资源简介

3．3　幂函数
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ x 2 ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3 的图象如图．
2．五个幂函数的性质
1
y＝x y＝x2 y＝x3 y x 2 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在[0，＋∞) 上增， 在(0，＋∞)上减，
单调性 增 增 增
在(－∞，0] 上减 在(－∞，0)上减
知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当 α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
特别地，当 α>1 时，幂函数的图象下凸；当 0<α<1 时，幂函数的图象上凸．
3．当 α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y＝x 对称．
5．在第一象限作直线 x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排
列．
【题型目录】
题型一、幂函数的定义
题型二、幂函数的定义域
题型三、幂函数的值域
题型四、幂函数的图像
题型五、幂函数的单调性
题型六、幂函数的奇偶性
题型一、幂函数的定义
y 1
1
1．在函数① x ，② y x
2 ，③ y 2x ，④ y 2， y 2x2 ，⑥ y x 2 中，是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
2．下列结论中正确的个数有（ ）
（1）幂函数的图像一定过原点；
（2）当 a＜0时，幂函数 y xa在其定义域上是严格减函数；
（3）当a＞0时，幂函数 y xa在其定义域上是严格增函数；
（4）函数 y 2x2 既是二次函数，又是幂函数.
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二、幂函数的定义域
3．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） y x5；
5
（2） y x 6 ；
4
（3） y x 5 ；
3
（4） y x 2 .
2
4．已知函数 y x 3
（1）求定义域；
（2）判断奇偶性；
（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.
题型三、幂函数的值域
5．下列函数中，值域是 0, 的函数是（ ）
1
A． y x3 B． y x4 C． y x 2 D． y x 3
1
6．幂函数 y xa中 a 的取值集合 C 是 1,0, ,1, 2,3 的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合 C 为（2 ）
A
1 1 1 1
． 1,0, 2
B． ,1, 2 C． 1, ,3 D． ,1, 2,3
2 2 2


题型四、幂函数的图像
7．幂函数 y xa，y xb，y xc，y xd 在第一象限的图像如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是 （ ）
A． a b c d B． d b c a C． d c b a D．b c d a
1
8．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝ x ；⑤f(x)＝ .其中满足条件x
f x1 x2 f (x1) f (x 2 ) (x1>x2>0)的函数的个数是（2 2 ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．请把相应的幂函数图像代号填入表格．
2
① ；② y x 2
1
；③ ；④ y x 1y x 3 y x 2 ；
1 4 1 5
⑤ y x3 ；⑥ y x 3 ；⑦ y x 2 ；⑧ y x3 ．
函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
图像代号
题型五、幂函数的单调性
1
10．函数 y x 的单调递减区间是（ ）
A． 0， B． ，0 C． ，0 和 0， D． ，0 0，+
1
11．已知幂函数 f (x) x 2 ，若 f a 1 f 3 2a ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,3 B ． 1,
2
C． 1,0 D． 1,
2
3 3
题型六、幂函数的奇偶性
12．已知幂函数 f (x) 2m2 9m 4 xm 在 ( ,0)上为减函数.
(1)试求函数 f (x) 解析式；
(2)判断函数 f (x) 的奇偶性并写出其单调区间.
13．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ）
A． f x x3 B． f x x C． f x 1 D 5． f x x
x4
14．若幂函数 y a2 a 5 xa 的图像关于 y 轴对称，则实数a ______．
15．已知幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)若 g(x) f (x) ax 3在[1，3]上，①单调，②不单调，这两个条件中选择一个条件，求实数 a的取值范围．
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A． y x B． y x3 C． y 3x D． y x 1
2．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） y x4 ；
1
（2） y x 4 ；
（3） y x 3；
2
（4） y x 3 .
2
3．函数 y x 3 定义域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，单调区间________．
4．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）是偶函数；（2）值域是
{y|y∈R，且 y≠0}；（3）在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的
函数是（ ）
A． y x 1
1
B． y x 2 C． y x3 D． y x3
5．图中C1，C2 ，C3分别为幂函数 y x 1 ， y x 2 ， y x 3 在第一象限内的图象，则 1， 2， 3 依次可以是
（ ）
A 1． 2 ，3， 1 B． 1，3
1
， 2 C
1
． 2 ， 1，3 D
1
． 1， 2 ，3
6．函数 y x, y x2 y
1
和 x 的图象如图所示，有下列四个说法：
1
①如果 a a2 ，那么 0 a 1；
a
②如果 a 2 a 1 a ，那么 a 1；
③ 1如果 a 2 a ，那么 1 a 0a ；
④ 2 1如果 a aa 时，那么 a 1 .
其中正确的是（ ）.
A．①④ B．① C．①② D．①③④
7 f x m2 3 xm 1．已知幂函数 在 0, 内是单调递减函数，则实数m ______．
1
8 ．已知幂函数 f x x 2 ，若 f a 1 f 10 2a ，则 a的取值范围为（ ）
A． 3,5 B． 5,3 C． 5, 3 D． 3,5
1
9．（多选）已知函数 f (x)

