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第十九讲 平面向量基本定理及坐标运算
【考纲解读】
理解平面向量基本定理和平面向量坐标的定义，掌握平面向量坐标表示的基本方法；
掌握平面向量坐标运算的法则和基本方法，能够熟练地进行平面向量的坐标运算和解答与平面向量坐标运算相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面向量坐标的概念：
1、平面向量基本定理：
如果，是平面内不共线的两个向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对有序实数对（，），使=+成立，这里向量｛，｝称为平面向量的一个基底。
2、平面向量坐标的定义：
（1）平面向量坐标的定义：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，作为平面向量的一个基底｛，｝，由平面向量基本定理可知，对于平面内任意一个向量，有且只有一对有序实数对（x，y），使得=x+y成立，则称（x，y）是平面向量的直角坐标，简称坐标；
（2）平面向量的坐标表示：如果向量的坐标是（x，y），则可表示为：=（x，y），这个式子称为平面向量的坐标表示式，简称向量的坐标表示。
二、平面向量的坐标运算：
1、平面向量坐标运算的法则：
（1）设=（，），=（，）。
①+=（+ ，+）；
②-=（-，-）；
③=（，）（R）。
如果已知平面直角坐标系中的两点A（，），B（，），则=（-，-）；即：若已知平面上两点的坐标，求由这两点确定的向量的坐标表示式可以用向量的终点坐标减去向量的始点坐标。
2、平面向量坐标运算的性质：
（1）+=+=； （2）.=.=0。
3、平面向量坐标的运算律：
（1）加法的交换律：+=+；
（2）加法的结合律：(+)+=+(+)
（3）实数与向量乘积的交换律：（）=（）；
（4）实数与向量乘积的分配律：①（+）=+；②（+）=+。
4、平面向量共线的坐标表示：设=（，），=（，）（0），，共线
-=0，=（0，0）。
5、若，不共线，且+=0，则==0。
【探导考点】
考点1平面向量基本定理及运用：热点①在平面内选择一组基底向量{，}，求平面内任一向量关于向量，的线性表示式；热点②在平面内选择一组基底向量{，}，已知平面内某向量关于向量，的线性表示式，求式子中参数的值；
考点2平面向量的坐标运算：热点①已知向量的坐标表示式，求向量的加，减和实数与向量的乘积运算；热点②已知向量的坐标表示式和两个向量共线，求坐标中参数的值；热点③
已知四边形三个顶点的坐标，求四边形第四个顶点的坐标，使其两边的向量共线；
考点3共线向量的坐标表示及运用：热点①运用向量向量共线，求向量（或点）的坐标表示式；热点②运用向量共线，求向量坐标表示式中参数的值；热点③运用向量共线，证明三点共线（或两向量共线）。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与+；②-2与-2；③-2与4-2；④+与-。其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是
（写出满足条件的序号）
2、已知向量=（1，2），=（-2，3），=（4，1），若，表示，则= ；
3、如图平面内有三个向量，，，，
其中与的夹角为，与的夹 B D C
角为，且||=||=1，||=2，若 O A
=+（，R），则+= ；
4、如图在平行四边形ABCD中，M，N分别为 D M C
DC，BC的中点，已知=，=，则 N
EMBED Equation.DSMT4 = ，= （用与表示） A B
5、如图在平行四边形ABCD中，AC与BD相交 D F C
于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD E O
交于点F，若=，=，则等于（ ） A B
A + B + C + D +
『思考问题1』
（1）【典例1】是平面向量基本定理的应用问题，解答这类问题需要理解平面向量的基本定理，掌握解答平面向量基本定理应用问题的基本方法；
（2）应用平面向量基本定理表示平面向量的基本思想是运用平面向量几何运算中的平行四边形法则或三角形法则进行向量的线性运算；
（3）解答平面向量基本定理应用问题的基本方法是：①充分挖掘题目中的条件，注意方程思想和数形结合思想的应用；②运用平面向量基本定理表示平面向量时注意灵活运用平面向量几何运算中的平行四边形法则和三角形法则；③运用平面向量基本定理表示平面向量时，注意平面向量线性运算的运算性质和运算律的灵活运用；④运用平面向量基本定理和平面向量共线的充要条件建立方程或方程组求出平面向量用基底向量表示的式子。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设，是平面内一组基底，那么（ ）
A若实数，，使+=0，则==0B空间任一向量可以表示为=+（，为实数）C对实数，，+不一定在该平面内D对平面内任一向量，使=+的实数，有无数对
2、如图在ABC中，=，P是BN上的一点， A
若=m+，则实数m的值为 ； N
3、在平行四边形ABCD中，=，=， P
=3，M为BC的中点，则= （用，表示） B C
4、如图所示在ABC中，=， B
=，AD与BC交于点M，设=， D M
=，=m+n，则m+n= 。 O C A
【典例2】按要求解答下列各题：
1、若向量=（x+3，-3x-4）与相等，已知A（1，2），B（8，2），则x的值为（ ）
A -1 B -1或4 C 4 D 1或-4
2、已知平面向量=（0，1），=（-1，2），则向量2-等于（ ）
A （-，） B （，-） C （-，-） D （，）
