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21．1　一元二次方程
1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．
重点
通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．
难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．
归纳一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是____________________，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的________，也叫做一元二次方程的________
提出问题：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？
(3)2x－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．
知识点1：一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( 　)
A．ax＋bx＋c＝0 B．3x－2x＝3(x－2)
C．x－2x－4＝0 D．(x－1)－1＝0
D
2．关于x的一元二次方程(a－3)x＋x＋a－9＝0，其中a的取值范围为( 　)
A．a＞3　　　B．a≥3 C．a≠3 D．a＜3
C
3．已知关于x的方程(m2－4)x＋(m－2)x＋3m＝0.当m________时，它是一元二次方程；当m________时，它是一元一次方程．
≠±2；＝－2；
4．若(a－1)x＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．
a≠1
知识点2：一元二次方程的一般形式
1．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)4x＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
2．方程3x＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( 　)
A．3，5，－1 B．3，－5，1
C．3，－5，－1 D．3，5，1
B
5．将一元二次方程2y2－1＝y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：一般形式为2y2－y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－，常数项是－1
知识点3：一元二次方程的解(根)
1．若－4是关于x的一元二次方程2x＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．
答案：；4.k＝4.
2. 以－2为根的一元二次方程是(　　)
A．x＋2x－1＝0 B．x－x－2＝0 C．x＋x＋2＝0 D．x＋x－2＝0
总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．
3．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( )
A．x－x＋2＝0 B．x＋x－2＝0
C．x－x－2＝0 D．x＋1＝0
C
4．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝_____．
2
知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
B
2．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；
解：6x＝54，一般形式为6x－54＝0
(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.
解：x(x－1)＝30，一般形式为x2－x－30＝0

3．下列是方程3x＋5x－2＝0的解的是( 　)
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
C
4．已知实数a，b满足a－3a＋1＝0，b－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x－3x＋1＝0的根的说法中正确的是(　 )
A．x＝a，x＝b都不是该方程的解
B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解
C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解
D．x＝a，x＝b都是该方程的解
D
5．若关于x的一元二次方程为ax＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是( )
A．2020 B．2010
C．2016 D．2014
A
13．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________________．
m≥0且m≠2
7．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长________厘米，列方程得____________________．
(17－x) ;x＋(17－x)＝13
8．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为____________________．
x(2x－8)＝24
9．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．
(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；
(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.
10．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；
(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．
11.关于x的方程(a－3)x＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．
解：由定义可得解得a＝－3
21．1　一元二次方程
归纳一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是____________________，其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的________，也叫做一元二次方程的________
提出问题：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？
(3)2x－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？
知识点1：一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( 　)
A．ax＋bx＋c＝0 B．3x－2x＝3(x－2)
C．x－2x－4＝0 D．(x－1)－1＝0
2．关于x的一元二次方程(a－3)x＋x＋a－9＝0，其中a的取值范围为( 　)
A．a＞3　　　B．a≥3 C．a≠3 D．a＜3
3．已知关于x的方程(m2－4)x＋(m－2)x＋3m＝0.当m________时，它是一元二次方程；当m________时，它是一元一次方程．
4．若(a－1)x＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．
知识点2：一元二次方程的一般形式
1．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)4x＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
2．方程3x＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( 　)
A．3，5，－1 B．3，－5，1
C．3，－5，－1 D．3，5，1
5．将一元二次方程2y2－1＝y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

知识点3：一元二次方程的解(根)
1．若－4是关于x的一元二次方程2x＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．
2. 以－2为根的一元二次方程是(　　)
A．x＋2x－1＝0 B．x－x－2＝0 C．x＋x＋2＝0 D．x＋x－2＝0
3．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( )
A．x－x＋2＝0 B．x＋x－2＝0
C．x－x－2＝0 D．x＋1＝0
4．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝_____．
知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
1．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
2．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；
(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.
3．下列是方程3x＋5x－2＝0的解的是( 　)
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
4．已知实数a，b满足a－3a＋1＝0，b－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x－3x＋1＝0的根的说法中正确的是(　 )
A．x＝a，x＝b都不是该方程的解
B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解
C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解
D．x＝a，x＝b都是该方程的解
5．若关于x的一元二次方程为ax＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是( )
A．2020 B．2010
C．2016 D．2014
13．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________________．

7．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长________厘米，列方程得____________________．
8．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为____________________．
9．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．
(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；
(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.
根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；
(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．
11.关于x的方程(a－3)x＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．

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