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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数学
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知集合，，求（ ）
A．{－2，－1，0，1，2} B．
C．{－1，0，1，2} D．
2、化简（ ）
A．－1 B．1 C．i D．－i
3、在中，点D在BC边上，且BD＝DC，点E在AC边上，且，连接DE，若，则（ ）
A． B． C． D．
4、日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为，其中R的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中y为就餐人数（本窗口），x为餐品新鲜度（R），则当N＝2，时，y近似等于（ ）（已知）
A．470 B．471 C．423 D．432
5、素数对（p，p＋2）称为孪生素数，将素数17拆分成n个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6、设，，，则（ ）
A．c>a>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a>
7、已知空间四边形ABCD，AB＝BC＝AC，，且BC＝4，BD＝6，面ABC与面BCD夹角正弦值为1，则空间四边形ABCD外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8、已知函数，对于，恒成立，则满足题意的a的取值集合为（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．{1}
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9、下列选项中，不正确的是（ ）
A．对于任何两个集合，恒成立
B．“对于，”的否定是“，”
C．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱
D．一元线性回归模型中，其中的，叫做b，a的最小二乘估计
10、已知正方体边长为2，则（ ）
A．直线与直线AC所成角为
B．与12条棱夹角相同的最大截面面积为
C．面切球与外接球半径之比为
D．若Q为空间内一点，且满足与AB所成角为，则Q的轨迹为椭圆
11、已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P与焦点，所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为
B．直线l：3x＋4y－7＝0与椭圆C无公共点
C．若过点O做，A，B为与椭圆C的交点，则弦AB中点H所在轨迹为圆，且
D．若过点Q（3，2）做椭圆两条切线，切点分别为A，B，P为直线PQ与椭圆C的交点，则
12、已知函数，是f（x）的导数，下列说法正确的是（ ）
A．曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝x
B．在上单调递增，在上单调递减
C．对于任意的，总满足
D．直线y＝x与y＝f（x）在上有一个交点且横坐标取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、若函数，关于对称，则＝______．
14、的展开式中的系数为______．
15、若直线l同时与曲线和曲线均相切，则直线l的方程为______．
16、已知S：，，…，为有穷整数数列，对于给定的正整数m，若对于任意的，在中存在，，…使得，则称为“同心圆数列”．若为“同心圆数列”，则k的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17、（本小题共10分）
在三角形中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，b＝4，
（1）从下列中选择一个证明：
①证明：；②证明：
（2）求三角形面积的最小值．
18、（本小题共12分）
若一个数列的奇项为公差为正的等差数列，偶项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为，若数列为“摇摆数列”且，，则
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和．（注：）
19、（本小题共12分）
已知底面为正方形的四棱柱，，E，F，H分别为，，的中点，三角形的面积为4，P为直线FH上一动点且
（1）求证：当时，；
（2）求多面体的体积；
（3）当为多少时，线段BP与平面夹角余弦值为．
20、（本小题共12分）
人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名为“领航者号”和“非凡者号”．其中“领航者号”空间站上配有2搜“M2运输船”和1搜“T1转移塔”，“非凡者号”空间站上配有3搜“T1转移塔”．现在进行两艘飞行器间的“交会对接”．假设“交会对接”在M年中重复了n次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站中的一个检查“领航者号”剩余飞行器情况，记“领航者号”剩余2搜“M2运输船”的概率为，剩余1搜“M2运输船”的概率为．其中宇航员的性别与选择所登录空间站的情况如下表所示．
男性宇航员 女性宇航员
“领航者号”空间站 380 220
“非凡者号”空间站 120 280
P（） 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）是否有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；
（2）若k为函数极大值的倍，求与的递推关系式；
（3）求的分布列与数学期望．
21、（本小题共12分）
放射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点且，过椭圆外一点P做椭圆C的两条切线，且，切点分别为M，N
（1）求证：点P的轨迹方程为；
（2）若原点O到，的距离分别为，，延长表示距离，的两条直线，与椭圆C交于Y，W两点，试求：YW中点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．
22、（本小题共12分）
已知函数，在x＝e处取到极值．
（1）求a，并指出f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）与y＝b有两个交点，，且，证明：．
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练
数学·参考答案及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、【考查知识点】必修第一册：集合与常用逻辑用语、函数的概念与性质、三角函数
【难度系数】0.88
【答案】C
【解析】，
∴
