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第五单元 函数
第一讲 位置的确定
考点⒈平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，其中水平的数轴称为x轴或横轴，铅直的数轴称为y轴或纵轴，它们的公共原点O就是直角坐标系的原点。
⒈点的坐标：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足在x轴,y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。
⒉点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对都对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。
⒊点的坐标特征及位置判断
P(a,b)在第一象限a>0,b>0；
P(a,b)在第二象限a<0,b>0；
P(a,b)在第三象限a<0,b<0；
P(a,b)在第四象限a>0,b<0。
已知点的位置可以判断点的坐标特征，反之已知点的坐标特征可以大致判断点的位置。
【例1】在平面直角坐标系中，对于平面内仍一点（a,b）若规定以下三种变换：
①f(a,b)=(-a,b),如f(1,3)=(-1,3)
②g(a,b)=(b,a)，如g(1,3)(3,1)
③h(a,b)=(-a,-b)，如h(1,3)(-1,-3)
按照以上变换有：f(g(2,-3))=f(-3,2)=(3,2),那么f(h(5,-3))=（ ）
A,(-5,3) B.(5,3) C.(5,-3) D.(-5,3)
答：B.
考点2：点的位置的确定
中考中有不少考题是让我们去确定某点的位置，这就需要我们掌握确定点的位置的常用方法：⑴区域定位法；⑵极坐标定位法;从一定点出发，测出被测点到定点的距离及相对于定点所处的方位角，点的位
置可由距离和方位角来确定；⑶直角坐标系定位法：先确定原点，建立平面直角坐标系，再确定点的横坐标和纵坐标，点的位置就由横坐标和纵坐标唯一确定。这是数学中常用的位置确定方法，同学们要重点把握。
【例2】已知点M（-2,3）在双曲线y=k/x上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A.(3，-2) B.(-2，-3) D.(2,3) D.(3,2)
解：A.
【例3】如图所示，试确定A的位置。
考点3：特殊点的坐标特征
⒈点P的坐标为（a,b），若a=b，则点P在第一、三象限的角平分线上；若a+b=0，则点P在第二、四象限的角平分线上。
⒉设P(a,b),P(a),若a=a≠0,且b≠b则PP∥y轴；若b=b≠0,且a≠a， PP∥X轴。
, ⒊若点P（a,b）在x轴上，则a为任意实数，b=0;若点P(a,b)在y轴上，则a=0,b为任意实数。
⒋点P（a,b）关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）；点P（a,b）关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）；点P（a,b）关于原点对称的点的坐标为（-a,-b）。上面的规律可借助口诀“于谁对称谁不变，原点对称谁都变”来帮助记忆。上面的规律反过来也是成立的。即若在点P（a,b）和点P(a,b)中，如果a=a，b+b=0，则点P与点P关于x轴对称；
如果a+a=0，b=b，则点P与点P关于y轴对称；如果a+a=0,b+b =0则点P与点P关于原点对称。利用对称点的坐标特征，可帮助我们画出对称图形，还可帮助我们解决与对称图形有关的计算问题。
⒌图形坐标变化与图形的轴对称之间的关系：图形的轴对称是直角坐标系中已知重要的图形变化，也是每年各地中考试题考查的一个重点，在平面直角坐标系中，当图形上各点的横坐标不变，纵坐标乘以-1时，那么所得的新图形与原图形关于原点对称。
【例4】（多选）下列说法正确的是（ ）
A.是一个无理数；
B.函数中自变量的取值范围是x＞1；
C.8的立方根是±2；
D.若点P（2，a）和点Q(b,3)关于x轴对称，则a+b的值为5.
解：B,D.
考点4：平面直角坐标系
【例5】如果点P（m,1-2m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）。
A.01/2
解：D.由于点P在第四象限，所以，解得m>1/2.故选D.
