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南洋模范学校2022-2023学年高二上学期期末考试
数学试卷
2023.01.05
一、填空题（每题3分）
1.小陈掷两次骰子都出现6的概率为______.
2. 从中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.
3. 若等比数列的前n项和，则______.
4. 若数列满足.若，则______.
5. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg）：
56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83
据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg.
6. 已知为等差数列，，，以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是______.
7. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______万元.
家庭年收入（单位：万元）
频率f 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07
8. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知佑老师和Lisa老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.
9. ，，，使，，成等差数列的自然数n的所有可能的值为______.
10. 已知，则数列前2m项之和为______.
11. 已知数列满足，，若对任意的正整数n均有，则实数m的最大值是______.
12. 设数列满足，，记，则使得成立的最小正整数n是______.
二、选择题（每题4分）
13. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A. ①用简单随机抽样法；②用系统抽样法；
B. ①用分层抽样法；②用简单随机抽样法；
C. ①用系统抽样法；②用分层抽样法；
D. ①用分层抽样法；②用系统抽样法.
14. 已知数据，，…，（，）是上海普通职工n个人的年收入，这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）
A. 年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变；
B. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大；
C. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变；
D. 年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变.
15. 对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A. ，，成等比数列 B. ，，成等比数列
C. ，，成等比数列 D. ，，成等比数列
16. 已知数列，满足，，，，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题
17.（本题6分）某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量（单位：g）如下：
124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、
121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；
求：20罐茶叶的平均质量和标准差s.（精确到0.01）
18.（本题6分）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率.
19.（本题10分）设等差数列的前n项和为，且.
（1）若，求的公差；
（2）若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.
20.（本题12分）已知等差数列的公差为d，且关于x的不等式的解集为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前n项和.
21.（本题14分）已知数列满足，.
（1）写出数列的前四项；
（2）判断数列的单调性；
（3）求证：.
南洋模范学校2022-2023学年高二上学期期末考试
参考答案
一、填空题
1.【答案】
2.【解析】这两个元素的积是6的倍数的有，，，，
则这两个元素的积不是6的倍数的概率为.
3.【解析】，由等比数列的性质，.
4.【解析】，，，，周期为3，则.
5.【解析】，故第75百分位数为第13个数据，为69kg.
6.【解析】设公差为d，则，所以，
，所以，所以，
所以，，则使得达到最大值的n是20.
7.【答案】6.5
8.【解析】设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，
则连续的三天分别为123，234，345，456，567，共5种情况，
所以张老师与李老师随机选择的总数为种情况，
两人选择的日期恰好都不相同的分别为，，，，，共6种情况，
所以所求事件的概率为.
9.【解析】，，，由，
得，即，解得.
10.【解析】
.
11.【解析】法一：，
若，则，
所以，
所以，当时，，
得，又，得，
因为，故，符合题意，
所以实数m的最大值是2.
法二：一方面，当时，，
得，又，得，
因为，故；
另一方面，若，则，
得递推数列无不动点，由蛛网图得，当，，
综上，实数m的最大值为2.
12.【解析】因为，又，所以，
故数列为严格递增数列，则，
由得，
进而有，
进而有，有，
所以，
所以，，
所以，所以，
综上，，，要使的正整数n的最小值为2025.
二、选择题
13. B 14. B
15.【解析】记的首项为，公比为，
则，，，
故当时，A、B选项均不正确；
，，当时，C也不正确；
，，故D选项正确.
故选D.
20.【解析】（1）由题意得，方程的两个根分别为－1和3，
则，解得，
故数列的通项公式为，.
（2）由（1）得，故①，
②，
两式相减得，
整理得，.
21.【解析】（1），，，.
（2）因为，，所以，所以有，
故为严格增数列.
（3）用数学归纳法：
当时，有明显成立；
当时，假设命题成立，，
所以当时，只需要证明成立即可.
先证明左边：
由于随k的增大而增大，所以有，
只需证，两边平方，
化简得，明显成立.
再证右边：
由于随k的增大而增大，所以有，
只需证，
两边平方，
化简得，
进一步化简，
再平方，左边，
右边，明显右边大于左边.
综上所述，原命题成立，即.

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