xa 的图象经过点 ,33
则（ ）

A． f (x) 的图象经过点 (3,9) B． f (x) 的图象关于 y 轴对称
C． f (x) 在 (0, )上单调递减 D． f (x) 在 (0, )内的值域为 (0, )
10．写出一个同时具有下列三个性质的函数： f x ___________.
① f x 为幂函数；② f x 为偶函数；③ f x 在 ,0 上单调递减.
1
11．设 a 1,2,3, , 1 ，则使函数 y xa的定义域为 R 且函数 y xa为奇函数的所有 a的值为（2 ）
A． 1,3 B． 1,1 C．1,3 D． 1,1,3
3
12 k
1
k2
．已知函数 f x x 2 2 k Z ．
(1)若 f x 为偶函数，且在 0, 是增函数，求 f (x) 的解析式：
(2)若 f x 在 0, 上减函数，求 k 的取值范围．
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． y 2x B． y x2 1
C． y x3 D． y 2x
3
2．下列四个图像中，函数 y x 4 的图像是（ ）
A． B． C． D．
1
3．已知实数集为R ，集合 A x y x 2

，则 R A （ ）．

A． ,0 B． ,0 C． D． 0,
4．函数 y x 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
m
5．如图所示是函数 *y x n ( m、n N 且互质)的图象，则（ ）
m m
A．m、n是奇数且 1 B．m 是偶数， n是奇数，且 1
n n
C．m
m m
是偶数， n是奇数，且 1 D．m、n是偶数，且 1
n n
6．若幂函数 y xm 与 y xn 在第一象限内的图像如图所示，则（ ）
A． 1 n 0 m 1； B． n 1，0 m 1；
C． 1 n 0，m 1； D． n 1，m 1．
7 2 a 1．已知幂函数 f x a 3a 3 x 为偶函数，则实数 a的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1 或 2
8．用函数M (x) 表示函数 f (x) 和 g(x)中的较大者，记为：M (x) max{ f (x), g(x)}，若 f (x) | x | (x 0)，
g(x) x 2 ，则M (x) 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
9．(多选)已知幂函数 f x 的图象经过点 9,3 ，则（ ）
A．函数 f x 为增函数 B．函数 f x 为偶函数
f x f x x x
C．当 x 4 f x 2 D x x 0 1 2时， ．当 2 1 时， f 1 22 2
m
10．已知幂函数 f x 3 2m x 2 的定义域为 0, ，则实数m ______．
1
11 1 2 3．有四个幂函数：① f x x ；② f x x ；③ f x x ；④ f (x) x 2 某同学研究上述函数，他给出这个
函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y | y R ，且 y 0 }：（3）在 (0, )上是减函数．如果他给出的三个性
质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数可能是__________．
12 2．幂函数 y＝ xm 2m 3（m∈Z）的图象如图所示，则实数 m 的值为________.
13．关于幂函数 y xa，下列命题正确的是___（填序号）．
①当 a 0时，图象是一条直线； ②图象都过点 0,0 和 1,1 ；
③若是奇函数，则一定是增函数； ④图象不可能出现在第四象限．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x ______．
① f x1x2 f x1 f x2 ；② f x f x ；③任取x1， x2 0, ， x1 x2 且 f x1 f x2 x1 x2 0．
15．幂函数 f x xm 在 0, n上单调递增， g x x 在 0, 上单调递减，能够使 y f x g x 是奇函数的一
组整数 m，n 的值依次是__________．
16．已知幂函数 f x m2 3m 17 xm 2 的图像关于 y 轴对称．
(1)求 f x 的解析式；
(2) g x f 2x 4x2求函数 3在 1,2 上的值域．3．3　幂函数
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ x 2 ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3 的图象如图．
2．五个幂函数的性质
1
y＝x y＝x2 y＝x3 y x 2 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在[0，＋∞) 上增， 在(0，＋∞)上减，
单调性 增 增 增
在(－∞，0] 上减 在(－∞，0)上减
知识点三　一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当 α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
特别地，当 α>1 时，幂函数的图象下凸；当 0<α<1 时，幂函数的图象上凸．
3．当 α<0 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y＝x 对称．
5．在第一象限作直线 x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排
列．
【题型目录】
题型一、幂函数的定义
题型二、幂函数的定义域
题型三、幂函数的值域
题型四、幂函数的图像
题型五、幂函数的单调性
题型六、幂函数的奇偶性
题型一、幂函数的定义
1 1
1．在函数① y y x2 y 2x y 2 y 2x2 x ，② ，③ ，④ ， ，⑥ y x 2 中，是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义可判断.
【详解】幂函数是形如 y x （ R ， 为常数）的函数，①是 1的情形，②是 2的情形，⑥是
1