3、已知向量集合M={|=（1，2）+（1，2）， R }，N={|=（-1，-1）+（3，5）， R }，则MN=（ ）
A {（1，1）} B {（1，1），（2，4）} C {（2，4）} D
4、已知=（5，-2），=（-4，-3），若-2+3=0，则等于（ ）
A （1，） B （- ，） C （， ） D （- ，-）
5、已知向量=（1，-2），=（m，4），且//，则2-等于（ ）
A （4，0） B （0，4） C （4，-8） D （-4，8）
6、若=（1，-2），=（2，3），则+= ；
7、已知=（2，1），=（-3，4），求+，-，3+4；
8、已知向量=（-3，-4），终点坐标是（2，3），求向量的始点坐标；
9、已知向量=（5，6），始点坐标分别是（2，3），（0，0），求向量的终点坐标；
10、已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(-1，-2)，B（3,1），C（5,6），求顶点D的坐标；
11、已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标为A(5，7)，B（3，x），C（2，3），D（4，x），求x；
12、已知=（1，2），=（x，1），=+2，=2-，且∥，求x。
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量坐标运算问题，解答这类问题需要理解向量坐标的定义，掌握向量坐标运算法则，运算性质和运算律；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（-1，-2），C（3，1），且=2，则顶点D的坐标为（ ）
A （2，） B （2，- ） C （3，2） D （1，3）
2、向量，，在正方形网格中的位置如图所示，
若=+，（，∈R），则= 。
已知=（2，1），=（2，3），求：2+，+3，2-3；
【典例3】解答下列问题：
1、若A(3，-6)，B（-5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ）
A 13 B -13 C 9 D -9
2、已知平面向量=（1，2），=（-2，m），若//，则2+3= ；
3、若平面向量与向量=（1，-2）的夹角为，且||=3，则 = ；
4、已知A(4，0)，B（4，4），C（2，6），则AC与OB的交点P的坐标为 ；
5、已知A(-1，1)，B（1，3），C（4，6），求证：A，B，C三点共线；
6、已知A(-1，2)，B（2，3），C（3，x），若A，B，C三点在同一直线上线，求实数x的值；
7、已知向量=（1-sin，1），=（，1+sin），若//，则锐角= ；
8、已知A(3，5)，B（6，9），且| |=3||，M是直线AB上一点，则点M的坐标为
。
『思考问题3』
（1）【典例3】是平面向量共线的坐标表示问题，解答这类问题需要理解两个平面向量共线的充要条件，注意解答过程中方程思想的运用；
（2）利用两个平面向量共线的充要条件求向量坐标的基本方法是：①根据所求向量与已知向量共线，可设所求向量为；②运用题给条件列出关于参数的方程；③求解方程得到参数的值；④把求出的参数的值代入假设式得出结果；
（3）利用两个平面向量共线的充要条件求参数的值的基本方法是：①根据两个平面向量共线的充要条件列出关于参数的方程或方程组；②求解方程或方程组；③得出参数的值。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知点A（2，-2），B（4，3），向量=（2k-1，7），若//，则k的值为（ ）
A - B C - D
2、已知，是两个不共线的向量，=+，=+（，∈R），那么A，B，C三点共线的充要条件是（ ）
A +=2 B -=1 C =-1 D =1
3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足=+，，∈R 且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A + =5 B 3x+2y-11=0 C 2x-y=0 D x+2y-5=0
4、已知两点M(-2，1)，N（-5，-1），点P满足=，求点P的坐标；
5、已知梯形ABCD，其中AB//CD，且DC=2AB，三个顶点A(1，2)，B（2，1），C（4，2），则点D的坐标为 ；
设=（-2，4），=（-a，2），=（b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，
B，C三点共线，则+的最小值为 ；
7、已知A(-2，1)，B（2,3），C（6,5），求证：A、B、C三点共线。
8、已知A(4，0)，B（4,4），C（2,6），D（0，0），求AC和BD交点P的坐标。
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、已知向量=（1，m），=（n，4），其中m，nR，若=2，则m+n的值为 （成都市2020级高三零诊）
2、已知O为坐标原点，点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
3、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C D
4、设向量=（x，x-1），=（2，-1），若+2与共线，则实数x的值为（ ）（2020成都市高三三诊）
A B - C 10 D -11
5、已知向量=（2，1），=（-1，-3），=（2，）。若（-）//，求的值；（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
