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3．1.2　函数的表示法
知识点一　函数的表示方法
知识点二　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空
集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
【题型目录】
题型一、函数的表示方法
题型二、求函数解析式
命题点 1 已知函数类型求解析式
命题点 2 换元法求解析式
命题点 3 配凑法求解析式
命题点 4 函数方程组法求解析式
命题点 5 赋值法求抽象函数的解析式
题型三、分段函数求值
题型一、函数的表示方法
1．某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3
此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？
2．某人去上班，先快速走，后中速走．如果 y 表示该人离单位的距离， x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合
此人走法的是（ ）
A． B． C． D．
题型二、求函数解析式
命题点 1 已知函数类型求解析式
3．(1)设 f x 是一次函数，且 f f x 4x 3，求 f x 的解析式.
(2)已知 f (x) 是一次函数，且满足 2 f (x 3) f (x 2) 2x 21，求 f (x) 的解析式；
(3)已知 f (x) 为二次函数，且满足 f (0) 1, f (x 1) f (x) 4x ，求 f (x) 的解析式.
命题点 2 换元法求解析式
4．根据条件，求函数解析式 f x .
（1） f x 1 x2 3x 2 ；
（2） f x 2 2x 3；
1 1
（3）已知 f ( x ) x3 3 ，求 f (3) .x x
命题点 3 配凑法求解析式
5．已知 f 2x 1 4x2 3，则 f x （ ）．
A． x2 2x 4 B． x2 2x C． x2 2x 1 D． x2 2x 3
6．已知以下条件，求函数解析式 f x .
（1） f
1 2 1
x x ；
x x2
f x 1 x2 1（2） ；
x x2
（3） f
x2 1 1 2 x
4
x x4
命题点 4 函数方程组法求解析式
7．若函数 f x 满足 f x 2 f 1 2x 1，则 f 2 （x ）
1
A B 2
8
． ． C． D 1．
3 3 3 2
8 f x 3 f x f 1 2x2．已知函数 满足 ，求函数 f x 的解析式．
x
9．已知 f x 满足 2 f x f x 3x ，求 f x 的解析式.
命题点 5 赋值法求抽象函数的解析式
10．已知函数 f (x) 对一切的实数 x ， y ，都满足 2 f (x y) f (x y) x2 y2 6xy x 3y 2，且 f (0) 2 .
（1）求 f (2) 的值；
（2）求 f (x) 的解析式；
（3）求 f (x) 在 3,1 上的值域.
11．已知 f 0 1，对于任意实数 x，y，等式 f x y f x y 2x y 1 ，求 f x 的解析式.
题型三、分段函数求值与解不等式
2
x 1, x 1
f x 3 12．设 2 ，则 f2x 3x 1, x 1
f 的值为（2 ）
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
x 5, x 1
13．已知函数 f x 2
x x 6, x 1
(1)若 f 2 及 f f 1 的值；
(2)若 f x 4，求 x 的取值范围.
2x, x 0
14．已知函数 f (x)

x2 2x, x 0
.
(1)解方程： f (x) =3；
(2)解不等式： f (x) 8.
x(x 4), x 0
15．已知 f (x)
x, x 0
．
(1)求 f f 2 ；
(2)若 f a 3，求 a 的取值范围；
(3)若其图像与 y b有三个交点，求 b 的取值范围．
1．函数 y f x 的图象如图所示，则 f 9 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．某种笔记本每个 5 元，买 x（x∈{1，2，3，4}）个笔记本的钱数记为 y（元），试写出以 x 为自变量的函数 y 的解
析式，并画出这个函数的图象.
1 1
3 2．若函数 f x x 2 ，且 f m 4 ，则实数m 的值为（x x ）
A． 6 B． 6 或 6 C． 6 D．3
4．（1）已知 f x 1 x 2 x ，求 f x 的解析式；
（2）已知函数 f x 是二次函数，且 f 0 1， f x 1 f x 4x ，求 f x 的解析式．
5．求下列函数解析式：
（1）已知 f x 是一次函数，且满足3 f x 1 f x 2x 9，求 f x ；
（2）已知 f x 1 x2 4x 1，求 f x 的解析式．
6．（1）已知 f x 2 x 4 x ，求函数 f x 的解析式；
（2）已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 1， f x 1 f x 2x ，求函数 f x 的解析式；
（3）已知 f x 2 f x x2 x，求函数 f x 的解析式；
（4）已知 f x 的定义在 R 上的函数， f 0 1，且对任意的实数 x，y 都有 f x y f x y 2x y 1 ，求函数
f x 的解析式．
7．求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数 f x 满足 f 0 1，且 f x 1 f x 2x ；
（2）已知函数 f x 满足： f x 1 x 2 x ；
1
（3）已知函数 f x 满足： f x 2 f x 3x .
8．已知函数 y f x 满足：对一切实数 a、b，均有 f a b f b a a 2b 1 成立，且 f 1 0．
(1)求函数 y f x 的表达式；
(2)解不等式 f x 3 4．
2x 1, x 1
9．已知函数 f (x)
x
2 3, x 1
(1)求 f ( f (
1))，
2
(2)若 f (a) 1，求实数 a的取值范围.
2
, x 0
x
10．已知函数 f x x,0 x 2 ．

1 x 3, x 2
2
(1)求 f 0 ， f f 2 ；
(2)若 f m 1，求m 的值；
(3)作出函数 f x 的图象．
1．已知函数 y f (x) ，部分 x 与 f (x) 的对应关系如表：则 f ( f (4)) （ ）
x 3 2 1 0 1 2 3 4
f (x) 3 2 1 0 0 1 2 3
A． 1 B． 2 C． 3 D．3
2．已知 f x 1 x 4 ，则 f f 0 （ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
3．已知 f x 2 x ，则有（ ）
A． f x (x 2)2 x 0 B． f (x) (x 2)2 (x 2)
C． f x (x 2)2 x 0 D． f x (x 2)2 x 2
4．已知函数 f(x)满足 f(x)＋2f(3－x)＝x2，则 f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
1
B．f(x)＝ x2 －4x＋6
3
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
5．已知函数 f x 满足 f x 1 2 f

3x ，则 f 2 等于（x ）
A． 3 B．3 C． 1 D．1
2x2 1, x 1,

6．已知函数 f (x) 3 则 f f 3 （ ）

, x 1.
x
3
A． B．3 C．1 D．19
19
x
2 a, x 0,
7．已知函数 f x x 若 f f 1 4，且 a 1，则a （ ）
2 , x 0.
1
A． B．0 C．1 D．2
2
2
8 1 x．（多选）若函数 f 1 2x
x2
(x 0) ，则（ ）
A． f
1
15 B． f 2
3

