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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解（解析版）
4.1因式分解
【知识重点】
1．因式分解：
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，或分解因式；
(2)注意： ①因式分解的对象必须是一个多项式；②因式分解的结果必须是几个整式的积的形式． 一般有两种形式：A单项式乘以多项式； B多项式乘以多项式；
(3)因式分解是一个恒等变形.
2．因式分解和整式的乘法的关系：
(1)因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性.
(2)从右到左是因式分解，其特点是由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；从左到右是整式乘法，其特点是由整式的积的形式转化成和差形式(多项式)．
.
【经典例题】
【例1】下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （　　）
A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．ab+ac+1=a（b+c）+1
C．a2-2a-3=（a-1）（a-3） D．a2-8a+16=（a-4）2
【答案】D
【解析】A、是多项式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、a2-2a-3=（a+1）（a-3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫因式分解，根据因式分解的定义分别进行判断即可.
【例2】若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
【答案】解：∵2x2+mx﹣1=（2x+1）（x﹣1）=2x2﹣x﹣1，
∴mx=﹣x，
则m=﹣1．
【分析】先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到结果为2x2﹣x﹣1，利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【例3】若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于　 　
【答案】﹣6
【解析】∵4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，
∴令4x﹣3=0，则x= ，
把x= 代入方程4x2+5x+a=0中得 + +a=0，解得：a=﹣6．
故答案是：﹣6．
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式分解为几个整式的乘积形式，就是因式分解；从而可以设4x2+5x+a=（4x﹣3）A，令4x﹣3=0，则x=，把x=代入方程4x2+5x+a=0即可得出一个关于a的方程，求解即可得出a的值。
【基础训练】
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、没有分解成整式乘积的形式，故此选项错误，不符合题意；
B、是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意；
C、是因式分解，故此选项正确，符合题意；
D、分解不正确，正确分解结果：，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
2．在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是()
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、 是因式分解，则此项不符题意；
B、 的右边不是积的形式，不是因式分解，则此项符合题意；
C、 是因式分解，则此项不符题意；
D、 是因式分解，则此项不符题意.
故答案为：B.
3．下面有两个对代数式进行变形的过程：
① ；
② .
其中，完成“分解因式”要求的（　　）
A．只有① B．只有② C．有①和② D．一个也没有
【答案】D
【解析】①（c+b）（c-b）-a（a+2b）
=c2-b2-a2-2ab
=c2-（b2+a2+2ab）
=c2-（a+b）2
=（c+a+b）（c-a-b），
故①未完成因式分解，不符合；
②（2a2+2）（a2-1）
=2（a2+1）（a2-1）
=2（a2+1）（a+1）（a-1），
故②未完成因式分解，不符合.
故答案为：D.
4．若多项式
可因式分解为
，则
的值为（　　）
A．-3 B．11 C．-11 D．3
【答案】D
【解析】∵x2+mx-28=（x-4）（x+7），
∴x2+mx-28=x2+3x-28，
∴m=3.
故答案为：D.
5．若 ，则mn的值为(　　)
A．5 B．-5 C．10 D．-10
【答案】C
【解析】（ x+ 3 ） （ x+n ） = x2 +(n+3)x+3n= x2 +mx- 15,
则
解得m=-2n=-5
则mn=(-2)×（-5）=10.
故选C.
6．如果多项式x2﹣mx﹣35分解因式为（x﹣5）（x+7），则m的值为（　　）.
A．﹣2 B．2 C．12 D．-12
【答案】A
【解析】解：∵（x﹣5）（x+7），
=x2+7x﹣5x﹣35
=x2+2x﹣35
=x2﹣mx﹣35，
∴m=﹣2．
故选A．
7．若关于x的多项式x2﹣mx+n能因式分解为：（x﹣2）（x+3），则m+n＝　 　
【答案】-7
【解析】∵多项式x2﹣mx+n能因式分解为（x﹣2）（x+3），
∴x2﹣mx+n＝x2+x﹣6，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
∴m+n＝﹣1﹣6＝﹣7．
故答案是：﹣7．
8．把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为　 　
【答案】2
【解析】（x+1）（x+2），
=x2+2x+x+2，
=x2+3x+2，
所以c=2．
9．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a=　 　，b=　 　
【答案】1 ；
【解析】∵x2﹣ax﹣1=（x﹣2）（x+b）=x2+（b﹣2）x﹣2b，
∴﹣2b=﹣1，b﹣2=﹣a，
∴b= ，a=1 ．
故答案为：1 ， ．
10．
（1） ，这种从左到右的变形是　 　；
（2） ，这种从左到右的变形是　 　.
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是　 　.
【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【解析】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
【培优训练】
11． 下列式子变形是因式分解的是（　　）.
