向量+，-的坐标表示式，运用两向量垂直的充分必要条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】=（m+1，-3），=（1，m-1），+=（m+1，-3）+（1，m-1）=（m+2，m-4），-=（m+1，-3）-（1，m-1）=（m，-m-2），（+）⊥（-），（+）.（-）=m（m+2）+(m-4)(-m-2)=m+2m-m+2m+8=4m+8=0，m=-2。
8、已知=（1，2），=（-3，2），若k+2与2-4平行，则k= 。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量数量积
定义与性质；④两向量平行的充分必要条件及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件求出向量k+2，2-4的坐标表示式，运用两向量平行的充分必要条件得到关于k的方程，求解方程就可求出k的值。
【详细解答】=（1，2），=（-3，2），k+2=（k，2k）+（-6，4）=（k-6，2k+4），2-4=（2，4）-（-12，8）=（14，-4），向量k+2与2-4平行，=
，k=-1。
『思考问题4』
（1）【典例4】是向量数量积的应用问题，这类问题主要包括：①求向量的模；②求向量的夹角；③向量的垂直或平行问题；
（2）求向量模的基本方法是：①运用公式.=||=+，||=；②求|m+n|时，需先求出（m+n），再求|m+n|；③利用方程或方程组求向量模；
（3）求向量夹角的基本方法是：①运用公式cos= = 求解；②构造三角形，利用解三角形的知识求解（注意夹角的定义与取值范围，对特殊情况应该考虑同向和反向的问题）；
（4）求解向量垂直或平行问题的基本方法是运用向量数量积的性质⊥.=
=0或∥=0解答问题。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知向量与的夹角为，且||=2，||=1，那么|-4|等于（ ）（答案：B）
A 2 B 2 C 6 D 12
2、设=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，则||= ；（答案：）
3、已知非零向量，满足⊥，且+2与-2的夹角为，则= ；
（答案：）
4、在ABC中，若A=，.=-1，则||的最小值是（ ）（答案：B）
A B 2 C D 6
5、向量=（1，-2），=（6，3），则与的夹角为（ ）（答案：B）
A B C D
6、已知||=，||=1，,与的夹角为，则使向量2+与-3的夹角为钝角的的取值范围为 ；（答案：-3＜＜2）
7、已知与是非零向量，且向量+3与7-5垂直，-4与7-2垂直，则与的夹角为 ；（答案：或）
8、已知向量⊥，||=3，则.= 。（答案：9）
9、向量与向量=（-3，4）的夹角为，||=10，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（ ）（答案：D）
A （-7，8） B （9，-4） C （-5，10） D （7，-6）
10、向量，，满足++=0，（-）⊥，⊥，若| |=1，则| |+||+||的值是 ；（答案：4）
11、若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则.= ；（答案：-2）
12、已知向量与的夹角为，||=3，||=2，若=+，且⊥，求实数的值。（答案：=）
【典例5】解答下列问题：
1、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=0，则ABC最小角的正弦值等于（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法；③三角形余弦定理及运用；④同角三角函数基本关系及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于向量，的等式，从而得到b，c关于a的表示式，确定出ABC中的最小角，利用三角形余弦定理和同角三角函数基本关系求出最小角的余弦值，从而求出该角的正弦值就可得出选项。
【详细解答】在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，20a+15b+12c
=20a（-）+15b+12c=（20a-15b）+（12c-20a）=0，向量，不共线，20a-15b=0，且12c-20a=0，b=a，c=a，ABC中的最小角为A，
cosA==，sinA==，C正确，选C。
在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD=，E为CD的中点，若.=1，则AB= ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平行四边形定义与性质；③平面向量数量积定义与性质；④平面向量几何运算法则和基本方法。
【解答思路】如图，取AB的中点F，根据平面向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件得到=，关于向量，的表示式，利用平面向量数量积的几何运算法则和基本方法，得到关于||的方程，求解方程就可求出||的值。
【详细解答】如图，取AB的中点F，在平行四边形 D E C
ABCD中，E为CD的中点，==-+
EMBED Equation.DSMT4 ，=+，，AD=1，BAD=， A F B
.=（+）.（-+）=-||+.+||=-||+
||+1=1，||=0或||=，||0，AB=||=。
