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2．2　基本不等式
知识点一　基本不等式
a＋b
1．如果 a>0，b>0， ab≤ ，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
2
a＋b
其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
a＋b
2．变形：ab≤( )2，a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号成立．2
a＋b≥2 ab，a，b 都是正数，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点二　用基本不等式求最值
a＋b
用基本不等式 ab≤ 求最值应注意：一正二定三相等.
2
(1)a，b 是正数；
(2)①如果 ab 等于定值 P，那么当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P；
1
②如果 a＋b 等于定值 S，那么当 a＝b 时，积 ab 有最大值 S2.
4
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
【题型目录】
题型一、基本不等式比较大小
题型二、基本不等式求和的最小值
题型三、基本不等式求积的最大值
题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值
题型五、基本不等式“1”的妙用求最值
题型六、条件等式求最值
题型七、基本不等式的恒成立问题
题型八、对勾函数求最值
题型九、有关基本不等式的应用题
题型十、证明不等式
题型一、基本不等式比较大小
1．（多选）a、b 是正实数，以下不等式
ab 2ab 2① ；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ ab 2 恒成立的
a b ab
序号为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．若 0 a 1，0 b 1，且 a b ，试找出 a＋b，a2＋b2，2 ab ，2ab 中的最大者．
题型二、基本不等式求和的最小值
1．（1）若 x 4 0，求 x x 的最小值，并求此时
x 的值．
（2）若实数 x 1，求 x
1
的最小值，并求此时 x 的值．
x 1
y 1（3）求函数 x 0 x 4 的最小值．
4 x
5 1
（4）已知 x ，求 f (x) 4x 2 的最小值.
4 4x 5
（5）已知 x
5 1
，求函数 y 4x 2 的最大值．
4 4x 5
b 4a
2．已知 a 0，b 0，求 的最小值．
a b
a2 23 b 6．已知 a 0，b 0，ab 1，则 的最小值为（ ）
a b
A．2 B．4 C． 2 2 D． 4 2
1 4
4．已知 0 a 1，则 的最小值是______．
1 a a
题型三、基本不等式求积的最大值
1
1．（1）已知m,n 0，且m n 16，求 mn的最大值；
2
（2）已知 a 0，b 0，且4a b 1，求 ab的最大值．
x y
（3）已知 x 0， y 0，且满足 1，求 xy的最大值
3 4
2．求函数 y 1 x x2 1 x 0 x 1 的最大值．
3．已知正数 a,b满足 a2 b2 ab 4，求下列式子的最大值．
(1) a2 b2
(2) a b
题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值
1．求下列函数的最小值
2
1 y x x 1（ ） (x 0)；
x
x2y 5（2） (x R)2 ；x 4
2
3 y x 2x 6（ ） (x 1) .
x 1
2
2 y x 3x 3．函数 (x 1) 的最大值为（ ）
x 1
A．3 B．2 C．1 D．-1
题型五、基本不等式“1”的妙用求最值
2 1
1．已知 x 0， y 0， 1，则 x yx y 的最小值为______．
2．非负实数 x，y 满足 2xy x 6y 0，则 x 2y 的最小值为______．
1 1
3．已知非负实数 x ， y 满足 1，则 x y3x y 2y 2 的最小值为______________.
2 1
4．已知正实数 a，b 满足 2a b 6 ，则 的最小值为（ ）
a b 2
4 4 9 9
A． B． C． D．
5 3 8 4
5．已知正实数 x 、 y 满足 x
1 2
2y 2，则 x y 的取值可能为（ ）
7 11 16 21
A． B． C． D．
2 3 5 4
2 x
6．已知实数 x 0， y 0，且满足 x y 1，则 x y 的最小值为__．
题型六、条件等式求最值
1．求解下列问题：
(1)若 x 0, y 0，且 x 2y xy 0 ，求 x y 的最小值；
(2)若 x 0, y 0，且 x 2 y 1 9，求 x 3y 5的最小值.
1 1
2．设 x 0, y 0, x y x2 y2 4，则 x y 的最小值等于（　　）
1
A．2 B 1．4 C． 2 D． 4
3．已知 x 0，y 0，满足 x2 2xy 1 0，则3x 2y 的最小值是（　　）
A． 2 B． 3 C．2 3 D．2 2
a b
4．若正数 a，b 满足 2a b 1，则 的最小值是__．
2 2a 2 b
5．若a 2,b 1，且满足ab a 2b 6 1 9 ，则 的最小值为______．
a 2 b 1
题型七、基本不等式的恒成立问题
1 9
1．设 a 0，b 0， 1，若不等式 a b m恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
a b
A． ,8 B． ,16 C． ,7 D． 16,
1
2．当 x 1时，不等式 x a恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
x 1
A． ，2 B． 2， C． 3， D． ，3
3 1 n
3．已知 a 0，b 0，若不等式 恒成立，则 n的最大值为（ ）
a b a 3b
A．9 B．12 C．16 D． 20
x
4．若对任意 x 0, 2 a恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）x 5x 1
1 , 1 , 1 1A． B． C

． 0,5 7
D． 0,
5 7
5．若对任意 x 0， x3 5x2 4x ax2 恒成立，则实数 a的取值范围是___________.
题型八、对勾函数求最值
1．已知命题 p “ x
1 2
： ,4 , x ax 4 0 ”2 为真命题，则实数
a 的取值范围是（ ）

17 13
A． a 4 B． a C． a D． a 5
2 3
x2
2．求函数 y
5

2 的最值.x 4
y x 4
1
3．求函数 ， x 4

2 的最大值与最小值
.
x
题型九、有关基本不等式的应用题
1．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为 24m2的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个
矩形 ABCD 种植花卉，矩形 ABCD 上下各留 1m，左右各留 1.5 米的空间种植草坪，设花草坪长度为 x（单位：m），
宽度为 y（单位：m），矩形 ABCD 的面积为 s（单位：m2）
(1)试用 x，y 表示 s；
(2)求 s 的最大值，并求出此时 x，y 的值．
2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用 20
年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 8 万元.该建筑物每年的能源消耗费用M x （单位：万元）与隔热层厚
度 x （单位：cm）满足关系：M x k 0 x 10 20，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 万元，设 f x 为
2x 3 3
隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f x 表达式
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f x 达到最小，并求最小值．
题型十、证明不等式
1．（1）设 a,b,c R,且 a b c 0,abc 1．证明： ab bc ca 0；
（2）已知 a,b,c abc 1
1 1 1
a2为正数，且满足 ．证明： b2 c2
a b c
2．已知正实数m ， n满足m2 n2 4m2n2 .证明：
mn 1(1) ；
2
1 1
(2) 4 4 8 .m n
1．（多选）当 a，b R 时，下列不等关系不成立的是（ ）
a b
A． ab B．
2 a b 2 ab
C． a2 b2 2ab D．a2 b2 2ab
f (x) 5x 202．函数 (x 0)的最小值为（ ）
x
A．10 B．15 C．20 D．25
3．若 x 1 2x 2，则函数 y x x 1 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
1
4．求函数 y x (x 0)的最值.
x
5．已知 x＞0，y＞0，x＋y＝2，则 xy 的最大值为________．
6．（1）已知0 x 1，求 f (x) x(4 3x) 最大值.
5
（2）已知 x ，求 f (x)
1
4x 2 的最小值.
4 4x 5
7．求下列函数的最小值
x21 y x 1（ ） (x 0)；
x
x22 y 2x 6（ ） (x 1) .
x 1
2
8．已知 x 3 x 3x 4，则 y 的最大值是（ ）
x 3
A． 1 B． 2 C．2 D．7
9 y x
2 x 5
．函数 (x 2) 的最小值为______．
x 2
1 1
10．已知正实数 x，y 满足 1，则 x 4yx y 最小值为______．
1 1
11．已知 a,b都是非零实数，若a2 4b2 3，则 2 2 的最小值为__________.a b
ab 0,a b 1 a 4b12．已知 ，则 的最小值为___________.
ab
13．已知 a 0,b 0,a 2b 1
1 1
，求 的最小值．
3a 4b a 3b
1 2
14．已知 a 0，b 0，且 a b 1，则：①当且仅当a ____________时， 取得最小值____________；
a b
1 (b 1② )的最小值是____________．
a b
x215．已知正数 x，y 满足 y2 1，则 x 2y 的最大值为____________．
2
3y 1 1
16．已知 x 0， y 0， x y 1，则 x x y 的最小值为__．
18．若 x
2 1
，y 均为正实数，且 1 x y2x y x 3y ，则 的最小值为________.
1 1 4 16
19．若正数 a，b 满足 1，则 的最小值为________.
a b a 1 b 1
1 1
20．已知 a 0，b 0， 1，若不等式 2a b m恒成立，则 m 的最大值( )
a b
A． 2 3 B．3 2 C．3 2 2 D．5
21．若对任意 x
2x
0,a 2 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）x x 1
A．[ 1, ) B．[3, )
2
C ． , D． ( ,1] 3
1 4
22．已知 a、b 0, ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
a b a b
A． 5, B． 9, C． ,5 D． ,9
23．已知正数 x，y 满足2x 2 3xy (x y)恒成立，则实数 的最小值为_______．
24．如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为12 m 2 ，
要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.
25．运货卡车以 x 千米/时的速度匀速行驶 300 千米，按交通法规限制50 x 100 (单位千米/时)，假设汽车每小时耗
2
油费用为 (24 x )元，司机的工资是每小时 46元．（不考虑其他因所素产生的费用）
70
(1)求这次行车总费用 y (元)关于 x (千米/时)的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用 y 最低？求出最低费用的值．
1
26．已知： a b c 1，求证： ab bc ca .
3
27．设 a，b，c 均为正数，且 a b c 1，证明：
(1) ab bc ac 1；
1 1 1
(2) 27 ．
ab bc ac
1．若 a 0，b 0， a b 2 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． ab 2 B． a b 2
2 1
C． 3 D． 2 2
a b a b 2
2 x y 2x
2 x 4
．已知正实数 ，则 的最大值是（ ）
x
A．1 B． 4 2 C． 4 2 D．1 4 2
2
3．若 1 x 1 y x 2x 2 ，则 有（ ）
2x 2
A．最大值 1 B．最小值 1 C．最大值1 D．最小值1
4．已知 x, y为正实数，且 x 2y xy，则 x 2y 的最小值是（ ）
A． 2 B． 4 C．8 D．16
m 1
5．已知正数 m，n 满足m n 1，则 的最小值为（ ）
mn
A．3 B．3 2 2 C．3 2 D．3 2 3
1 3
6．若 x 0， y 0，且 1，则3x yx y 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．14 D．16
2 1
7．已知正数 x，y 满足 1，则 x yx 3y 3x y 的最小值（ ）
A 3 2 2 B 3 2 C 3 2 2 D 3 2． ． ． ．
4 4 8 8
1 18 ．已知正实数 a、b 满足 a b 4 ，则 a b 的最小值为（ ）
b a
25
A． 2 2 2 B．4 C． D．4 2 2 1
2 2a 1
9．若对任意正数 x ，不等式 2 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）x 4 x
A． 0, 1 1 B 1 ． , C． , D． , 4 4 2
10．（多选）已知 a 0，b 0，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
A a b a
2 b2
． B． (a
1 1
b)