2 4
2
C． f x
4
1(x 0) f 1 4x 1(x 0且x 1)
x 1 2 D． x x 1 2
x2 , 2 x 1
9．（多选）已知函数 f (x) ，关于函数 f (x) 的结论正确的是（ ）
x 2, x 1
A． f (x) 的定义域为 R B． f (x) 的值域为 ( , 4]
C．若 f (x) 2 ，则 x 的值是 2 D． f (x) 1的解集为 ( 1,1)
x 2, x 110．（多选）已知函数 f x x2 1, 1 x 2，关于函数 f(x)的结论正确的是（ ）
A．f(x)的定义域是 R B．f(x)的值域是 ,5
C．若 f(x)=3，则 x 的值为 2 D．f(x)图象与 y=2 有两个交点
11．已知函数 f(x)满足 3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则 f(x)的解析式为___________.
12．已知 f ( x ) x2 2x ，则函数 f x 的解析式为____．
13．若函数 f (x) 满足 x, y R, f (xy) f (x) f (y)，写出一个符合要求的解析式 f (x) _________．
14．设函数 f x 是R → R 的函数，满足对一切 x R ，都有 f x xf 2 x 2，则 f x 的解析式为
f x ______．

2x
2 1，x 0
15．已知函数 f x f 4 ___________. f x 3 , x 0
，则

x2 4，x 0
16．已知函数 f (x) x ，则不等式 f x 4的解集为______．
2 ，x 0
x
2 5, x 2
17．已知函数 f x x 4 m, x 2 ．若 f [ f ( 7)] 5，则
m=______．

3x 1, x 2,
18．已知函数 f (x)
2 x2 ax, x 若
f f 6 ，则实数a ________， f 2 ________．
2,
3


19．（1）已知 f x x2 6x f 1 ，求 的解析式
x
（2）已知函数 f x 是二次函数，且 f 0 1, f x 1 f x 2x，求 f x ；
20．求下列函数解析式：
（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
（2）已知 满足 ，求 ．
21 1 f x x2．（ ）已知 ，求 f 2x 1 的解析式；
（2）已知 f x 2 x 4 x ，求函数 f x 的解析式；
（3）已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 1， f x 1 f x 2x ，求函数 f x 的解析式；
（4）已知 f x 2 f x 2x 3，求 f x 的解析式．
22．（1）二次函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) 3x且 f (0) 1求 f (x) 的解析式；
（2）已知3 f (
1) f (x) x(x 0), 求 f (x).
x
23．求下列函数的解析式
（1）已知 f x 是一次函数，且满足3 f x 1 2 f x 1 2x 17，求 f x ；
（2）若函数 f x 1 x 1，求 f x ．
24．（1）已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x) 的解析式。
（2）已知 f (x) 是一次函数，且满足3 f (x 1) 2 f (x) 2x 9．求 f (x) ．
2 f (x) f 1（3）已知 f (x)

满足 x
3x，求 f (x) ．

1 x，x＜0
26．已知函数 f x x ．
2 ，x 0
(1)求 f 2 f 1 的值；
(2)若 f x 4，求 x 的值．
27．作出下列函数的图象：
(1) f x x 1 x 1 ；
x2 4x 3, x 0
(2) f x 0, x 0 ．
2
x 4x 3, x 0
3x 5, x 0
28．已知函数 f x 的解析式 f x x 5,0 x 1.

2x 8, x 1
f f 1 (1)求 ；
2
(2)若 f a 2，求 a 的值；
(3)画出 f x 的图象，并写出函数 f x 的值域（直接写出结果即可）.
3 x2 , x [ 1,2]
29．已知函数 f (x) ．
x 3, x (2,5]
(1)在如图给定的直角坐标系内画出 f (x) 的图象；
(2)写出 f (x) 的单调递增区间；
(3)求不等式 f (x) 1的解集．
x, x 0,2

30．已知函数 f x 4 ，
, x 2,4 x
(1)在图中画出函数 f x 的大致图象；
(2)写出不等式 f x 1的解集.
x2 , x 0
31．已知函数 f (x) ．
4 2x, x 0
(1)画出函数 f (x) 的图象；
(2)当 f (x) ≥2 时，求实数 x 的取值范围．3．1.2　函数的表示法
知识点一　函数的表示方法
知识点二　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空
集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
【题型目录】
题型一、函数的表示方法
题型二、求函数解析式
命题点 1 已知函数类型求解析式
命题点 2 换元法求解析式
命题点 3 配凑法求解析式
命题点 4 函数方程组法求解析式
命题点 5 赋值法求抽象函数的解析式
题型三、分段函数求值
题型一、函数的表示方法
1．某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的站数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
票价 1 1 1 2 2 2 3 3 3
此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？
【分析】根据题意，可知该函数关系除了图表法之外，还可以用解析式法和图象法表示.
【详解】解：根据题意，可知除了图表法之外，还可以用解析式法和图象法表示，
1，x 1，2，3

解析式法：设票价为 y 元，站点的个位为 x ，则 y 2，x 4，5，6 .

3，x 7，8，9
图象法：
2．某人去上班，先快速走，后中速走．如果 y 表示该人离单位的距离， x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合
此人走法的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及排除法即可求解.
【详解】当 x 0时，距离单位最远，不可能是 0 ，排除 A，C，先快速走，后中速，则 y 随 x 的变化慢，排除 B，
故选：D．
题型二、求函数解析式
命题点 1 已知函数类型求解析式
3．(1)设 f x 是一次函数，且 f f x 4x 3，求 f x 的解析式.
(2)已知 f (x) 是一次函数，且满足 2 f (x 3) f (x 2) 2x 21，求 f (x) 的解析式；
(3)已知 f (x) 为二次函数，且满足 f (0) 1, f (x 1) f (x) 4x ，求 f (x) 的解析式.
【答案】(1) f x 2x 1或 f x 2x 3；（2） f (x) 2x 5；（3） f (x) 2x2 2x 1.
【详解】(1)设 f x ax b a 0 ，则
f f x af x b a ax b b a2x ab b=4x 3 ,
a2 4 a 2 a 2
所以 ，解得ab b 3 b 1
或