已知ABC是等腰直角三角形，B=，D是BC边的中点，BE AD，延长BE交AC于F，连接DF，求证：ADB=FDC；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②直角三角形定义与性质；③平面向量数量积定义与性质；④平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解答思路】如图，取点B为坐标原点，，分别x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，设BA=BC=1，F（x，y），根据平面向量的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到=（x，2x），=（-1，1），由A，F，C三点在同一直线上，求出F（，），从而得到向量，，，的坐标表示式，利用平面向量数量积的坐标运算法则和基本方法，分别求出ADB，FDC的余弦值，从而证明ADB=FDC。
【详细解答】如图，取点B为坐标原点，，分别x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，设BA=BC=1，F（x，y），ABC是 y C F
等腰直角三角形，B=，D是BC边的中点， D E
A（1，0），C（0，1），B（0，0），D(0，）， 0 B A x
=（-1，），=（x，y），BE AD，延长BE交AC于F，.=-x+y=0，
F（x，2x），=（x，2x），=（-1，1），=+=（-1，0）+（x，2x）=（x-1，2x），A，F，C三点在同一直线上，=（x-1，2x）=t=（-t，t），
x-1=-t，且2x=t（tR），F（，），=(0，-），=(1，-），=(0，），=（，），cosADB===，cosFDC=
==，ADB=FDC。 A
4、如图所示正三角形ABC中，D，E分别 D
是AB、BC上的一个三等分点且分别靠近点 P
A点B，AE、CD相交于点P。
求证：BPDC。 B E C
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②正三角形定义与性质；③平面向量数量积定义与性质；④平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解答思路】如图，取BC的中点O，连接AO，以点O为坐标原点，，分别x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，设BA=BC=AC=2，根据正三角形和平面向量的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到=（-，），=（-1-t，-t），由C，P，D三点在同一直线上，求出P（-，），从而得到向量，的坐标表示式，利用平面向量数量积的坐标运算法则和基本方法，求出.的值，从而证明BPDC。
【详细解答】如图，取BC的中点O，连接AO，以点O为坐标原点，，分别x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，设BA=BC=AC=2，三角形ABC是正三角形，D，E分别是AB、BC上的一个三等分点且分别靠近点 A点B，A（0，），B（-1，0），C（1，0），=（2，0），=（-1，-），==（，0），=
+=（-，-），=t=（-t，-t）（tR），=（-，），=-+
=（-1-t，-t），C，P，D三点在同一直线上，=u，（-1-t，-t）
=（-u，u)（uR），-1-t=-u，且-t=u，P（-，），
= （，），=-=（，-）， .=-=0，BPDC。
yx，
,5、已知x，y满足 x+y2，若=（x，1）， =（2，y）， 且.的最大值是最
xa，小值的8倍，则实数a的值是 ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②简单线性规划定义与性质；③平面向量数量积定义与性质；④平面向量几何运算法则和基本方法。
【解答思路】作出不等式组的可行域如图所示，根据平面向量的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到.的目标函数，由简单线性规划求最优解的基本方法求出.的最大值与最小值关于a的表示式，从而得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。 y y=x
【详细解答】作出不等式组的可行域如图所示，
=（x，1）， =（2，y），. C A
=2x+y，联立方程y=x和方程x+y=2解得：x=1， 0 B x
y=1，得到A（1，1），联立方程y=x和方程x=a，
解得：x=a，y=a，得到B（a，a），联立方程x+y=2和方程x=a解得：x=a，y=2-a，得到C
（a，2-a），当目标函数过点A时，.=2x+y=2+1=3，当目标函数过点B时，
.=2a+a=3a，当目标函数过点C时，.=2a+2-a=2+a，.的最大值为
3，最小值为3a，.的最大值是最小值的8倍，3=24a，a=。
6、已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A，B，C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点（2，-1）的直线方程为 ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量坐标运算法则和基本方法；③平面向量共线的充分必要条件及运用；④直线点斜式方程及运用。
【解答思路】根据平面向量的性质和平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量，的坐标表示式，运用平面向量共线的充分必要条件得到关于k的方程，区间方程求出k的值，利用直线点斜式方程就可求出直线的方程。
