资源简介 138道 同构 练习题1.已知函数 f (x) = aexInx(a ≠ 0),若 x∈ (0,1), f (x) < x2 + xIna,求 a的取值范围.2.已知 f (x) = ex aInx ,若对任意 x∈ (0,+∞),不等式 f (x) > aIna恒成立,求正实数 a的取值范围.λx Inx3.设实数 λ > 0,若对任意的 x∈ (0,+∞) ,不等式 e ≥ 0恒成立,则 λ的取值范围是λ( ).x Inx + a4.已知 e 1≥ 恒成立,则实数 a的最大值为( )。xm5.设实数 m > 0,若对任意的 x ≥ e,若不等式 x2 ln x me x ≥ 0 恒成立,则 m 的最大值为( ).16.对任意的 x∈ (0, )m+ ∞ ,不等式 2x3 ln x me x ≥ 0 恒成立,求实数 m 的最大值 .7.已知函数 f (x) = m ln (x +1) 3x 3,若不等式 f (x) > mx 3ex 在 x∈(0 , + ∞)上恒成立,则实数 m 的取值范围是( ).8.对 x > 0,不等式 2ae2x ln x + ln a ≥ 0恒成立,则实数 a的最小值为_____ . .x 19.若 x (0, ), e∈ +∞ ≥ x Inx + a恒成立,则 a的最大值( C )x1A.1 B. C. 0 D. eeex10.已知关于 x的不等式3 x aInx ≥1对于任意的 x∈ (1,+∞)恒成立,则实数 a的取值x范围( B )A.( ∞,1 e] B.( ∞, 3] C.( ∞,2] D.( ∞,2 e2 ]2111.已知不等式 x +αInx + x ≥ xα,对 x∈ (1,+∞)恒成立,则实数 a的最小值为( )eeA. e B. C. e D. 2e 2ax 1 12.对任意的 x∈ (0 , + ∞),恒有 a (e +1) ≥ 2 x + ln x,求实数 a的最小值 . x 13.已知 x0 是方程 2x2e2x ln x 0的实根,则关于实数 x0 的判断正确的是( ) .A. x ≥ In2 1 B. x < C. 2x0 ln x0 0 D. 2ex0 ln xe 0 0 14.已知函数 f (x) = x ln (x +1),g (x) = ex x 1,若 g (x) ≥ kf (x)对 x∈[0 , + ∞)恒成立,求实数 k 的取值范围.315.已知函数 f (x) = x ex+1 ,g (x) = k ln x + k (x +1).设 h (x) = f (x) g (x),其中 k > 0,若h (x) ≥ 0恒成立,求 k 的取值范围.16.已知函数 f (x) = xlnx , f ′(x)为 f (x)的导函数.证明: f (x) < 2ex 217.若函数 f (x) = x(e2x a) Inx 1无零点,则整数 a的最大值是( )A. 3 B. 2 C.1 D. 018.已知 f (x) = ln x + ax a .若 g (x) = ex 1 f (x)的最小值为 M ,求证 M ≤1.419.已知函数 f (x) = a ln x + bex 1 (a + 2)x + a.( a , b为常数)若 b = 2,若对任意的x∈[1 , + ∞), f (x) ≥ 0恒成立,求实数 a的取值范围.1+ ln x ax20.若 ≤ a + e 恒成立,求实数 a的取值范围.xex f (x ) f (x )21.已知函数 f (x) = ax, x∈ (0,+∞),当 x > x 1 22 1时,不等式 数 a的取值范围为 (D )e eA. ( ∞, e] B. ( ∞,e) C. ( ∞, ) D. ( ∞, ]2 222.设函数 f (x) = xex a(x + Inx) ,若 f (x) ≥ 0恒成立,则实数 a的取值范围( )A. [0,e] B. [0,1] C. ( ∞,e] D. [e,+∞)5ln x x23.(2020 成都二诊)已知函数 f (x) = ,g(x) = x e ,若存在 x1 ∈ (0,+ ∞),x2 ∈R , xx使得 f (x1) = g(x2 ) = k(k < 0)2 2 k成立,则( ) ex 的最大值为( ) 14 1A. e2 B. e C. 2 D. 2 e e124.(重庆渝中区模拟)若关于 x的不等式 x + a ln x + x ≥ xa (a < 0) 对任意的 x∈(1,+ ∞)恒e成立,则实数 a的最小值是( ) .kx25.(名校联考)已知对任意的 x∈ (0,+ ∞),都有 k(e +1) (11+ ) ln x > 0,则实数 k 的取x值范围是 .626.对任意 x > 0,不等式 2ae2x Inx + Ina ≥ 0恒成立,则实数 a的最小值为( )27.若函数 f (x) = x(e2x a) ln x 1无零点,则整数 a的最大值是( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 028.若 x > 0时,恒有 x2e3x (k + 3)x 2ln x 1≥ 0成立,则实数 k 的取值范围是 .29.(2019 衡水金卷)已知 a 0,不等式 xa+1 ex + aInx ≥ 0对任意的实数 x 1恒成立,则实数 a的最小值是( )1 1A. B. 2e C. D. e2e e730.