6、已知向量=（，1），=（-3，），则向量在向量方向设的投影为（ ）（成都市2016级高三二诊）
A - B C -1 D 1
7、已知向量=（1，2），=（2，-1），=（1，），若//(2+)，则= （2018全国高考新课标III卷）
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中关于平面向量基本定理及坐标运算的试题，归结起来主要包括：①平面向量基本定理及运用；②平面向量坐标运算；③平面向量共线坐标表示式及运用等几种问题；
解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知平面向量=（1，2），=（1，-1），则2+=（ ）（2018—2019成都市高一上期调研考试）
Ａ（3，0）　Ｂ（2，1）　Ｃ　（-3，3）　　Ｄ　　（3，3）
2、已知点O（0，0），B（0，1），C（mcosx，sinx），其中m0，x［-，］。
（1）若||=||，求x的值；
（2）若函数f(x)= .的最小值为g(m)，求g(m)的表达式（2018—2019成都市高一
上期调研考试）
3、已知向量=（2，1），=（3，4），=（k，2），若(3-)//，则实数k的值为（ ）（2018成都市高三二诊）
A -8 B -6 C -1 D 6
4、已知平面向量=（m+1，-2），=（-3，3），若//，则实数m的值为（ ）（2017—2018成都市高一上期质量检测）
A 0 B -3 C 1 D -1
5、已知平面向量=（4，-3），=（5，0）。
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量+k与-k互相垂直，求实数k的值（2017—2018成都市高一上期质量检
测）
第十九讲 平面向量基本定理及坐标运算
【考纲解读】
1、理解平面向量基本定理和平面向量坐标的定义，掌握平面向量坐标表示的基本方法；
2、掌握平面向量坐标运算的法则和基本方法，能够熟练地进行平面向量的坐标运算和解答与平面向量坐标运算相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面向量坐标的概念：
1、平面向量基本定理：
如果，是平面内不共线的两个向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对有序实数对（，），使=+成立，这里向量｛，｝称为平面向量的一个基底。
2、平面向量坐标的定义：
（1）平面向量坐标的定义：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，作为平面向量的一个基底｛，｝，由平面向量基本定理可知，对于平面内任意一个向量，有且只有一对有序实数对（x，y），使得=x+y成立，则称（x，y）是平面向量的直角坐标，简称坐标；
（2）平面向量的坐标表示：如果向量的坐标是（x，y），则可表示为：=（x，y），这个式子称为平面向量的坐标表示式，简称向量的坐标表示。
二、平面向量的坐标运算：
1、平面向量坐标运算的法则：
（1）设=（，），=（，）。
①+=（+ ，+）；
②-=（-，-）；
③=（，）（R）。
如果已知平面直角坐标系中的两点A（，），B（，），则=（-，-）；即：若已知平面上两点的坐标，求由这两点确定的向量的坐标表示式可以用向量的终点坐标减去向量的始点坐标。
2、平面向量坐标运算的性质：
（1）+=+=； （2）.=.=0。
3、平面向量坐标的运算律：
（1）加法的交换律：+=+；
（2）加法的结合律：(+)+=+(+)
（3）实数与向量乘积的交换律：（）=（）；
（4）实数与向量乘积的分配律：①（+）=+；②（+）=+。
4、平面向量共线的坐标表示：设=（，），=（，）（0），，共线
-=0，=（0，0）。
5、若，不共线，且+=0，则==0。
【探导考点】
考点1平面向量基本定理及运用：热点①在平面内选择一组基底向量{，}，求平面内任一向量关于向量，的线性表示式；热点②在平面内选择一组基底向量{，}，已知平面内某向量关于向量，的线性表示式，求式子中参数的值；
考点2平面向量的坐标运算：热点①已知向量的坐标表示式，求向量的加，减和实数与向量的乘积运算；热点②已知向量的坐标表示式和两个向量共线，求坐标中参数的值；热点③
已知四边形三个顶点的坐标，求四边形第四个顶点的坐标，使其两边的向量共线；
考点3共线向量的坐标表示及运用：热点①运用向量向量共线，求向量（或点）的坐标表示式；热点②运用向量共线，求向量坐标表示式中参数的值；热点③运用向量共线，证明三点共线（或两向量共线）。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与+；②-2与-2；③-2与4-2；④+与-。其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是
（写出满足条件的序号）
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则和基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件分别判断每组的两个向量是否共线，就可得出不能作为平面内所有向量的一组基底序号。
【详细解答】对①中的向量与+，向量与向量+不共线， 向量与向量+可以作为平面内所有向量的一组基底；对②中的向量-2与-2，向量-2与向量-2不共线， 向量-2与向量-2可以作为平面内所有向量的一组基底；对③中的向量-2与4-2，向量4-2=-2（-2），向量-2与向量4-2共线，向量-2与向量4-2不能作为平面内所有向量的一组基底；对④中的向量+与-，向量+与向量-不共线， 向量+与向量-可以作为平面内所有向量的一组基底，给出四组向量：①与+；②-2与-2；③-2与4-2；④+与-，其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是③。
