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第五节 共点力的平衡
图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为 G 的木棒在力 F1 和 F2 的共同作用下处于 平衡状态的情况，这些力都位于同一平面 内。根据每幅图中各个力作用线的几何关 系，可以把上述四种情况的受力分成两类， 你认为哪些情况属于同一类？你是根据什 么来划分的？
一、共点力
几个力如果都作用在同一物体上的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫做共点力。
二、共点力平衡的条件
1．共点力平衡的条件：
(1)F合＝0。
(2)正交表示法：其中F合x和F合y分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力。合外力等于0，即F合＝0（Fx合＝0,Fy合＝0)
2、对平衡状态及平衡条件的理解
(1)从运动学的角度理解平衡状态
①平衡状态指的是物体处于静止或匀速直线运动状态，此时物体的加速度为零，反过来加速度为零的物体一定处于平衡状态。
②对静止的理解：静止与速度v＝0不是一回事。物体保持静止，说明v＝0，a＝0，两者同时成立。若仅是v＝0，a≠0，如上抛到最高点的物体，此时物体并不能保持静止，也就并非处于平衡状态。
(2)从动力学的角度理解平衡状态
处于平衡状态的物体所受的合外力为零，反过来物体受到的合外力为零，它一定处于平衡状态。
3、解答共点力平衡问题的三种常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题
正交分解法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程，此时平衡条件可表示为：Fx合＝0，Fy合＝0
4、平衡条件的四个常用推论
(1)二力平衡条件：这两个共点力大小相等、方向相反。
(2)三个力平衡条件：三个共点力平衡时，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，而且在同一条直线上。
(3)物体在n个共点力同时作用下处于平衡状态时，这些力在任何一个方向上的合力均为零。其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等值反向，作用在同一直线上。
(4)物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，各力首尾相接必构成一个封闭的多边形。
【例题 1】
某幼儿园要在空地上做一个滑梯，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时， 滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4，为使儿童在滑 梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
【例题2】 生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变 或固定悬吊物的位置。如图，悬吊重物的细绳，其 O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ 角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO 所受的拉力各等于多少？
（一）图解法
分析三力作用下的动态平衡问题
1．动态平衡问题的特点
通过控制某一物理量，使其他物理量发生缓慢变化，而变化过程中的任何一个状态都看成是平衡状态，物体所受合力为零。
2．图解法分析三力动态平衡问题的思路：
(1)确定研究对象，作出受力分析图。
(2)明确三力的特点，哪个力不变，哪个力变化。
(3)将三力的示意图首尾连接，构造出矢量三角形；或将某力根据其效果进行分解，画出平行四边形。
(4)根据已知量的变化情况，确定有向线段(表示力)的长度变化，从而判断各个力的变化情况。
例题：[多选]如图所示，电线AB下有一盏电灯，用绳子BC将其拉离墙壁。在保证电线AB与竖直墙壁间的夹角θ不变的情况下，使绳子BC由水平方向逐渐向上转动至竖直位置，若绳子BC的拉力为F1，电线AB的拉力为F2，则(　　)
A．F1先逐渐减小，后逐渐增大
B．F1逐渐减小
C．F2先逐渐减小，后逐渐增大
D．F2逐渐减小
解析：选AD　由平衡条件可得，电线AB、绳子BC上的拉力F2和F1的合力与电灯的重力G大小相等、方向相反，作出绳子BC在三个不同位置时力的示意图，如图所示，在绳子BC从1→2→3三个位置的过程中，可以看出当电线AB与绳子BC相互垂直时，F1最小，由力的图示可知F2逐渐减小，F1先逐渐减小，后逐渐增大。A、D正确。
1．分析多物体的平衡问题，关键是研究对象的选取，若一个系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法。
2．对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便。
选取原则
(1)当分析系统所受外力时，可以采用整体法来分析外界对系统的作用力。
(2)当分析系统内各物体间相互作用时，一般采用隔离法且选择受力较少的物体为研究对象。
(3)整体法的优点在于减少受力分析的个数，但不能分析内力；隔离法的优点是对多个物体受力了解比较清楚，但计算时有点麻烦。
（二）整体法和隔离法
例题：[多选]如图所示，两块竖直的木板用力在中间夹着五块质量均为m的砖在空中保持静止，则(　　)
A．砖2对砖1的摩擦力竖直向下
B．砖3对砖4的摩擦力竖直向上
C．木板对砖5的摩擦力大小为2.5mg
D．砖3对砖2的摩擦力大小为0.5mg
解析：选ACD　将5块砖看成一个整体，对整体进行受力分析，在竖直方向共受到三个力的作用：竖直向下的重力5mg，两个相等的竖直向上的摩擦力，由平衡条件可得砖1和砖5受到木板的摩擦力大小均为2.5mg，故C正确；对砖1受力分析，在竖直方向共受到三个力作用，竖直向下的重力mg，木板对砖1竖直向上的摩擦力2.5mg，由平衡条件可得砖2对砖1的摩擦力为1.5mg，方向竖直向下，故A正确；将砖4和砖5看成一个整体隔离后进行受力分析，在竖直方向共受到三个力作用，竖直向下的重力2mg，木板对砖4和砖5整体竖直向上的摩擦力2.5mg，由平衡条件可得砖3对其整体的摩擦力为0.5mg，即砖3对砖4的摩擦力为0.5mg，方向竖直向下，故B错误；将砖3从系统中隔离出来受力分析，在竖直方向它受到三个力的作用，竖直向下的重力mg，砖4对砖3竖直向上的摩擦力0.5mg，由平衡条件可得砖2对砖3的摩擦力大小为0.5mg，方向竖直向上，根据牛顿第三定律可知砖3对砖2的摩擦力大小为0.5mg，方向竖直向下，故D正确。
（三）三角形相似法分析动态平衡问题
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行分析。
（四）“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这两段绳夹角的平分线。(2)“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。
2．“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：即杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。(2)“死杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，一绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力的方向不沿杆的方向。
例题：如图所示，BC杆的B端用铰链连接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A处，BC杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则下列说法正确的是(　　)
A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大
B．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大
C．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小
D．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变
解析：选B　由于绳通过滑轮连接到物体G上，属于“活结”模型，绳上各处张力处处相等且大小等于物体所受的重力G，故绳的拉力不随绳的A端的下移而变化；根据平行四边形定则，滑轮两侧绳的合力在两侧绳的角平分线上，由于两拉力的夹角减小，故两拉力的合力不断变大，因此BC杆受到绳的压力不断变大，选项B正确。
（五）平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
(1)问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
(2)问题特点：
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
(3)分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2．极值问题
(1)问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
(2)分析方法：
①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
习题练习：
2、如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止，物体B的受力个数为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．4 D.5
解析：选C　若使物体A保持静止，物体B必对物体A施加一个垂直接触面向上的弹力，由力的相互性可知，物体A必然对物体B施加垂直接触面向下的作用力。再对物体B受力分析，由于物体B处于静止状态，则它必然受到重力、力F、物体A对物体B的弹力和摩擦力共四个力的作用，故C正确。

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