(2019 武汉调研,2020 安徽六安一中模考)已知函数 f (x) = ex aIn(ax a) + a(a > 0),若关于 x的不等式 f x 0 恒成立,则实数 a的取值范围为( )A. (0,e] B. (0,e2 ) C. [1,e2 ] D. (1,e2 )31.已知 x0是函数 f (x) = x2ex 2 + Inx 22 x的零点,则 e 0 + Inx0 为( )832.对任意的实数 x > 0,不等式 2ae2x Inx + Ina ≥ 0恒成立,则实数 a的最小值为( )2 1 2 1A. B. C. D.e 2 e e 2ef (x) ex233.已知函数 = ,则不等式 f (x) > ex得解集为( )1+ InxA. (0,1) 1 B. ( ,1) C. (1,e) D. (1,+∞)e934.已知函数 f (x) = x Inx①求函数 f (x)的单调性x 1x② > e + Inx +1 当 ,证明: ≥ e +1e x1③ a若不等式 x + aInx + x ≥ x 对 x∈ (1,+∞)恒成立,求实数 a的最小值 e35.不等式 x 3ex aInx ≥ x +1对任意 x∈ (1,+∞)恒成立,则实数 a的取值范围是( D )A. ( ∞,1 e] B. ( ∞,2 e2 ] C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 3]1036.已知不等式 ex x 1> m[x In(x +1)]对一切正数 x都成立,则实数 m 的取值范围是( C )( , eA. ∞ ] e B. ( ∞, ] C. ( ∞,1] D. ( ∞,e]3 237.若不等式 mxemx2≥ Inx 恒成立,则实数 m 的取值范围为( )1 1 1A. [ 2 ,+∞) B. [ ,+∞)1C. [ ,+∞) D. [ ,+∞)e 2e e emx Inx38.设 m > 0,若任给 x > 0 都有 e ≥ 成立,则实数 m 的最小值为( )m1 1 2 eA. B. C. D.e 2e e 31139.若对任意 x∈ (0,+∞),不等式 2e2x aIna aInx ≥ 0恒成立,则实数 a的最大值为( )A. e B. e C. 2e D. e2kx 140.已知对任意 x∈ (0,+∞) ,都有 k(e +1) (1+ ) ln x > 0,则实数 k 的取值范围为_______.xf (x) ax41 函数 = x 1 + x In(ax) 2(a > 0),若函数 f (x)在区间 (0,+∞) 内存在零点,则实e数 a的取值范围是( )A. (0,1] B. [1,+∞) C. (0,e] D. [3,+∞)1242.已知函数 f (x) = Inx ex + (ea 1)x + a(a∈R) ,若不等式 f (x) ≤ 0恒成立,求实数 a的取值范围( )ex43.已知函数 a e +1≥ x aInx, a∈R 恒成立,则 a的取值范围是( ) x44.(浙江新高考模拟卷——学军中学)已知函数 x3e2x ≥ (k + 2)x + 3Inx +1恒成立,求 k 的取值范围( )1345.(2020 年山东) f (x) = aex Inx + Ina,若 f (x) ≥1,求 a的取值范围( )46.已知函数 xex x Inx ≥ (b 2)x +1恒成立,求 b 的取值范围( )47.已知函数 xex + ax ≥ axa Inx + aInx + (a 1)x, x∈ (1,+∞)时恒成立,则 a的取值范围( )1448.设函数 f (x) = axex 1 ax 1(a∈R). 若不等式 f (x) ≥ ln x在区间 , +∞ 上恒成立, e 求 a的取值范围.49.若函数 f (x) = x + ex b b(x + x2 xInx)有零点,则 b 的取值范围.50.已知函数 f (x) = aInx + 2ex 1 (a + 2)x + a ≥ 0 ,对任意 x∈[1,+∞)恒成立,则实数 a的取值范围 .1551.若 x > 0证明:(ex 1)In(x +1) > x252.已知函数 f (x) = x2ex a(x + 2Inx) 有两个零点,则 a的取值范围( )53.若不等式 x(ex 1) > Inx 1+ t 对任意 x∈ (0,+∞)恒成立,则实数 t的取值范围( )1654.已知函数 f (x) = x2ex a(x + 2Inx) ,讨论 f (x)的零点的个数55.已知函数 f (x) = a ln x + bex 1 (a + 2)x + a.( a , b为常数)若 b = 2,若对任意的x∈[1 , + ∞) f (x) ≥ 0, 恒成立,求实数 a的取值范围.56.已知函数 f (x) = x ln (x +1),g (x) = ex x 1.若 g (x) ≥ kf (x)对 x∈[0 , + ∞)恒成立,求实数 k 的取值范围.1757.已知函数 f (x) = ex + mx 1,其中 e是自然对数的底数.若关于 x的不等式f (x) + ln (x +1) ≥ 0 在 [0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围.58.已知函数 f (x) = ax + lnx(a∈R).当 a =1时,不等式 xex +1> f (x) + m对于任意 x∈ (0,+∞)恒成立,求实数 m 的取值范围________.lnx + a59.