，
b 3
所以函数 f x 的解析式为 f x 2x 1或 f x 2x 3 .
(2)设 f (x) ax b(a 0) ，
则 2 f (x 3) f (x 2)
2[a(x 3) b] [a(x 2) b]
2ax 6a 2b ax 2a b
ax 8a b
2x 21，
所以 a 2,b 5,
所以 f (x) 2x 5.
(3)因为 f(x)为二次函数，
设 f (x) ax2 bx c(a 0) .
由 f (0) 1，得 c 1 .
又因为 f (x 1) f (x) 4x，
所以 a(x 1)2 b(x 1) c (ax2 bx c) 4x，
整理，得 2ax a b 4x ，求得 a 2,b 2,
所以 f (x) 2x2 2x 1.
命题点 2 换元法求解析式
4．根据条件，求函数解析式 f x .
（1） f x 1 x2 3x 2 ；
（2） f x 2 2x 3；
f ( x 1 3 1（3）已知 ) x f (3)x3 ，求 .x
【答案】（1） f x x2 5x 6；（2） f x 2x2 8x 11 x 2 ；（3）322.
【分析】（1）设 t x 1，则 x t 1，把 x 代入函数解析式化简后，把 t 换成 x ；
（2 2）设 x 2 t ，则 x t 2 ，把 x 代入函数解析式化简后，把 t 换成 x .
【详解】解：（1）设 x 1 t ，则 x t 1，
得 f t t 1 2 3 t 1 2 t 2 5t 6
2
所以 f x x 5x 6；
2
（2）设 x 2 t ，则 t 2，得 x t 2 ，
2
则 f t 2 t 2 3 2t 2 8t 11 t 2
所以 f x 2x2 8x 11 x 2 ；
1
（3）令 x t ，两边平方得 x
1 1
2 t 2 2，得 x t 2，
x x x
2 1
上式两边平方得 x 2 （t
2 2）2 2，
x
x3 1 x 1 1 1 （ ） x2 x （t 2 2
2
故
x3 x 2
2） t 2 3
x x
,
2 2 2
即 f t （t 2） t 2 3 ，
2
故 f 3 （32 2） 3
2 2 3 322
.
命题点 3 配凑法求解析式
5．已知 f 2x 1 4x2 3，则 f x （ ）．
A． x2 2x 4 B． x2 2x C． x2 2x 1 D． x2 2x 3
【答案】A
【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式.
【详解】因为 f 2x 1 4x2 3 2x 1 2 2 2x 1 4，
所以 f x x2 2x 4．
故选：A
6．已知以下条件，求函数解析式 f x .
f x 1 1（1 2） x ；
x x2
f x 1 x2 1（2） ；
x x2
1 1
（3） f x
2 2 x
4
x x4
1 f x x2【答案】（ ） 2，x , 2 2, ；（2） x2 2；（3） x2 2 ， x 2,
2
【详解】（1）∵ f (x 1 1 1 ) x2
x x2
x
x
2

1
由勾型函数 y x 的性质可得，其值域为 , 2 2,
x
2
所以 f x x 2，x , 2 2, ；
2
（2 ） x
1
x2 1
x x2
2，
f x 1 1 x2 x 1
2

因为
x x2
x
2

2
所以 f x x 2，
故答案为： x2 2 .
2
3 f x2 1 （ ） x4 1 1 2 4
x2
x x

x2
2

又 x2 1 2 x2 1 2 x2
1

2 2 当且仅当 2 ，即 x 1时等号成立.x x x
t x2 1设 2 ，则 t 2 f t t 2，所以 2 t 2 x
所以 f x x2 2 x 2
故答案为： x2 2 ， x 2,
命题点 4 函数方程组法求解析式
7．若函数 f x 满足 f x 1 2 f 2x 1，则 f 2 （ ）
x
1 2 8A． B． 3 C． D
1
．
3 3 2
【答案】A
【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式，从而求 f 2 的值.
【详解】因为函数 f x 满足 f x 2 f 1 2x 1 ---①
x
所以 f
1
2 f x
2
1 ---②
x x

f x 2 f
1
2x 1
x f x 4 2x 1联立①②，得 ，解得 ，
f 1 2 f x 2 3x 3 3 1 x x
f 2 4 4 1 1∴
6 3 3 3
故选：A
8．已知函数 f x 满足3 f x f 1 2 2x ，求函数 f x 的解析式．
x
3 1
【答案】 f x x2 2 （ x 0）．4 4x
1 1
【分析】以 代换 x，将所得等式与原式联立消去 f ( )可求函数 f x 的解析式．
x x
【详解】3 f x f 1 2x2 ，①
x
1 1
以 代换 x

，得3 f f x
2
2 ，②x x x
由①②两式消去 f
1


，得 f x
3 x2 1 （ x 0）．
x 4 4x2
9．已知 f x 满足 2 f x f x 3x ，求 f x 的解析式.
【答案】 f x 3x
【分析】（4）将 x 用 x 替换,由方程消元法可得答案.
【详解】(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴将 x 用 x 替换，得 2 f x f x 3x ，②
由①②解得 f(x)=3x.
命题点 5 赋值法求抽象函数的解析式
10．已知函数 f (x) 对一切的实数 x ， y ，都满足 2 f (x y) f (x y) x2 y2 6xy x 3y 2，且 f (0) 2 .
（1）求 f (2) 的值；
（2）求 f (x) 的解析式；
（3）求 f (x) 在 3,1 上的值域.
【答案】（1） f (2) 4
9
；（2） f (x) x2 x 2

；（3） , 4 ． 4
【分析】（1）令 x y 1，则 2 f (2) f (0) 10 即可求 f (2) ；
（2）令 y 0 代入式子即可求解 f (x) 的解析式；
（3）由（2）知 f (x) x2 x 2，根据二次函数性质即可求解．
【详解】（1）令 x y 1,则 2 f (2) f (0) 1 1 6 1 3 2 10, f (0) 2, f (2) 4;
（2）令 y 0 则 2 f (x) f (x) x2 x 2, f (x) x2 x 2；
（3） f (x)
1
对称轴为 x 1,3 ，
2
f (x) 9min , f (x)max 4，4
f (x) 9 , 4 ． 4
11．已知 f 0 1，对于任意实数 x，y，等式 f x y f x y 2x y 1 ，求 f x 的解析式.
【答案】 f x x2 x 1
【分析】对恒等式 f x y f x y 2x y 1 利用赋值法，赋值代入求出 f x 的解析式.
【详解】对于任意实数 x、y，等式 f x y f x y 2x y 1 恒成立，
不妨令 x 0，则有 f y f 0 y y 1 1 y y 1 y2 y 1
再令 y x，得函数解析式为： f x x2 x 1.
题型三、分段函数求值与解不等式
2x 1, x 1
f x f 3 12．设 2 ，则 f 的值为（2 ） 2x 3x 1, x 1
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式求解即可.
x 1 2
【详解】因为 f x
2 , x 1 3 2 ，所以 f
3
2
3 3 3 1 1，所以 f f f 1 2
1 1 1
2x 3x 1, x 1 2 2 2 2
故选：C
x 5, x 1
13．已知函数 f x
x
2 x 6, x 1
(1)若 f 2 及 f f 1 的值；
(2)若 f x 4，求 x 的取值范围.
【答案】(1) f 2 4； f f 1 6；(2) 1,2
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式分类讨论，分别计算，最后取并集即可；
【详解】(1)因为 f
x 5, x 1
x ，所以 f 2 4， f 1 1 5 4 2， f f 1 f 4 4 4 6 6
x
2 x 6, x 1
x 1 x 1
(2) f x 4
x 5 4
或
x
2 x 6 4
解得： 1 x 1或1 x 2
所以 x 的取值范围是 1,2
2x, x 0
14．已知函数 f (x) 2
x 2x, x 0
.