A．x2-5x+6=x(x-5)+6 B．
C．(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D．x2-5x+6=(x-2)(x-3)
【答案】D
【解析】A、没把一个多项式转成几个整式乘积的形式，故选项A不符合题意；
B、因式中含有分式，故选项B不符合题意；
C、该选项为整式的乘法，故选项C不符合题意 ；
D、 x2-5x+6=（x-2)(x-3)，是因式分解，故选项D符合题意.
故答案为：D.
12．多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（　　）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
【答案】A
【解析】∵多项式x3-5x2-3x-k有一个因式为（x - 5），
∴x3-5x2-3x-k=（x3-5x2）-（3x+k）=x2（x-5）-3（x-5）=（x-5）（x2-3），
∴k=-15.
故答案为：A.
13．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=　 　，n=　 　．
【答案】6；1
【解析】∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n
∴ ，
∴ ，
故答案为：6，1．
14．多项式x2﹣x+k有一个因式为x﹣2，则k=　 　
【答案】﹣2
【解析】把x=2代入方程x2﹣x+k=0中得4﹣2+k=0，
解得：k=﹣2．
故答案为：﹣2．
15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=　 　
【答案】15
【解析】分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故答案为：15．
16．分解因式（x2+5x+3）（x2+5x﹣23）+k=（x2+5x﹣10）2后，求k的值．
【答案】解：k=（x2+5x﹣10）2﹣（x2+5x+3）（x2+5x﹣23），
=（x2+5x）2﹣20（x2+5x）+100﹣（x2+5x）2+20（x2+5x）+69，
=169．
17．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
【答案】解法一：设另一个因式是x+a，则有（x+5） （x+a），=x2+（5+a）x+5a，=x2+mx+n，∴5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组解得∴m、n的值分别是7、10．解法二：依题意知，x=﹣5是方程x2+mx+n=0的解，则25﹣5m+n=0，①又m+n=17，②由①②得到：m=7，n=10．
18．分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），
∴x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的两个根，
∴，
解得：．
19．仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
20．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
【直击中考】
21．（2022·济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
22．（2020·河北）对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【解析】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
23．（2017·常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）=am+an
B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【答案】C
【解析】（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选（C）
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浙教版2022-2023学年数学七年级下册第4章因式分解
4.1因式分解
【知识重点】
1．因式分解：
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，或分解因式；
(2)注意： ①因式分解的对象必须是一个多项式；②因式分解的结果必须是几个整式的积的形式． 一般有两种形式：A单项式乘以多项式； B多项式乘以多项式；
(3)因式分解是一个恒等变形.
2．因式分解和整式的乘法的关系：
(1)因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性.
(2)从右到左是因式分解，其特点是由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；从左到右是整式乘法，其特点是由整式的积的形式转化成和差形式(多项式)．
.
【经典例题】
【例1】下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （　　）
A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．ab+ac+1=a（b+c）+1
C．a2-2a-3=（a-1）（a-3） D．a2-8a+16=（a-4）2
【例2】若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
【例3】若4x﹣3是多项式4x2+5x+a的一个因式，则a等于　 　
【基础训练】
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是()
A． B．
C． D．
3．下面有两个对代数式进行变形的过程：
① ；
② .
其中，完成“分解因式”要求的（　　）
A．只有① B．只有② C．有①和② D．一个也没有
4．若多项式
可因式分解为
，则
的值为（　　）
A．-3 B．11 C．-11 D．3
5．若 ，则mn的值为(　　)
A．5 B．-5 C．10 D．-10
6．如果多项式x2﹣mx﹣35分解因式为（x﹣5）（x+7），则m的值为（　　）.
A．﹣2 B．2 C．12 D．-12
7．若关于x的多项式x2﹣mx+n能因式分解为：（x﹣2）（x+3），则m+n＝　 　
8．把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为　 　
9．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a=　 　，b=　 　
10．
（1） ，这种从左到右的变形是　 　；
（2） ，这种从左到右的变形是　 　.
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是　 　.
【培优训练】
11． 下列式子变形是因式分解的是（　　）.
A．x2-5x+6=x(x-5)+6 B．
C．(x-2)(x-3)=x2-5x+6 D．x2-5x+6=(x-2)(x-3)
12．多项式x3 - 5x2 - 3x - k中，有一个因式为（x - 5），则常数k的值为（　　）
A．- 15 B．15 C．- 3 D．3
13．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=　 　，n=　 　．
14．多项式x2﹣x+k有一个因式为x﹣2，则k=　 　
15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=　 　
16．分解因式（x2+5x+3）（x2+5x﹣23）+k=（x2+5x﹣10）2后，求k的值．
17．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
18．分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
19．仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
20．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【直击中考】
21．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
22．对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
23．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）=am+an
B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
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