考点5：坐标与几何图形的结合：
【例6】如图，直线：y=x+1与直线：y=mx+n相交于点P(1,b)
⑴求b的值；
⑵不解关于x,y的方程组，请你直接写出它的解；
⑶直线：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由。
解：⑴b=2; ⑵解是
⑶直线y=nx+m也经过点P。因为点P（1,2）在直线y=mx+n上，所以m+n=2，所以2=n×1+m，这说明直线y=nx+m也经过点P。
【例7】已知P点到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，求点P的坐标。
解：P点的坐标为（1,2）或（-1,2）或（1，-2）或（-1，-2）。
考点6：确定某地点的位置
在现实生活中，常常利用本节知识来确定某地点的位置，常用的方法有：⑴区域定位法；⑵极坐标定位法；⑶直角坐标系定位法。
第二讲 变量与函数
考点1：函数的有关概念
⒈变量与常量
在某个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在这个过程中，取同一数值的量叫做常量。
⒉函数
如果在有关变化过程中，有两个变量x,y，对于x的每一个值，y都有唯一缺点的值与之对应，这时称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。对函数概念的理解，主要应抓住以下三点：⑴有两个变量；⑵有关变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；⑶每确定自变量的一个数值 ，函数有一个并且只有一个值与之对应。
【例1】如图，下列曲线中，表示的y不是x的函数的是（ ）
A B C D
.
【例2】已知信件质量m(g)和邮费y（元）之间的关系如下表：
信件质量m(g) 0 邮费y（元） 0.80 1.20 1.60
你能将其中一个变量看成另一个变量的函数吗？
解：可将y看成m的函数，但m不是y的函数。
考点2：求函数（或自变量）的值、自变量的取值范围
⒈对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=m时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值就叫做当x=m时的函数值。
⒉函数求值中的几种常见形式
⑴当函数是用函数表达式表示时，求函数的值，就是秋代数式的值；
⑵当已知函数值及函数表达式时，求相应自变量的值时，其实质就是解方程；
⑶当给定函数值的取值范围，求相应的自变量的取值范围是，其实质是解表达式（组）。
⒊自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围。
⒋求函数自变量的取值范围
首先，要考虑自变量的取值必须使表达式有意义：⑴当自变量以整式形式出现时，自变量的取值范围是全体实数；⑵当自变量以分式形式出现时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；⑶当自变量以偶次方根形式出现时，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数；⑷当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为零的实数。
其次，当函数表达式表示实际问题或几何问题时，自变量取值范围除应使函数表达式有意义外，还必须符合实际意义或几何意义。
再者，在一个函数关系式中，同时又几种代数式时，函数的自变量取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。
【例3】函数中自变量x的取值范围是（ ）
A.x≤2 B.x=3 C.x＜2且x≠3 D.x≤2且x≠3
解：A.
考点3：函数的表达方法及函数不等式的确定
⒈函数关系的表示方法由三种：⑴解析法；⑵列表法；⑶图像法
⒉函数图象：对于一个函数，把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形就是这个函数的图象。
⒊函数图象的画法：⑴列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值，列出表格；⑵描点：以x的值作为横坐标，其对应的y
的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；⑶连线：按自变量从小到大的顺序，把所描的点用光滑曲线连接起来，即可得到函数的图象。
⒋确定函数的表达式：在函数问题中，有时需要我们确定确定函数的表达式。它可借助于图象，也可以借助于表格或实际生活常识或经验来求出，一般可设x为自变量，y为x的函数，先找出y相对于x的变化规律，然后借助已知中的信息列关于x，y的二元方程求出。
【例4】某种活期储蓄的月利率是0.16%，存入10000元本金，按国家规定，取款时应缴纳利息部分20%的利息税，则这种活期储蓄和除利息税后实得本息和y(元)与所存月数x之间的关系式为＿＿＿。
解：y=10000+12.8x.
考点4：函数图象的应用
函数图象的应用的关键是正确分析函数图象，获取有用信息。在分析函数图象时，要注意分析问题所涉及的变量及各变量之间的关系，要注意横轴表示自变量的值，纵轴表示因变量的值。要注意分析其中各点的意义，要注意分析其增减性，即随着x的增大而增大，y是增大还是减小，还是不变，还要注意由图象的直与曲来分析其变化方式。在现实生活中，自变量的取值往往是有一定限制的，所以在解决这类问题时，大家要注意自变量的取值范围。
【例5】如图，反映了某公司的销售收入与销量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须＿＿＿＿。
解：大于4.当时，公司赢利，对应的x值满足x＞4.