(1)解方程： f (x) =3；
(2)解不等式： f (x) 8.
3
【答案】(1) x 3或 x ；(2) , 4 4,
2
【分析】（1）根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得；
（2）根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得；
2x, x 0 x 0 2x 3
【详解】(1)因为 f (x) 2 ，且 f (x) 3，所以 2 或 ，解得 x 3
3
或 x
x 2x, x 0 x 2x 3 x 0 2
2x, x 0 x 0 2x 8
(2)因为 f (x)

2 f (x) 3
x 2x, x 0
，且 ，所以 或
2 x 2x 8 x 0
，
x 0 2x 8
解 x2
x 4
2x 8得 ，解 得
x 4
x 0 ，综上可得原不等式的解集为
, 4 4,

x(x 4), x 0
15．已知 f (x)
x, x 0
．
(1)求 f f 2 ；
(2)若 f a 3，求 a 的取值范围；
(3)若其图像与 y b有三个交点，求 b 的取值范围．
【答案】(1) f ( f ( 2)) f (4) 4；(2) a 3, 1 3, ；(3) 0 b 4
【分析】（1）根据分段函数解析式直接求解；
（2）根据函数解析式，分段讨论，解不等式即可；
（3）作出函数图象，数形结合即可.
x(x 4), x 0
【详解】(1)根据题意， f (x)
x, x
，
0
则 f ( 2) ( 2) ( 2 4) 4，
则 f ( f ( 2)) f (4) 4；
(2)对于 f a 3，
当 a 0时， f a a 3，即 a 3，符合题意；
当 a 0时， a2 4a 3 0，解得 3 a 1；
综上可得 a 3, 1 3, ；
x x 4 ，x 0(3)作出 f x 的图象，如图，
x ，x 0
由图象可知，当0 b 4时，与 y=b 有三个交点.
1．函数 y f x 的图象如图所示，则 f 9 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】有图像可知，当 x 9 时， y 3，即可求解 f 9 .
【详解】有图像可知，当 x 9 时， y 3，故 f 9 3 .
故选：C.
2．某种笔记本每个 5 元，买 x（x∈{1，2，3，4}）个笔记本的钱数记为 y（元），试写出以 x 为自变量的函数 y 的解
析式，并画出这个函数的图象.
【答案】 y 5x, x {1, 2,3,4}，图象答案见解析
【分析】根据已知条件求得函数解析式，并画出图象
【详解】依题意： y 5x, x {1,2,3,4}，
图象为：
3 f x
1

1
．若函数 x
2 2 ，且 f m 4 ，则实数m 的值为（ ） x x
A． 6 B． 6 或 6 C． 6 D．3
【答案】B
x 1【分析】令 t 2，配凑可得 f t t 2，再根据 f m 4 求解即可
x
1 2
【详解】令 x t （ t 2或 t 2）， x2 1 1 2

x
2 t 2 2， f t t
2 2 2， f m m 2 4，
x x x
m 6 .
故选；B
4．（1）已知 f x 1 x 2 x ，求 f x 的解析式；
（2）已知函数 f x 是二次函数，且 f 0 1， f x 1 f x 4x ，求 f x 的解析式．
【答案】（1） f (x) x2 1(x 1) ；（2） f (x) 2x2 2x 1 .
【分析】（1）令 t x 1，利用换元法即可求解；
（2）设 f (x) ax2 bx c 0(a 0)，根据已知条件列方程组求解即可.
【详解】解：（1）令 t x 1，则 t 1， x t 1 2 ，
因为 f x 1 x 2 x ，所以 f (t) t 1 2 2 t 1 t 2 1，
所以 f (x) x2 1(x 1) .
（2）设所求二次函数为 f (x) ax2 bx c 0(a 0)，
∵ f (0) 1，∴ c 1，
∴ f (x) ax2 bx 1 0, (a 0) ，
又∵ f (x 1) f (x) 4x，
∴ a(x 1)2 b(x 1) 1 ax2 bx 1 4x，即 2ax a b 4x，
2a 4 a 2
所以 ，即 ，
a b 0