2、已知向量=（1，2），=（-2，3），=（4，1），若，表示，则= ；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法；③平面向量基本定理及运用。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于实数x，y的方程组，求解方程组求出x，y的值，就能得出向量关于向量，的表示式。
【详细解答】设=x+y，x，yR， =（1，2），=（-2，3），=（4，1），=x+y=（x-2y，2x+3y）=（4，1），x-2y=4①，且2x+3y=1②，联立①②解得：x=2，y=-1，=2-。
3、如图平面内有三个向量，，，，
其中与的夹角为，与的夹 B D C
角为，且||=||=1，||=2，若 O A
=+（，R），则+= ；
【解析】
【知识点】①建立平面直角坐标系的基本方法；②向量坐标定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据建立平面直角坐标系的基本方法，建立如图的平面直角坐标系，运用向量坐标的性质和平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件得到向量关于向量，的表示式，从而求出实数，的值，就可求出+的值。
【详细解答】如图，过点O作ODOA，垂足为O，以点O为原点，向量，分别为X轴，Y轴的正方向建立平面直角坐标系，与的夹角为，||=2，点C（3，），=（3，），与的夹角为，且||=||=1，=（1，0），=（-，），=4+2=+（，R），=4，=2，即+=4+2=6。
4、如图在平行四边形ABCD中，M，N分别为 D M C
DC，BC的中点，已知=，=，则 N
EMBED Equation.DSMT4 = ，= （用与表示） A B
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平行四边形定义与性质；③平面向量几何运算的法则和基本方法；④平面向量基本定理及运用。
【解题思路】根据向量，平行四边形的性质和平面向量几何运算的法则与基本方法，运用平面向量基本定理，结合问题条件就可得到向量，关于向量，的表示式。
【详细解答】如图，四边形ABCD是平行四边形，M，N分别为DC，BC的中点，
==+=+①，==+=+②，联立①②解得：=-，=-。
5、如图在平行四边形ABCD中，AC与BD相交 D F C
于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD E O
交于点F，若=，=，则等于（ ） A B
A + B + C + D +
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平行四边形定义与性质；③平面向量几何运算的法则和基本方法；④平面向量基本定理及运用。
【解题思路】根据向量，平行四边形的性质和平面向量几何运算的法则与基本方法，运用平面向量基本定理，结合问题条件得到向量关于向量，的表示式就可得出选项。
【详细解答】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，=+
=-=-，=+=+=+， E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，==-，=+
=++-= +，C正确，选C。
『思考问题1』
（1）【典例1】是平面向量基本定理的应用问题，解答这类问题需要理解平面向量的基本定理，掌握解答平面向量基本定理应用问题的基本方法；
（2）应用平面向量基本定理表示平面向量的基本思想是运用平面向量几何运算中的平行四边形法则或三角形法则进行向量的线性运算；
（3）解答平面向量基本定理应用问题的基本方法是：①充分挖掘题目中的条件，注意方程思想和数形结合思想的应用；②运用平面向量基本定理表示平面向量时注意灵活运用平面向量几何运算中的平行四边形法则和三角形法则；③运用平面向量基本定理表示平面向量时，注意平面向量线性运算的运算性质和运算律的灵活运用；④运用平面向量基本定理和平面向量共线的充要条件建立方程或方程组求出平面向量用基底向量表示的式子。
〔练习1〕解答下列问题：
1、设，是平面内一组基底，那么（ ）（答案：A）
A若实数，，使+=0，则==0B空间任一向量可以表示为=+（，为实数）C对实数，，+不一定在该平面内D对平面内任一向量，使=+的实数，有无数对
2、如图在ABC中，=，P是BN上的一点， A
若=m+，则实数m的值为 ；（答案：m=） N
3、在平行四边形ABCD中，=，=， P
=3，M为BC的中点，则= （用，表示） B C
（答案：=-）
4、如图所示在ABC中，=， B
=，AD与BC交于点M，设=， D M
=，=m+n，则m+n= （答案：m+n=） O C A
【典例2】按要求解答下列各题：
1、若向量=（x+3，-3x-4）与相等，已知A（1，2），B（8，2），则x的值为（ ）
A -1 B -1或4 C 4 D 1或-4
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量相等定义与性质；③求解方程的基本方法。
【解题思路】根据向量坐标和向量相等的性质，得到关于x的方程，运用求解方程的基本方法，求解方程求出x的值就可得出选项。