4
2 2 a b
a 1 1 2abC． D． aba 1 a b
11．（多选）已知 x 0， y 0，且 x 2y 2，则（ ）
xy 1 x2 y2 4A． 的最大值是 2 B． 的最小值是 5
1 2
C． 2x 4y 的最小值是 4 D． x y 的最小值是 5
1 a 1
12．（多选）若 a 0，b 0， b 2，则 的可能取值有（ ）
a a 1 b
6 5 4 3
A． B． C． D．
5 4 3 2
13．（多选）已知 x 0， y 0，且 x 2y 2，下列结论正确的是（ ）
A． xy的最小值是 1 B x2． y2 4的最小值是 5
1 2
C． 2x 4y 的最小值是 4 D． x y 的最小值是 9
14．（多选）若 4x 4y 1， t x y 恒成立，则 t 的取值可以是（ ）
A． 2 B． 1 C． 0 D．1
1
15．若 x 1，则 x 1的最小值为______．
x 1
2
16 x 8．函数 f x (x 1)的最小值为___．
x 1
2
17 x 4x 6．当 x 2 时，函数 y 的最小值为___________．
x 2
18．已知 x 0， y 0，且 x 2y 2
4 x 3y
，则 x 3y 的最小值为__________.
1 4
19．若 a 0，b 0，且4a b 1，则 的最小值是______．
a b
1 1
20．已知 a 0，b 0， a b 1，则 的最小值为__________．
a 3b 2a b
21．已知对 x 0, 1，不等式 x m 恒成立，则实数m 的最大值是_________.
x
3 1 m
22．已知 a 0,b 0，若不等式 恒成立，则m 的最大值为________．
a b a 3b
23．若实数 x, y满足 4x2 y2 xy 1，且不等式 2x y c 0 恒成立，则 c 的取值范围是________.
a 1 2
24．已知 x、y 为两个正实数，且不等式 x y 2x y 恒成立，则实数 a 的取值范围是______．
1
25．不等式 2x m 0对一切 x ,1 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.
x 1
26．设 a 0,b 0
1 1 k
，且不等式 0恒成立，则实数 k 的最小值等于___________.
a b a b
x
27．若存在 x 0, ，使 2 a 成立，则 a的取值范围是___________.x 3x 1
28．已知 x 0， y 0， x 2y 2．
(1)求 xy的最大值；
2 1
(2)求 x 的最小值． 1 y 1
29．已知正实数 a，b 满足 a 2b ab 30，试求实数 a，b 为何值时， ab取得最大值．
30．求解下列各题：
2
1 y x 3x 4（ ）求 x 0 的最大值；
2x
2
（2）求 y x 8 x 1 的最小值.
x 1
31 x 3x
2 2x 2
．若对任意实数 ，不等式 2 k 恒成立，求实数 k 的取值范围．x x 1
32．设 a，b 为正实数，求证： a b a2 b2 a3 b3 8a3b3．
33．在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形 ABCD 的三边
AB，BC，CD 由长为 8 厘米的材料弯折而成，BC 边的长为 2t 厘米（0x2
示的平面直角坐标系中，其解析式为 y ，记窗户的高(点 O 到 BC 边的距离)为 h．
3
(1)求 h 与 t 的关系式；
(2)要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米
(3)要使得窗户的高与 BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米 2．2　基本不等式
知识点一　基本不等式
a＋b
1．如果 a>0，b>0， ab≤ ，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
2
a＋b
其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
a＋b
2．变形：ab≤( )2，a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号成立．2
a＋b≥2 ab，a，b 都是正数，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点二　用基本不等式求最值
a＋b
用基本不等式 ab≤ 求最值应注意：一正二定三相等.
2
(1)a，b 是正数；
(2)①如果 ab 等于定值 P，那么当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P；
1
②如果 a＋b 等于定值 S，那么当 a＝b 时，积 ab 有最大值 S2.
4
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
【题型目录】
题型一、基本不等式比较大小
题型二、基本不等式求和的最小值
题型三、基本不等式求积的最大值
题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值
题型五、基本不等式“1”的妙用求最值
题型六、条件等式求最值
题型七、基本不等式的恒成立问题
题型八、对勾函数求最值
题型九、有关基本不等式的应用题
题型十、证明不等式
题型一、基本不等式比较大小
1．（多选）a、b 是正实数，以下不等式
ab 2ab 2① ；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ ab 2 恒成立的
a b ab
序号为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BD
2ab 2ab
【详解】① ab
2ab
a ，即
ab 当且仅当 a b时等号成立，①不正确；
b 2 ab a b
②∵a、b 是正实数，则 a b a b，∴ a b b a b b a ，②正确；
③ a2 b2 4ab 3b2 a 2b 2 0，即 a2 b2 4ab 3b2 ，当且仅当 a 2b时等号成立，③不正确；
2 2
④ ab 2 2 ab 2 2 2 2 ，当且仅当 ab 时等号成立，即 ab 2 ，④正确；
ab ab ab ab
故选：BD．
2．若 0 a 1，0 b 1，且 a b ，试找出 a＋b，a2＋b2，2 ab ，2ab 中的最大者．
【答案】a＋b 最大
【详解】∵ 0 a 1，0 b 1，且 a b ，
∴ a b 2 ab , a2＋b2 2ab ，
∴四个数中最大者应从 a＋b，a2＋b2 中选择．
而 a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1) ，
∵ 0 a 1，0 b 1 ，
∴ a(a－1) 0，b(b－1) 0 ，
∴ a2＋b2－(a＋b) 0 ，
即 a2＋b2 a＋b， a＋b 最大.
题型二、基本不等式求和的最小值
1．（1）若 x 0 4，求 x x 的最小值，并求此时
x 的值．
1
（2）若实数 x 1，求 x 的最小值，并求此时 x 的值．
x 1
1
（3）求函数 y x 0 x 4 的最小值．
4 x
5
（4）已知 x ，求 f (x) 4x 2
1
的最小值.
4 4x 5
5 1
（5）已知 x ，求函数 y 4x 2 的最大值．
4 4x 5
【答案】（1）4， x 2；（2）3， x 2；（3） 2；（4）5；（5）1
【详解】
4 4 4
（1）由 x 0，则 x 2 x 4，当且仅当 x 时，即 x 2，取等号，
x x x
所以 x
4