b 2
f (x) 2x2 2x 1.
5．求下列函数解析式：
（1）已知 f x 是一次函数，且满足3 f x 1 f x 2x 9，求 f x ；
（2）已知 f x 1 x2 4x 1，求 f x 的解析式．
【答案】（1） f x x 3 2 f x x2；（ ） 2x 2
【分析】（1）设出一次函数解析式，然后代入3 f (x 1) f x 2x 9，由系数相等列式求解 a，b 的值，则答案可
求；
（2）利用换元法，设 x＋1＝t ，则 x＝t 1，代入可得 f t ，继而可得函数解析式.
【详解】（1）由题意，设函数为 f x ax b a 0 ，
∵ 3 f (x 1) f x 2x 9，∴ 3a(x 1) 3b ax b 2x 9 ，
2a 2
即 2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性质，得
3a 2b 9
∴ a＝1，b＝3，∴所求函数解析式为 f x x 3 .
（2）设 x＋1＝t ，则 x＝t 1， f t (t 1)2 4(t 1) 1，
即 f t t 2 2t 2 ∴ f x x2， 所求函数为 2x 2 .
6．（1）已知 f x 2 x 4 x ，求函数 f x 的解析式；
（2）已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 1， f x 1 f x 2x ，求函数 f x 的解析式；
3 f x 2 f x x2（ ）已知 x，求函数 f x 的解析式；
（4）已知 f x 的定义在 R 上的函数， f 0 1，且对任意的实数 x，y 都有 f x y f x y 2x y 1 ，求函数
f x 的解析式．
【答案】（1） f x x2 4 x 2 ；
2 f x x2（ ） x 1；
2
（3） f x x x；
3
2
（4） f x x x 1 .
【分析】（1）直接用换元法即可求得 f x 解析式.
（2）直接用待定系数法即可求得 f x 解析式.
（3）直接用构造方程组法即可求得 f x 解析式.
（4）直接用赋值法即可求得 f x 解析式.
【详解】（1）方法一 2设 t x 2，则 t 2， x t 2，即 x t 2 ，所以 f t t 2 2 4 t 2 t 2 4，所以
f x x2 4（ x 2）.
2 2
方法二 因为 f x 2 x 2 4，所以 f x x 4 x 2 ．
（2）因为 f x 是二次函数，所以设 f x ax2 bx c a 0 ．由 f 0 1，
得 c 1．
2a 2 0
由 f x 1 f x 2x ，得 a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x ，整理得 2a 2 x a b 0，所以
a
，
b 0
a 1,
所以
b 1,
f x x2所以 x 1．
（3）因为 f x 2 f x x2 x，①
所以 f x 2 f x x2 x，②
② 2 ①，得3 f x x2 3x，
2
所以 f x x x．
3
（4）方法一 令 y x ，则 f x y f 0 f x x 2x x 1 1，所以 f x x2 x 1．
方法二 令 x 0，则 f 0 y f 0 y y 1 ，即 f y y2 y 1，令 x y f x x2，则 x 1．
7．求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数 f x 满足 f 0 1，且 f x 1 f x 2x ；
（2）已知函数 f x 满足： f x 1 x 2 x ；
（3）已知函数 f x 满足： f x 2 f 1 3x .
x
1 f x x2【答案】（ ） x 1；（2） f x x2 4x 3 x 1 f x 2；（3） x x 0 .
x
【分析】（1）设 f x ax2 bx c a 0 ，由 f 0 1可求得 c的值，由 f x 1 f x 2x 可得出关于 a、b 的方
程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数 f x 的解析式；
（2）设 t x 1 1，代入 f x 1 x 2 x 化简可得函数 f x 的解析式；
（3）由已知可得出关于 f x f 1 、 x 的方程组，即可解得函数 f x 的解析式.
2
【详解】（1）设 f x ax bx c a 0 ，
f 0 c 1，因为 f x 1 f x a x 1
2 b x 1 1 ax
2 bx 1 2ax a b 2x ，
2a 2 a 1 2
所以， ，解得 ，因此， f x x x 1；
a b 0 b 1
2
（2）令 t x 1，则 t 1， x t 1 ，
代入 f x 1 x 2 x 2有 f t t 1 2 t 1 t 2 4t 3，
因此， f x x2 4x 3 x 1 ；
1 1
（3）由 f x 2 f 3x可得 f 2 f x
3
，解得 f x 2 x x 0 .
x x x x
8．已知函数 y f x 满足：对一切实数 a、b，均有 f a b f b a a 2b 1 成立，且 f 1 0．
(1)求函数 y f x 的表达式；
(2)解不等式 f x 3 4．
【答案】(1) f x x x 1 2；(2) (1,5)
【分析】（1）由题可得 f 0 2，再利用赋值法可得 f a f 0 a a 1 ，即求；
（2）由题可得 x 3 2，解之即求.
【详解】(1)由已知等式 f a b f b a a 2b 1 ，
令 a 1，b 0，得 f 1 f 0 2．又 f 1 0，所以 f 0 2．
再令b 0，可得 f a f 0 a a 1 ，即 f a a a 1 2 ．
因此，函数 y f x 的表达式为 f x x x 1 2．
(2)因为 f x x x 1 2 4的解集为 3, 2 ，
所以令 3 x 3 2，解得1 x 5，
即原不等式的解集为 (1,5)．
2x 1, x 1
9．已知函数 f (x)
x
2 3, x 1
f ( f (1(1)求 ))，
2
(2)若 f (a) 1，求实数 a的取值范围.
【答案】(1)1；(2)[0,1] [2, )
1 1 1
【分析】（1）先算 f ，得到 f2
2，再算 f ( f ( ))；
2 2
（2）分两种情况a 1与 a 1，求出 a得取值范围.
1 1 1 1
【详解】(1)

因为 1，所以 f 1 1 2，所以 f ( f ( )) f (2) 4 3 1 f ( f ( )) 1；2 2 2 2
a 1 a 1
(2)由题意可得： 2a 1 1或 a2 3 1解得：
0 a 1或 a 2

综上所述：实数 a的取值范围为：[0,1] [2, ) .
2
, x 0
x
10．已知函数 f x x,0 x 2 ．

1 x 3, x 2
2
(1)求 f 0 ， f f 2 ；
(2)若 f m 1，求m 的值；
(3)作出函数 f x 的图象．
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，画出函数图象即可；
2
, x 0x
【详解】（1）因为 f

x x,0 x 2

1 x 3, x 2
2
所以 f 0 0， f 2 1 2 3 2，
2
2
f f 2 f 2 1．
2
（2）当m 0时， f m 2 1， m 2 ，
m
当0 m 2时， f m m 1， m 1，
当m 2 时， f m 1 m 3 1， m 4，
2
综上所述，m 的值为 2或1或 4．
（3）函数 f (x) 的图象，如图所示：
1．已知函数 y f (x) ，部分 x 与 f (x) 的对应关系如表：则 f ( f (4)) （ ）
x 3 2 1 0 1 2 3 4
f (x) 3 2 1 0 0 1 2 3
A． 1 B． 2 C． 3 D．3
【答案】D
【分析】直接根据表格中所给数据，即可求出结果．
【详解】由表知 f (4) 3， f ( 3) 3，则 f ( f (4)) f ( 3) 3．
故选：D．
2．已知 f x 1 x 4 ，则 f f 0 （ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 12
【答案】B
【分析】先求出 f (x) ，代入求值即可.
【详解】 f (x 1) (x 1) 5 ， f (x) x 5， f ( f (0)) f (0 5) f ( 5) 5 5 10 ，
故选：B
3．已知 f x 2 x ，则有（ ）
A． f x (x 2)2 x 0 B． f (x) (x 2)2 (x 2)
C． f x (x 2)2 x 0 D． f x (x 2)2 x 2
【答案】B
【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
2
【详解】设 x 2 t ， t 2，则 x t 2 ，
f t (t 2)2 ， t 2，
所以函数 f x 的解析式为 f x (x 2)2 ， x 2 ．
故选：B.
4．已知函数 f(x)满足 f(x)＋2f(3－x)＝x2，则 f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
1
B．f(x)＝ x2 －4x＋6
3
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
【答案】B
【分析】用3 x 代替原方程中的 x ，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】用3 x 代替原方程中的 x 得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
f (x) 2 f (3 x) x2
∴
f (3 x) 2 f (x) x
2 6x 9
消去 f (3 x) 得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
f (x) 1 x2 4x 6 .
3
故选：B
1
5．已知函数 f x 满足 f x 2 f 3x ，则 f 2 等于（x ）
A． 3 B．3 C． 1 D．1
【答案】A
【分析】由方程组法求出 f x ，代值运算即可.
【详解】 f x 2 f 1
3x f 1 3 ①，则 2 f x ②，联立①②解得 f x
2
x 2，则 f 2 2 3
x x x x 2
,
故选：A
2x2 1, x 1,