【详细解答】向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），=（4-k，-7），
=（10-k，k-12），A，B，C三点共线，存在实数t，使=t成立，10-k
=4t-kt，且k-12=-7t，k=11或k=-2，k＜0，k=-2，k为直线的斜率，则过点（2，-1），直线的方程为2x+y-3=0。
7、设O为坐标原点，C为圆（x-2）+y=3的圆心，且圆上有一点M（x，y）满足.=0，则= ；
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④圆定义与性质。
【解答思路】根据平面向量和圆的性质，结合问题条件求出向量，的坐标表示式，运用平面向量坐标运算的法则与基本方法和平面向量数量积的性质，得到.关于x，y的等式，从而得到关于结合问题条件求出向量，的坐标表示式，运用平面向量共线的充分必要条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】O为坐标原点，C为圆（x-2）+y=3的圆心，O（0，0），C（2，0），=（x，y），=（x-2，y），圆上有一点M（x，y）满足.=0，
.=x(x-2)+y=0①,（x-2）+y=3②,联立①②解得x=，y=，
=。
8、在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，-），=（sinx，cosx），x（0，）。
（1）若，求tanx的值；
（2）若与的夹角为，求x的值。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④正弦三角函数定义与性质；⑤处理正弦型三角函数的基本方法。
【解答思路】（1）根据平面向量和平面向量数量积的性质，结合问题条件得到关于sinx，cosx的等式，从而求出tanx的值；（2）根据平面向量和平面向量数量积的性质，结合问题条件得到关于sinx，cosx的等式，运用处理正弦型三角函数的基本方法和正弦三角函数的性质就可求出x的值。
【详细解答】（1）向量=（，-），=（sinx，cosx），，.=sinx-
cosx=0，tanx=1；（2）向量=（，-），=（sinx，cosx），与的夹角为，
.=sinx-cosx=11=，2sin（x-）=1，sin（x-）=，x（0，），x-（-，），x-=，x=+=。
『思考问题5』
（1）【典例5】是平面向量的综合应用问题，这类问题主要包括：①向量在平面几何中的应用；②向量在不等式中的应用，③向量在解析几何中的应用，④向量在三角函数中的应用；
（2）运用向量解决平面几何问题的基本方法是：①建立平面几何与平面向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素（搭建桥梁是建立平面直角坐标系）；②通过向量运算研究几何元素之间的关系；③把运算结果转化为几何关系；
（3）运用向量解决平面几何问题时，经常涉及到距离、夹角等问题，解答时，可适当选取一组平面向量的基底来沟通向量之间的关系，利用向量之间的关系构造关于未知量的方程或方程组求解，尤其是向量数量积，向量模与夹角的求法这些基本问题应该特别重视；
（4）运用向量解决不等式，最值问题，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小；常用公式：①0≤||=.= +；②|.|≤||.||；③|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|；，④|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|来解决不等式或最值的问题；
（5）向量在解析几何中的两个作用：①载体的作用，解答这类问题的基本方法是利用向量的定义和运算导出曲线上点的坐标之间的关系，从而达到解决问题的目的；②工具作用，解答这类问题的基本方法是运用向量垂直，平行的充要条件从而达到解决问题的目的；
（6）解答向量与三角函数综合应用问题的基本方法是：①问题中条件的坐标涉及到数据函数时，运用向量垂直或平行的充要条件得到数据函数的关系式，从而达到解决问题的目的；②问题条件中坐标涉及涉及函数，求向量的模或与向量相关的表达式，通过向量运算再利用三角函数值域的有界性解答问题。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知点O为三角形ABC所在平面内一点，若++=0，则点O是三角形ABC的（ ）（答案：A）
A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心
2、若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且（+）.（+）=0，则四边形EFGH是（ ）（答案：C）
A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形
3、若点O是所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则的形状为（ ）（答案：C ）
A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
4、已知平面上的直线l的方向向量=（- ，），点O（0，0）和点A（1，-2）在直线l上的投影分别是和，且=，则等于（ ）（答案：B）
A B - C 2 D -2