2
的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中 x2 的系数是 2，所以不是幂函数；④是常函
数，不是幂函数.
故选：C.
2．下列结论中正确的个数有（ ）
（1）幂函数的图像一定过原点；
（2）当 a＜0时，幂函数 y xa在其定义域上是严格减函数；
（3）当a＞0时，幂函数 y xa在其定义域上是严格增函数；
（4）函数 y 2x2 既是二次函数，又是幂函数.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念，及图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于幂函数 y x 1，其图象不过原点，且在 ,0 , 0, 上为减函数，
所以（1）、（2）都不正确；
对于幂函数 y x2 ，在 ,0 是减函数，所以（3）不正确；
由幂函数概念，幂函数 y x ( R)，可得系数必为 1，所以（4）不正确.
故选：A.
题型二、幂函数的定义域
3．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） y x5；
5
（2） y x 6 ；
4
（3） y x 5 ；
3
（4） y x 2 .
【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数；
【分析】首先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义即可求解.
【详解】（1） y x5，定义域为 R ，关于原点对称，
f x x 5 x5 ，函数为奇函数.
5
（2） y x6 6 x5 ，定义域为 0, ，不关于原点对称，
函数为非奇非偶函数.
4

y x 5 1（3） 定义域为 ,0 0, 5 4 ，x
关于原点对称，且 f x f x ，函数为偶函数.
3
1
（4） y x 2 3 定义域为 0, ，2 x
定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数.
.
2
4．已知函数 y x 3
（1）求定义域；
（2）判断奇偶性；
（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.
2
【答案】（1）定义域为 x , ；（2）偶函数；（3）图像见解析， y x 3 的单调增区间是 0， ，单调减区间
是 ，0
2
【分析】（1）将函数 y x 3 改写成 y 3 2 x ，即可判断定义域;
2
（2）令 f (x) x 3 = 3 x2 ，计算 f ( x) 并判断与 f (x) 的关系即可确定函数的奇偶性；
2
（3）根据 y x 3 的奇偶性补全图像，根据补全后的图像确定函数的单调区间；
2
【详解】（1） y x 3 = 3 x2 ，定义域为实数集 R;
2 2
（2）令 y x 3 = 3 x2 =f (x) f (x) x 3 = 3 x2
f ( x)= 3 x 2
2
= 3 x2 =f (x)，且定义域关于坐标原点对称， 函数 y x 3 为偶函数.
2 2
（3）因为函数 y x 3 为偶函数,所以函数 y x 3 的图像关于 y 轴对称，
2
根据 y x 3 第一象限的图像补全图像如图所示:
2
根据图像可知，函数 y x 3 单调增区间是 0， ，单调减区间是 ，0 .
题型三、幂函数的值域
5．下列函数中，值域是 0, 的函数是（ ）
1
A． y x3 B． y x4 C． y x 2 D． y x 3
【答案】C
【分析】结合幂函数的表达式即可判断
【详解】A 中值域为 R ；B 中值域为 0, ；C 中值域为 0, ；D 中值域为 ,0 0,
故选：C.
【点睛】本题考查由幂函数的解析式判断值域，属于基础题
1
6．幂函数 y xa中 a 的取值集合 C 是 1,0, ,1, 2,3 的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合 C 为（2 ）
A ． 1,0,
1 1
B． ,1, 2
1
C
1
2 ．
1, ,3 D． ,1, 2,3
2 2 2
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】当 a 1时， y x 1定义域和值域均为 ,0 0, ，符合题意；
a 0时， y x0 定义域为 ,0 0, ，值域为 1 ，故不合题意；
a 1 时， y x 定义域为 0, ，值域为 0, ，符合题意；
2
a 1时， y x 定义域与值域均为 R，符合题意；
a 2时， y x2 定义域为 R，值域为 0, ，不符合题意；
a 3时， y x3定义域与值域均为 R，符合题意.
故选：C
题型四、幂函数的图像
7．幂函数 y xa，y xb，y xc，y xd 在第一象限的图像如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是 （ ）
A． a b c d B． d b c a C． d c b a D．b c d a
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内， x 1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内， x 1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：b c d a，
故选：D
1
8．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝ x ；⑤f(x)＝ .其中满足条件x
f x1 x2 f (x1) f (x2 ) (x1>x2>0)的函数的个数是（2 2 ）
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【答案】A
f x1 x2 f (x ) f (x )【分析】条件 1 2 (x1>x2>0)表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答．
2 2
x x f (x ) f (x )
【详解】①函数 f(x)＝x 的图象是一条直线，故当 x1>x2>0 时， f ( 1 2 )＝ 1 2 ；2 2
x x f (x ) f (x )
