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高考数学《随机变量及其分布》综合复习练习题（含答案）
一、单选题
1．设随机变量的分布列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个.已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．今有箱货物，其中甲厂生产的有箱，乙厂生产的有箱．已知甲厂生产的每箱中装有个合格品，不合格品有个；而乙厂生产的每箱中装有个合格品，不合格品有个．现从箱中任取箱，再从这一箱中任取件产品，则这件产品是甲厂生产的合格品的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．重庆某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了2021年12月考，共有1600名学生参加，其测试成绩（满分150分）服从正态分布，成绩125分及以上者为优秀.已知115分及以上的人数为40人，请你通过以上信息，推断数学成绩优秀的人数为（ ）
附：，，.
A．8 B．13 C．16 D．32
6．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
7．在四张卡片上写上甲、乙、丙、丁四位同学的名字，再随机地发给这四位同学，在甲得到写有自己名字的卡片的情况下，其他人得到的都不是写有自己名字的卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A、B同时发生的概率
9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为（ ）
A． B．
C． D．
10．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有1次通过的概率是
A． B． C． D．
11．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．随着社会的发展，人们在购买商品时支付的方式也呈现多样化某超市在顾客支付商品时可提供“现金支付”，“信用卡支付”，“手机支付”三种支付方式，根据超市统计结果显示，用“现金支付”的人约占，用“信用卡支付”的人约占，用“手机支付”的人约占，若用上面的频率表示概率，现有甲、乙、丙三人，他们选择支付的方式互不影响，则甲乙选择支付方式相同的条件下，甲乙丙三人都选择“手机支付”的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若随机变量，且，则_______．
14．已知随机变量服从正态分布,且,则__________．
15．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.该射手任取一支枪射击，中靶的概率是___________.
16．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则___________.
三、解答题
17．甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为．
(1)求p的值；
(2)求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．
18．在“学习强国”APP中，“争上游”栏目的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分．若甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，求甲作答两局的得分期望．
19．已知三棱柱中，，，平面ABC，E为AB的中点，为上一点．
(1)求证：；
(2)当为的中点时，求二面角的余弦值．
20．某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．
21．已知函数的部分图象如图所示，其中，，.
(1)求，，的值；
(2)将函数图象的横坐标伸长到原来的倍后，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调区间.
22．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务.成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模 多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射 自定义漫游 全尺寸太阳能 空间运输等10个相互独立的程序题目组成，规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；（结果用分数表示）
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望；
(3)判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
23．“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，参与“双人对战”获胜的概率为，且每次答题相互独立.
(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；
(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和.
24．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望.
参考答案
1．C2．C3．C4．A5．A6．C7．A8．A9．C10．C11．B12．C
13．
14．0.3
15．0.7##
16．
17．（1）“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的事件是甲猜对的事件与乙猜对的事件的和，它们互斥，
于是得，解得，
所以.
（2）由（1）知，“梦之队”每一轮活动中猜对1个谜语的事件概率为，猜对两个谜语的事件概率为，
“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的事件是第一轮猜对两个第二轮猜对一个事件A与第一轮猜对一个第二轮猜对两个的事件B的和，它们互斥，
，，
所以“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为.
18．设甲参加两局答题活动得分为，则可取的值为2，3，4，5．
若，即该人两局都失败，则；
若，即该人第一局失败，而第二局胜利，则；
若，即该人第一局胜利，而第二局失败，则；
若，即该人两局都胜利，则．则的分布为，
故．
19．(1)
∵平面，平面，
∴．
又，是的中点，
∴
∵，
∴平面，
又平面，
∴；
(2)
如图，以C为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
∴，，
设平面CAD的法向量为，
由得
不妨令，得平面CAD的一个法向量为．
由（1）可得平面ADB的一个法向量为，
∴，
由图象可知二面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
20．（1）
解：由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为，
∴健康上网天数超过20天的学生人数是；
所以健康上网天数超过20天的学生人数是10.
（2）
解：随机变量Y的所有可能取值为0，1，2．
P(Y＝0)，P(Y＝1)，P(Y＝2)，
∴Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
21．（1）
由，，
得，则，
所以，
故；
而，故，则；
因为，故，
故；
将代入中，则，解得；
（2）
由（1）得，
函数图象的横坐标伸长到原来的倍后，可得，
再向右平移个单位长度，得到函数，
令，
化简得，，
令，
化简得，
故函数的单调递增区间，
单调递减区间为.
22．(1)
记事件A“乙闯关成功”，.
所以；
(2)
甲编写程序正确的个数X可能取0，1，2，3，
，
，
分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望E.
(3)
甲闯关成功的概率
所以甲比乙闯关成功的概率要大.
23．(1)
解：依题意可知，若该人积分为4分，则在“四人赛”中首局积3分，第二局积1分，或者首局积2分，第二局积2分，所以.
(2)
解：由题意知，的可能取值为3，4，5，6，7，
，
，
，
，
.
故的分布列为：
3 4 5 6 7
P
所以.
24．（1）由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以

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