5、已知点A（-2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足. = -6，则点P的轨迹为（ ）（答案：D）
A 直线 B 线段 C 圆 D 抛物线
6、已知直线ax+by+c=0与圆+=1相交于A，B两点，且|AB|=，则.= ；（答案：-）
7、在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，则对角线AC的长为 ；（答案：）
8、已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足.=0，=-，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程；（答案：动点M的轨迹方程为 =x(x>0)）
9、如图在矩形ABCD中，||=，||=2， D F C
点E为BC的中点，点F在边CD上，若. E
=，则.的值是 ； （答案：） A B
10、已知O为坐标原点，向量=（3sin，cos），=（2sin，5sin-4cos），（，2），且⊥，则tan的值为（ ）（答案：A）
A - B - C D
11、已知向量=（-，），=-，=+，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为 ；（答案：1） y
12、函数y=sin(x+)在一个周期内的图像如图 M
所示，M，N分别是最高点和最低点，O为坐标原
点，且.=0，则函数f(x)的最小正周期是 0 x
；（答案：3） N
已知在平面直角坐标系中，O（0，0），M（1，1），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足不等式0.1，0.1，则z=.的最大值为 。
（答案：3）
【追踪考试】
已知向量=（m，3），=（1，m+1），若，则m= （2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②向量数量积定义与性质；③平面向量数量积坐标运算的法则和基本方法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】向量=（m，3），=（1，m+1），， .=m+3m+3=4m+3=0，m=-。
2、已知向量=（2，1），=（-2，4），则|-|=（ ）（2022全国高考乙卷）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②向量数量积定义与性质；③平面向量数量积坐标运算的法则和基本方法。
【解答思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出|-|的值就可得出选项。
【详细解答】向量=（2，1），=（-2，4），|-|=||-2.+||=5-2（-4+4）+20=25，即|-|=5，D正确，选D。
3、已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，则实数t=（）（2022全国高考新高考II卷）
A -6 B - 5 C 5 D 6
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算法则和基本方法；③向量数量积的定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标的性质和向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件求出向量，运用向量数量积的性质得到关于实数t的方程，求解方程求出t的值就可得出选项。
【详细解答】=（3，4），=（1，0），=+t==（3，4）+（t，0）=（3+t，4），
.=9+3t+16=25+3t，.=3+t+0=3+t，||==5，||=1，||=，
<，>=<，>，=，=3+t，t=5，C正确，选C。
已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （成都市2019级高三一诊）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法求出cos<，>的值，就可得出向量与的夹角。
【详细解答】=（1，1）， +2 =（3，-1），2= +2-=（2，-2），=（1，-1），cos<，>===0，即向量与的夹角为。
5、已知RtABC中，C=，BC=2，D为AC边上的动点，则. = （成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①直角三角形定义与性质；②向量几何运算法则与基本方法；③求向量数量积的基本方法。
【解题思路】根据直角三角形的性质，运用向量几何运算法则与基本方法和求向量数量积的基本方法，就可求出. 的值。 B
【详细解答】如图，在 RtABC中，C=，BC=2，
D为AC边上的动点，=+，. C D A
=（+）. =.+.=.=221=4。
6、在ABC中，已知A=，C=，AC=2，则向量在方向上的投影为（ ）（成都市2019级高三三诊）
A 2 B 2 C D -
【解析】
【考点】①三角形内角和定理及运用；②三角形正弦定理及运用；③向量定义与性质；④向量数量积定义与性质。
【解题思路】根据三角形内角和定理，结合问题条件求出B的值，运用三角形正弦定理，求出|||的值，利用向量和向量数量积的性质，求出向量在方向上的投影就可得出选项。
【详细解答】在ABC中，已知A=，C=，A+B +C =， B=-（+）=，=，|||===2，|||.cosB=2=，向量在方向上的投影为，C正确，选C。
7、在菱形ABCD中，若| +|=3，则. =（ ）（成都市高2021级2021-2022
