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第一章 空间向量与立体几何 期末复习题
一、单选题（12题）
1．已知向量，，且，那么实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 为空间的一组基底， 则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
5．三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
7．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间向量，，且，则（ ）
A．9 B． C．1 D．
9．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．在直三棱柱中，，，是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4题）
13．已知，，若与共线，则_________.
14．如图，在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，若，其中x，y，，则___________，___________，___________．
15．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为__________
16．在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于___________．
三、解答题（6题）
17．如图，平行六面体中，，，，点满足
(1)求的长度
(2)求
18．如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线．
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小．
19．已知．
(1)若，求的值．
(2)若，且，求的值．
20．已知空间三点，，，设 ， .
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)若向量 与互相垂直，求的值.
21．如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，平面，且，的中点为．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
22．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正切值；
(3)求点到平面的距离.
参考答案：
1．B
【分析】根据平行关系可知，由向量坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】，，，解得：.
故选：B.
2．B
【分析】根据空间向量加法的几何意义，结合长方体的性质进行求解即可.
【详解】，
故选：B
3．D
【分析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.
【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，
因此.
故选：D.
4．B
【分析】根据空间基底的概念，空间向量基本定理结合条件即得.
【详解】因为，所以共面，故A不合题意；
因为，所以共面，故C不合题意；
因为，所以共面，故D不合题意；
对于B，假设 共面， 则存在， 使，
则，无解，所以 不共面，可以作为空间的一组基底，故B适合题意.
故选：B.
5．D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．
【详解】．
故选：D．
6．A
【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.
故选：A.
7．B
【分析】根据，利用空间向量的数量积和模的公式求解.
【详解】解：由题意知．
设与的夹角为，
则．
又，
．
,
故选：B．
8．C
【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解.
【详解】因为空间向量，，且，
所以，解得：，
故选：.
9．A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可．
【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，，，，，，
由于，所以，解得，所以线段AD的长度为.
故选：A
10．D
【分析】分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值．
【详解】由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
由已知，到直线的距离为，
则，，，，从而，.
故，因此是钝角，
.
故选：D．
11．C
【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
，，
，，
所以点P到AB的距离．
故选：C.
12．B
【分析】设，求的坐标，利用向量垂直坐标表示列方程求值，再写出，利用空间向量夹角公式得到向量夹角，最后得到异面直线夹角.
【详解】设，则，，，，，，，，因为，所以，解得.
因为，，所以，故异面直线与夹角的余值为.
故选：B.
13．##
【分析】由向量共线的坐标表示得出的值.
【详解】因为与共线，所以，所以，，则.
故答案为：
14． ## ## ##
【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而可求解.
【详解】因为D为的中点，E为的中点，
所以
.
因为，所以.
故答案为:.
15．3
【分析】由向量的夹角公式列方程求解.
【详解】向量，，
∴，
，
．
又夹角的余弦值为，
∴，
解得．
故答案为:．
16．
【分析】根据题意建立空间直角坐标系,根据三棱锥的体积求出点的位置,进而求出各个点的坐标,求出平面的法向量,再求出夹角的余弦值的绝对值,即线与面夹角的正弦值.
【详解】解:由题知直三棱柱中,,
所以以为原点,方向为轴,方向为轴, 方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系:
,,,
又有三棱锥的体积为4,
即,
,
,
记平面法向量为,
则,即,
令可得,
,
故直线与平面所成角的正弦值等于.
故答案为:
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由线段的空间位置关系可得，应用向量数量积的运算律求即可；
（2）由，结合（1）并应用向量数量积的运算律求值.
【详解】（1）如下图，，又，
所以，
故.
（2）如下图，，
所以.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出；
（2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.
【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，
所以圆柱的侧面积.
（2）由已知可得，两两垂直，且相等，
设，则，，.
又， ，
则.
所以，
又，所以，
所以异面直线AC与所成角的大小为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量的线性运算和向量平行的坐标运算，列方程求解.
（2）利用向量垂直的充要条件和向量模的坐标运算，列方程求解.
【详解】（1）
，．
， ，解得
（2）由，得， ∴ ，
由，有，即， ，
解得
20．(1)
(2)或
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求解即可.
（2）根据题意得到，再解方程即可.
【详解】（1），.
.
（2），.
因为向量 与互相垂直，所以，
即，解得或.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明，即可证明
（2）分别求出面和面的法向量即可求出二面角的余弦值.
【详解】（1）由题意证明如下
在平行四边形中，，
∴，
∴
在四棱锥中，平面，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴
（2）由题意及（1）得，平面，的中点为
在平行四边形中，，，
建立空间直角坐标系如下图所示
由几何知识得
，，，，，
在面中，其一个法向量为
在面中，，
设其一个法向量为
∴即，解得：
当时，，
二面角的余弦值为：
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决；（2）设平面的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可；（3）由题得，由点到平面的距离为解决即可.
【详解】（1）
根据题意，建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，
所以，
因为是棱的中点，
所以，
所以,
设平面的一个法向量为，
所以，得，令，得，
所以，
因为,
所以，
因为平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面的一个法向量为，
由题可设平面的一个法向量为，
所以，
所以，
所以，
所以平面与平面的夹角的正切值为.
（3）由（1）得平面的一个法向量为，
所以，
所以点到平面的距离为.
所以点到平面的距离为.

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