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平面解析中的轨迹问题
一. 知识点
轨迹相关问题可以从以下几方面出发：
①将数学语言转换为文字定义，进而分析图形类型（需要注意长轴长、实轴长、焦距长等特殊要求）；
例：定值时，联想椭圆，需注意定值（2a）与（2c）的大小关系，
时，为椭圆；时，为线段；时，不存在．
定值时，联想双曲线，注意定值与的大小关系，还要注意的大小分析左右支，
时，为双曲线中的一支；时，为一条射线；时，不存在．
②结合垂径定理等性质，在圆、椭圆、双曲线中，假设所求点坐标，代入定理，化简求解；
③遵循原则，求谁设谁，用假设的点坐标，来表示题中已知点的横纵坐标，并代入题中已有的解析（注意！是将题中已知点的新坐标代入！），并化简求解．
二. 典型例题
三. 变式练习
1．平面上动点到定点的距离比到轴的距离大1，则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C．或 D．或
2．点是以，为焦点的椭圆上的一点，过焦点作的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹是　　
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
3．设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点．线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
4．已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为　　
A． B．
C． D．
5．设定点、，动点满足条件，则点的轨迹是　　
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
6．在中，，，的内切圆切于点，且，则顶点的轨迹方程为　 　．
7．直线与椭圆交于，两点，已知的斜率为1，则弦的中点轨迹方程为　 　．
8．已知的顶点、，、分别为、的中点，和边上的中线交于，并且，则点的轨迹方程为　 　．
9．已知两定点，，如果动点满足条件，则点的轨迹所包围的图形的面积等于　　
A． B． C． D．
10．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．求的方程．
11．如图所示，已知是圆内的一点，、是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程．
12．已知动点与两定点，连线的斜率之积等于常数．
（1）求动点的轨迹的形状；
（2）试根据的取值情况讨论轨迹的形状．
答案
1解：设，
由到定点的距离为，
到轴的距离为，
当时，的轨迹为；
当时，又动点到定点的距离比到轴的距离大1，
列出等式：
化简得 ，为焦点为的抛物线．
则动点的轨迹方程为或．
故选：．
2解：由题意，是以，为焦点的椭圆上一点，过焦点作外角平分线的垂线，垂足为，延长交延长线于，得，
由椭圆的定义知，故有，
连接，知是三角形的中位线
，即点到原点的距离是定值，由此知点的轨迹是圆
故选：．
3解：由圆的方程可知，圆心，半径等于5，设点的坐标为，，的垂直平分线交于，． 又半径5，．依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以、 为焦点的椭圆，且，，，
故椭圆方程为 ，即 ．
故选：．
4解：由椭圆的定义可知，椭圆的焦点在轴上，交点坐标分别为，，
设椭圆的标准方程为，则，
，，椭圆的标准方程为，
故选：．
5解：，．
故当时，满足条件 的点的轨迹是线段．
当时，满足条件的点的轨迹是以、 为焦点的椭圆．
故选：．
6解：如图，
设、分别为圆与、的两个切点，则，，
又，
，
点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
且，，，轨迹方程为．
故答案为：．
7解：设弦的两端点分别为，、，，中点为，
则，，
平行弦的斜率为1，则，
把、两点代入，两式相减并整理可得，
所求的轨迹方程为（椭圆内部分），
故答案为：（椭圆内部分）．
8解：的边和边上的中线交于，
点为的重心，
，可得，
点的轨迹是以、为焦点的椭圆，，
可得，
椭圆的方程为，
由三角形中，点不在直线上，可得，即
因此，点的轨迹方程为
故答案为：
9解：已知两定点，，如果动点满足，设点的坐标为，
则，即，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
所以点的轨迹所包围的图形的面积等于，
故选：．
10解：圆，圆，
设动圆半径为．
在内，动圆只能在内与内切，不能是在动圆内，即：
动圆与圆外切，则，
动圆与圆内切，则，
，即到和到的距离之和为定值．
是以、为焦点的椭圆．
的中点为原点，故椭圆中心在原点，
，，，，
，
的方程为
11解：设的中点为，则也是的中点，设的坐标为，，则在中，．
又因为是弦的中点，依垂径定理：在中，．
又，所以有，即．
因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动．
设，因为是的中点，所以，
代入方程，得，
整理得：，这就是所求的点的轨迹方程．
12解：（1）由题设知直线与的斜率存在且均不为零
所以，
整理得
（2）①当时，轨迹为中心在原点，焦点在轴上的双曲线（除去顶点）
②当时，轨迹为中心在原点，焦点在轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当时，轨迹为以原点为圆心，1的半径的圆除去点，
④当时，轨迹为中心在原点，焦点在轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）

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