学年度下期期末名校联盟考试）
A B C 3 D 9
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②菱形定义与性质；③向量模定义与性质；④向量数量积定义与性质；⑤平面向量几何运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量，菱形，向量模和向量数量的性质，运用平面向量几何运算法则和基本方法，求出向量.的数量积就可得出选项。
【详细解答】如图， =+=+， A
| +|=3，四边形ABCD是菱形，||+2 B D
.+||=2||+2.=9，||+ C
.= ，.=（+）. =||+.=，A正确，选A。
8、已知向量=（3，1），=（1，0），=+k，，则k= （2021全国高甲卷）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③向量数量积坐标运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积坐标运算的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出求出的值。
【详细解答】=（3，1），=（1，0），=+k=（3，1）+（k，0）=（3+k，1），
，.=9+3k+1=10+3k=0，k=-。
9、已知向量=（1，3），=（3，4），若（-），则= （2021全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③向量数量积坐标运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积坐标运算的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出求出的值。
【详细解答】=（1，3），=（3，4），-=（1，3）-（3，4）=（1-3，3-4），（-），（-）.=3-9+12-16=15-25=0，=。
10、已知向量++=0，||=1，||=||=2，.+.+.= （2021全国高考高考II）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③向量数量积坐标运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积坐标运算的基本方法，结合问题条件就可求出.+.+.的值。
【详细解答】向量++=0，+=-，+=-，+=-，||=1，||=||=2，.+.+.=[（+）.+（+）.+（+）.]=（-.-.-.）
=（-4-1-4）=-。
11、已知向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），则向量与的夹角为 （
成都市高2018级高三一诊）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③向量数量积坐标运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积坐标运算的基本方法，结合问题条件得到关于向量与的夹角余弦值的方程，求解方程求出向量与的夹角的余弦值，利用余弦三角函数的性质就可求出向量与的夹角的大小。
【详细解答】向量，满足=（1，1）， +2=（3，-1），（ +2）-=2
=（2，-2），=（1，-1），cos<，>===0，向量与的夹角为。
12、在ABC中，已知AB=AC，D为BC边中点，点O在直线AD上，且.=3，则BC边的长度为（ ）（成都市高2018级高三二诊）
A B 2 C 2 D 6
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②等腰三角形定义与性质；③向量数量积定义与性质。
【解题思路】根据平面向量和等腰三角形的性质，结合问题条件，得到ADBC，运用平面向量数量积的性质得出关于||的方程，求解方程求出||的值就可得出选项。
【详细解答】在ABC中， AB=AC，D为BC边中点， ADBC，.=||
.||cos<,>=||.||= ||=3, ||=,A正确，选A。
13、已知向量，满足||=3，|-|=5，.=1,，则||= （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①向量的定义与性质；②向量模的定义及基本求法；③向量数量积的定义与性质。
【解答思路】根据向量性质和求向量模的基本方法，结合问题条件得到关于||的方程，求解方程就可求出||的值。
【详细解答】||=3，|-|=5，.=1， |-|=||-2.+||=25，||
=25-（9-2）=18，||=3。
设=（1，-1），=（m+1，2m-4），若，则m= （2020全国高考新课标I）
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量数量积坐标运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积坐标运算的基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】=（1，-1），=（m+1，2m-4），，.=m+1-2m+4=-m+5=0，m=5。
15、已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量数量积几何运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的基本方法，对各选项的向量与向量的数量积是否为零进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，单位向量，的夹角为，（+2）.=.+2.=11+2