【详细解答】 A（1，2），B（8，2），=（7，0），=（x+3，-3x-4）与相等，x+3=7①，-3x-4=0②，联立①②解得：x=4，C正确，选C。
2、已知平面向量=（0，1），=（-1，2），则向量2-等于（ ）
A （-，） B （，-） C （-，-） D （，）
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量2-就可得出选项。
【详细解答】向量=（0，1），=（-1，2），向量2-=（0，2）-（-，）
=（，），B正确，选B。
3、已知向量集合M={|=（1，2）+（1，2）， R }，N={|=（-1，-1）+（3，5）， R }，则MN=（ ）
A {（1，1）} B {（1，1），（2，4）} C {（2，4）} D
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法；③集合定义与性质；④求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据向量坐标和集合的性质，运用平面向量坐标运算的法则及基本方法和求两个集合交集的基本方法，结合问题条件得到关于，u的方程组，求解方程组求出，u的值，从而求出MN就可得出选项。
【详细解答】 M={|=（1，2）+（1，2）， R }= M={|=（1+，2+2）， R }，N={|=（-1，-1）+（3，5）， R }= N={|=（-1+3，-1+5）， R }，由1+=-1+3和2+2=-1+5联立解得：=1，=1，MN= {（2，4）}，C正确，选C。,
4、已知=（5，-2），=（-4，-3），若-2+3=0，则等于（ ）
A （1，） B （- ，） C （， ） D （- ，-）
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于x，y的方程组，求解方程组求出x，y的值，从而求出向量就可得出选项。
【详细解答】设=（x，y），向量=（5，-2），=（2，3），向量-2+3=（5，-2）-（-8，-6）+（3x，3y）=（13+3x，4+3y）=0，13+3x=0且4+3y=0，x=- ，y=-，
=（- ，-），D正确，选D。
5、已知向量=（1，-2），=（m，4），且//，则2-等于（ ）
A （4，0） B （0，4） C （4，-8） D （-4，8）
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②向量共线定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标和向量共线的性质，得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量2-就可得出选项。
【详细解答】向量=（1，-2），=（m，4），且//，=，m=-2，2-
=（2，-4）-（-2，4）=（4，-8），D正确，选D。
6、若=（1，-2），=（2，3），则+= ；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量+。
【详细解答】向量=（1，-2），=（2，3），向量+=（3，1）。
7、已知=（2，1），=（-3，4），求+，-，3+4；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量+，-，3+4。
【详细解答】向量=（2，1），=（-3，4），向量+=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；向量-=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；向量3+4=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）。
8、已知向量=（-3，-4），终点坐标是（2，3），求向量的始点坐标；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量的始点坐标。
【详细解答】设向量的始点坐标为（x，y），向量=（-3，-4），终点坐标是（2，3），=（-3，-4）=（2-x，3-y），2-x=-3，且3-y=-4， x=5，y=7，向量的始点坐标为（5，7）。
9、已知向量=（5，6），始点坐标分别是（2，3），（0，0），求向量的终点坐标；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量的始点坐标。
【详细解答】设向量的终点坐标为（x，y），向量=（5，6），始点坐标分别是（2，3），（0，0），=（5，6）=（x-2，y-3），或=（5，6）=（x-0，y-0），x-2=5，且y-3=6， x=7，y=9，或x-0=5，且y-0=6， x=5，y=6，向量的终点坐标为（7，9）或（5，6）。
10、已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(-1，-2)，B（3,1），C（5,6），求顶点D的坐标；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法；③平行四边形定义与性质。
【解题思路】根据向量坐标和平行四边形的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出顶点D的坐标。
【详细解答】设顶点D的坐标为（x，y），平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(-1，-2)，B（3，1），C（5，6），=，且=， x=1，y=3，顶点D的坐标为（1，3）。