考点5：函数图象在物理问题中的应用
【例6】如图，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC,CD运动到点D停止。这点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y过于x的函数图象如图5-2-4所示，则△BCD的面积是（ ）。
A.3 B.4 C.5 D.6

解：A. 图5-2-4
考点6：函数关系式的应用
【例7】市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积200cm2的矩形学具进行展示。设矩形的宽为ycm,那么这些图象所制作的矩形长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是图5-2-5中的（ ）
第一、二讲 实弹演习
一、选择题
1.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点坐标是（3，4），
则顶点M、N的坐标分别是 （ ）
A.M(5，0),N(8，4) B.M(4，0),N(8，4)
C.M(5，0),N(7，4) D.M(4，0),N(7，4)
2.函数y=中自变量x的取值范围是 （ ）
A.x≥-3 B.x≥-3且x≠1 C.x≠1 D.x≠-3且x≠1
3.在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点（x,y）
落在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.如图，已知点A(1，2)，B（5,6），长为1的线段CD在x轴上运动，当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为 （ ）
A.(3/2，0) B.(7/4，0) C.(2，0) D.(9/4，0)
5.已知，如图点P是正方形ABCD的对角线AC上的一 个动点（A、C除外），作PE⊥AB于点E,作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图形中，大致表示y与x之间的函数关系是 （ ）
C D
二、解答题
1.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A,C的坐标分别为（-4,5），（-1,3）.
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′;
⑶写出点B′的坐标.
第三讲 一次函数
考点1：一次函数
⒈一次函数
⑴概念：一次函数的概念是判断一个函数是否为一次函数的主要依据。一般地，若两个变量x,y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数k≠0)的形式，我们称y是x的一次函数。对于此概念，要注意：①一次函数是关于x的一个整式；②其中的k,b是常数，且必须满足k≠0，这是易忽略点。
⑵特征：在一次函数y=kx+b中，k和b都是常数，k的值不能为0，x的次数必须为1，b可以取任意值。
⒉正比例函数
⑴概念：一次函数y=kx+b(k,b为常数k≠0)，特别地，当b=0时，一次函数变为y=kx（k≠0）的形式，这时我们称y是x的正比例函数。
⑵特征：在正比例函数y=kx中k为常数且k≠0，x的次数必须为1.
⒊正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。在一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数。
【例1】如果点M在直线y=x-1上，则M点的坐标可以是（ ）
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1，-1)
解：C.
考点2：一次函数图象及其性质
⒈一次函数图象及其直线
⑴图象：一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b）和点（）的一条直线。
⑵性质：
①y=kx+b(k≠0)的增减性用表格表示如下：
②y=kx+b的图象所过象限用表格表示如下：
③y=kx+b的图象所过象限同语言课表述为：
当k>0,b>0时，直线y=kx+b经过第一、二、三象限；
当k>0,b<0时，直线y=kx+b经过第一、三、四象限；
当k<0,b>0时，直线y=kx+b经过第一、二、四象限；
当k<0,b<0时，直线y=kx+b经过第二、三、四象限。
⒉正比例函数图象及其性质
⑴图象：正比例函数y=kx的图象是经过原点（0,0）的一条直线。
⑴性质：
①增减性：对于正比例函数y=kx，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；
②图象所在象限：当k>0时，图象位于第一、三象限内；当k<0时，图象位于第二、四象限内。由此可见，正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的增减性相同，特殊之处在于其图象只经过两个象限。
⒊当一次函数y=kx+b(k≠0)中，| k|越大，y随x 的变化幅度越大。 ⒋同一平面直角坐标系中两直线的位置关系：对于直线y=和直线，当时，两直线平行；当时，两直线相交；当时，两直线重合。
【例2】一次函数y=kx+b的图象只经过第一、二、三象限，则（ ）
A.k<0,b>0 B. k>0,b>0 C. k>0,b<0 D. k<0,b<0
解：B.
【例3】一个弹簧，不挂物体时长为12cm，挂上物体时会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例，如果挂上3kg的物体后，弹簧总长为13.5cm，求弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式，并画出图像。
解：设y=12+kx，根据题意，得13.5=12+3k。解得k=0.5。因为x为所挂物体的质量，所以x≥0。画图象如图所示。
考点3：确定一次函数表达式
⒈待定系数法：先设出函数表达式中的未知数，再根据条件列出方程或方程组求出未知数，从而写出函数表达式的方法就叫做待定系数法。其中的未知数便称为待定系数。
⒉用待定系数法求函数表达式的一般步骤：⑴设出函数表达式的一般方法；⑵把从问题中分析出的自变量与函数的对应值代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组；⑶解方程或方程组求出待定系数的值，从而求出函数表达式。
⒊从字中获取信息渠道函数表达式时，需先确定出y是x的什么函数，设出函数表达式，根据自变量与因变量之间的关系，用待定系数法求解；从表格中获取信息与上面类似；从图象中获取信息确定函数表达式时，先根据图象的形状与位置确定出函数表达式的类型，再根据图象上的点对应的自变量和因变量的值，用待定系数法求解。
【例4】如图，某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y(米)与x(天)之间的关系图象。根据图象提供的信息，可知该公路的长度是＿＿米。
解：观察图象，可知点（2,180）与点（4,288）为两天后对应的一次函数y=kx+b图象上的点，有解得，所以一次函数的关系式为y=54x+72，把x=8代入关系式，得y=504。
考点4：函数关系与一元一次方程、一元一次不等式的关系
⒈已知一次函数y=kx+b中，y的值为m，求x的值，可通过解关于x的方程kx+b=m来解决.