11=+2=0，向量 +2与不垂直；对B，单位向量，的夹角为，（2+）.=2.+.=211+11=1+1=20，向量 2+与不垂直；
对C，单位向量，的夹角为，（-2）.=.-2.=11-211=
-2=-0，向量 -2与不垂直；对D，单位向量，的夹角为，（2-）
.=2.-.=211-11=1-1=0，向量 2-与垂直，D正确，选D。
16、若向量，满足| |=2，||=1，（ +2）. =6，则cos<，>=（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
【解析】
【考点】①平面向量的定义与性质；②平面向量数量积的定义与性质；③平面向量数量积几何运算的基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量数量积几何运算的基本方法得到关于cos<，>的方程，求解方程求出cos<，>的值就可得出选项。
【详细解答】| |=2，||=1，（ +2）. =| |+2| |||cos<，>=4+4cos<，
>=6，cos<，>=, B正确，选B。
17、已知O: +=4及点A（1，3），BC为O 的任意一条直径，则 .=（ ）（成都市高2017级高三二诊）
A 6 B 5 C 4 D 不确定
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量数量积定义与性质；④求向量数量积的基本方法。
【解题思路】根据圆和向量数量积的性质，运用向量坐标运算的法则和基本方法求出
.的值就可得出选项。
【详细解答】设AOB=，则AOC=-， O: +=4，点A（1，3），||=| |=2，| |== ， .=（+）. （+）=| |
+.+.+.=10+（2cos+2cos(-）)+4cos=10-4
=6， A正确，选A。
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中关于平面向量数量积的试题，归结起来主要包括：①平面向量数量积的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；③平面向量数量积的应用等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知平面向量，满足：||=1，||=4，且与的夹角为，则|-2|= （成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）（答案：|-2|=）
2、已知平面向量，满足||=2，||=，且⊥（-），则向量与的夹角的大小为 （2020成都市高三一诊）（答案：向量与的夹角的大小为）
3、已知平面向量=（1，），=（2，3），且⊥，则实数的值为 （2020成都
市高三三诊）（答案：实数=-）
4、设向量=（1，-1），=（m+1，2m-1），若⊥，则m= （2020全国高考新课标I）（答案：m=2）
5、已知单位向量，的夹角为，则下列向量中与垂直的是（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：D）
A +2 B 2+ C -2 D 2-
6、在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若. =1，则点C的轨迹为（ ）（2020全国高考新课标III）（答案：A）
A 圆 B 椭圆 C 抛物线 D 直线
7、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则.的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）（答案：A）
A （-2，6） B （-6，2） C （-2，4） D （-4，6）
8、在平面直角坐标系XOY中，点A（1，0），直线l：y=k(x-1)+2，设点A关于直线l的对称点为B，则.的取值范围是 （2019成都市高三三诊）（答案：.的取值范围是[，]）
9、已知向量=（2，2），=（-3，6），则cos<，>= （2019全国高考新课标III）（答案： cos<,>=）
10、已知非零向量，满足||=2||，且（-），则与的夹角为（ ）（2019全国高考新课标I）（答案：B）
A B C D
11、已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（ ）（2019全国高考新课标II）
A B 2 C 5 D 50 （答案：A）
12、已知向量=（-4，3），=（6，m），且，则m= （2019全国高考北京）（答案：m=8）
13、已知，是夹角为的两个单位向量，=-2，=k+，若.=0，则k的值为 （2019全国高考江苏）（答案：k=）
14、已知向量，满足||=1，.=-1，.（2-）=（ ）（2018全国高考新课标II卷）（答案：B）
A 4 B 3 C 2 D 0
15、设向量=（1，0），=（-1，m），若⊥（m-），则m= （2018全国高考北京卷）（答案：m=-1）
16、已知平面向量=（1，1），=（t+1，1），若⊥，则实数t的值为（ ）（2018成都市高三一诊）（答案：A）
A -2 B 0 C 2 D -1
17、在平面直角坐标系XOY中，已知=（1,0），=（0，b）（b R），若=
2+，点M满足=（R），且||.||=36，则.的最大值为 （2018成都市高三零诊）（答案：.的最大值为18）
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