x 的最小值是 4，此时 x 2；
（2）由 x 1 x 1，则 (x 1) 1 1 2 (x 1) 1 1 3，
x 1 x 1 x 1
x 1 1当且仅当 ，即 x 2时，取等号，
x 1
1
所以 x 的最小值是3，此时 x 2 .
x 1
1 1
（3）因为 y x 4 x 4，又 0 x 4，所以0 4 x 4，所以
4 x 4 x
y 1 4 x 4 1 2 14 x 4 2，当且仅当 4 x，即 x 3时取等号，所以函数
4 x 4 x 4 x
y 1 x 0 x 4 的最小值为 2；
4 x
x 5（4）因为 ，所以 4x 5 0，
4
f (x) 4x 2 1 4x 5 1 1所以 3 2 4x 5 3 5，
4x 5 4x 5 4x 5
1 3
当且仅当 4x 5 即 x 时等号成立， f (x) 4x 2
1
取得最小值5 .
4x 5 2 4x 5
5
（5） x ， 4x 5 0 .
4
y 1 1 4x 5 3 (5 4x) 3 2 (5 4x)
1
3 1，
4x 5 (5 4x) (5 4x)
5 4x 1当且仅当 , x 1时， ymax 1.5 4x
2．已知 a 0,b 0
b 4a
，求 的最小值．
a b
【答案】 4．
【详解】因为 a 0,b 0
b 0, 4a，所以 0，
a b
b 4a b 4a b 4a
所以 2 4 ，当且仅当 ，即b 2a时等号成立，
a b a b a b
b 4a
所以 的最小值为 4 .
a b
3 a 0 b 0 ab 1 a
2 b2 6
．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
a b
A．2 B．4 C． 2 2 D． 4 2
【答案】B
a2 2a 0 b 0 ab 1 b 6 a b
2 2ab 6 a b 2 4
【详解】因为 ， ， ．所以 4 a b 4，当且仅当
a b a b a b a b
a b 1时，等号成立．
故选：B.
1 4
4．已知 0 a 1，则 的最小值是______．
1 a a
【答案】9
1 4 1 4 a 4(1 a)
【详解】因为 0 a 1，则 ( )[(1 a) a] 5
1 a a 1 a a 1 a a
5 2 a 4(1 a) 5 4 9，
1 a a
a 4(1 a) 2
当且仅当 时，即 a 时，等号成立，
1 a a 3
1 4
所以 的最小值是9 .
1 a a
故答案为：9 .
题型三、基本不等式求积的最大值
1
1．（1）已知m,n 0，且m n 16，求 mn的最大值；
2
（2）已知 a 0，b 0，且4a b 1，求 ab的最大值．
x y
（3）已知 x 0， y 0，且满足 1，求 xy的最大值
3 4
1
【答案】（1）32 ；（2） ；（3）3.
16
m n
2
16
2

【详解】（1）已知m,n 0，且m n 16，由基本不等式可得mn 64，
2 2
1
当且仅当m n 8时，等号成立，mn 的最大值为 64．∴ mn的最大值为 32．
2
（2）由基本不等式可得 4a b 2 4ab 4 ab ，
a 1当且仅当 4a b，即 ,b
1
时取等号，
8 2
1 1
所以1 4 ab ，解得 ab ，即 ab的最大值为 ．
16 16
（3）因为 x 0, y 0 x y 1 2 xy，且 ，即 xy 3，
3 4 12
x y x 3当且仅当 时，即 , y 2时取得最大值3．
3 4 2
2 2．求函数 y 1 x x 1 x 0 x 1 的最大值．
1
【答案】
4
【详解】0 x 1，1 x2 0，
2
y (1 x) x2

(1 x) (1 x2 ) x2 1 x
2 x2 1
所以 ，当且仅当1 x2
2
x2，即 x 时选号成立．
2 4 2
1
所以最大值为 ．
4
3．已知正数 a,b满足 a2 b2 ab 4，求下列式子的最大值．
(1) a2 b2
(2) a b
【答案】(1)8；(2)4.
【详解】(1)由题可知， a 0，b 0， a2 b2 ab 4，
则 a2 b2 ab 4 2ab ，所以 ab 4，
所以 a2 b2 ab 4 4 4 8，当且仅当 a b 2时取等号，
所以 a2 b2 的最大值为 8.
(2)由题可知， a 0，b 0， a2 b2 ab 4，
2 2则 a b2 2ab 4 3ab，则3ab a b 4，
2 2 2
3ab 3 a b
3 a b
由于 ，则2 4 a b
2 3 a b 4 ，
4
a b 2所以 16 ，所以 a b 4，当且仅当 a b 2时取等号，
所以 a b 的最大值为 4.
题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值
1．求下列函数的最小值
x21 y x 1（ ） (x 0)；
x
x2 5
（2） y (x R)
x2
；
4
2
（3 x 2x 6） y (x 1) .
x 1
2
y x x 1 =x 1 1 3
【详解】（1） x x
∵ x 0 1 1
1
，∴x 2 x 2 （当且仅当 x= ，即 x=1 时取“=”）
x x x
y x
2 x 1
即 (x 0)的最小值为 3．
x
2 1（2）令 t x 4 t 2 ，则 y t t 2 在 2， 是单增，t
1 5
∴当 t=2 时，y 取最小值 ymin 2 ；2 2
5
即 y 的最小值为 ．
2
2
3 t x 1 t 0 y x 2x 6（ ）令 ，则 (x 1)可化为：
x 1
y t 9 9 4 2 t 4 10，
t t
当且仅当 t=3 时取“=”，即 y 的最小值为 10．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的
和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，
这也是最容易发生错误的地方．
2
2．函数 y x 3x 3 (x 1) 的最大值为（ ）
x 1
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
2
y x 3x 3 (x 1)
2 (x 1) 1
【详解】
x 1 x 1
[ (x 1 1) ] 1
(x 1)
2 [ (x 1)]( 1 ) 1 1，
x 1
1
当且仅当 x 1 1,即 x 2 等号成立.
x 1
故选：D.
题型五、基本不等式“1”的妙用求最值
2 1
1．已知 x 0， y 0， 1x y ，则
x y 的最小值为______．
【答案】3 2 2
2 1
【详解】因为 1x y ，所以
x y x y 2 1 3 2y x 3 2 2y x 3 2 2 ，
x y x y x y
2y x
当且仅当 x y ，即 y 2 1, x 2 2 ，时，等号成立．
故 x y 的最小值为3 2 2 ．
故答案为：3 2 2 .
2．非负实数 x，y 满足 2xy x 6y 0，则 x 2y 的最小值为______．
【答案】0
【详解】当 x y 0 时， x 2y 0 ；
3 1
当 x， y 0时，由 2xy x 6y 0得 1x 2y ，
x 3 3
所以 x 2y x 2y 3 1 6y x 6y x 4 4 2 3

