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2022 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨 2022 年全国高中数学联合竞赛
一试（A2 卷）参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第
10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 函数 f (x) sin 2022x x 11 x 27 的最小值为 ．
答案：15．
解： f (x) 1 (x 11) (x 27) 15，等号成立的充要条件是11 x 27
且 2022x 2k (k Z)．当 x 4 时， f (x)取到最小值15．
2 4044
2. 若正数 a, b满足 log2 a log4 b 8, log4 a log8 b 2 ，则 log8 a log2 b 的
值为 ．
52
答案： ．
3
解：令a 2x , b 2y (x, y R)，则由条件知
x
y
log2 a log 2 4
b 8,


x y

log4 a log8 b 2. 2 3
x x 20 52解得 20, y 24．从而 log8 a log2 b y 24 ． 3 3 3
3. 若无穷等比数列{an}的各项和为1，各项的绝对值之和为 2，则首项 a1的
值为 ．
4
答案： ．
3
解：设{an}的公比为 q，根据条件，显然有 1 q 0，且
a1 1, |a1 | 2．
1 q 1 |q |
由前一式知 a1 0，进而1 q 2(1 |q |) 2(1 q)，得q
1 4
，则 a1 1 q ． 3 3
4. a t a i设 为实数．若存在实数 ，使得 i为实数（ i为虚数单位），则 a的
t i
取值范围是 ．
3
答案：a ．
4
1
a i i 1 (a i)(t i) (t 2 1)i at 1 a t t
2 1
解：计算得 2 2 2 i ． t i t 1 t 1 t 1
a t t 2 1
根据条件，存在实数 t，使得 0，即有
t 2 1

a t 2 t 1 t 1
2

3
． 2 4
t 3当 取遍一切实数时， a的取值范围是 a ．
4
2
5. y在平面直角坐标系中，F1、F2分别为双曲线 : x
2 1的左、右焦点，
3

过 F1的直线 l交 于两点 P, Q ．若 F1F2 F1P 16，则 F2P F2Q的值为 ．
27
答案： ．
13

解：由条件知F1( 2, 0), F2 (2, 0)．设 P (x1, y1), Q (x2 , y2 )，由F1F2 F1P 16知
4(x1 2) 0 y1 16，故 x1 2，进而 y
2 2
1 3(x1 1) 9．
4
由对称性，不妨设 y1 3，则直线 l 的方程为 x y 2 ，代入 的方程，3
消去 x y 13y2 48y 27 0 y , y 27并化简可得 的二次方程 ，其两根 1 2之积为 ． 13

因此 F2P F2Q (x1 2)(x2 2) y1 y2 0
27 27
．
13 13
6. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M , N 分 D C
别为棱 A1B1, BB1的中点，过 D, M , N 三点作该正方体 QA T
的截面，已知截面是一个多边形 ，则 在顶点D处 B
的内角的余弦值为 ．
4
答案： ． N
13 P D C1 1
解：如图，设 MN 分别与 AA1, AB 的延长线交于 A1 M B1
点 S , T ，连接 DS ，交 A1D1于点 P ，连接DT ，交BC
于点Q，则截面 为五边形DPMNQ．
S
不妨设正方体的棱长为3．
A1P A S NB 1易知 1 1 ，则 PD
PD DD DD 2 1
2．同理有CQ 2．结合 PD1 || CQ ，
1 1 1
可知四边形CD1PQ为平行四边形， PQ D1C 3 2 ．
又DP DQ 32 22 13 ，所以 在顶点D处的内角的余弦值为
cos PDQ DP
2 DQ2 PQ2 13 13 18 4
．
2DP DQ 26 13
7. 在1, 2, ,10中随机选出三个不同的数，它们两两互素的概率为 ．
7
答案： ．
20
解：考虑三个数两两互素的取法，显然所取的三个数中至多有一个为偶数．
2
情形一：三个数均为奇数．此时从1, 3, 5, 7, 9中选三个数，但不能同时选3和
9，有C35 C
2 1
2C3 7种选法．
情形二：恰有一个偶数，将其记为m ．若m {2, 4, 8}，则从1, 3, 5, 7, 9中再
选两个数，但不能同时选3和9，有C25 1 9种选法，又m 有三种可能，所以有
3 9 27 种选法；若m 6，则另两个奇数只能从1, 5, 7 中选，有3种选法；若
m 10，则另两个奇数只能从1, 3, 7, 9中选，但不能同时选3和9，有C24 1 5种
选法．累计得情形二共有 27 3 5 35种选法．
所以三个数两两互素的取法共有7 35 42 种．又在十个数中任取三个数有
C310 120
42 7
种取法，故所求概率为 ．
120 20
8. 设 k, l, m m为实数，m 0，在平面直角坐标系中，函数 y f (x) k
x l
的图像为曲线C1，另一函数 y g(x)的图像为曲线C2 ，且满足C2 与C1关于直线
y x 对称．若点 (1, 4), (2, 3), (2, 4) 都在曲线 C1 或 C2 上，则 f (k l m) 的值
为 ．
4
答案：1或 ．
5
解：由 (1, 4), (2, 3), (2, 4) C1 C2及曲线C1与C2 之间的对称性，可知
(4,1), (3, 2), (4, 2) C1 C2．
若 (1, 4) C1，则 (4,1) C2，由C2 为函数的图像知 (4, 2) C2 ，得 (4, 2) C1，
进而 (2, 4) C2，类似可知 (2, 3) C1， (3, 2) C2 ．
此时 f (1) k m m 4, f (2) k 3, f (4) k m 2，即有
1 l 2 l 4 l