②函数 f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当 x >x 1 2 1 21 2>0 时， f ( ) ；2 2
③在第一象限，函数 f(x)＝x3的图象是凹形曲线，
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x )故当 x1>x2>0 时， 2 ；2 2
x x f (x ) f (x )
④函数 f(x)＝ x 的图象是凸形曲线，故当 x1>x 1 22>0 时， f ( ) 1 2 ；2 2
1
⑤在第一象限，函数 f(x)＝ 的图象是一条凹形曲线，
x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )故当 x1>x2>0 时， .2 2
x
故仅有函数 f(x)＝ x 满足当 x >x >0 时， f ( 1
x2 ) f (x1) f (x )1 2 2 ，2 2
故选：A.
9．请把相应的幂函数图像代号填入表格．
2 2 1① y x 3 ；② y x ；③ y x 2 ；④ y x
1；
1 4 1 5
⑤ y x3 ；⑥ y x 3 ；⑦ y x 2 ；⑧ y x3 ．
函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
图像代号
【答案】依次是 E，C，A，G，B，D，H，F．
【分析】利用幂函数图象的性质即可得到答案.
2
【详解】①函数 y x 3 的定义域为 R，排除图 C,G,H，
又函数为偶函数且在 0，+ 上单调递增，
在 1，+ 的图象在 y x 图象的下方，故是图 E，
4
同理⑥函数 y x 3 为偶函数且在 0，+ 上单调递增，
在 1，+ 的图象在 y x 图象的上方，是图 D.
1 5
⑤ y x3 和⑧ y x3 定义域为 R 且为奇函数，
1
在 0，+ 上单调递增， y x3 在 1，+ 的图象在 y x 图象的下方，故是图 B，
5
y x3 在 1，+ 的图象在 y x 图象的上方，是图 F.
1
③ y x 2 定义域为 0，+ ，在 0，+ 上单调递增，
1
y x 2 在 1，+ 的图象在 y x 图象的下方，是图 A.
② y x 2 ,④ y x 1
1
和⑦ y x 2 图象均不过原点，在 0，+ 上单调递减，
1
⑦ y x 2 的定义域为 0，+ ，故图是 H，图象均不过原点，在 0，+ 上单调递减，
② y x 2 是偶函数，图是 C，④ y x 1是奇函数，图是 G，
故依次为 E，C，A，G，B，D，H，F
题型五、幂函数的单调性
1
10．函数 y x 的单调递减区间是（ ）
A． 0， B． ，0 C． ，0 和 0， D． ，0 0，+
【答案】C
1
【分析】根据 y .x 的图象以及函数单调性的定义即可判断
1
【详解】函数 y x 的图象如图：所以
y 1 的减区间是 0， ， ，0 ，不是 0， ，0 .x
函数 y
1
在 ，0 x 上是减函数，在 0， 上也是减函数，
1
但不能说函数 y 在 x ，0 0， x 上是减函数．
因为当 x1 1，x2 1时有 f x1 1 f x2 1，不满足减函数的定义．
故选:C
1
11．已知幂函数 f (x) x 2 ，若 f a 1 f 3 2a ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,3 B ． 1,
2
C． 1,0
2
D
3 ．
1,
3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性与定义域，结合题中条件，列出不等式组，求解，即可得出结果.
1
【详解】因为幂函数 f x x 2 是增函数，且定义域为 0, ，
a 1 3 2a
由 f a 1 f 3 2a 得 a 1 0 2，解得 1 a .
3
3 2a 0
2
所以实数 a 的取值范围是 1,
3
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：
（1）把不等式转化为 f g(x) f h(x) 的模型；
（2）判断 f x 的单调性，再根据函数的单调性将“ f ”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别.
题型六、幂函数的奇偶性
12 2．已知幂函数 f (x) 2m 9m 4 xm 在 ( ,0)上为减函数.
(1)试求函数 f (x) 解析式；
(2)判断函数 f (x) 的奇偶性并写出其单调区间.
【答案】(1) f (x) x 5
(2)奇函数，其单调减区间为 ( ,0)， (0, )
【分析】（1）根据幂函数的定义，令 2m2 9m 4 1，求解即可；
（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.
1
【详解】（1）由题意得， 2m2 9m 4 1，解得m 或m 5，
2
1 1
经检验当m 时，函数 f (x) x 2 在区间 ( ,0)上无意义，2
所以m 5，则 f (x) x 5 .
f (x) x 5 1（2） x5 ，
要使函数有意义，则 x 0，
即定义域为 ( ,0) (0, )，其关于原点对称.
f ( x) 1 1 5 5 f (x)( x) x ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0时，根据幂函数的性质可知 f (x) x 5 在 (0, )上为减函数，
函数 f (x) 是奇函数， 在 ( ,0)上也为减函数，
故其单调减区间为 ( ,0)， (0, ) .
13．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ）
A． f x x3 B． f x x C． f x 1 4 D． f x x
5
x
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义排除 A；
f x x 是非奇非偶的函数，所以排除 B;
f x 1 4 是偶函数，所以排除 C；x
f x x5 ，既是幂函数，又是奇函数，所以选 D.
y xa【详解】根据幂函数的定义：形如 a R 的函数是幂函数，排除 A；
f x x 的定义域为[0, ) ，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除 B;
f x 1 4 是偶函数，所以排除 C；x
f x x5 ，既是幂函数，又是奇函数，所以选 D.
故选：D.