（当且仅当 ,即 时，等号成立）．
x 2y

x 2y x 2y

y 3 1
2
所以 x 2y 的最小值为 0．
故答案为： 0 .
1 1
3．已知非负实数 x ， y 满足 1，则 x y3x y 2y 2 的最小值为______________.
2
【答案】 3
1 1
【详解】非负实数 x ， y 满足 1，有3x y 0,2y 2 03x y 2y 2 ，
则 x y
1
[(3x 2 1 1 1 y) (2y 2)] ( )[(3x y) (2y 2)] 2
3 3 3 3x y 2y 2 3
1 (2 2y 2 3x y 2 1
2y 2 3x y
) 2 2y 2 3x y 2 ，当且仅当 3x y 2y 2 ，即
3x y 2y 2时取“=”，
3 3x y 2y 2 3 3 3x y 2y 2 3
1 1
由3x y 2y 2， 1 x
2
, y 0
3x 得 ， y 2y 2 3
2 2
所以当 x , y 0时， x y 的最小值为
3 3
.
2
故答案为： 3
2 1
4．已知正实数 a，b 满足 2a b 6 ，则 的最小值为（ ）
a b 2
4 4 9 9
A． B． C． D．
5 3 8 4
【答案】C
【详解】∵ 2a b 6 ，
2 1 4 1 1
∴ 2a b 2 4 1
a b 2 2a b 2 8 2a b 2
1 2a 4 b 24 1 1 9 5 2 4 ，
8 b 2 2a 8 8
2a 4 b 2 2 8
当且仅当 ,即b ， a 时，取等号.
b 2 2a 3 3
故选：C.
x y x 2y 2 1 25．已知正实数 、 满足 ，则 x y 的取值可能为（ ）
7 11 16 21
A． B． C． D．
2 3 5 4
【答案】D
【详解】因为正实数 x 、 y 满足 x 2y 2，
1 2 1 1 2 x 2y 1 5 2y 2x 1
2y 2x 9
所以 5 2 x y 2 x y
，
2 x y 2 x y 2
2y 2x 2
当且仅当 ，即 x y x y 时，等号成立，3
故选：D
2 x
6．已知实数 x 0， y 0，且满足 x y 1，则 x y 的最小值为__．
【答案】 2 2 2
【详解】∵实数 x 0， y 0，且满足 x y 1，
2 x 2 x y x 2 2y x则 2 2 2y x 2 2 2 ，
x y x y x y x y
当且仅当 x 2 2 ， y 2 1时取等号．
故答案为： 2 2 2 .
题型六、条件等式求最值
1．求解下列问题：
(1)若 x 0, y 0，且 x 2y xy 0 ，求 x y 的最小值；
(2)若 x 0, y 0，且 x 2 y 1 9，求 x 3y 5的最小值.
【答案】(1)3 2 2 ；(2) 6 3
2 1
【详解】(1)因为 x 0, y 0，且 x 2y xy 0 ，所以 1x y ，
x y x y 2 1 2y x 2y x则 x y 2 1 3 2 3 2 2 . x y x y
2y x x 2 2
当且仅当 x y 时，即 x 2y时，也即 时，上式取等号， y 1 2
x 2 2
故当 时 x y 3 2 2 .
y 1 2
min
(2)因为 x 0, y 0，且 x 2 y 1 9，
所以 x 3y 5 x 2 3 y 1 2 3 x 2 y 1 6 3 ，
当且仅当 x 2 3 y 1 吋，
又 x 2 y 1 9，
x 3 3 2
所以当且仅当 时，上式取等号，
y 3 1
x 3 3 2
故当 时， x 3y 5 6 3min .
y 3 1
1 1
2．设 x 0, y 0, x y x2 y2 4，则 x y 的最小值等于（　　）
A 1
1
．2 B．4 C． 2 D． 4
【答案】B
【详解】因为 x y x2 y2 4 ，可得 x y x2 y2 4且 x 0, y 0，
1 1 x y x2 y2 4
所以 xy
4
2 xy 4 4，
x y xy xy xy xy
4
当且仅当 xy xy 时，即
xy 2等号成立，
1 1
所以 x y 的最小值为 4 .
故选：B.
3．已知 x 0，y 0，满足 x2 2xy 1 0，则3x 2y 的最小值是（　　）
A． 2 B． 3 C．2 3 D．2 2
【答案】D
2
【详解】由 x2 2xy 1 0 y 1 x，得 ，而 x 0, y 0，则有0 x 1，
2x
1 x2 1 1 1 2
因此，3x 2y 3x 2x 2 2x 2 2 ，当且仅当 2x ，即 x 时取“=”，
x x x x 2
所以3x 2y 的最小值为 2 2 .
故选：D
a b
4．若正数 a，b 满足 2a b 1，则 的最小值是__．
2 2a 2 b
2 2 1
【答案】
3 2
【详解】设u 2 2a,v 2 b a
2 u
，则 ,b 2 v，可得u v 3(u,v 0)，
2
a b 1
1
u
所以 2 v 1 2 3 1 2 (u v)(1 2 ) 3
2 2a 2 b u v u v 2 3 u v 2
1 v 2u
(3 ) 3 1 v 2u 3 2 2 3 2 2 1 (3 2 ) 1 ，
3 u v 2 3 u v 2 3 2 3 2
当且仅当 v 6 3 2,u 3 2 3时，等号成立，取得最小值．
2 2 1
故答案为： ．
3 2
5．若a 2,b 1，且满足ab a 2b 6 1 9 ，则 的最小值为______．
a 2 b 1
【答案】3
【详解】由 a 2 b 1 ab a 2b 2 6 2 4
又a 2,b 1，则a 2 0,b 1 0
1 9
所以 2 1 9 9 2 3
a 2 b 1 a 2 b 1 4
1 9 8
当且仅当 以及ab a 2b 6，即a ,b 5时取得等号.
a 2 b 1 3
1 9
所以 的最小值为 3
a 2 b 1
故答案为：3
题型七、基本不等式的恒成立问题
1 9
1．设 a 0，b 0， 1，若不等式 a b m恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
a b
A． ,8 B． ,16 C． ,7 D． 16,
【答案】B
1 9
【详解】 a 0，b 0， 1，
a b
1 9 9a b
则 a b a b 1 9 10 2 9a b 16，
a b b a b a
当且仅当b 3a， a 4，b 12，上式取得等号，
由不等式 a b m恒成立，可得m a b min 16，
故选：B
1
2．当 x 1时，不等式 x a恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
x 1
A． ，2 B． 2， C． 3， D． ，3
【答案】D
1
【详解】 当 x 1时，不等式 x a恒成立，
x 1
a x 1 对 x 1均成立．
x 1
1 1
由于 x x 1 1 2 1 3，
x 1 x 1
当且仅当 x 2时取等号，
1
故 x 的最小值等于 3，
x 1
a 3，则实数 a 的取值范围是 ，3 ．
故选：D．
3 1 n
3．已知 a 0，b 0，若不等式 恒成立，则 n的最大值为（ ）
a b a 3b
A．9 B．12 C．16 D． 20
【答案】B
3 1 n 3 1
【详解】 a 0，b 0，若不等式 恒成立 n a 3b 恒成立
a b a 3b a b
a 0，b 0
a 3b 3 1 9b a 9b a 6 6 2 12
a b a b a b
当且仅当 a 3b时取等号．
n 12，即 n的最大值为12．
故选：B．
x
4．若对任意 x 0, 2 a恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）x 5x 1
1 , 1 , 1 0, 1A． B． C． D
0, ．
5 7 5 7
【答案】B
x 1 1 1 1
2
【详解】由题意，对任意 x 0, 有 x 5x 1 x2 5x 1 x 1 5 1 7
x x
2 x 5
x
当且仅当 x
1 x 1
，即 x 1时，等号成立，即
x x2
的最大值为 ﹒
5x 1 7
x 1
x 0 a a a
1
又由对任意 时， 2 恒成立， ，即 的取值范围是x 5x 1 7
, .
7
故选：B.
5．若对任意 x 0， x3 5x2 4x ax2 恒成立，则实数 a的取值范围是___________.
【答案】 ,9
2 x2 5x 4
【详解】因为对任意 x 0 x3 5x2 4x ax2 x 5x 4， a 恒成立，只需满足 a x
，
x min
2
x 0 x 5x 4
4
因为 ，所以 x 4 5 2 x 4 5 9，当且仅当 x ，即 x 2时取等号.
x x x x
故实数 a的取值范围是 ,9 .
故答案为： ,9
题型八、对勾函数求最值
1
1．已知命题 p ：“ x ,4 , x
2 ax 4 0 ”
2 为真命题，则实数
a 的取值范围是（ ）

17 13
A． a 4 B． a C． a D． a 5
2 3
【答案】B
p “ x
1 ,4
4
【详解】命题 ： 2 ， x
2 ax 4 0 ”，即a x ，
x max
设 f (x)
4 1 17 17
x ，对勾函数在 x 2时取得最小值为 4，在 x 时取得最大值为 ，故 a ，
x 2 2 2
故选：B．
x2 5
2．求函数 y 2 的最值.x 4
5
【答案】最小值为 ，无最大值
2
y x
2 5 x2 4 1
【详解】 x2 4
1
，令 2 ，则 t 2，
x2
t x 4
4 x2 4 x2 4
因为对勾函数 y t
1
在 2, 上单调递增，当 t 2 5 时，取得最小值 .
t 2
y x
2 5
故
5
2 的最小值为 ，无最大值.x 4 2
y x 4
1
3．求函数

，
x
x 4
2 的最大值与最小值
.

17
【答案】最大值 ，最小值 4
2
1
【详解】函数 y x
4 4
，根据对勾函数的性质可得： y x 在
x x
，2
2
上单调递减， 2, 4 上单调递增.
当 x 2时取到最小值 4 .
1 1 17
又当 x 时， y 8 ，当 x 4时， y 4 1 5
2 2 2
x 1 17所以当 时取到最大值 ，
2 2
4 17
所以函数 y x 的最大值 ，最小值 4
x 2
题型九、有关基本不等式的应用题
1．某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为 24m2的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个
矩形 ABCD 种植花卉，矩形 ABCD 上下各留 1m，左右各留 1.5 米的空间种植草坪，设花草坪长度为 x（单位：m），
宽度为 y（单位：m），矩形 ABCD 的面积为 s（单位：m2）
(1)试用 x，y 表示 s；
(2)求 s 的最大值，并求出此时 x，y 的值．
【详解】（1）由题意可得,矩形 ABCD 长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故 s x 3 y 2 .
（2）∵ xy 24，∴ s x 3 y 2 xy 2x 3y 6 xy 2 6xy 6 6
（当且仅当 2x 3y ,即 x 6， y 4 时取等号）.
故 s 的最大值为6m2 ,此时 x 6， y 4 .
2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用 20
年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 8 万元.该建筑物每年的能源消耗费用M x （单位：万元）与隔热层厚
x M x k 20度 （单位：cm）满足关系： 0 x 10 ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 万元，设 f x
2x 3 3
为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1)求 k 的值及 f x 表达式
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f x 达到最小，并求最小值．
20 k 20
【详解】(1)依题意当 x 0时M 0 ，即 ，解得 k 20，
3 3 3
f x 8x 20 20 8x 400 0 x 10 ；
2x 3 2x 3
(2) f (x) 8x 400 400因为 4 2x 3 12 2 4 2x 400 3 12 80 12 682x 3 2x ． 3 2x 3
400 7
当且仅当 4 2x 3 x 2x 3 ，即 时“ ”成立． 2
7
答：隔热层修建 厘米时，总费用 f (x) 达到最小，最小值为68万元．
2
题型十、证明不等式
1．（1）设 a,b,c R,且 a b c 0,abc 1．证明： ab bc ca 0；
2 a,b,c abc 1
1 1 1
a2 b2（ ）已知 为正数，且满足 ．证明： c2
a b c
2
【详解】（1）因为 a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 0，
所以 ab bc
1
ac a2 b2 c2 ，2
因为 abc 1，所以 a，b ， c都不为 0 ，则 a2 b2 c2 0，
所以 ab bc ac
1
a2 b2 c2 0 .2
（2）因为 a，b，c 为正数， a2 b2 2ab.a2 c2 2ac,b2 c2 2bc，
所以 a2 b2 a2 c2 b2 c2 2ab 2ac 2bc ，
所以 a2 b2 c2 ab ac bc，
因为 abc
ab ac bc 1 1 1
1 a2，所以 b2 c2 ，当且仅当 a b c时取等号，
abc a b c
1 1 1
a2 b2 c2即
a b c
2．已知正实数m ， n满足m2 n2 4m2n2 .证明：
(1) mn
1
；
2
1 1
(2) 8 .
m4 n4
1 1
【详解】(1)由m2 n2 4m2n2 ，得 4，m2 n2
1 1 2
又 2 2 ，所以mn
1
2，当且仅当m n 时等号成立.
m n mn 2 2
1 1 1 1 2 2
4 4