已知函数 f (x) = , (a∈R),g(x) = e2x 2.若 f (x) ≤ g(x)在 (0,+∞)上成立,求 a的x取值范围______.ex60.已知函数 f (x) = + a(lnx x).当 a > 0时,求 f (x)的最小值______.x18f (x) = xex ax2 g (x) = ln x + x x2 1 e + 61.设 , a .当 a > 0 h x = f x时,设 ( ) ( ) ag (x) ≥ 0 恒成立,求 a的取值范围_______.62.已知函数 f (x) = xex a(x + lnx).若 f (x) > 0 在 x∈[1, +∞)恒成立,求实数 a的取值范围______.a63.函数 f (x) = (x + )Inx, g(x) = memx +m ,当 a =1时,不等式 2 f (x) g(x) ≤ 0恒成x立,求 m 的取值范围( )64.已知 a > 0 f (x) ax Inx a 1,函数 = ,若 > ,证明 f (x) >1 xe axe1965.若对任意的 x > 0,恒有 a(eax +1) 2(x 1≥ + )Inx,则实数 a的最小值为( )x66.已知 x0时函数 f (x) = x2ex 2 + Inx 2的零点,则 e2 x0 + Inx0 =( )4 x067.已知 x 是方程 x3ex 40 + 2Inx 4 = 0的一个根,则 e 2 + 2Inx0 的值是( )A.3 B.4 C.5 D.62068.已知函数 f (x) = ex+m x3 , g (x) = ln (x +1) + 2.当 m ≥1时,证明:f (x) > g(x) x3.x69.已知函数 f (x) = me ln x 1.当 m ≥1时,证明: f (x) >1.2170.若 f (x) = xex + ax,a∈R, g(x) = axa Inx + aInx + (a 1)x,当 x∈ (1,+∞)时,若f (x) ≥ g(x)恒成立,则 a的取值范围( )71.已知函数 (eax 1)Inx = ax2 ax, (a > 0)在 x∈[1,+∞)有三个不同的解,求 a的范围?λx Inx72.设实数 λ > 0,若对于任意的 x∈ (0,+∞),不等式 e ≥ 0恒成立,则 λ的取值范λ围?73.若不等式 xex Inx 1≥ kx对任意的 x > 0都成立,则 k 的取值范围( )2274.已知 f (x) = Inx + x xex+1,求 f (x)最大值_______.ex 275.已知函数 f (x) = xex Inx x 2最小值为 a, g(x) = + Inx x最小值为 b 则x( )A. a = b B. a > b C. a < b D.不确定176.已知不等式 x + aInx + x ≥ xa 对 x∈ (1,+∞)恒成立,则实数 a的取值范围( )e23x77.已知函数 f (x) = e 2 , g(x) = Inx,当 x > 0时, t[ f 2t (x) +1] ≥ 2(x 1+ )g(x)恒成立,则x实数 t的范围( )78.不等式 x(e2x 2a) ≥ x + Inx +1恒成立,则 a得取值范围为( )x79.已知函数 f (x) = aInx e+ ax + e2 ,若对任意 x∈ (0,+∞),都有 f (x) ≥ 0恒成立,求x实数 a的取值范围( )2480.已知 f (x) = mxInx 1,m ≠ 0,若 g(x) = x2 2 x 且关于 x的不等式 f (x) ≤ g(x)在e(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围.81.(焦作市 2021 届高三一模理 12)已知对任意的 a,b∈R 都有 (b a)eb a ≥ be b λa 恒成立,则实数 λ的取值范围( )2582.(浙江省 2021 届高三百校 12 月联考)已知 a >1,若对任意的 x∈[1 ,+∞),不等式34x In3x ≤ aex Ina恒成立,则 a的最小值( )83.已知函数 f (x) = ex a xInx + x(a∈R)有两个极值点, x1, x2 (x1 < x2 ),设 f (x)的导函数为 g(x),证明 a > 2。(同类同构)x+1 x84.已知函数 f (x) = ae , g(x) = In 1,其中 a > 0,若 f (x) ≥ g(x)在区间 (0,+∞)恒a成立,求 a 得最小值2684.已知函数 f (x) = aex In(x +1) + Ina 1,若函数 f (x) 有且仅有两个零点,则 a 的取值范围( )85.已知函数 f (x) =1+ aexInx,若不等式 f (x) ≥ ex (xa x)(a < 0)对 x∈ (1,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围27x86.已知 xe ax Inx ≥1对任意的 x∈ (0,+∞)恒成立,则 a 的取值范围是( )x 187.若不等式 ax(e 1) ≥ Inx +1在区间[ ,+∞)上恒成立,求 a的取值范围( )e88.已知函数 f (x) = x (a +1)Inx, a∈R x,当a = 2e 时,xe +m + f (x) ≥ 0恒成立,求实数m 的取值范围?x 1x be89.