6．已知函数 f (x) 3 则 f f 3 （ ）
, x 1. x
3
A． B．3 C．1 D．19
19
【答案】B
【分析】根据解析式代入求解即可
【详解】 f f 3 f 3 f 1 2 1 3
3
故选：B
x2 a, x 0,
7．已知函数 f x 2x 若
f
, x 0.
f 1 4，且 a 1，则a （ ）

1
A． B．0 C．1 D．2
2
【答案】C
【分析】根据函数的解析式求出 f ( 1) 1 a ，结合1 a 0即可求出 f [ f ( 1)]，进而得出结果.
【详解】由题意知，
f ( 1) ( 1)2 a 1 a，
又 a 1，所以1 a 0，
所以 f [ f ( 1)] f (1 a) 21 a 4，
解得 a 1 .
故选：C
2
8 1 x．（多选）若函数 f 1 2x 2 (x 0) ，则（ ）x
f 1 3A． 15 B． f 2
2 4
4 2
C． f x 2 1(x 0)
1 4x
D． f 2 1(x 0且x 1) x 1 x x 1
【答案】AD
f x x 1【分析】由换元法求出 ，可判断 C；分别令 x 2或 可判断 A，B；求出 f 1 可判断 D.2 x
1 t 21
1 t 2 4 4
【详解】令1 2x t(t 1)，则 x ，所以 f (t)
2 1 t 2 (t 1)2
1，则 f (x) 1(x 1)
(x 1)
2 ，故 C 错误；

2
f 1 15，故 A 正确； f 2 3，故 B 错误；
2
f 1 4 1 4x
2
1
x 2 2 1 1
(x 1) （ x 0且 x 1），故 D 正确．

x
故选：AD．
x2 , 2 x 1
9．（多选）已知函数 f (x) ，关于函数 f (x) 的结论正确的是（ ）
x 2, x 1
A． f (x) 的定义域为 R B． f (x) 的值域为 ( , 4]
C．若 f (x) 2 ，则 x 的值是 2 D． f (x) 1的解集为 ( 1,1)
【答案】BC
【解析】分段讨论函数 f (x) 的定义域、值域，并分段求解方程和不等式即得结果.
x2 , 2 x 1
【详解】函数 f (x) ，定义分-2 x <1和 x 1两段，定义域是 2, ，故 A 错误；
x 2, x 1
- 2 x＜1时 f (x) x2 ，值域为 0,4 ， x 1时， f (x) x 2 ，值域为 ,1 ，故 f (x) 的值域为 ( , 4]，故 B 正确；
由值的分布情况可知， f (x) 2 在 x 1上无解，故-2 x <1，即 f (x) x2 2，得到 x 2 ，故 C 正确；
- 2 x＜1时令 f (x) x2 1，解得 x ( 1,1)， x 1时，令 f (x) x 2 1，解得 x 1, ，故 f (x) 1的解集为
( 1,1) 1, ，故 D 错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：
研究分段函数的性质时，要按照函数解析式中不同区间的对应法则分别进行研究，最后再做出总结.
x 2, x 110．（多选）已知函数 f x x2 1, 1 x 2，关于函数 f(x)的结论正确的是（ ）
A．f(x)的定义域是 R B．f(x)的值域是 ,5
C．若 f(x)=3，则 x 的值为 2 D．f(x)图象与 y=2 有两个交点
【答案】BC
【解析】利用分段函数的解析式求得定义域、值域即判断选项 AB 的正误，利用函数值求自变量即判断 CD 的正误.
x 2, x 1【详解】由函数 f x x2 1, 1 x 2知，定义域为 , 1 1,2 ，即 , 2 ，A 错误；
x 1 2 2时， f (x) x 2 ,1 ， 1 x 2时， x 0,4 ，故 f (x) x 1 1,5 ，故值域为 ,5 ，B 正确；
由分段的取值可知 f (x) 3时 x 1,2 ，即 f (x) x2 1 3，解得 x 2 或 x 2 （舍去），故 C 正确；
由分段的取值可知 f (x) 2 时 x 1,2 ，即 f (x) x2 1 2 ，解得 x 1或 x 1（舍去），故 f(x)图象与 y=2 有 1 个
交点，故 D 错误.
故选：BC.
11．已知函数 f(x)满足 3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则 f(x)的解析式为___________.
2
【答案】f(x)=2x
5
【分析】利用换元法，用方程组思想求得 f (x 1)，然后用配凑法得出 f (x) ．
【详解】根据题意 3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用 x+2 代替 x 可得 3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x 代替 x 可得 3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去 f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
12 2
∴f(x+1)=2x 2(x+1) ，
5 5
2
f(x)=2x ，
5
2
故答案为：f(x)=2x .
5
12．已知 f ( x ) x2 2x ，则函数 f x 的解析式为____．
【答案】 f (x) x4 2x2 (x 0)
【分析】利用配凑法求函数解析式.
4 2
【详解】解：因为 f ( x ) x2 2x x 2 x ( x 0)
所以 f (x) x4 2x2 (x 0) .
故答案为： f (x) x4 2x2 (x 0)
13．若函数 f (x) 满足 x, y R, f (xy) f (x) f (y)，写出一个符合要求的解析式 f (x) _________．
【答案】x(答案不唯一)
【分析】由 f (x) 满足 x, y R, f (xy) f (x) f (y)求解.
【详解】因为函数 f (x) 满足 x, y R, f (xy) f (x) f (y)，
所以 f (x) x，
故答案为：x,答案不唯一
14．设函数 f x 是R → R 的函数，满足对一切 x R ，都有 f x xf 2 x 2，则 f x 的解析式为
f x ______．
2
, x 1
【答案】 1 x
1, x 1
【分析】由 f x xf 2 x 2，得 f 2 x 2 x f x 2，利用方程组思想可求得 f x ，再求得 f 1 得值，
即可得出答案.
【详解】解：由 f x xf 2 x 2，得 f 2 x 2 x f x 2，
将 f x 和 f 2 x 2看成两个未知数，可解得 f x x 1 ，
1 x
当 x 1时， f 2 1 2 1 f 1 2 ，解得 f 1 1，
2
, x 1,综上， f x 1 x
1, x 1.
2
, x 1
故答案为： 1 x .
1, x 1