2

2 2 2 16
2 16 2
(2) m n m n m n (mn)2
2 8
1 ，

2
2
当且仅当m n 时等号成立.
2
1 1
故 8 .
m4 n4
1．（多选）当 a，b R 时，下列不等关系不成立的是（ ）
a b
A． ab B．a b 2 ab C． a2 b2 2ab D．a22 b
2 2ab
【答案】ABD
a b
【详解】A：当 a,b 0时， ab 显然不成立；
2
B：当 a 2,b 1时，a b 2 ab 不成立；
C：由重要不等式知： a2 b2 2ab当且仅当 a b时等号成立；
D：当 a 1,b 2时，a2 b2 2ab 不成立.
故选：ABD
f (x) 5x 202．函数 (x 0)的最小值为（ ）
x
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【详解】因为 x 0 20 20，所以 f (x) 5x 2 5x 20，
x x
20
当且仅当5x 即 x 2时取等，
x
故选：C
3 2x 2．若 x 1，则函数 y x x 1 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【详解】因为 x 1，所以 x 1 0，
所以 y x 2x 2
2 x 1x 4 x 2 4x 1 x 1
4
x 1 3 2 x 1
4
x 1 3 7，x 1 x 1
x 1 4当且仅当 ，即 x 3时取等号，
x 1
2x 2
所以函数 y x x 1 的最小值为 7 ；
故选：C
4．求函数 y x
1
(x 0)的最值.
x
【答案】最大值为 2，没有最小值
1
【详解】 ∵ x＜0 ， x 0, 0，
x
x 1 1

2 x



2 (当 x 1取到等号)，
x x
x 1 1 x

2 ，x x
1
故函数 y x (x 0)的最大值为 2，没有最小值.
x
5．已知 x＞0，y＞0，x＋y＝2，则 xy 的最大值为________．
【答案】1
【详解】因为 x＞0，y＞0，所以 x y 2 xy
即 2 xy 2，解得 xy 1，当且仅当 x y 1时等号成立.
则 xy 的最大值为 1.
故答案为：1.
6．（1）已知0 x 1，求 f (x) x(4 3x) 最大值.
（2）已知 x
5
，求 f (x) 4x 2
1
的最小值.
4 4x 5
【详解】（1）因为0 x 1，所以 4 3x 0 ，
2
f (x) x(4 3x) 1 3x(4 3x) 1 3x 4 3x 4所以
3 3 2
，
3
2
当且仅当3x 4 3x 即 x 时等号成立， f (x) x(4 3x)
4
取得最大值
3 3
5
（2）因为 x ，所以 4x 5 0，
4
f (x) 4x 2 1 1 1所以 4x 5 3 2 4x 5 3 5，
4x 5 4x 5 4x 5
1 3
当且仅当 4x 5 即 x 时等号成立， f (x) 4x 2
1
取得最小值5 .
4x 5 2 4x 5
7．求下列函数的最小值
x21 y x 1（ ） (x 0)；
x
2
2 y x 2x 6（ ） (x 1) .
x 1
x21 y x 1 1【详解】（ ） x 1
x x
1
∵ x 0, x 1 1 2 x 2（当且仅当 x ，即 x=1 时取等号）
x x x
x2 y x 1 (x 0)的最小值为 3；
x
（2）令 t x 1(t 0) ，则 x t 1，
y x
2 2x 6 2 2
= (t 1) 2(t 1) 6 t 4t 9 t 9 9 4 2 t 4 10
x 1 t t t t
9
当且仅当 t 即 t=3 时取等号
t
y 的最小值为 10．
2
8．已知 x 3 x 3x 4，则 y 的最大值是（ ）
x 3
A． 1 B． 2 C．2 D．7
【答案】A
y x
2 3x 4 (x 3)2 3(x 3) 4
【详解】
x 3 x 3
(x 3) 4 3
x 3
x 3，
4
x 3 0， 0，
x 3
(x 3) 4 (3 x) 4
4
x 3 3 x
2 (3 x) 4
3 x
4
当且仅当 x 3 ，即 x 1时，等号成立，
x 3
x2y 3x 4所以 的最大值为 4 3 1
x 3
故选：A
2
9 y x x 5．函数 (x 2) 的最小值为______．
x 2
【答案】7
2 2 2
【详解】令 x 2 t t 0 x x 5 (t 2) t 2 5 t 5t 1 1－ ， ；则 t 5 7
x 2 t t t
(当且仅当 t 1，即 x 3时，等号成立)，
x2 x 5
故函数 f x ， x 2， 的最小值为 7
x 2
故答案为：7
1 1
10．已知正实数 x，y 满足 1，则 x 4yx y 最小值为______．
【答案】9
x y 1 1【详解】 正数 ， 满足： 1x y ，
x 4y x 4y 1 1 5 4y x 4y x 5 2 9，
x y x y x y
4y x 3
当且仅当 x y ，即
x 2y ， x 3，y 时 “ ”成立，
2
故答案为： 9 .
1 1
11．已知 a,b都是非零实数，若a2 4b2 3，则 2 2 的最小值为__________.a b
【答案】3
a2 4b2
【详解】因为 1
3
1 1 a2 4b2 1 1 1 1 4 a
2 4b2 1

5 2 a
2 4b2
所以 2 2 2 2 2 2 2 2 3a b 3 a b 3 b a 3 b a
a2 4b2
当且仅当 2 2 即 a
2 2b2 1时，等号成立.
b a
故答案为：3
12．已知 ab 0,a b 1
a 4b
，则 的最小值为___________.
ab
【答案】9
【详解】因为 ab 0,a b 1，
a 4b
所以 a b 1 4 a 4b 5
a 4b
2 5 a 4b 9，当且仅当 b a 时，等号成立.ab b a b a b a
a 4b
所以 的最小值为 9.
ab
故答案为：9.
13．已知 a 0,b 0, a 2b 1
1 1
，求 的最小值．
3a 4b a 3b
1
【答案】 3 2 2
5
【详解】因为 a 0,b 0,a 2b 1，
所以 3a 4b 2a 6b 5 a 2b 5，
1 1 1 2 1
3a 4b 2a 6b 1 2
3a 4b a 3b 3a 4b 2a 6b 5 3a 4b 2a 6b
1 23 2a 6b 3a 4b 1