(2014 年全国 I 卷)设函数 f (x) = ae Inx + ,a = 2,b =1,证明: f (x) >1x28x90.已知函数 f (x) = e In(x +m) ,当 m ≤ 2时,证明 f (x) > 091. 已知 a > 0函数 f (x) = ex a In(x + a) 1 , (x > 0)的最小值为 0,则实数 a 的取值范围( )92.函数 f (x) = e2x aInx 2,证明:当 a > 0时, f (x) ≥ 2a + aIna93.已知函数 f (x) = aex 1 Inx + Ina若 f (x) ≥1,求 a 的取值范围( )29x94.已知函数 f (x) = e In(x +1) a 的图像在 x = 0处与 x 轴相切,若 x > t ≥ 0,证明:ex t + In(t +1) > In(x +1) +195.已知 f (x) = aInx x +1, g(x) = x ex ,a 为实数,设h(x) = f (x) + g(x),求所有的实数值 a ,使得对任意的 x > 0,不等式 h(x) ≤1 e恒成立x96.已知函数 f (x) = e (a +1)Inx 2,当 a = e时,证明: f (x) > 2e (e +1)In(e +1)30x97.已知函数 f (x) = e (a +1)Inx 2,当 a = 2时,证明: f (x) > 4 3In3x98.已知函数 f (x) = ae , g(x) = In(x 1) +1,证明:当 a1≥ 时, f (x) ≥ g(x)e2x 199.已知函数 f (x) = Inx ax + a, a∈R ,若关于 x 的不等式 f (x) + e ≥1在区间 [1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围( )f (x) = Inx + ax2100.已知函数 ,若 f (x) > ax2 + 2ax ex + e 2a在 x∈ (1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围()311101.已知 a >1, x ≥ ,不等式 4x In(3x) ≤ aex Ina 恒成立,则 a 的最小值为( )3f (x) = ex a102.已知函数 xInx + x有两个极值点点 x1, x2 (x1 < x2 ),设 f (x)的导函数为g(x),证明: a > 2103.已知函数 f (x) = Inx a(x 1), g(x) = ex ,设 h(x) = f (x +1) + g(x),当 x ≥ 0,h(x) ≥1,求实数 a 的取值范围( )104.已知函数 f (x) = ae2x + (2a 1)ex x ,a 为常数,若 x ≥ 0时, f (x) ≥ (3a 1)cos x恒成立,求实数 a 的取值范围( )32ax105.已知函数 f (x) = x 1 + x In(ax) 2, (a > 0),若函数 f (x)在区间 (0,+∞)内存在零e点,则实数 a 的取值范围(B)A. (0,1] B.[1,+∞) C. (0,e] D.[3,+∞)x106.已知函数 f (x) = xe Inx x 1,若对任意 x∈ (0,+∞)使得 f (x) ≥ a,则 a 的最大值为( )A.0 B. e 2 C.1 D. e 1108.若直线 y = ax + b 与曲线 y = Inx +1相切,则 ab 的最大值为( )m,n f (x) ex mx n 1 f (x) ≥ 0 x R n m109.已知 为实数, = + 若 对 ∈ 恒成立,则 的取m值范围( )33110.已知函数 f (x) = xeax 1 Inx ax,a ( 1∈ ∞, 2 ],则函数 f (x) 的最小值为( ) e111.已知函数 f (x) = x + In(x 1), g(x) = xInx,若 f (x1) =1+ 2Int, g(x2 ) = t2,则(x1x2 x2 )Int的最小值为( )1 2 1 1A. 2 B. C. D. e e 2e e112.已知函数 f (x) = (x 2)ex a x2 + ax , a∈R ,若不等式2f (x) + (x +1)ex a+ x2 2ax + a > 0恒成立,求 a 的取值范围。234113.已知函数 f (x) = Inx ax +1≤ 0恒成立,则实数 a 的取值范围( )114.已知函数 f (x) = x + Inx, g(x) = xInx,若 f (x1) = x + Inx, g(x) = xInx,若f (x1) = Int, g(x2 ) = t ,则 x1x2Int 的最小值( )Int115.已知函数 f (x) = xex , g(x) = xInx,若 f (x1) = g(x2 ) = t > 0,则 的最大值( ) x1x235116.已知函数 f (x) = x Inx ,已知实数a > 0 ,若 f (x) + ae2x + Ina ≥ 0在 (0,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围( )1 3 ax117.若 x∈ (0, )时,关于 x的不等式 ax e + 2Inx ≤ 0恒成立,则实数 a的最大值( )ex118.