(4 k)(1 l) m, (3 k)(2 l) m,
(2 k)(4 l) m.
由 (4 k)(1 l) (3 k)(2 l)，得 k l 2 0．
由 (3 k)(2 l) (2 k)(4 l)，得 2k l 2 0 ．
所以 k 0, l 2，进而m (4 k)(1 l) 12．
12
此时 f (x) ，则 f (k l m) f (10) 1．
x 2
若 (1, 4) C2，注意到 g(x) 为 f (x)的反函数，即 g(x) l
m
，故类似可
x k
得 l 0, k 2, m 12 f (x) 2 12 ，此时 ， f (k l 4 m) f (10) ．
x 5
4
综上， f (k l m)的值为1或 ．
5
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）已知 ABC 及其边 BC 上的一点D满足： AB 2BD，
AC 3CD ，且以 A、D为焦点可以作一个椭圆 同时经过 B 、C 两点，求 的
3
离心率．
解：由椭圆定义可知 AB BD AC CD（都等于椭圆 的长轴长），结合
AB 2BD， AC 3CD ，得
AB : BD : AC :CD 8: 4 :9 :3． ……………4 分
由余弦定理及 ADB, ADC 互补，可知
AD2 BD2 AB2 AD2 CD2 AC 2
cos ADB cos ADC 0，
2AD BD 2AD CD
即 CD(AD2 BD2 AB2 ) BD(AD2 CD2 AC 2 ) 0．
不妨设 AB 8, BD 4, AC 9, CD 3，则上式可化简为7AD2 432 0，
12 21
解得椭圆 的焦距 AD ． ……………12 分
7
e AD 21所以椭圆 的离心率 ． ……………16 分
AB BD 7
AB2 CD AC 2 BD
注：由斯特瓦尔特定理可直接得 AD2 BD CD．
BC
10.（本题满分 20 分）已知数列{an}的各项均为非负实数，且满足：对任意
整数 n 2，均有 an 1 an an 1 n．若 a2a2022 1，求 a1的最大可能值．
解：根据条件，对任意正整数 n，有
an 3 an 2 an 1 n 2 (an 1 an n 1) an 1 n 2 2n 3 an ．
进而
an 6 2(n 3) 3 an 3 2n 9 (2n 3 an ) an 6． ①
……………5分
设 a1 a, a2 b ，则 a3 b a 2, a4 5 a, a5 7 b, a6 a b 7．
由①知{an}的各项均为非负实数当且仅当 a1, a2 , , a6 0，即
0 a 5,

0 b 7, ……………10 分

7 a b 2.
注意到
a2a2022 a2 (a6 2016) b (a b 2023)，
故
b (a b 2023) 1． ②
1 1
由 7 a b 2得b ，且显然b 1．……………15 分
a b 2023 2025
1
由②进一步得 a b 2023．利用 f (x) 1 x 在 (0,1)上单调减，可知
b x

a a f 1
1 4051
1
2023 2 ，
2025 2025 2025
1
当b 时等号成立．
2025
所以 a 40511的最大可能值为 ． ……………20 分 2025
4
11.（本题满分 20 分）给定整数 n (n 2) ．对于一个 2n元有序数组
T (a1, b1, a2 , b2 , , an , bn )，
若T 的每个分量均为0 或1，且对任意 p, q (1 p q n) ，均有 (ap ,bp ,bq ) (1, 0,1)
且 (aq ,bq ,ap ) (1, 0, 0)，则称T 为“有趣数组”．求有趣数组的个数．
解：考虑任意一个有趣数组T (a1, b1, a2 , b2 , , an , bn )，对 i 1, 2, , n，将
(ai , bi )视为一个字母，其中 (1, 0), (0,1), (1,1), (0, 0)分别视为字母 A, B, C, D，则T
可视为一个由 A, B, C, D构成的长度为 n的字符串 s (T )．有趣数组T 的性质可等
价地描述为：当字符串 s (T )含字母 A时， A之后不出现字母 B, C ，且 A之前不
出现字母 B, D ．显然 s (T )不同时含有字母 A与 B ．
若 s (T )不含字母 A，则这样的字符串均满足条件，共3n 个．……………5 分
若 s (T )含有字母 A，则 s (T )必是形如CC CAA ADD D的字符串（允许
没有字母C 或 D），且这样的字符串均满足条件． ……………10 分
设 s (T )中第一个 A与最后一个 A分别出现在第 x 个位置与第 y 个位置，则
s (T )由数组 (x, y) （其中1 x y n ）唯一确定．
因 (x, y) 的取法有 n C2 n(n 1)n 种，故这样的字符串 s (T )
n(n 1)
有 个．
2 2
n(n 1)
综上，有趣数组所对应的字符串共有3n 个．因此有趣数组的个数
2
为3n n(n 1) ． ……………20 分
2
5

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