⒉要确定一次函数的表达式，我们通过列方程或方程组来解决。
⒊要求一次函数y=kx+b中当x取何值时，y的值大于0（或图象在x轴上）等问题时，可通过解不等式kx+b>0求得。
⒋要比较两个一次函数值的大小关系，应借助不等式来加以解决。
⒌利用一次函数的图象可帮助我们求二元一次方程组的近似解。【例5】如图，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过A,B两点，那么关于x的不等式ax+b<0的解是＿＿＿。
解：x<2.
考点5：应用一次函数知识解决最值问题
【例6】某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店。该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件。销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30,且x为整数)。
有知前20天的销售量价格（元/件）与销售时间x天之间有如下关系：且为整数，后10天的形式价格（元/件）与销售时间x天之间有如下关系：45(21≤x≦30，且x为整数)。
⑴试写出该商品前20天的日销售利润(元)和后10天的日销售利润(元)分别于销售时间x天之间的函数关系式；
⑵请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润。
注：销售利润=销售收入-购进成本。
解：⑴根据题意，[(1/2x+30)-20]=-x2+20x
+800(1≤x≤20，且x为整数)。
R2=P(Q2-20)=(-2x+80) ×（45-20）=-50x+2000(21≤x≤30，且x为整数)。
（2）在1≤x≤20，且x为整数时，因为R1=-(x-10)2+900,所以当x=10时，R1的最大值为900。在21≤x≤30,且x为整数时，因为在R2=-50x+2000中，R2的值随x的增大而减小，所以当x=21时，R2的最大值是950.
因为950＞900，所以当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大利润为950元。
考点6：一次函数知识的实际应用
【例7】如图所示，建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系示意图，图中球网OD高为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7米，羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米，刚好落在双方场地点B处。
⑴求羽毛球飞行轨道所在直线的表达式；
⑵在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度为多少米？（结果精确到0.1米）。
解：⑴根据题意，设直线BF的函数表达式为y=kx+b(k≠0).因为OD=1.55，所以OE=1.55+0.05=1.6（米）。即点E的坐标为（0,1.6）。有OA=OB=6.7米，所以点B的坐标为（-6.7,0）。由直线经过点E（0,1.6）和点B（-6.7,0），得0=-6.7k+b,b=1.6.
解得k=,所以.
⑵设点F的坐标为（5，m），所以m=×5+1.6≈2.8.即在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度约是2.8米。
第三讲 实弹演习
一、选择题
1.下列四个点中，在正比例函数y=-x的图象上的点是 （ ）
A(2,5) B.(5,2) C.(2,-5) D.(5,-2)
2.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为
（ ）
3.已知一次函数y=mx+n-2的图象如图所示，则m,n 的取值范围是 （ ）
A.m>0,n<2 B.m>0,n>2 C.m<0,n<2 D.m<0,n>2
4一个矩形被一条直线分成面积为x、y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是 （ ）

⒌如图，反比例函数= 和正比例函数 x的图象交于A(-1,-3)、B（1,3）两点，若>x, 则x的取值范围是 （ ）
A.-11
⒍反比例函数y= 的图象所示，那么函数y=kx－b的图象大致是（ ）
7.甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地之间的路程为20千米，他们前进的路程为s（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是 （ ）
A.甲的速度是4千米/小时 B.乙的速度是10千米/小时
C.乙比甲晚出发1小时 D.甲比乙晚到B地3小时
8.已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为 （ ）
A1或-2 B.2或-1 C.3 D.4
9.在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于
A、B两点，点C(0，n)是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是 （ ）
A(0，3/4) B.(0，4/3) C.(0，3) d.(0,4)
10.如图，已知A点坐标为（5,0），直线y=x+b(b>0)与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为 （ ）
A.3 B. C.4 D.