3 2 2a 6b
2 3a 4b
5 3a 4b 2a 6b

5 3a 4b 2a 6b
1
3 2 2 ，5
“ 2a 6b
2 3a 4b
当且仅当 ”时取等号，即 2a 6b 2 3a 4b 且 a 2b 1，
3a 4b 2a 6b
a 7 5 2,b 4 5 2即 时取等号.
2
1 1 1
所以 的最小值为： 3 2 2 .3a 4b a 3b 5
1 2
14．已知 a 0，b 0，且 a b 1，则：①当且仅当a ____________时， 取得最小值____________；②
a b
1 (b 1 )的最小值是____________．
a b
【答案】 2 1 3 2 2 2 2 2
1 2
【详解】由 (1 2 )(a b) 3 b 2a 3 2 b 2a 3 2 2 ，
a b a b a b a b
当且仅当b 2a，即 a 2 1，b 2 2 时等号成立，
1 (b 1) b 1 b a b b 1 1 a 2b a b 2b a 2b a 2 2 2 2 2 2 ，
a b a ab a ab a b a b a b a b
当且仅当 a 2b，即 a 2 2 ，b 2 1时等号成立.
故答案为： 2 1，3 2 2 ， 2 2 2 .
15 x
2
．已知正数 x，y 满足 y2 1，则 x 2y 的最大值为____________．
2
【答案】2
2
【详解】因为 a2 b2 2ab, a,b R ,则 2(a2 b2 ) (a b)2 ,a2 b2 (a b) ，
2
x2 (x 2y)2
故由题意，正数 x，y 满足 y2 1，可得： 2 x2 2y2 ，
2 2
即 (x 2y)2 4，故 x 2y 2 ，
当且仅当 x 2y 1时取等，
故答案为：2．
3y 1 1
16．已知 x 0， y 0， x y 1，则 x x y 的最小值为__．
【答案】6
3y 1 1 3y x y x y 3y y x
【详解】 1 1x x y x x y x x y
4y x
2 2 4y x 2 x 2 1
x y 6，当且仅当析
， y 时，等号成立.
x y 3 3
故答案为：6
2 1
18．若 x，y 均为正实数，且 1 x y2x y x 3y ，则 的最小值为________.
9
【答案】
5
【详解】令 x y t ，则 y t x，
2 1
1 2 1 1 2 1由 12x y x 3y 得 ，即 ， 2x t x x 3t 3x x t 3t 2x
4 1
所以 1，
2x 2t 3t 2x
因为 x 0, y 0，所以 2x 2t 0 ，3t 2x 0 ，
所以 (2x 2t) (3t 2x) 4 1 5t ，
2x 2t 3t 2x
4 1 4(3t 2x) 2x 2t所以 5t ，
2x 2t 3t 2x
5t 5 4(3t 2x) 2x 2t 2 4(3t 2x) 2x 2t所以 4，
2x 2t 3t 2x 2x 2t 3t 2x
t 9 6 3所以5t 9 ，即 ，当且仅当 x ， y 时，等号成立.
5 5 5
9
故答案为： .
5
1 1 4 16
19．若正数 a，b 满足 1，则 的最小值为__．
a b a 1 b 1
【答案】16
1 1
【详解】因为正数 a，b 满足 1，
a b
1 1 b 1 1 a
则有 1 ，则有 ，
a b b b 1 b
1 1 a 1 1 b
1 ，即有 ，
b a a a 1 a
4 16 4b 16a 2 4b 16a则有 16，
a 1 b 1 a b a bb
4b 16a 1 1
当且仅当 即有 b＝2a，又 1，
a b a b
3
即有 a ，b＝3，取得最小值，且为 16．
2
故答案为：16．
1 1
20．已知 a 0，b 0， 1，若不等式 2a b m恒成立，则 m 的最大值( )
a b
A． 2 3 B．3 2 C．3 2 2 D．5
【答案】C
【详解】由不等式 2a＋b≥m 恒成立可知，只需 m 小于等于 2a＋b 的最小值，
1 1
由 a＞0，b＞0， ＋ ＝1，
a b
1 1 b 2a b 2a b 2a
可得 2a＋b＝(2a＋b)( ＋ )＝3＋ ＋ 3＋2 ＝3＋2 2 ，当且仅当 ＝ 时取等号，∴m≤ ，∴m 的
a b a b a b a b
3＋2 2
最大值为3＋2 2 ，
故选：C．
21．若对任意 x 0,a
2x
2 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）x x 1
A．[ 1, ) B．[3, )
2
C , ． 3 D． ( ,1]
【答案】C
2x 2 2 2

【详解】因为 x 0，所以 x2 x 1 x 1 1 1 3
1 2x
2 x 1 ，当且仅当
x 即 x 1时取等号，因为 a
x x x
2 x 1
x
2 2
恒成立，所以 a ，即 a ,

；
3 3
故选：C
22．已知 a、b 0, 1 4 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
a b a b
A． 5, B． 9, C． ,5 D． ,9
【答案】D
【详解】因为 a、b 0, 1 4，由已知可得 a b ，
a b
1 4 a b b 4a b 4a因为 5 2 5 9，当且仅当b 2a时等号成立，
a b a b a b
故实数 的取值范围为 ,9 ，
故选：D．
23．已知正数 x，y 满足2x 2 3xy (x y)恒成立，则实数 的最小值为_______．
【答案】3
【详解】 x 0, y 0，
2x 2 3xy
由2x 2 3xy (x y)得 ，
x y
又 2x 2 3xy 2x x 3y 3(x y) ，当且仅当 x 3y时等号成立，
2x 2 3xy 3(x y)
所以 3，所以 3．
x y x y
最小值为 3．
故答案为：3．
24．如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为12 m 2 ，
要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.
【详解】设每个区域的长为 xm ，宽为 ym ，由题意得 x 0， y 0， xy 12，
则彩带总长 l 4x 6y 2 24xy = 2 24 12 = 24 2 ，当且仅当 4x 6y ，即 x 3 2 且 y 2 2 等号成立，
所以每个区域的长和宽分别是3 2m和 2 2m 时，彩带总长最小，最小值为 24 2m .
25．运货卡车以 x 千米/时的速度匀速行驶 300 千米，按交通法规限制50 x 100 (单位千米/时)，假设汽车每小时耗
x2
油费用为 (24 )元，司机的工资是每小时 46元．（不考虑其他因所素产生的费用）
70
(1)求这次行车总费用 y (元)关于 x (千米/时)的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用 y 最低？求出最低费用的值．
300 x2
【详解】(1)行车所用时间 t (h)，汽油每小时耗油费用为 (24 )元，司机的工资是每小时 46元，
x 70
300 x2 300 21000 30x
所以行车总费用为： y (24 ) 46 (50 x 100) ；
x 70 x x 7
(2) y 21000 30x 21000 30x因为 2 600，
x 7 x 7
21000 30x
当且仅当 ，即 x 70时，等号成立，
x 7
所以当 x 70时，这次行车的总费用 y 最低，最低费用为600 元.
1
26．已知： a b c 1，求证： ab bc ca .
3
【详解】 a b c 1，两边平方得 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 1，
根据基本不等式有 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,a2 c2 2ac，
将上述3 2 a2 b2 c2个不等式相加得 2ab 2bc 2ac ，
即 a2 b2 c2 ab bc ac，
所以1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 3ab 3bc 3ac，
整理得 ab bc
1
ca ，
3
1
当且仅当 a b c 时等号成立.
3
27．设 a，b，c 均为正数，且 a b c 1，证明：
(1) ab bc ac 1；
1 1 1
(2) 27 ．
ab bc ac
【详解】(1)因为 a b 2 ab ，当且仅当 a b时，等号成立，
b c 2 bc ，当且仅当b c 时，等号成立，
a c 2 ac ，当且仅当 a c 时，等号成立，
所以 a b b c a c 2 ab 2 bc 2 ac ，即 a b c ab bc ac ，
即 ab bc ac 1，当且仅当 a b c时，等号成立.
(2)因为 a b c 3 abc 2 ab 2 c 3 abc 4 ab c 3 abc 4 3 abc ,
所以 a b c 33 abc ，当且仅当 a b c时，等号成立，
3 1
即 a b c 27abc，即 27，
abc
1 1 1 = c a b 1所以 27 ，当且仅当 a b c时，等号成立.
ab bc ac abc abc
1．若 a 0，b 0， a b 2 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． ab 2 B． a b 2
2 1
C． 3 D．
a b a
2 b2 2
【答案】D
2
【详解】对于选项 A ∵ ab a b ： 1，当且仅当 a b时取等号，∴A 错误；
2
B a b a b对于选项 ： 1， a b 2 ，∴B 错误；
2 2
2 1 1 a b 2 1 1 3 2b a 3 2 2
对于选项 C ： a b 2 a b 2 a b 2 ，
3 2 2
因为 3 ∴C 错误；
2
D ∵ a b a
2 b2
对于选项 ： ，当且仅当 a b时取等号，
2 2
∴ a2 b2 2 ，D 正确；
故选：D
2
2．已知正实数 x 2x x 4，则 y 的最大值是（ ）
x
A．1 B． 4 2 C． 4 2 D．1 4 2
【答案】D
y 2x
2 x 4

4
【详解】因为 2x

1，x x
4
又因为 x 0，所以 0 ，
x
2x 4
4
所以 2 2x 4 4 2 ，当且仅当 2x 时，即 x 2 时等号成立，
x x x
2
y 2x x 4所以 = 2x
4
1 4 2 1，x x
即 y 的最大值是1 4 2 .
故选：D.
2
3．若 1 x 1 y x 2x 2，则 有（ ）
2x 2
A．最大值 1 B．最小值 1 C．最大值1 D．最小值1
【答案】A
【详解】因 1 x 1，则0 1 x 2 ，
y 1 (1 x)
2 1 1 1 1 1 1
于是得 [(1 x) ] 2 (1 x) 1，当且仅当1 x ，即 x 0时取“=”，
2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x
2
所以当 x 0 y x 2x 2时， 有最大值 1 .
2x 2
故选：A
4．已知 x, y为正实数，且 x 2y xy，则 x 2y 的最小值是（ ）
A． 2 B． 4 C．8 D．16
【答案】C
1 2
【详解】因为 x 2y xy，所以 1，而 x, yy x 为正实数，
x 2y 2 1 4 x 4y所以 4 2 4 8，
x y y x
当且仅当 x 4, y 2时取等号，故 x 2y 的最小值为 8.
故选：C
m 1
5．已知正数 m，n 满足m n 1，则 的最小值为（ ）
mn
A．3 B．3 2 2 C．3 2 D．3 2 3
【答案】B
m 1 m m n 2m n
【详解】由题得 (
2 1
)(m n) 2m n 3 3+2 2 .
mn mn mn n m n m
（当且仅当m 2 1,n 2 2 等号成立）.
故选：B
1 3
6．若 x 0， y 0，且 1x y ，则
3x y 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．14 D．16
【答案】B
1 3
【详解】因为 x 0， y 0，且 1x y ，
所以3x y 3x y 1 3 y 9x y 9x 6 6 2 12 ，
x y