14．若幂函数 y a2 a 5 xa 的图像关于 y 轴对称，则实数a ______．
【答案】 2
【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可
【详解】由幂函数可得 a2 a 5 1，解得 a 3或 a 2 ，
又因为函数图像关于 y 轴对称，则 a 为偶数，所以 a 2 ．
故答案为： 2
15．已知幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)若 g(x) f (x) ax 3在[1，3]上，①单调，②不单调，这两个条件中选择一个条件，求实数 a的取值范围．
【答案】(1) f (x) x2
(2)选① a 2 或 a 6；选② 2 a 6
【分析】（1）根据幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数可得m2 5m 7 1且m 1为偶数，解之即可得出答案；
（2）选①，求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性列出不等式，从而可得出答案；
选②，求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性列出不等式，从而可得出答案.
【详解】(1)解：因为幂函数 f (x) (m2 5m 7)xm 1为偶函数，
所以m2 5m 7 1且m 1为偶数，解得m 3，
所以 f (x) x2 ；
a a
(2)解：选①时， g(x) f (x) ax 3 x2 ax 3在[1，3]
a
上单调，则二次函数的对称轴 x 满足 1或 3；
2 2 2
解得 a 2 或 a 6；
a a
选②时， g(x) x2 ax 3在[1，3]上不单调，则二次函数的对称轴 x 满足1 3，解得 2 a 6 ．
2 2
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A． y x B． y x3 C． y 3x D． y x 1
【答案】C
1
【详解】A 选项中， y x x 2 ，故它是幂函数．
B 选项是幂函数．
C 选项 x 的系数为 3，所以它不是幂函数．
D 选项是幂函数．
2．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） y x4 ；
1
（2） y x 4 ；
（3） y x 3；
2
（4） y x 3 .
【分析】直接观察出定义域，在根据 f x 和 f x 的关系来判断单调性.
【详解】（1） y x4 ，其定义域为 R，
f x x 4又 x4 f x ，
故 y x4 为定义域为 R 的偶函数；
1
（2） y x 4 ，其定义域为 0, ，其为非奇非偶函数；
（3） y x 3，其定义域为 ,0 0, ，
又 f x x 3 x 3 f x ，
故 y x 3为定义域为 ,0 0, 的奇函数；
2
（4） y x 3 ，其定义域为 R，
2 2
又 f x x 3 x 3 f x ，
2
故 y x 3 为定义域为 R 的偶函数.
2
3．函数 y x 3 定义域是_____，值域是_______；奇偶性：_______，单调区间________．
【答案】 {x|x≠0} {y|y＞0} 偶函数 (﹣∞，0)，(0，＋∞)．
【分析】把函数 y 化为根式的形式，求出它的定义域和值域；再根据函数奇偶性与单调性的定义进行判断，即可得
出正确的结论．
2
1
【详解】∵函数 y x 3 ，∴x2≠03 2 ，解得 x≠0，x
∴函数 y 的定义域是{x|x≠0}；
又 y＞0，∴函数 y 的值域是{y|y＞0}；
1 1
又对定义域内的任意 x，有 f(﹣x) 3 2 3 x2 f(x)x ，
∴y＝f(x)是定义域上的偶函数；
2
又 y＝f(x) x 3 ，
当 x＞0 时，f(x)是减函数，
x＜0 时，f(x)是增函数，
∴(﹣∞，0)和(0，＋∞)是函数的单调区间．
故答案为：{x|x≠0}；{y|y＞0}；偶函数；(﹣∞，0)，(0，＋∞)．
4．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）是偶函数；（2）值域是
{y|y∈R，且 y≠0}；（3）在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的
函数是（ ）
1
A． y x 1 B． y x 2 C． y x3 D． y x3
【答案】B
【分析】函数性质，需要对选项分析满足两个性质，一个不满足.
【详解】对于 A， y x 1是奇函数，值域是{y|y∈R，且 y
≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确；对于 B， y x 2 是偶函数，值域是{y|y∈R，且 y>0}，在(－
∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；判断 C 选项，奇函数，值域为 R,在定义域下单调递增，不
符合条件；D 中的函数为奇函数，值域为 R 在定义域下单调递增，不符合条件．
故选：B.
5．图中C1，C2 ，C 分别为幂函数 y x 13 ， y x 2 ， y x 3 在第一象限内的图象，则 1， 2， 3 依次可以是
（ ）
A 1 1． 2 ，3， 1 B． 1，3， 2 C
1
． 2 ， 1，3 D
1
． 1， 2 ，3
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知： 1 0，0 2 1， 3 1，
1所以 1， 2， 3 依次可以是 1， 2 ，3．
故选：D
6．函数 y x, y
1
x2和 y x 的图象如图所示，有下列四个说法：
1
① a a2如果 ，那么 0 a 1；
a
② a 2如果 a 1 ，那么 a 1a ；
③ 1 2如果 a a ，那么 1 a 0a ；
④如果 a 2 1 a a 1 .a 时，那么
其中正确的是（ ）.
A．①④ B．① C．①② D．①③④
【答案】A
【分析】结合函数 y x, y x2 y
1
和 x 的图象，逐项判定，即可求解
.
【详解】当三个函数的图象依 y
1
, y x和 y x2 次序呈上下关系时，可得0 x 1 ，
x
1
所以，若 a a2 ，可得 0 a 1，所以①正确；
a
1
当三个函数的图象依 y x2 , y x，和 y 次序呈上下关系时， 1 x 0或 x 1 x ，
2
所以，若 a a
1