2x
2 1，x 0
15．已知函数 f x f 4 ，则 ___________. f x 3 , x 0
【答案】9
【分析】根据函数解析式直接求解即可.
【详解】解：根据题意， f 4 f 4 3 f 1 f 1 3 f 2 2 2 2 1 9
故答案为：9
x2 4，x 0
16．已知函数 f (x) x ，则不等式 f x 4的解集为______．
2 ，x 0
【答案】 ， 2 2 2，
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意可知， f x 4，
当 x 0 时， f x x2 4 4 ，解得 x 2 2 或 x 2 2 ，
因为 x 0 ，所以 x 2 2 ；
当 x 0时， f x 2x 4，解得 x 2，
综上所述，不等式 f x 4的解集为 ， 2 2 2， .
故答案为： ， 2 2 2，

x
2 5, x 2
17．已知函数 f x x 4 m, x 2 ．若 f [ f ( 7)] 5，则
m=______．

【答案】3
【分析】由分段函数定义计算 f ( 7) ，再计算 f ( f ( 7))后可得参数值．
【详解】由已知 f ( 7) 7 5 2 ．
f ( f ( 7)) f (2) 2 m 5，m 3，
故答案为：3．
3x 1, x 2, 2
18．已知函数 f (x) 2 若 f f 6 ，则实数a ________， f 2 x ax, x 2, ________． 3
【答案】 5 6
2
【分析】由题得 f f f 3 9 3a 6，进而得 a，再代入求解即可得 f 2 .
3
2 2 2
【详解】由题意得， f 3 1 3，所以 f f f 3 9 3a 6，解得 a 5 3 3 3
所以 f 2 4 5 2 6 .
故答案为： 5 ； 6 .
1
19．（1 2

）已知 f x x 6x，求 f x 的解析式
（2）已知函数 f x 是二次函数，且 f 0 1, f x 1 f x 2x，求 f x ；
1 1+6x
【答案】（1） f

2 x 0 ；（2） f (x) x2 x 1. x x
1
【解析】（1）直接将 f x 中的 x 替换为 整理化简即得；
x
（2）设 f x ax2 bx c a 0 ，根据 f 0 1求得 c的值，根据 f x 1 f x 2x 可得出关于 a、b 的方程组，
解出 a、b 的值，由此可得出函数 y f x 的解析式.
2
1 f x x2 6x f 1 1 6 1 1+6x【详解】（ ） ，则 x
x 0
x x x2
（2）设所求的二次函数为 f (x) ax2 bx c(a 0) .
∵ f (0) 1,c 1,则 f (x) ax2 bx 1 .
又∵ f (x 1) f (x) 2x,
∴ a(x 1)2 b(x 1) 1 (ax2 bx 1) 2x
即 2ax a b 2x,
2a 2, a 1,
由恒等式性质，得
a b 0,

b 1.
∴所求二次函数为 f (x) x2 x 1.
【点睛】本题考查利用代换法和待定系数法求函数解析式，解答关键（2）中的根据系数相等得出方程组求解，考
查计算能力，属于中等题.
20．求下列函数解析式：
（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 ；
（2）已知 满足 ，求 ．
1
【答案】（1） f（x）＝2x＋7 （2） f（x）＝2x－
x
【详解】试题分析：（1）已知函数为一次函数，求解解析式时采用待定系数法，设出函数式，代入已知条件可求得
系数，从而得到函数式；（2）由已知条件得到另一关系式 2 f
1 3
＋f（x）＝ ，两式联立方程组，解方程组可求
x x
解函数解析式
试题解析：（1）设 f（x）＝ax＋b（a≠0），
则 3f（x＋1）－2f（x－1）
＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f（x）＝2x＋7
1
（2）2f（x）＋f（ ）＝3x①
x
1 1 3
把①中的 x 换成 ，得 2 f ＋f（x）＝ ②x x x
3
①×2－②得 3f（x）＝6x－ ，
x
1
∴f（x）＝2x－
x
考点：待定系数法，方程法求解函数式
21 2．（1）已知 f x x ，求 f 2x 1 的解析式；
（2）已知 f x 2 x 4 x ，求函数 f x 的解析式；
（3）已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 1， f x 1 f x 2x ，求函数 f x 的解析式；
（4）已知 f x 2 f x 2x 3，求 f x 的解析式．
【答案】（1） f 2x 1 4x2 4x 1；（2） f x x2 4(x 2)；（3） f x x2 x 1；（4） f x 2x 1
【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，
（2）利用换元法或配凑法求解，
（3）利用待定系数法求解，设 f x ax2 bx c(a 0) ，然后根据已知条件列方程求出 a,b,c即可，
（4）利用方程组法求解，用－x 替换 f x 2 f x 2x 3中的 x，将得到的式子与原式子联立可求出 f (x) .
1 f x x2【详解】（ ）因为 ，所以 f 2x 1 2x 1 2 4x2 4x 1．
（2）方法一 设 t x 2，则 t 2， x t 2，即 x t 2 2，
所以 f t t 2 2 4 t 2 t 2 4 2，所以 f x x 4(x 2)．
2
方法二 因为 f x 2 x 2 4 2，所以 f x x 4(x 2)．
（3）因为 f x 2是二次函数，所以设 f x ax bx c(a 0) ．由 f 0 1，得 c＝1．
由 f x 1 f x 2x ，得 a x 1 2 b x 1 1 ax2 bx 1 2x ，
整理得 2a 2 x a b 0，
2a 2 0 a 1
所以 ，所以 ，所以 f x x2 x 1
a b 0 b 1
．

（4）用－x 替换 f x 2 f x 2x 3中的 x，得 f x 2 f x 2x 3，
f (x) 2 f ( x) 2x 3
由
2 f (x) f ( x) 2x 3
，
解得 f x 2x 1．
22．（1）二次函数 f (x) 满足 f (x 1) f (x) 3x且 f (0) 1求 f (x) 的解析式；
1
（2）已知3 f ( ) f (x) x(x 0), 求 f (x).
x
【答案】(1) f (x)
3
x2 3 x 1 1 3 (2) f (x) ( x), (x 0)
2 2 8 x
【分析】（1）根据条件设 f (x) ax2 bx 1(a 0) ，再代入已知条件化简，利用恒等式求 a,b，（2）先代换自变量得
3 f x f 1 1 ，再解方程组的结果.
x x
【详解】（1）根据条件 f 0 1设 f (x) ax2 bx 1(a 0) ，
因为 f x 1 f x 3x ，所以 a(x 1)2 b(x 1) ax2 bx 3x ，
a 32a 3 0
(2a 3)x (a b) 0 { { 2 , f (x) 3 3 x2 x 1.
a b 0 b 3 2 2
2
1
（2）因为3 f f x x
1 1 1
，所以3 f x f 3 ，因此 3 f x f x x ,
x x x x
f (x) 1 3即 ( x), (x 0) .
8 x
【点睛】本题考查求函数解析式，考查基本求解能力.
23．求下列函数的解析式
（1）已知 f x 是一次函数，且满足3 f x 1 2 f x 1 2x 17，求 f x ；
（2）若函数 f x 1 x 1，求 f x ．
【答案】（1） f x 2x 7， x R ；（2） f x x2 2， x 0, .
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）利用换元法求解.
【详解】（1）因为 f x 是一次函数，设 f x ax b, a 0 ，
则 f x 1 a x 1 b, f x 1 a x 1 b ，
所以3 f x 1 2 f x 1 ax 5a b 2x 17，
a 2 a 2
则
5a b 17
，解得
b
，
7
所以 f x 2x 7；
（2）由函数 f x 1 x 1，
令 x 1 t 0，则 x t 2 1，
所以 f t t 2 2，
所以 f x x2 2, x [0, ) .
24．（1）已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x) 的解析式。
（2）已知 f (x) 是一次函数，且满足3 f (x 1) 2 f (x) 2x 9．求 f (x) ．
1
（3）已知 f (x) 满足 2 f (x) f