2、【考查知识点】必修第二册：复数（探究与发现）、复数的四则运算
【难度系数】0.82
【答案】B
【解析】
3、【考查知识点】必修第二册：平面向量及其应用
【难度系数】0.83
【答案】A
【解析】，∴，，
4、【考查知识点】必修第一册：函数的概念与性质
【难度系数】0.77
【答案】A
【解析】当N＝2，时，∵，
∴∴，
5、【考查知识点】必修第二册：随机事件与概率
【难度系数】0.65
【答案】B
【解析】17＝2＋3＋5＋7其中为孪生素数的情况有2种，分别是{（3，5），（5，7）}，总方法数为
所以满足条件的所占比例为
6、【考查知识点】必修第一册：函数的概念与性质，复习参考题·泰勒展开式
【难度系数】0.33
【答案】A
【解析】，∵，∴
，∴a>b
∴c>a>b
7、【考查知识点】必修第二册：立体几何初步、简单几何体的表面积与体积
【难度系数】0.31
【答案】C
【解析】
，
∴，，
8、【考查知识点】必修第一册：函数的概念与性质；选择性必修第二册：一元函数的导数及其应用
【难度系数】0.15
【答案】D
【解析】原不等式可变化为：
现在证明；设，
易得：g（t）>0，所以当且仅当t＝0，时，等号可取
所以证明即证：
当时，，；同理，当时，，
所以综上所述，a的取值集合为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9、【考查知识点】必修第一册：集合的运算、命题与否命题：选择性必修第三册：一元线性回归模型定义、成对数据分析相关系数概念与理解
【难度系数】0.76
【答案】BCD
【解析】通过集合的计算以及结合Venn图，故A正确；“对于，”的否定是“，”，故B错误；对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故C错误；一元线性回归模型中，其中的，叫做b，a的平均值，，叫做b，a的最小二乘估计，故D错误
10、【考查知识点】必修第二册：立体几何初步；选择性必修第一册：圆锥曲线的定义
【难度系数】
【答案】AB
【解析】∵，，平面，故A正确；
与12条棱夹角相同的最大截面为各棱中点依次连接所形成的的正六边形，面积为，故B正确；面切球与外接球半径之比为，故C错误；过点向作垂线，垂足为，易证，所以，在平面中，以，所在直线分别为x，y轴，则，为双曲线，故D错误
11、【考查知识点】选择性必修第一册：圆锥曲线
【难度系数】0.32
【答案】AC
【解析】，故A正确；
，故有两个交点，故B错误；
因为且
两边同乘得
所以代入数据得故C正确；
通过选择两组特殊值验证得为定值不成立，故D错误．
12、【考查知识点】选择性必修第二册：一元函数的导数及其应用
【难度系数】0.14
【答案】ACD
【解析】，故，，因此，曲线在点处的切线方程为．故A正确；
，则，
设，，
则，故在上单调递增，
故，因此对任意的恒成立，
故在上单调递增．故B错误；
设
则
由（Ⅱ）知在上单调递增，故当，时，
因此，在上单调递增，故
因此，对任意的，，总满足，故C正确；当时，，当时，，，
又因为，所以直线与在上有一个交点且取值范围为故D正确
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、【考查知识点】必修第一册：三角函数的性质
【难度系数】0.82
【答案】或
【解析】因为函数，关于对称，
所以，，
，当时，；当时，
14、【考查知识点】选择性必修第三册：二项展开式
【难度系数】0.86
【答案】90
【解析】
15、【考查知识点】选择性必修第一册：直线与圆的位置关系；选择性必修第二册：导数的几何意义
【难度系数】0.67
【答案】
【解析】，设在曲线上的切点坐标为，所以切线方程为，曲线上的圆心到切线方程的距离为，所以切线方程为
16、【考查知识点】选择性必修第二册：数列
【难度系数】0.47
【答案】64
【解析】对于此题，我们先从简单的算起．
当时，则最多能表示共1个数字；当时，则，最多能表示，，共3个数字；当时，则，，最多能表示，，，，，共6个数字；
当时，则，，…，最多能表示个数字；
∴
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17、【考查知识点】必修第二册：平面向量的应用、解三角形、正弦定理、余弦定理
【难度系数】0.67
【解析】（1）若选择①证明：
证法一：三角形外接圆法
设的外接圆的圆心为，半径为，如图．
由图（1）知，当为锐角时，，．
∴由图（2）知，当为钝角时，．，∴．
如图（3），当时，
∴对于任意三角形都有．同理，．∴
证法二：向量法
以作为原点，以射线的方向为轴的正方向建立直角坐标系，在轴上的投影为，如下图所示
∵向量与在轴上的投影均为，即，，∴，即
同理，，∴
以同样的方式可以证明为锐角或直角时定理同样成立，∴
若选择②证明：
2．证法一：建系法
以点为原点，的边所在直线为轴，建立直角坐标系
则，，．
由两点间的距离公式得，即．
同理可证，，．
证法二：解析法
当为锐角三角形时，过作于．
则，．
在Rt中，，即
所以．
同理可证，．
当为钝角三角形时，过作垂直于的延长线于，则
，，
在Rt中，，即．
所以
（2）
∵
18、【考查知识点】选择性必修第二册：等差数列、等比数列的通项公式与求和公式
【难度系数】0.69
【解析】（1）设
由题意得
∴．
（2）．
先求奇数项的和：
，，，引入
再求偶数项的和：
，，，
∴．
19、【考查知识点】必修第二册：立体几何初步；选择性必修一：空间向量与立体几何
【难度系数】0.82
【解析】(1)三角形的面积为4，所以，
因为，E，F，H分别为，，的中点，
且过平面外一点做与已知平面垂直的直线有且只有一条，故平面
当时，为中点，∴在平面上的投影为的一部分．
∵
（2）
（3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系设的横坐标为a，∴，，，
所以，设平面法向量
所以，
令∵
∴
∴
20、【考查知识点】选择性必修第三册：计数原理、随机变量及其分布；选择性必修第二册：数列
【难度系数】0.44
【解析】（1）
∴有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联．
（2）求导得，，，
，．
当时，①
，②
2×①＋②，得．
从而．
（3），所以，．③由②，有，又，所以，．
由③，有，
故，．
的概率分布列为：
则，．
21、【考查知识点】选择性必修第一册：圆锥曲线
【难度系数】0.68
【解析】
（1）由仿射变换得：，，则椭圆变为
设原斜率分别为，，，变换后为，，所以
设变换后的坐标系动点，过点的直线为
到原点距离为
即
由韦达定理得：，化简得：
由于原坐标系中，，
所以在原坐标系中轨迹方程为：，
所以．
（2）因为，且
两边同乘得，．
所以
22、【考查知识点】选择性必修第二册：一元函数的导数及其应用
【难度系数】0.34
【解析】（1）
由题意可知：f（x）在x＝e处取到极值，所以．
（2）可看做过和的两条割线，且两条割线交于极值点
所以设，；、与交点横坐标分别为，
联立与得；同理得：
令，所以
令，
对讨论可得，所以在上先单调递增再单调递减
又因为，，所以在恒成立
所以；同理：，
所以

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