已知函数 f (x) = ae + 2x 1,证明:对任意的a ≥1,当 x > 0时, f (x) ≥ (x + ae)x36119.已知函数 f (x) = x Inx,a > 0若 f (x) + ae2x + Ina ≥ 0在 (0,+∞)上恒成立,求实数 a的取值范围_____.a120.已知函数 f (x) = aex + ln 2(a > 0) ,若 f (x) > 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为x + 2________.2x+a 1 a121.已知函数 f (x) = e Inx + 在定义域内没有零点,则实数 a的取值范围为( )2 2122.若 x (0, 1∈ )时,关于 x 的不等式 ax3eax + 2Inx ≤ 0,则实数 a的最大值为( )e37x 2123.函数 f (x) = ae xInx 若 a ≥ f (x) > 0e2,证明:124.已知 x0是函数 f (x) = x2ex 2 + Inx 2的零点,则 e2 x0 + Inx0 =( )2 1125.已知关于 x得方程 2x +1 2ax = x2 + ax 1,当 ≤ x ≤ 3时有两个不相等的实数根,2则 a 的取值范围( )ex126.函数 f (x) = (x > 0),函数 g(x) = mx,若不等式 f (x) + g(x) > 0在 (0,+∞)上恒成x立,求实数m 的范围?38127.若 h(x) = aex Inx + Ina(a > 0) ,当 x > a 时,不等式 h(x) ≥ 0恒成立,求 a 的最小值?128.已知函数 f (x) = x(ex a) 2Inx + 2In2 2(a∈R) ,若 f (x) ≥ 0,求 a 的取值范围( )39x129.已知函数 f (x) = e 2ax 1, g(x) = 2aIn(x +1),a∈R ,若对任意x∈[0,+∞), f (x) + g(x) ≥ x恒成立,求 a 的取值范围( )f (x) 1 emx 1 2130.函数 = x 若m >1,且对m 2 ,x (e, ), mx(mx 6) + 2 f′(x)任意 ∈ +∞ ≥ Inx 6恒成立,求实数m的取值范围.Inxxf (x) ax xIn131.已知函数 = (a > 0) ,当 x >1时, f (x) ≥ ax ,求 a 的取值范围。 Inx e Inx40132.已知函数 f (x) = ln x + ax +1.(1)讨论 f (x) 的单调性;2x(2)对任意 x > 0 , xe f (x) 恒成立,求实数 a 的最大值.41133.已知 a > 0,若 a ln x≤ x ln a恒成立,则 a的值是________.m x134.已知函数 f (x) = (x x +mInx)e +1(m < 0) ,当 x∈ (1,+∞)时恒有 f (x) ≥ 0,求实数m 的取值范围( )x2135.若 a > 0, x > 0,ea a In(ax + b) ≥ b 在定义域内恒成立,求 a 的取值范围( )42e2x 2136.当 a > 0时,证明 > Inx + 2+ Ina aaxx (e, ), 2e + a2x2 6ax 2x137.若 a >1,对任意 ∈ +∞ ≥ Inx 6恒成立,求 a 的取值范Inx围( )43f (x) = ex+a138.已知 + ax, g(x) = (x +1)ln(x +1).(1)讨论 f (x) 的单调性;(2)若函数 F (x) = f (x) g(x)在定义域上单调递增,求实数 a的取值范围.44138 道 同构 练习题1.已知函数 f (x) ae xInx(a 0) ,若 x (0,1) , f (x) x2 xIna,求 a的取值范围.x2 xIna ae xInx x Ina Inx Inx In(aex )解析:由 对 x (0,1) 恒成立。ae x x x ae xInx构造 h(x) , x (0,1) , h(x) 单增,x所以: x ae x x x 1 a x a [ x ]max ,因为 x (0,1) a e e e2.已知 f (x) e x aInx,若对任意 x (0, ) ,不等式 f (x) aIna恒成立,求正实数 a的取值范围.解析: e x aInx aIna e x Ina Inx Ina ex Ina x Inx x Inx e Inx Inx构造 g(x) e x x,单增,所以: x Ina Inx Ina x Inx Ina [x Inx]min x (x 1) 13.设实数 0 ,若对任意的 xInx (0, ) x,不等式 e 0恒成立,则 的取值范围是 ( ) .e x Inx解: 0 xe x xInx Inxe Inxln x x Inx 1,即 恒成立, x , max ex Inx a4.已知 e 1 恒成立,则实数 a的最大值为( )。x答案:1m5.设实数m 0,若对任意的 x e,若不等式 x2 ln x me x 0 恒成立,则m的最大值为( ) .m m m m解: x2 ln x me x 0 x2 ln x m m m me x x ln x e x eln xln x e x ln x ,x x x得m x ln x emin (注意定义域).6.