3x，求 f (x) ．
x
1
【答案】（1） f (x) x2 1(x 1)；（2） f (x) 2x 3；（3） f (x) 2x .
x
【分析】（1）利用换元法，令 t x 1，代入解析式得到关于 f (t) 的表达式，进而得到 f (x) 的解析式；
（2）利用待定系数法，设 f (x) kx b，根据条件列出关于 k,b的方程，即可求得答案；
（3）利用解方程组法，即写出关于 f (x), f (
1)的方程组，从而求得 f (x)x 的解析式．
【详解】（1）令 t x 1(t 1) ，
因为 f ( x 1) x 2 x ( x 1)2 1，
所以 f (t) t 2 1(t 1)，即 f (x) x2 1(x 1) .
（2）设 f (x) kx b，则 f (x 1) kx b k ，
3 f (x 1) 2 f (x) 3(kx b k) 2(kx b) 2x 9
kx 3k b 2x 9
k 2

b
，
3k 9
k 2 ，b 3；
f (x) 2x 3．
（3） 2 f (x) f (
1
) 3x ①
x
x 1 1将①中 换成 ，得 2 f ( ) f (x)
3
②
x x x
① 2 ②得3 f (x)
3
6x ．
x
f (x) 2x 1 ．
x
【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查换元法，配凑法，待定系数法，方程组法求解析式，考查方
程思想的运用．
1 x，x＜026．已知函数 f x x ．
2 ，x 0
(1)求 f 2 f 1 的值；
(2)若 f x 4，求 x 的值．
【答案】(1)5；(2) 3或 2
【分析】（1）直接代入即可得出答案.
（2）分 x 0 和 x 0 两种情况代入 f x ，即可求出 x 的值.
【详解】(1) f 2 f 1 3 2 5 .
(2)当 x 0 时，1 x 4，解得： x 3，满足题意.
当 x 0 时， 2x 4，解得： x 2，满足题意.
所以 x 3或 x 2 .
27．作出下列函数的图象：
(1) f x x 1 x 1 ；
x2 4x 3, x 0
(2) f x 0, x 0 ．

x
2 4x 3, x 0
【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可；
（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.
2x, x 1

【详解】（1）因为函数 f x 2, 1 x 1，画出其图象如图①所示．

2x, x 1
（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示，
3x 5, x 0

28．已知函数 f x 的解析式 f x x 5,0 x 1.

2x 8, x 1
1
(1)求 f f ；
2
(2)若 f a 2，求 a 的值；
(3)画出 f x 的图象，并写出函数 f x 的值域（直接写出结果即可）.
【答案】(1) 3；(2) a 1或 a 3；(3)图象见解析， ,6
【分析】（1）根据解析式直接求解可得；
（2）根据 a 的范围分段解方程可得；
（3）根据解析式直接描点作图即可.
3x 5, x 0
【详解】（1）∵函数 f x f x 的解析式 x 5,0 x 1，

2x 8, x 1
f 1 1 11 5 f f 1 f 11 2 11∴ 2
， 8 3 .
2 2 2

2

2
3x 5, x 0

（2）∵ f x x 5,0 x 1， f a 2，

2x 8, x 1
a 0 0 a 1 a 1
∴ 3a 5 2或 a 5 2或 ，解得
a 1或 a 3 .
2a 8 2
（3）画出函数 f x 的图象如图所示：
由图可知， f x 的最大值为 f 1 6，函数 f x 的值域为 ,6 .
3 x2 , x [ 1,2]
29．已知函数 f (x) ．
x 3, x (2,5]
(1)在如图给定的直角坐标系内画出 f (x) 的图象；
(2)写出 f (x) 的单调递增区间；
(3)求不等式 f (x) 1的解集．
【答案】(1)图象见解析；(2)[ 1,0],[2,5] (3) 1, 2 4,5
【分析】（1）要利用描点法分别画出 f(x)在区间[-1,2]和 (2,5]内的图象.
（2）再借助图象可求出其单调递增区间.
（3）由图象可观察出函数值大于 1 时对应的 x 的取值集合.
【详解】(1)
(2)由图可知 f (x) 的单调递增区间[ 1,0],[2,5]；
(3)令3 x2 1，解得 x 2 或 2 （舍去）；
令 x 3 1，解得 x 4 .
结合图象可知的解集为 1, 2 4,5
x, x 0,2
30．已知函数 f x 4 ，
, x 2,4 x
(1)在图中画出函数 f x 的大致图象；
(2)写出不等式 f x 1的解集.
【答案】(1)作图见解析；(2)[2,4]；(3)[1,4].
【分析】（1）根据解析式确定相关点坐标，在坐标系上描点并画出函数大致图象即可.
（2）（3）根据（1）所得的图象直接写出递减区间、不等式的解集即可.
【详解】(1)
x 0 1 2 3 4
f (x) 40 1 2 1
3
∴ f (x) 的大致图象如图所示：
(2)由图知：不等式的解集为[1,4].
x2 , x 0
31．已知函数 f (x) ．
4 2x, x 0
(1)画出函数 f (x) 的图象；
(2)当 f (x) ≥2 时，求实数 x 的取值范围．
【答案】(1)作图见解析；(2) ( , 2] (0,1]
【分析】（1）根据解析式各分段的解析式，在坐标系中描点，进而画出图象.
x 0 x 0
（2）由题设知：
x
2 或 2 4 2x 2
求解即可.

【详解】(1)由解析式知：
x -2 -1 0 1 2 3
f (x) 4 1 0 2 0 -2
∴ f (x) 的图象如下图示：
x 0 x 0
(2)由题可得： x2 2或 4 2x ，解得 2 x 2 或
0 x 1，

∴实数 x 的取值范围为 ( , 2] (0,1]．

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