11、已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标为A(5，7)，B（3，x），C（2，3），D（4，x），求x；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法；③平行四边形定义与性质。
【解题思路】根据向量坐标和平行四边形的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于x的方程，求解方程就可求出x的值。
【详细解答】平行四边形ABCD的四个顶点坐标为A(5，7)，B（3，x），C（2，3），D（4，x），=， x=5。
12、已知=（1，2），=（x，1），=+2，=2-，且∥，求x。
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法；③共线向量的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量，，利用向量共线的充分必要条件得到关于x的方程，求解方程就可求出x的值。
【详细解答】=（1，2），=（x，1），=+2=（1，2）+（2x，2）=（2x+1，4），=2-=（2，4）-（x，1）=（2-x，3），∥，=， x=。
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量坐标运算问题，解答这类问题需要理解向量坐标的定义，掌握向量坐标运算法则，运算性质和运算律；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（-1，-2），C（3，1），且=2，则顶点D的坐标为（ ）（答案：A）
A （2，） B （2，- ） C （3，2） D （1，3）
2、向量，，在正方形网格中的位置如图所示，
若=+，（，∈R），则= 。（答案：4）
3、已知=（2，1），=（2，3），求：2+，+3，2-3；（答案：2+=（6，5）；+3=（8，10）；2-3=（-2，-7）。）
【典例3】解答下列问题：
1、若A(3，-6)，B（-5，2），C（6，y）三点共线，则y=（ ）
A 13 B -13 C 9 D -9
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法；③共线向量的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量，，利用向量共线的充分必要条件得到关于y的方程，求解方程求出y的值就可得出选项。
【详细解答】 A(3，-6)，B（-5，2），C（6，y），=(-8，8)，=(3，y+6)， A(3，-6)，B（-5，2），C（6，y）三点共线，=，y=-9，D正确，选D。
2、已知平面向量=（1，2），=（-2，m），若//，则2+3= ；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②向量共线定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标和向量共线的性质，得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量2+3。
【详细解答】向量=（1，2），=（-2，m），且//，=，m=-4，2+3
=（2，4）+（-6，-12）=（-4，-8）。
3、若平面向量与向量=（1，-2）的夹角为，且||=3，则 = ；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②向量夹角定义与性质；③向量模定义与性质。
【解题思路】根据向量坐标，向量模和向量夹角的性质，结合问题条件求出向量的坐标就可得出向量。
【详细解答】如图，设=（x，y），向量 y
=（1，-2），向量与向量=（1，-2）的
夹角为，且||=3，x=3（-） 0 x
=-3，y=3=6， =（-3，6）。
4、已知A(4，0)，B（4，4），C（2，6），则AC与OB的交点P的坐标为 ；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②向量共线定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标和向量共线的性质，运用平面向量坐标运算的法则及基本方法和向量共线充分必要条件，得到关于x，y的方程组，求解方程组求出x，y的值就可得出点P的坐标。 Y C
【详细解答】如图，设点P（x，y），=（x，y）， B
=（4，4），向量与向量共线，存在实数 P
t，使=t=（4t，4t）， x=4t，y=4t， A(4，0)， 0 A x
C（2，6），=（4，0），=（2，6），=-=（4t-4，4t），=
-= C（-2，6），A，P，C三点共线，存在实数，使=成立，
4t-4=-2，且4t =6，=，t=， x=4t=3，y=4t=3，点P的坐标为（3，3）。
5、已知A(-1，1)，B（1，3），C（4，6），求证：A，B，C三点共线；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②向量共线定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法求出向量，，利用向量共线的性质和充分必要条件，得到向量，共线，从而证明A，B，C三点共线。
【详细解答】 A(-1，1)，B（1，3），C（4，6），=（2，2），=（5，5），
=，向量与向量共线，即A，B，C三点共线。