x y x y
当且仅当 y 3x 6时等号成立，
所以，3x y 的最小值为12 .
故选：B
2 1
7．已知正数 x，y 满足 1，则 x yx 3y 3x y 的最小值（ ）
A 3 2 2 B 3 2 C 3 2 2 D 3 2． ． ． ．
4 4 8 8
【答案】A
2 1
【详解】令 x 3y m，3x y n，则 1，
m n
即m n x 3y 3x y 4 x y ，
∴ x m n m n 2 1 1 m 2n 1 m 2n 3 y 2 4 4 4 m n 2 4n 4m 4 4n 4m 4
2 1 3 2 2 3 ，
2 2 4 4
m 2n
当且仅当 ，即
4n 4m m 2 2
， n 2 1时，等号成立，
故选：A.
18
1
．已知正实数 a、b 满足 a b 4 ，则 a b b a 的最小值为（ ）
25
A． 2 2 2 B．4 C． D．4 2 2 1
【答案】B
【详解】∵正实数 a、b 满足 a b 4 ，
∴ a 1 b 1 1 ab 2 2 ab
1
2 4 ，
b a ab ab
当且仅当 ab
1
，即 ab 1, a b 4时，取等号，
ab
故选：B.
x 2 2a 19．若对任意正数 ，不等式 2 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）x 4 x
A． 0, 1 B． ,
1 1
, C． D

． ,

4 4 2
【答案】B
2a 1 2x 2
【详解】依题意得，当 x 0时， x2 4 x 4 恒成立，
x
又因为 x
4
4 ，当且仅当 x 2时取等号，
x
2
1
所以， x 4 的最大值为 2 ，
x
所以 2a 1
1
1，解得 a的取值范围为[ , )．
2 4
故选：B
10．（多选）已知 a 0，b 0，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
a b a2 b2 (a b) 1 1A． B．

4
2 2 a b
a 1 2abC． 1 Da ．
ab
1 a b
【答案】BC
a2 b2 a b
2
a b a2 2
【详解】对 A：因为 a 0，b 0，且 b ，所以 ，故选项 A 错误；2 2 2 2
对 B：因为 a 0 b 0 (a b) 1 1 2 b a b a ， ，所以 2 2 4，当且仅当 a b时等号成立，故选项 B
a b a b a b
正确；
1
对 C 1：因为 a a 1 1 1 1 2 a 1 1 1，当且仅当 a 1 ，即 a 0时等号成立，但 a 0，所
a 1 a 1 a 1 a 1
以 a
1
1
a 1 ，故选项
C 正确；

对 D：因为 a 0，b 0，所以 a b 2 ab ，所以 a b ab 2 ab ab 2ab，
2ab
所以 ab ，当且仅当 a b时等号成立，故选项 D 错误.
a b
故选：BC.
11．（多选）已知 x 0， y 0，且 x 2y 2，则（ ）
A xy 1 2 2
4
． 的最大值是 2 B． x y 的最小值是 5
1 2
C． 2x 4y 的最小值是 4 D． x y 的最小值是 5
【答案】ABC
【详解】对于 A，由 x 0， y 0，可得 x 2 y 2 2 2xy ，
xy 1所以 ，当且仅当 x 2y 1， xy 1取得最大值 2 ，故 A 正确，2
对于 B， x 0， y 0，且 x 2y 2，
则 x 2 2y ，所以0 y 1，
2
所以 x2 y2 (2 2y)2 y2 5y2 8y 4 5 y
4

4 4
5
，
5 5
y 4 x 2当且仅当 ， 时取等号，故 B 正确，
5 5
对于 C， x 0， y 0，且 x 2y 2，则 2x 4y 2 2x 4y 2 2x 2 y 4，
1
当且仅当 x 1， y 时等号成立，
2
2x 4y 的最小值为 4，故 C 正确，
对于 D， x > 0 ， y 0， x 2y 2，
1 2 1 (1 2 )(x 2y) 5 2y 2x 5 2 2y 2x 9
x y 2 x y x y x y ，
2 2
当且仅当 x ， y 时，等号成立，
3 3
1 2

x y 的最小值为 9，故 D 错误．
故选：ABC．
1 a 1
12．（多选）若 a 0，b 0， b 2，则 的可能取值有（ ）
a a 1 b
6 5 4 3
A． B． C． D．
5 4 3 2
【答案】CD
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3 b b)
【详解】原式 1 1 b (2 b) 1 b 3 b b 3

3 b b
a
1 3-b 1 1 b 4= （当且仅当b 3 ， a 2时取等号）.
3 b 3 b 3 2
故选：CD.
13．（多选）已知 x 0， y 0，且 x 2y 2，下列结论正确的是（ ）
A． xy的最小值是 1 B． x2 y2 4的最小值是 5
1 2
C． 2x 4y 的最小值是 4 D． x y 的最小值是 9
【答案】BC
1
【详解】对 A，因为 x 0， y 0，则 x 2y 2 2 x 2y ，解得 xy ，当且仅当 x 2y 等号成立， xy取得最大
2
1
值为 2 ，故 A 错误；
对 B，由 x 2y 2可得 x 2 2y 0，则0 y 1，
x2 y2 2 2y 2 4 4 y2 5y2 8y 4 y x2 y2，当 时， 取得最小值为 ，故 B 正确；5 5
对 C， 2x 4y 2 2x 4y 2 2x 2 y 4，当且仅当 2x 4y 时等号成立，所以 2x 4y 的最小值是 4，故 C 正确；
1 2 1 1 2 1 2y 2x 1 2y 2x 9 2y 2xx 2y 5 2 5 1 2对 D， ，当且仅当 x y 等号成立，所以 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 x y
9
的最小值是 ，故 D 错误.
2
故选：BC.
14．（多选）若 4x 4y 1， t x y 恒成立，则 t 的取值可以是（ ）
A． 2 B． 1 C． 0 D．1
【答案】BCD
【详解】由 4x 4y 1，可知0 4x 1，0 4y 1，则 x 0 ， y 0，则 x y 0，
则1 4x 4y 2 4x 4y 2 4x y ，当且仅当 4x 4y ，即 x y 时，等号成立，
4x y 1所以 ，所以 x y 1，因为 t x y ，则t 1.
4
故选：BCD.
1
15．若 x 1，则 x 1的最小值为______．
x 1
【答案】2
【详解】因为 x 1， 所以 x 1 0，
x 1 1 (x 1) 1因为 2，
x 1 x 1
1
当且仅当 x 1 时，即 x 2等号成立，
x 1
x 1所以 的最小值为 2.
x 1
故答案为：2.
x216 f x 8．函数 (x 1)的最小值为___．
x 1
【答案】8
【详解】因为 x 1，令 t x 1 0，则 x t 1，
2
f x x 8 (x 1) f t (t 1)
2 8 t 2 2t 9 9
又因为 ，可得 t 2 ，
x 1 t t t
t 9 9
9
因为 2 t 6，当且仅当 t 时，即 t 3，即 x 4时，等号成立，
t t t
所以 f t 8，即 fmin x 的最小值为8 .
故答案为：8 .
2
17．当 x 2 y x 4x 6 时，函数 的最小值为___________．
x 2
【答案】 2 2
2 2 2
【详解】因为 x 2
x 2 2
，则 x 2 0，则 y x 4x 6 2 x 2 2 x 2 2 2 ，
x 2 x 2 x 2 x 2
当且仅当 x 2 2时，等号成立，
x 2 y x
2 4x 6
所以，当 时，函数 的最小值为 2 2 .
x 2
故答案为： 2 2 .
4 x 3y
18．已知 x 0， y 0，且 x 2y 2，则 x 3y 的最小值为__________.
3 4 3【答案】
3
【详解】因为 x 2y 2 4 x 3y 2x 4y x 3y，所以 3 4y x 4 4 3 3 2 3
x 3y x 3y x 3y 3 3
4y x
3 1
当且仅当 x 3y ，即 x 3 3, y 时，取等号，
x 2y 2
2
4 x 3y
3 4 3所以 x 3y 的最小值为 .3
3 4 3故答案为： ．
3
1 4
19．若 a 0，b 0，且4a b 1，则 的最小值是______．
a b
【答案】16
【详解】因为 a 0，b 0，且4a b 1，
1 4 1 4
所以 ( )(4a b) 8 b 16a 8 2 b 16a 16，
a b a b a b a b
b 16a
当且仅当 时，即 a
1
,b 1 时，等号成立，
a b 8 4
1 4
所以 的最小值是16 .
a b
故答案为：16 .
1 1
20．已知 a 0，b 0， a b 1，则 的最小值为__________．
a 3b 2a b
2 2 3
【答案】
5
【详解】由 a b 1可得 a 3b 4a 2b 5，
1 1 1 2 1 1 2
所以 a 3b 4a 2b a 3b 2a b a 3b 4a 2b 5 a 3b 4a 2b
1 4a 2b 2 a 3b 3 2 2 3 ，5 a 3b 4a 2b 5
4a 2b 2 a 3b
当且仅当 时等号成立，
a 3b 4a 2b
1 1
2 2 3所以 的最小值为 .
a 3b 2a b 5
2 2 3
故答案为： .
5
21．已知对 x 0, 1，不等式 x m 恒成立，则实数m 的最大值是_________.
x
【答案】不存在
【详解】由已知可得 x 0, ，m x 1 1 1，由基本不等式可得 x 2 x 2，
x x x
当且仅当 x 1时，等号成立，∴ m 2 ，故实数m 的最大值不存在.
故答案为：不存在.
22．已知 a 0,b 0
3 1 m
，若不等式 恒成立，则m 的最大值为________．
a b a 3b
【答案】12
3 1 m 3 1 9b a
【详解】由 得m a 3b 6．
a b a 3b a b a b
9b a 9b a
又 6 2 9 6 12 ，当且仅当 ，即当 a 3b时等号成立，
a b a b
∴ m 12，∴ m 的最大值为12．
故答案为：12
23．若实数 x, y满足 4x2 y2 xy 1，且不等式 2x y c 0 恒成立，则 c 的取值范围是________.
2 6
【答案】 ，
3
【详解】 4x2 y2 xy 1，
(2x y)2 1 5xy 5 1 (2x y)2 ，当且仅当 2x y 时“ ”成立，
8
2x y 2 8
3
2 6 2 6
2x y
3 3
又 不等式 2x y c 0 恒成立，
c 2 6 0 2 6 ， c
3 3