a ，可得
a 1，所以②错误；
1
由于当三个函数的图象没有出现 y , y x2和 y x 次序的上下关系 ，所以③错误；
x
当三个函数的图象依 y x2 , y
1
和 y x 次序呈上下关系时， x 1 ，
x
2 1
所以，若 a aa 时，可得
a 1，所以④正确.
故选；A．
7．已知幂函数 f x m2 3 xm 1在 0, 内是单调递减函数，则实数m ______．
【答案】 2
【分析】由已知，函数 f (x) 为幂函数且在 0, 内是单调递减，可进行列式，即m2 3 1且m 1＜0即可完成求解.
m2 3 1
【详解】由题意得，函数 f (x) 为幂函数且在 0, 内是单调递减，所以 ，解得m 2．
m 1 0
故答案为： 2 .
1
8 ．已知幂函数 f x x 2 ，若 f a 1 f 10 2a ，则 a的取值范围为（ ）
A． 3,5 B． 5,3 C． 5, 3 D． 3,5
【答案】D
1

【分析】根据幂函数 f x x 2 的单调性与定义域可解不等式 f a 1 f 10 2a .
1

【详解】因为幂函数 f x x 2 的定义域为 0, ，且 f x 是定义域上的减函数，
a 1 0,

所以若 f a 1 f 10 2a ，则 10 2a 0, 解得3 a 5 .

a 1 10 2a,
故选：D.
1
9．（多选）已知函数 f (x) xa
,3 的图象经过点 则（ ）
3
A． f (x) 的图象经过点 (3,9) B． f (x) 的图象关于 y 轴对称
C． f (x) 在 (0, )上单调递减 D． f (x) 在 (0, )内的值域为 (0, )
【答案】CD
【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出 a 1，结合选项可得答案.
1 ,3 a 1【详解】将点 的坐标代入 f (x) x ，可得 a 1，则 f (x) , f (x)的图象不经过点 3,9 ，A 错误； f (x) 在
3 x
(0, )上单调递减，C 正确；根据反比例函数的图象与性质可得 B 错误，D 正确．
故选：CD.
10．写出一个同时具有下列三个性质的函数： f x ___________.
① f x 为幂函数；② f x 为偶函数；③ f x 在 ,0 上单调递减.
2
【答案】 x2 （或 x4 ， x 3 ，答案不唯一）
【分析】结合幂函数的图象与性质可得．
2
【详解】由幂函数 y xa，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此 f (x) x2 ，或 f (x) x4 ， f (x) x 3 等等．
2
故答案为： x2 （或 x4 ， x 3 ，答案不唯一）．

11．设 a 1,2,3,
1 , 1 ，则使函数 y xa的定义域为 R 且函数 y xa为奇函数的所有 a的值为（2 ）
A． 1,3 B． 1,1 C．1,3 D． 1,1,3
【答案】C
1
【解析】本题考查的是幂函数的性质，将1,2,3, , 1分别代入判断函数 y xa的定义域与奇偶性即可.
2
【详解】 a 1时，函数解析式为 y x 满足题意； a 2时，函数解析式为 y x2 ，偶函数，不符合题意； a 3时，
1 1
函数解析式为 y x3满足题意； a 时，函数解析式为 2 ，定义域为 0, ，不符合题意； a 1时，函数解
2 y x
析式为 y x 1，定义域为 ( ,0) (0, )，不符合题意.
故选：C.
3 1 2
12 k k．已知函数 f x x 2 2 k Z ．
(1)若 f x 为偶函数，且在 0, 是增函数，求 f (x) 的解析式：
(2)若 f x 在 0, 上减函数，求 k 的取值范围．
【答案】(1) f (x) x2 ；(2){ k k 1或 k 3且 k Z}.
【分析】(1)(2)根据幂函数的性质即可求解.
【详解】(1) f (x)在 0, 3 1上增函数， k k 2 02 2 ，解得 1 k 3.
又 k Z , k 0,1,2，
由 f (x) 为偶函数知 k 1， f (x) x2 ；
3 1
(2)若 f (x) 在 0, 2上减函数，则 k k 0，解得 k 1或 k 3 k Z 2 2 ，
即 k 的取值范围是{ k k 1或 k 3且 k Z}．
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A． y 2x B． y x2 1
C． y x3 D． y 2x
【答案】C
【分析】由幂函数定义可直接得到结果.
【详解】形如 y x 的函数为幂函数，则 y x3为幂函数.
故选：C.
3
2．下列四个图像中，函数 y x 4 的图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的定义域，再根据幂函数的性质判断即可；
3 3
【详解】解：因为 y x 4 ，即 y x 4 4 x3 ，所以 x
3 0，解得 x 0 ，即函数的定义域为 0, ，故排除 A、C、D，
且函数在定义域上单调递增，故 B 正确；
故选：B
A
1
3．已知实数集为R ，集合 x y x 2 ，则 R A （ ）．