6、已知A(-1，2)，B（2，3），C（3，x），若A，B，C三点在同一直线上线，求实数x的值；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②向量共线定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法求出向量，，利用向量共线的性质和充分必要条件，得到关于，x的方程组，求解方程组就可求出x的值。
【详细解答】 A(-1，2)，B（2，3），C（3，x），=（3，1），=（4，x-2）， A，B，C三点在同一直线上线，存在实数，使=，4=3且x-2=，
x=+2=。
7、已知向量=（1-sin，1），=（，1+sin），若//，则锐角= ；
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②向量共线定义与性质；③向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标和向量共线的性质，运用向量共线的充分必要条件，得到关于sin的方程，求解方程求出sin的值就可求出锐角的值。
【详细解答】向量=（1-sin，1），=（，1+sin），//，=，
sin =，是锐角， sin= ，即=。
8、已知A(3，5)，B（6，9），且| |=3||，M是直线AB上一点，则点M的坐标为
。
【解析】
【知识点】①向量坐标定义与性质；②平面向量坐标运算的法则和基本方法；③向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法求出向量，，利用向量共线的充分必要条件，得到关于x，y的方程组，求解方程组就可求出x，y的值就可求出点M的坐标。
【详细解答】设点M（x，y）， A(3，5)，B（6，9），=（x-3，y-5），=（3，4），| |=3||，==（，3）， x-3=，且y-5=3， x= ，
y=8，即点M的坐标为（，8）。
『思考问题3』
（1）【典例3】是平面向量共线的坐标表示问题，解答这类问题需要理解两个平面向量共线的充要条件，注意解答过程中方程思想的运用；
（2）利用两个平面向量共线的充要条件求向量坐标的基本方法是：①根据所求向量与已知向量共线，可设所求向量为；②运用题给条件列出关于参数的方程；③求解方程得到参数的值；④把求出的参数的值代入假设式得出结果；
（3）利用两个平面向量共线的充要条件求参数的值的基本方法是：①根据两个平面向量共线的充要条件列出关于参数的方程或方程组；②求解方程或方程组；③得出参数的值。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知点A（2，-2），B（4，3），向量=（2k-1，7），若//，则k的值为（ ）
A - B C - D （答案：D）
2、已知，是两个不共线的向量，=+，=+（，∈R），那么A，B，C三点共线的充要条件是（ ）（答案：D）
A +=2 B -=1 C =-1 D =1
3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足=+，，∈R 且+=1，则点C的轨迹方程为（ ）（答案：D）
A + =5 B 3x+2y-11=0 C 2x-y=0 D x+2y-5=0
4、已知两点M(-2，1)，N（-5，-1），点P满足=，求点P的坐标；（答案：点,P的坐标为（-，0））
5、已知梯形ABCD，其中AB//CD，且DC=2AB，三个顶点A(1，2)，B（2，1），C（4，2），则点D的坐标为 ；（答案：点D的坐标为（2，4））
6、设=（-2，4），=（-a，2），=（b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，
B，C三点共线，则+的最小值为 ；（答案：+的最小值为）
7、已知A(-2，1)，B（2,3），C（6,5），求证：A、B、C三点共线。（提示：证明向量与向量共线）
8、已知A(4，0)，B（4，4），C（2，6），D（0，0），求AC和BD交点P的坐标。（答案：点P的坐标为（3，3）。）
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
已知向量=（1，m），=（n，4），其中m，nR，若=2，则m+n的值为 （成都市2020级高三零诊）
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据向量坐标的性质，运用向量坐标运算法则和基本方法，结合问题条件得到关于m，n的方程组，求解方程组求出m，n的值，就可求出m+n的值。
【详细解答】=（1，m），=（n，4），=2，n=2①，2m=4②，联立①②解得：m=2，n=2，m+n=2+2=4。
2、已知O为坐标原点，点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A ||=|| B ||=|| C.=. D .=.
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量数量积的定义与性质；④向量模定义与性质。
【解答思路】根据向量坐标，向量模和向量数量积的性质，运用向量坐标运算法则与基本方法，结合问题条件分别对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】点（cos，sin），（cos，-sin），（cos(+)，sin(+)），A（1，0），=（cos，sin），=（cos，-sin），=（cos(+)，sin(+)），=（1，0），=（cos-1，sin），=（cos-1，-sin），||=
=1，||==1，==，||
==，.= cos(+)+0= cos(+)，.