二、填空题
⒈在一次函数y=2x+3中y随x的增大而＿＿＿（填增大或减小），当0≤x≤5时，y的最小值为＿＿＿＿
⒉如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的坐标为（2,0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b>0; ③关于x的方程kx+b=0的解为x=2，其中说法正确的有＿＿＿＿（填序号）
三、解答题
⒈小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出家的同时，他的爸爸以96m／min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路一原速返回，设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离为m,小明爸爸与家之间的距离为m,图中折线OABD,线段EF分别是表示,与t之间函数关系的图象
⑴求与t之间的函数关系式
⑵小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
2.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象相交于
A(2，3),B(-3，n)两点.
⑴求一次函数与反比例函数的解析式；
⑵根据所给条件，请直接写出不等式kx+b>m/x的解集；
⑶过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC.
3.某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产
生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x（元/千度）的函数图象如图：
⑴当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？
⑵为了实现节能目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=10m+500,且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
第四讲 反比例函数
考点1：反比例函数的定义
⑴定义：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=(k为常数，k≠o)的形式，那么我们称y是x的反比例函数.反比例函数y=也可以写成y=kx-1的形式.
⑵注意：①k为常数且k≠0②自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；函数值y的取值范围是y≠0的一切实数。
【例1】图象经过点A（1,2）的反比例函数关系式是＿＿＿
解：y=2/x.
【例2】已知函数是反比例函数，求m的值。
解：由反比例函数的定义得，得，所以m=±2.而当m=-2时，m+2=0,,故舍去，所以m=2。考点2：反比例函数的图象及性质
⒈反比例函数y=k/x的图象是双曲线，当k>0时，x,y同号，所以图象在第一、三象限；k<0时，x,y异号，所以图象在第二、四象限。
⒉反比例函数的图象及性质如下表：
⒊反比例函数y=k/x中k的正负性，双曲线所在的象限，增减性能够互相推得。
【例3】反比例函数y=1/x(x>0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ）
A.增大 B.减小 C.不变 D.先减小后增大
解：D.
【例4】已知点（-2，y1）、（-1，y2）、(3,y3)在反比例函数y=-2/x的图象上,y1,,y2,y3的大小关系是＿＿＿
解：y3考点3：反比例函数关系式的求法
⒈确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=k/x(k≠0)中，只有一个待定系数k，所以在确定关系式时只需要一组x,y的对应值或双曲线上一个点的坐标，将其导入关系式中，即可建立起方程，进而把k的值求出，从而得到函数关系式。
2.用待定系数法求反比例函数关系的一般步骤：⑴设：设所求的反比例函数的关系式为y=k/x；⑵代：将已知条件中对应的x,y值代入y=k/x中，从而得到关于k的方程；⑶解：解关于k的方程，求出k的值；⑷定：将k的值代入y=k/x中，得到函数关系式。
【例5】已知一次函数y=x+2与反比例函数y=k/x，其中一次函数y=x+2的图象经过点P(k,5)。
⑴试确定反比例函数的表达式；
⑵若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标。
解：⑴反比例函数的表达式为y=3/x;
⑵点Q的坐标为（-3，-1）。
考点4：反比例函数的图象与k的取值情况
反比例函数的图象与k的取值情况从下面两方面来分析解决：⑴图象所在象限：若双曲线的两支在第一、三象限，则k>0;若双曲线的两支在第二、四象限，则k<0。反之亦然；⑵函数的增减性：若在双曲线的两分支中的每个分支上，y随x的增大而增大，则k<0；若在双曲
线的两分支中的每个分支上，y随x的增大而减小，则k>0。反之亦然。
【例7】已知反比例函数的图象经过点P（-2,1），则这个函数的图象位于（ ）。
A.第一、三象限 B.第二、三象象限 C.第二、四象限D.第三四象限
解：C.