A． ,0 B． ,0 C． D． 0,
【答案】B
【分析】化简得 A [0, ) ，即得解.
【详解】由题得 A [0, ) ，所以 R A ,0 .
故选：B
4．函数 y x 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据幂函数的性质判断即可；
【详解】解：因为 y f x x 的定义域为R ，
又 f x x x f x ，故 f x 为偶函数，函数图象关于 y 轴对称，故排除 C、D；
当 x 0 时 f x x ，由幂函数的性质可知， f x 在 0, 上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故 B 错误；
故选：A
m
5．如图所示是函数 y x n ( m、n N
*且互质)的图象，则（ ）
A．m
m
、n是奇数且 1 B．m
m
是偶数， n是奇数，且 1
n n
C．m
m m
是偶数， n是奇数，且 1 D．m、n是偶数，且 1
n n
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
m
【详解】解： 函数 y x n = n xm 的图象关于 y 轴对称，故 n为奇数，m 为偶数，
m
在第一象限内，函数是凸函数，故 1，
n
故选：C.
6．若幂函数 y xm 与 y xn 在第一象限内的图像如图所示，则（ ）
A． 1 n 0 m 1； B． n 1，0 m 1；
C． 1 n 0，m 1； D． n 1，m 1．
【答案】B
【分析】利用幂函数的图象和性质判断.
【详解】由图象知； y xm 在 0, 上递增，所以m 0，
由 y xm 的图象增长的越来越慢，
所以m 1， y xn 在 0, 上递减，
所以 n 0 ，又当 x 1时， y xn 的图象在 y x 1的下方，所以 n 1，
故选：B
7 2．已知幂函数 f x a 3a 3 xa 1 为偶函数，则实数 a的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1 或 2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
f x a2【详解】 幂函数 3a 3 xa 1 为偶函数，
a2 3a 3 1，且 a 1为偶数，
则实数 a 1，
故选：C
8．用函数M (x) 表示函数 f (x) 和 g(x)中的较大者，记为：M (x) max{ f (x), g(x)}，若 f (x) | x | (x 0)，
g(x) x 2 ，则M (x) 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意M (x) max{ f (x), g(x)}，
f 2 2 2, g 2 2 2 1 M 2 2 1，排除 CD 选项.
4
f 2 2 2, g 2 2 2 1 M 2 2 1，排除 B 选项.
4
所以 A 选项正确.
故选：A
9．(多选)已知幂函数 f x 的图象经过点 9,3 ，则（ ）
A．函数 f x 为增函数 B．函数 f x 为偶函数
f x f x
C．当 x 4时， f x 2 1 2 f x1 xD．当 x2 x1 0 时， 2 2 2
【答案】ACD
【分析】设幂函数 f (x) 的解析式，代入点 (9,3)，求得函数 f (x) 的解析式，根据幂函数的单调性可判断 A、C 项，根
f x f x
据函数 f (x) 的定义域可判断 B 项，结合函数 f (x) 1 2
x x
的解析式，利用平方差证明不等式 f 1 2
2 2
可判

断 D 项.
1
【详解】解：设幂函数 f x x ，则 f 9 9 3，解得 1 ，所以
2 f x x
2 ，
所以 f x 的定义域为 0, ， f x 在 0, 上单调递增，故 A 正确，
因为 f x 的定义域不关于原点对称，所以函数 f x 不是偶函数，故 B 错误，
1
当 x 4时， f x f 4 42 2，故 C 正确，
2 2
f x1 fx x 0 x
2
2 f x1 x2 x1 x2 2 x1x2 x1 x2 2 x1x2 x1 x当 时， 22 1 x1 x2 ，
2 2 4 2 4
0
4
f x f x
又 f x
x
0 1 2 ，所以 f 1
x2
2 2
，D 正确．