对任意的 x (0, )m,不等式 2x3 ln x me x 0 恒成立,求实数m的最大值 .m m m解:由题意得 2x3 ln x me x x2 ln x2 m e x eln x2ln x2 m e x ,x xln x2 m m x 2即 , ln x2 .x min e7.已知函数 f x m ln x 1 3x 3,若不等式 f x mx 3e x 在 x 0 , 上恒成立,则实数m的取值范围是( ).解:由题意得:m ln x 1 3x 3 mx 3e x 3 e x x 1 mx m ln x 1 ,3 ex x 1 m x 1 ln x 1 1 3 ex x 1 m e ln x 1 右边凑 1,得 ln x 1 1 得m 3 .(说明:定义域大于零,所以 x ln x 1 ,m 3成立).8.对 x 0,不等式 2ae2x ln x ln a 0恒成立,则实数 a的最小值为_____ . .解:由题意得: 2ae2x ln x lna 0 2ae2x ln x lna In x ax x x In x 2xe2x In x x 1 In e a 2x In a ( ) a a a a e2x min 2ex 19.若 x (0, e ), x Inx a恒成立,则 a的最大值( C )x1A.1 B. C.0 D. ee解析: e x Inx 1 x Inx a e x Inx 1 x Inx 1 1 a a 0e x10.已知关于 x的不等式 x aInx 1对于任意的 x (1, ) 恒成立,则实数 a的取值x3范围( B )A.( ,1 e] B.( , 3] C.( ,2] D.( ,2 e2 ]e x -3解析:3 x aInx 1 ex Inx x Inx -3 1 x 3Inx 1 x aInx 1.x 3Inx aInx, x 1 a 31 11.已知不等式 x Inx x x ,对 x (1, ) 恒成立,则实数 a的最小值为( )eeA. e B. C. e D. 2e2x Inx e x x 解析: x x e Inx x Inx e ( Inx )令 g(x) x e x g (x) 1 e x g(x) g( Inx )x x Inx , (x 1) eInxax 1 12.对任意的 x (0 , ) ,恒有 a e 1 2 x x ln x,求实数 a的最小值 . 解:由题意得: ax eax ax 2x 2 ln x 2ln x x 2 ln x 2 ln x 2ax 2 ln x 2即 ax e ax ln x e ln x 2 ,ax ln x2 2ln x 2得 a . x max e13.已知 x 是方程 2x2e2x0 + ln x = 0 的实根,则关于实数 x0 的判断正确的是( ) .A. x In21B. x C. 2x0 + ln x0 = 0 D. 2ex0 + ln x = 0e 012x2e2x + ln x = 0 2x 1 In解析: 2xe Inx 1 In 1 In 1 e xx x x x 2x In 1 2x Inx 0x14.已知函数 f x x ln x 1 ,g x e x x 1,若 g x kf x 对 x 0 , 恒成立,求实数 k的取值范围.x解析:由题意得: e x 1 k x ln x 1 x右边式子凑 1得 e x 1 k x 1 ln x 1 1 即 ex x 1 k ln(x 1) e ln x 1 1 ,因为 x ln x 1 当且仅当 x 0 等号成立,所以满足 k 1即可当且仅当 ex x 1 1,即 x 0 等号成立,所以 k 1.15.已知函数 f x x e x 1 ,g x k lnx k x 1 .设 h x f x g x ,其中 k 0,若h x 0恒成立,求 k的取值范围.x 1解析:由题意得: x e k ln x x 1 eln x x 1 k ln x x 1 因为 eln x x 1 k ln x x 1 ,当且仅当 x 1时等号成立因为 ex ex,所以等价于证: e ln x x 1 k ln x x 1 当且仅当 x 1时等号成立,所以 k e .16.已知函数 f (x) xlnx, f (x)为 f (x) 的导函数.证明: f (x) 2ex 2x解析:由题意得: x ln x 2e x 2 ,因为 ln x (当且仅当 x e时等号成立)e2 2等价于证明 x x 2e x 2 x 2e 1 x x ,构造 g x e e exx 2 x则 g x ,易知 g x g 2 2e 1ex max 17.若函数 f (x) x(e2x a) Inx 1无零点,则整数a的最大值是( )A.3 B.2 C.1 D.0解析: f (x) x(e2x a) Inx 1 0 e2x Inx ax Inx 1 2x Inx 1 ax Inx 1 (2 a)x 0 a 2 a 118.已知 f x ln x ax a x 1.若 g x e f x 的最小值为M ,求证M 1.解析:构造 f x e x x 1 ,则 f x 0则 f x 1 f ln x e x 1 x x ln x 1 ,g x e x 1 ln x a x 1 f x 1 f ln x a x 1 1 f x 1 f ln x 0 g xmin , e x 11 axg 1 a,接下来分类讨论:1.当 a 0,则 g x 1min ,成立;2.当 a 0,则 g 1 a 0 ,得 g x g 1 1min ,成立;3.