考点5：反比例函数与预测函数的综合
⒈已知一次函数和反比例函数，求它们图象的交点坐标，这类题目可通过列方程组求解。
⒉判断含有同一字母系数的一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置情况，可先由两者中的某一图象确定出字母系数的取值情况，再与另一图象相对照解决。
⒊已知含有一次函数或反比例函数的信息，求一次函数或反比例函数的关系式，解这类问题要注意抓住其中的“定点”或对应x,y的值解题。两种函数有时还会综合到其他题目中，解决时要注意综合相关知识点。
【例8】如图5-4-2所示，在直角坐标系中，点A反比例函数y1=k/x的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点。一次函数y2=ax+b的图象经过点A、C两点，并交于点D(0，-2)，若三角形AOD的面积为4
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1>y2时，x的取值范围。
图5-4-3
图5-4-2
解：⑴作AE⊥y轴于E点，如图5-4-3所示，因为S△AOD=4，OD=2，所以所以OD×AE=4，所以AE=4，因为AB⊥OB,C为OB的中点，
所以∠DOC=∠ABC=90°，OC=BC, ∠OCD=∠BCA,所以Rt△DOC≌Rt△ABC，所以AB=OB=2，所以A（4,2）,将A（4,2）代入y1=k/x，得k=8，将A（4,2）和D（0，-2）代入y2=ax+b,得解之得：
所以y2=x-2.
⑵在y轴的右侧，当y1>y2时，0【例9】点P既在反比例函数的图象上，又在一次函数y=-x-2的图象上，则P点的坐标为＿＿＿。
解：P（1，-3）.
考点6：反比例函数在物理学中的应用
⒈电学知识中的反比例关系：
I=U/R(U取定值)，I=P/U(P取定值)
⒉压强中的反比例关系：p=F/S(F取定值)；
⒊运动学中的反比例关系：v=s/t(s取定值)
⒋密度知识中的反比例关系：ρ=m/v(m一定).
【例10】物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强p与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为P=F/S.当一个物体所受压力F为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表
示大致为（ ）
D.
解：C.
考点 7；反比例函数的图象和性质
⒈应用反比例函数知识解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，准确找出反比例函数关系，建立函数模型。建立函数模型一般有两种思路：一是通过问题提供的图象、信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定出表达式中的字母系数即可；二是问题本身的条件中并不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解决实际问题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就可以得到函数表达式。
⒉注意：⑴实际问题中的反比例函数，其自变量的取值往往受到一定的限制，这时对应的函数图象有课能是双曲线的一支或一段；⑵应用反比例函数解决实际问题常与方程、不等式等知识结合。
【例11】如图，奥运圣火低达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递。动点T（m,n）表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束。迎圣火临时指挥部设在坐标原点O（北京路与奥运路的十字路口），OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计)

⑴求图中反比例函数的关系式（不写自变量的取值范围）；
⑵当鲜花方阵的周长为500米时确定此时火炬的位置（用坐标表示）；
⑶设t=m-n,用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）
解：⑴y=10000/x ⑵(50,200)或(200,50) ⑶T(100,100).
第四讲 实弹演习
一、选择题
1.若反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则
K的值可能是 （ ）
A.-1 B.3 C.0 D.-2
2.如图，反比例函数的图象经过点（-1，-2），则当x>1时，函
数值y的取值范围是 （ ）
A.y>1 B.02 D.0
第2题 第3题
3.如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标我，边AB,AC分别平行于x轴、y轴.若双曲线y=k/x与△ABC的边有交点，则k的取值范围是
（ ）
A.1≤k≤2 B.1≤k≤3 C.2≤k≤3 D.1≤k≤4
4.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上.若点A的坐标
为（-2，-2），则k的值为 （ ）
A.1 B.-3 C.4 D.1或-3
二、填空题
1.如图，点A在双曲线y=k/x上，AB⊥x轴于B，且
△AOB的面积S△AOB=2，则k=＿＿
2.如图，点A是反比例函数y= 1/x (x>0)图象上的一个动点，以OA为边作Rt△AOB, ∠AOB=90°, ∠ABO=30°,设点B的坐标为（x′, y′）,则y′与x′之间的关系式是＿＿＿＿＿＿
3.设函数y=与y=x-1的图象的交点坐标为（a,b），则的值是＿＿
三、解答题
1.已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1,3）
在反比例函数y=k/x的图象上，且sin∠BAC=3/5.
⑴求k的值和边AC的长；
⑵求点B的坐标.
2.如图，一次函数y=kx+b的图象经过A(0，-2)，B(1，0)两点，与反比例函数y=k2/x的图象在第一象限内的交点为m，若△OBM的面积为2.
⑴求一次函数和反比例函数的表达式；
⑵在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

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