= cos. cos- sin. sin= cos(+)，.= cos+0= cos，.= cos
. cos(+)-sin. sin(+)=cos(++)=cos(+2)， ||=||=1，A
正确，选A。
3、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②向量数量积的定义与性质；③求向量数量积的基本方法；④三角形内角和定理及运用；⑤三角函数一点公式及运用。
【解答思路】运用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数诱导公式和求向量数量积的基本方法，结合问题条件求出cosA的值，从而求出角A的大小就可得出选项。
【详细解答】=（a，-cosA），=（cosC，b-c），===2R，A+B+C
=，.=acosC-(b-c )cosA=2RsinAcosC-2RsinBcosA+2RsinCcosA=2R（sinA
cosC+sinCcosA-sinBcosA）=2R（sinB-sinBcosA）=2RsinB（1-cosA）=0，
2RsinB0，1-cosA=0， cosA= = ，4、设向量=（x，x-1），=（2，-1），若+2与共线，则实数x的值为（ ）（2020成都市高三三诊）
A B - C 10 D -11
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③两向量平行的充分必要条件及运用。
【解答思路】根据等向量坐标的性质，运用向量坐标运算的基本方法和两向量平行的充分必要条件，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】向量=（x，x-1），=（-1，-3），+2=（x+4，x-3），+2与共线，2(x-3)+（x+4）=0，x=，A正确，选A。
已知向量=（2，1），=（-1，-3），=（2，）。若（-）//，求的值；（成
都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③两向量平行的充分必要条件及运用。
【解答思路】根据等向量坐标的性质，运用向量坐标运算的基本方法和两向量平行的充分必要条件，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】向量=（2，1），=（-1，-3），-=（2，1）-（-1，-3）=（3，4）， =（2，），（-）//，=，=。
6、已知向量=（，1），=（-3，），则向量在向量方向设的投影为（ ）（成都市2016级高三二诊）
A - B C -1 D 1
【解析】
【考点】①向量坐标表示的定义与性质；②向量数量积坐标运算的基本方法；③向量数量积的几何意义。
【解题思路】根据向量的坐标表示，运用向量数量积坐标运算的基本方法求出向量的数量积，在利用数量积的几何意义就可得出结果。
【详细解答】=（，1），=（-3，），||==2，.=-3+1
=-2，.=||.||cos<，>，||cos<，>===-1，C正确，选C。
7、已知向量=（1，2），=（2，-1），=（1，），若//(2+)，则= （2018
全国高考新课标III卷）
【解析】
【考点】①向量坐标的定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③两个向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量坐标的性质，向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到2+的坐标表示式，运用两个向量共线的充分必要条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】=（1，2），=（2，-2），2+=（2，4）+（2，-2）=（4，2），
=（1，），//（2+），=，即=。
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末考试）试卷中关于平面向量基本定理及坐标运算的试题，归结起来主要包括：①平面向量基本定理及运用；②平面向量坐标运算；③平面向量共线坐标表示式及运用等几种问题；
解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知平面向量=（1，2），=（1，-1），则2+=（ ）（2018—2019成都市高一上期调研考试）（答案：D）
Ａ（3，0）　Ｂ（2，1）　Ｃ　（-3，3）　　Ｄ　　（3，3）
2、已知点O（0，0），B（0，1），C（mcosx，sinx），其中m0，x［-，］。
（1）若||=||，求x的值；
（2）若函数f(x)= .的最小值为g(m)，求g(m)的表达式（2018—2019成都市高一
上期调研考试）
（答案：（1）x=；（2）g(m)= 0，m（-，-][，+），
，m（-，0）（0，）。）
3、已知向量=（2，1），=（3，4），=（k，2），若(3-)//，则实数k的值为（ ）（2018成都市高三二诊）（答案：B）
A -8 B -6 C -1 D 6
4、已知平面向量=（m+1，-2），=（-3，3），若//，则实数m的值为（ ）（2017—2018成都市高一上期质量检测）（答案：C）
A 0 B -3 C 1 D -1
5、已知平面向量=（4，-3），=（5，0）。
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若向量+k与-k互相垂直，求实数k的值（2017—2018成都市高一上期质量检
测）（答案：（1）；（2）k=1或k=-1）
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