c 2 6的取值范围是 ， ．
3


2 6
故答案为： ， ．
3


a 1 2
24．已知 x、y 为两个正实数，且不等式 x y 2x y 恒成立，则实数 a 的取值范围是______．
, 9 【答案】
2
a 1 2 1 2
【详解】因为 x、y 为两个正实数，由 a x y x y 2x y 可得 ， 2x y
x y 1 2 5 2x y 5 2 2x y 9因为 ，
2x y 2 y 2x 2 y 2x 2
当且仅当 2x y 时，等号成立．
a 9
9
所以

，因此，实数 a 的取值范围是 ,2 2
,

, 9 故答案为：
2
1
25．不等式 2x m 0对一切 x ,1 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.
x 1
【答案】 , 2 2 2
2x m 1【详解】∵ 0对一切 x ,1 恒成立，
x 1
m 2x 1∴ 2 1 1 x 2对一切 x ,1 恒成立，
x 1 1 x
1
∵ x 1，∴1 x 0, 0
1 x
1
∴ 2 1 x 1 2 2 1 x 1 2 2 ，当且仅当 2 1 x ，
1 x 1 x 1 x
即 x 1 2 时取等号.
2
∵不等式 2x m
1
0对一切 x ,1 恒成立，
x 1
∴ m 2 2 2 .
∴实数m 的取值范围是 , 2 2 2
故答案为： , 2 2 2
26．设 a 0,b 0
1 1 k
，且不等式 0恒成立，则实数 k 的最小值等于___________.
a b a b
【答案】 4
1 1 k 1 1
【详解】由 0，得 k a b ，
a b a b a b
- 1 1 b a
b a
∵ a b 2 2 2 4， a b a b a b
当且仅当 a b时取等号，
∴ k 4，即实数 k 的最小值等于 4 .
故答案为： 4 .
27．若存在 x 0, x，使 2 a 成立，则 a的取值范围是___________.x 3x 1
1
【答案】 ,
5
【详解】依题意存在 x 0, x，使 2 a 成立，即存在 x 0,
x
，使得 a 2 ，即x 3x 1 x 3x 1
a x 2 x 0,
1
x 3x 1 ，因为 ，所以 x
1
2 x 1 2，当且仅当 x ，即 x 1时取等号，所以
max x x x
x 1 1 1
x2
x 1 1 1
3x 1 x 1 3 2 3 5 ，即 2 的最大值为 ，所以 a ，即
a , ；
x x 3x 1 5 5 5

故答案为： ,
1
5
28．已知 x 0， y 0， x 2y 2．
(1)求 xy的最大值；
2 1
(2)求 x 1 y 的最小值． 1
【详解】(1)因为 x 0， y 0，所以 2 x 2y 2 x
1
2y 2xy 1 xy ，
2
当且仅当 x 2y
1
，即 x 1 y 1， 时取等号，所以 xy的最大值为 2 ；2
(2)由 x 2y 2，得 x 1 2 y 1 5，
2 1 1 2 1 1 x 1 4 y 1
则 x 1 2 y 1 4
x 1 y 1 5 x 1 y 1
5 y 1 x

1
1 4 y 1
4 2 x 1 8
5
，
y 1 x 1

5
x 1 4 y 1 3 1 2 1 8
当且仅当 ，即 x , y 时取等号，所以 的最小值为 ．
y 1 x 1 2 4 x 1 y 1 5
29．已知正实数 a，b 满足 a 2b ab 30，试求实数 a，b 为何值时， ab取得最大值．
【详解】由 a 2b ab 30可得30 ab a 2b 2 2ab ，
令 ab t 0 ，则30 t 2 2 2t ，即 t 2 2 2t 30 0，
所以 t 5 2 t 3 2 0，解得0 t 3 2 ， ab t 2 18，
a 2b
当且仅当 即 a 6，b 3时等号成立， ab取得最大值18 .
ab 3 2
30．求解下列各题：
1 y x
2 3x 4
（ ）求 x 0 的最大值；
2x
x2 8
（2）求 y x 1 的最小值.
x 1
x2 3x 4 1 4 3
【详解】（1）因为 y
2x 2
x
x
，又 x 0 ，
2
4 4
所以 x 2 x 4，
x x
y 1 4 3 1 4所以 ，当且仅当 x ，即 x 2∣时取等号，
2 2 2 x
1
故 y 的最大值为 ；
2
2 x 1
2 2 x 1 9
（ ）由题意， y 9 x 1 2，
x 1 x 1
因为 x 1，所以 x 1 0，
所以 y 2 9x 1 9 2 6 2 8，当且仅当 x 1 ，即 x 4时等号成立，
x 1 x 1
故 y 的最小值为 8.
31 3x
2 2x 2
．若对任意实数 x，不等式 2 k 恒成立，求实数 k 的取值范围．x x 1
2
【详解】令 f x 3x 2x 2
3 x2 x 1 x 1 x 1
2 3 x x 1 x2 x 1 x2 x 1
当 x 1时， f 1 3
f x 3 x 1 1 3
当 x 1时， x2 x 1 x 1 1 1
x 1
x 1 1 1 x 1 2 ，当且仅当 x 1 1x 1 x 1 时等号成立
x 1 1 1 2 或 x 1 2
x 1 x 1
x 1 1即 1 1 3或 x 1 1 1
x 1 x 1
1 1 1
1 0 0 1 13 x 1 1 或 x 1 1
x 1 x 1
0 1 1 1 1 1 x 1 1 3 或 x 1 1
0
1
x 1 x 1
3 1 1 2,3

3,
10

x 1 1 3
x 1
综合得 f x 3 x 1 10 2
2,
x x 1 3
3x2 2x 2
因为不等式 2 k 恒成立，x x 1
3x2 2x 2
则 x2 x 1
k
min
k 2．
32．设 a，b 2 2 3 3为正实数，求证： a b a b a b 8a3b3．
【详解】因为 a，b 为正实数，所以 a b 2 ab ， a2 b2 2ab， a3 b3 2 a3b3 2ab ab ，
当且仅当 a b 2 2 3 3 3 3时取等号，所以 a b a b a b 2 ab 2ab 2ab ab 8a b ，
2 2 3 3 3 3
即 a b a b a b 8a b ，当且仅当 a b时取等号．
33．在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形 ABCD 的三边
AB，BC，CD 由长为 8 厘米的材料弯折而成，BC 边的长为 2t 厘米（0x2
示的平面直角坐标系中，其解析式为 y ，记窗户的高(点 O 到 BC 边的距离)为 h．
3
(1)求 h 与 t 的关系式；
(2)要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米
(3)要使得窗户的高与 BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米
x2 t 2
【详解】(1)将 x t 代入 y 得，D(t, ) ，
3 3
由 AB＋BC＋CD＝8 可知，CD 4 t ，
t 2 2
所以C(t, t 4)，所以 h
t
t 4 ，0 t 4．
3 3
(2) 1 3 13由（1）知， h (t )2 ，0 t 4．
3 2 4
3 13
所以当 t ，即BC 3时， hmin 2 4
答：要使得窗户的高最小，BC 边应设计成 3 厘米．
(3)设窗户的高与 BC 长的比值为b b h t 2 1，则 ，
2t 6 t 2
t 2 1 2 t 2 1 2 3 1由基本不等式，得 ≥ ，
6 t 2 6 t 2 3 2
t 2
当且仅当 ，即
6 t t 2 3
时，取等号．
所以当 t 2 3 ，即BC 4 3 b 2 3 1时， min ．3 2
答：要使得窗户的高与 BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成 4 3 厘米．

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