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5.4二项式定理 测试卷
一、单选题
1．已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
3．已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
4．在的展开式中，常数项为（ ）
A． B．24 C． D．48
5．的展开式的第3项是（ ）
A． B． C． D．
6．若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
二、多选题
9．关于的展开式，下列判断正确的是( )
A．展开式共有8项 B．展开式的各二项式系数的和为128
C．展开式的第7项的二项式系数为49 D．展开式的各项系数的和为
10．二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
11．已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，下列结论正确的有（ ）
A．各项二项式系数和为128 B．式子的值为2
C．式子的值为－1094 D．式子的值为1093
三、填空题
13．的展开式中常数项为_________.
14．若的二项展开式中系数最大的项为第7项，则______．
15．若的展开式中常数项为70，则______．
16．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则年以后是__________年.
四、解答题
17．在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
18．已知，该展开式二项式系数和为32.
(1)求n的值；
(2)求的值.
19．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
(1)求的值；
(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．
20．已知（为正整数）的二项展开式中.
(1)若，求所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的有理项的个数；
(3)若，求系数最大的项.
21．
(1)已知在的二项展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求该二项展开式中不含x的项；
(2)已知在的二项展开式中，只有第七项的系数最大，求n的值；
(3)已知在的二项展开式中，第六项的系数最小，求n的值．
22．将的二项展开式中的二项式系数依次列为：.
(1)依据二顶式定理，将展开，并求证：；
(2)研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为.
参考答案
1．C
【分析】利用二项式定理求得的展开通项，从而利用与的系数相等得到关于的方程，进而求得的值，由此得解.
【详解】因为的展开通项为
又因为第项与第项的系数相等，所以，
由二项式系数的性质知，则，故，
所以的二项展开式中所有项的系数之和为.
故选：C.
2．C
【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.
【详解】展开式的通项公式，
令，得，
所以在的展开式中，的系数为，
故选：C
3．B
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式的展开式为，
令，解得，
所以.
故选：B
4．B
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．
【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为
故选：B
5．B
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】由二项式定理展开式的通项公式得：.
故选：B
6．A
【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值.
【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当是偶数时，该项为有理项，
时，；时，；
时，；时，；
时，；时，；
时，.
经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
故选：A.
7．C
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数分别为，求出展开式含项的系数和含项的系数，列出方程求出．
【详解】解：展开式的通项为
令得
故含的系数为
令得
故含项的系数为
将，6，8，10代入检验得
故选：C．
8．D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项，
若要系数为有理数，则，，，且，
即，，易知满足条件的，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
9．ABD
【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可．
【详解】展开式共有项，故A正确．
展开式的各二项式系数的和为，故B正确．
展开式的第7项的二项式系数为，故C错误．
展开式的各项系数的和为，故D正确．
故选：ABD．
10．CD
【分析】若为偶数，则展开式中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项与的二项式系数和相等，且最大.
【详解】因为二项式(2x－1)7展开式一共8项，其中中间两项的二项式系数最大，
易知当r＝3或r＝4时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项.
故选：CD
11．BD
【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可
【详解】解：由，得
，则
其展开式的通项公式为，
对于A，令，则，所以A错误，
对于B，令，则，所以B正确；
对于C，在中令，则，所以C错误；
对于D，，所以D正确，
故选：BD
12．ACD
【分析】由二项式系数的性质可判断A；用赋值法令，，可判断BCD
【详解】对于A：二项式的各项二项式系数和为，故A正确；
对于BCD：令，则，
即，
令，则，
即，
令，则，
所以，故B错误；
由，
解得，，故C正确，D正确；
故选：ACD
13．
【分析】根据的展开式的通项公式求出的系数即得的展开式中常数项.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的展开式中常数项为.
故答案为：.
14．12
【分析】由二项式系数性质可得答案.
【详解】的二项展开式有项，
因为系数最大的项为第7项，由二项式系数性质可得.
故答案为：12.
15．
【分析】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，；
当时，，，
所以常数项为，解得．
故答案为：
16．癸卯
【分析】根据二项式定理分别将展开为和，求出分别在以12为周期和10为周期时的位置，即可求出天干地支的位置.
【详解】因为，所以年以后地支为“寅”后面的“卯”.
因为，，除以10余数为1，所以年以后天干为“壬”后面的“癸”，故年以后是癸卯年.
故答案为：癸卯
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用展开式的二项式系数和可求得结果；
（2）令可求得展开式各项系数之和.
(1)
解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为.
(2)
解：由题意可知，展开式的各项系数之和为.
18．(1)5
(2)
【分析】（1）根据题意，得，解方程即可求解.
（2）根据题意，代入即可求解
【详解】（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得.
（2）在展开式中令，得，
即.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.
（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．
(1)
由题设，，整理得，解得（舍）或；
(2)
由（1）知：二项式展开式通项为，
当时为含的项，故，解得.
20．(1)
(2)11
(3)
【分析】（1）由题意求出，令中，即可得出答案.
（2）求出，写出的通项，要使展开式为有理项，则，求解即可；
（3）设二项式展开式第项的系数最大，求出的通项，则，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，
而，
所以.
所以令中，则所有项的系数之和为：.
（2）若，则，
，解得：.
则的通项为：，
其中，要使展开式为有理项，
则，则，
故展开式中的有理项的个数为.
（3）若，则的通项为：，
则设二项式展开式第项的系数最大，
则，得，
化简得：，解得：.
因为，则，所以系数最大的项为.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据只有第六项的二项式系数最大和二项式系数的性质可得，利用的展开式的通项令，求出可得答案；
（2）求出的展开式的通项，可知展开式的偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，只有第七项的系数最大，则有，且，解不等式组可得答案；
（3）求出的二项展开式的通项，可知偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，第六项的系数最小可得，解不等式组可得答案.
【详解】（1）因为只有第六项的二项式系数最大，由二项式系数的性质可得，
的二项展开式的通项为，
令，所以，该二项展开式中不含x的项为；
（2）的二项展开式的通项为，
所以展开式项的系数是，即偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，
只有第七项的系数最大，则有，且，
又，解得；
（3）的二项展开式的通项为，
所以展开式项的系数是，即偶数项的系数为负数，奇数项的系数为正数，
第六项的系数为，因为第六项的系数最小，
所以，又，解得.
22．(1)，证明见解析；
(2)答案见解析．
【分析】（1）由二项式定理得展开式，在展开式中令可证结论成立；
（2）用作差法可得出二项式系数的单调性，从而得出最大值．
【详解】（1）由已知，
令得；
（2），，
当，，即时，，，
当，即时，，，
所以中，从到递增，从到递减，
所以是最大值．

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