故选：ACD.
m
10．已知幂函数 f x 3 2m x 2 的定义域为 0, ，则实数m ______．
【答案】1
【分析】由幂函数的定义列出方程，求出m 1或m 2 ，通过检验定义域可知m 1满足要求.
【详解】由题意得到 3 2m 1，解得：m 1或m 2 ，
当m 1时， f x x ，定义域为 0, ，符合题意；
当m 2 时， f x x，定义域为R ，不符合题意．
故m 1．
故答案为：1
1
11．有四个幂函数：① f x x 1；② f x x 2 ③ f x x3； ；④ f (x) x 2 某同学研究上述函数，他给出这个
函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y | y R ，且 y 0 }：（3）在 (0, )上是减函数．如果他给出的三个性
质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数可能是__________．
【答案】①②
【分析】根据基本初等函数的定义与性质，判断是否满足条件即可．
【详解】解：对于①， f (x) x 1，是定义域 ( ， 0) (0 ， ) 上的奇函数，值域是{y | y R ，且 y 0}，且在 (0, )
上是单调减函数，满足条件；
对于②， f (x) x 2 ，是定义域 ( ， 0) (0 ， ) 上的偶函数，值域是{y | y 0}，且在 (0, )上是单调减函数，满
足条件；
对于③， f (x) x3 ，是定义域 R 上的奇函数，值域是 R ，且在 (0, )上是单调增函数，不满足条件；
1
对于④， f (x) x 2 ，是定义域为 0, ，值域是 0, ，且在 0, 上是单调增函数，不满足条件．
故答案为：①②．
12 2．幂函数 y＝ xm 2m 3（m∈Z）的图象如图所示，则实数 m 的值为________.
【答案】1
【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得m2 2m 3 0 ，m 为整数，由验证是否是偶函数即可求解.
【详解】有图象可知：该幂函数在 0， 单调递减，所以m2 2m 3 0 ，解得 1 m 3，m Z ,故m 可取0，1，2，
又因为该函数为偶函数，所以m2 2m 3为偶数，故m 1
故答案为：1
13．关于幂函数 y xa，下列命题正确的是___（填序号）．
①当 a 0时，图象是一条直线； ②图象都过点 0,0 和 1,1 ；
③若是奇函数，则一定是增函数； ④图象不可能出现在第四象限．
【答案】④
【分析】当 a 0
1
时，化简函数 y x0 的解析式，可判断①；取 a 0，可判断②；取函数 y x 可判断③；利用函数
的定义可判断④.
【详解】对于①，当 a 0时，函数 y x0 的定义域为 x x 0 ，即 y 1 x 0 ，
故当 a 0时，图象是两条射线，①错；
对于②，当 a 0时，函数 y xa的图象不过点 0,0 ，②错；
1
对于③，函数 y 为奇函数，该函数在 ,0 、 0, x 上均为减函数，③错；
对于④，因为幂函数 y xa在第一象限有图象，若该函数在第四象限有图象，这与函数的定义相矛盾，
故函数 y xa图象不可能出现在第四象限，④对.
故答案为：④.
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x ______．
① f x1x2 f x1 f x2 ；② f x f x ；③任取x1， x2 0, ， x1 x2 且 f x1 f x2 x1 x2 0．
【答案】 x2 （答案不唯一）
【分析】取 f x x2 ，利用幂函数的性质逐一验证即可.
2 2
【详解】取 f x x ，函数 f x 为幂函数，满足①； f x x f x ，则函数 f x 为偶函数，满足②；③表
2
示函数 f x 在 0, 上单调递增，由幂函数的性质可知 f x x 满足③.
故答案为： x2 （答案不唯一）
15．幂函数 f x xm 在 0, 上单调递增， g x xn在 0, 上单调递减，能够使 y f x g x 是奇函数的一
组整数 m，n 的值依次是__________．
【答案】1， 1（答案不唯一）
【分析】根据幂函数在 (0, )上的单调性得到m 0,n 0，再根据 y f x g x 是奇函数可以得到幂函数 f (x) 和
幂函数 g(x)都是奇函数，从而可得m,n的很多组值.
m
【详解】因为幂函数 f x x 在 0, 上单调递增，所以m 0，
g x xn因为幂函数 在 0, 上单调递减，所以 n 0 ，
又因为 y f x g x 是奇函数，所以幂函数 f (x) 和幂函数 g(x)都是奇函数，所以m 可以是1， n可以是 1 .
故答案为：1， 1（答案不唯一）.
16 2 m 2．已知幂函数 f x m 3m 17 x 的图像关于 y 轴对称．
(1)求 f x 的解析式；
(2)求函数 g x f 2x 4x2 3在 1,2 上的值域．
【答案】(1) f x 11 x4 ；(2) , 243
4
【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出 m 的值即可；
(2)由(1)求出函数 g(x)的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.
(1) f x m2 3m 17 xm 2【详解】 因为 是幂函数，
所以m2 3m 17 1，解得m 6或m 3．
又 f x 的图像关于 y 轴对称，所以m 6，
故 f x x4 ．
2
(2) 1 g x 16x4 4x2 3 16 x2 2 4x2 3 16 x2 1 11由（ ）可知， ．
8 4
因为 x 1,2 2，所以 x 0,4 ，
1 2 11 1 1
又函数 y 16 x 在 ( , ) 上单调递减，在 ( , )上单调递增，
8 4 8 8
2
16 x2 1 11 11所以 , 243

8 4 4
．

故 g x 在 1,2 11 上的值域为 , 243 ． 4

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