当 a 0 ,则 g 1 a 0 ,得 g x g 1 1min ;x 119.已知函数 f x a ln x be (a 2)x a.( a , b为常数)若 b 2 ,若对任意的x 1 , , f x 0恒成立,求实数 a的取值范围.a ln x 2e x 1 a 2 x a 0 x 1解析:由题意得: 即 a ln x a 2 x a 2e x 1 a ln x ax 2x a 2e x 1 , a ln x x 1 2 e x 1 x a ln x x 1 2 x 1 e x 1 1 右边凑 1,得a eln ln x e ln x 1 2 eln x 1 e x 1 1 ,g x e ln x e x 1 g构造 ,则 x 0 a g ln x 2 g x 1,即 当且仅当 x 1时取等号,所以只需满足 a 2 .1 ln x a e ax20.若 恒成立,求实数 a的取值范围.x1 ln x【解析】 a e ax 1 ln x ax xe ax xe ax ln x ax 1x而 xe ax e ln x ax ln x ax 1,故 a Rx f (x ) f (x )21.已知函数 f (x) e ax, x (0, ) 1,当 x2 x1时,不等式 2x x 恒成立,则实x 2 1数 a的取值范围为 ( D )A. ( , e] B. ( ,e) C. (e , ) D. ( e, ]2 222.设函数 f (x) xex a(x Inx) ,若 f (x) 0恒成立,则实数 a的取值范围( )A. 0,e B. 0,1 C. ,e D. e, 解析:同构思想: e x Inx a(x Inx) e x ex a [0,e]f (x) ln x23.(2020 成都二诊)已知函数 ,g(x) x e x,若存在 xx 1 (0, ),x2 R,x2 2 k使得 f (x1) g(x2 ) k(k 0)成立,则( ) ex 的最大值为( )14 1A. e2 B. e C. 2 D.e e2f (x) ln xx2解析: ,g(x) x e xln x1 x2 k 0 ln x Ine x 1 k 0x x e 2 x e x21 1构造 F (x) Inx ,做出图像:因为 k 0 容易知道:0 x 1,0 e x2 1x 1又因为 F (x)在 (0,1) 单增x e x2 x Inx ( x 2 2所以: 1 2 1 ) ek k 2ek [k 2ek ] 4x max e211 a24.(重庆渝中区模拟)若关于 x的不等式 x a ln x x x (a 0) 对任意的 x 1, 恒e成立,则实数 a的最小值是( ) .解析 1: x e x aa x aInx e ( Inx ) x Inxa ,令 g(x) x e ,因为单增x所以: x Inxa a [ ]min a e。答案: eInx解析 2: x e x xa aInx Ine x e x xa Inxa构造 g(x) x Inx,因为单增。所以 e x xa a e .25.(名校联考)已知对任意的 x (0, ) ,都有 k(ekx 1)1 (1 ) ln x 0,则实数 k的取x值范围是 .解析: k(ekx 1) (1 1 ) ln x 0 kekx k 1 (1 ) ln xx x kxekx kx ln xeln x ln x构造函数: g(x) xex x,容易知道 g(x) 单增 kx Inx Inx k ( ) 1max x e26.对任意 x 0 ,不等式 2ae2x Inx Ina 0恒成立,则实数 a的最小值为( )x x x In x解析: 2ae2x Inx Ina 0 2xe2x In In e aa a a令 g(x) xe x,在 x 0 ,单增所以: 2x In x,即a 2x Inx Ina, Ina Inx 2x1 1 Ina [Inx 2x]max In a 2e 2e27.若函数 f (x) x(e2x a) ln x 1无零点,则整数 a的最大值是( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0解析: x(e2x a) ln x 1 0 e Inx 2x ax Inx 1 0 e Inx 2x Inx 2x 1 Inx 2x 1 ax Inx 1 0 e Inx 2x Inx 2x 1 (2 a)x 0 [e Inx 2x Inx 2x 1] 0 (2 a)x 0 x 0 2 a 0 a 2 a 128.若 x 0 时,恒有 x2e3x (k 3)x 2ln x 1 0 成立,则实数 k的取值范围是 .解析: x2e3x (k 3)x 2ln x 1 0e2 Inx 3x (2Inx 3x) 1 (2Inx 3x) 1 (k 3)x 2Inx 1 0e2 Inx 3x (2Inx 3x) 1 kx 0 [e2 Inx 3x (2Inx 3x) 1] 0 kx 0 , x 0 k 029.(2019 衡水金卷)已知 a < 0,不等式 xa 1 e x aInx 0 对任意的实数 x >1恒成立,则实数 a的最小值是( )1 1A. B. 2e C. D. e2e exa 1 e x aInx 0 xex 1 In 1In 1 1解析: a a e xa Inx x xax aInx a [ 1 ] e a e令 g(x) xe x单增函数, Inx minx30(. 2019 武汉调研,2020 安徽六安一中模考)已知函数 f (x) e x aIn(ax a) a(a 0) ,若关于 x的不等式 f (x) > 0 恒成立,则实数a的取值范围为( )A. (0,e] B. (0,e2 ) C. [1,e2 ] D. (1,e2 )解法一: f (x) e x aIn(ax a) a(a 0) e x aIn[a(x 1)] a e x Ina Ina In(x 1) 1 e x Ina x Ina Ina In(x 1) 1 x Ina In(x 1) 1 x e In(x 1) In(x 1) ,令 g(x) e x x,单增 x Ina In(x 1) Ina x In(x 1) Ina [x In(x 1)] 2 2 Ina 2 a e解法二: e x aIn[a(x 1)] a 0, (x 1) (x 1)e x a(x 1)In[a(x 1)] a(x 1) (x 1)e x (In[a(x 1)] 1) a(x 1) (x 1)e x (In[a(x 1)] 1) e In[a(x 1)]构造 g(t) (t 1)et g(x) g(In[a(x 1)]),因为 g(t)单增,2 x In[a(x 1)] Ina x In(x 1) ,所以 a e Ina [x In(x 1)]min 231.已知 x 是函数 f (x) x2e x 20 Inx 22 x的零点,则 e 0 Inx0 为( )解析: x2e x0 2 Inx 2 0 x2e x 2 Ine2 Inxe22x2e x e2In xex e2 e2 e2 Ine In xex In e xx x x x令 g(x) xe x可知 x 0, g(x) 单增,所以2x In e 2 Inx x0 2 Inx e2 x0 x e2 x00 0 Inx xx 0 0 Inx0 232.对任意的实数 x 0 ,不等式2ae2x Inx Ina 0恒成立,则实数 a的最小值为( )2 1 2 1A. B. C. D.e 2 e e 2e解析: 。2ae2x x Inx Ina 0 2ae2x InaIn x 2xe2x In x e a 2x In xa aInx 1因为 x In x 1 x 1 x 2x 1 a ;e a ae ae 2eex233.已知函数 f (x) ,则不等式 f (x) e x得解集为( )1 Inx1A. (0,1) B. ( ,1) C. (1,e) D. (1, )eex2 ex e x e1 Inxe x ex解析: 1 Inx 1 Inx x 1 Inx xe x 1构造 g(x) , (x )x eg(x) 在 (0,1) 单调递减, (1, )单调递增①当 x (1 ,1) 时,1 Inx 1, g(x) 递减e1 1 Inx x x 1 Inx x 0 所以取交集: x ( ,1)e②当 x (1, ) 时,1 Inx 1, g(x) 递增 1 Inx x x 1 Inx x 所以取交集: x无解.34.已知函数 f (x) x Inx①求函数 f (x) 的单调性1 e xx Inx 1②当 ,证明: e 1e x③若不等式 x aInx 1 x xa对 x (1, ) 恒成立,求实数 a的最小值e解析:① f (x) 在 (0,1) 单减, (1, ) 单增。e x Inx 1②要证: e 1x即证: e x Inex ex x e x x ex Inex e x Ine x ex Inex又 e x ex 1由(1)可得: f (x) 在 (1, ) 单增,故 f (e x ) f (ex)故原不等式成立。③x aInx 1 xa 1 x xa aInx e x Ine xx x xa aInxe e e x Ine x xa Inxa f (e x ) f (xa )又因为0 e x 1, f (x) 在 (0,1) 单减 e x xa a x e . Inx max35.不等式 x 3e x aInx x 1对任意 x (1, ) 恒成立,则实数 a的取值范围是( D )A. ( ,1 e] B. ( ,2 e2 ] C. ( , 2] D. ( , 3]解析: e x 3Inx aInx x 1 e x 3Inx (x 3Inx) 1 aInx 3Inx (a 3)Inx[e x 3Inx (x 3Inx) 1] 0 (a 3)[Inx] 0 a 3 0 a 336.已知不等式 e x x 1 m[x In(x 1)]对一切正数 x都成立,则实数m的取值范围是( C )( , e eA. ] B. ( , ] C. ( ,1] D. ( ,e]3 2解析:设 h(x) e x x 1, h(x) 恒增, h(x) mh(In(x 1) x In(x 1) x 0 取等号, m 1。37.若不等式mxemx2 Inx恒成立,则实数m的取值范围为( )[ 1 , ) [ 1 11A. B. , ) C.[ , ) D.[ , )e2 2e e e解析:①.当m 0,显然不成立.②.m 0 2时,mxemx Inx .(i)当 x (0,1)时,显然成立(ii)当 x (1, ) mx2,mxe Inx,2 2mxemx Inx mx2emx xInx Inxe Inx构造函数 h(x) xex ,在 x (1, ) h(x) 单增mx2 Inx m [ Inx 2 ]1 x max 2emx Inx38.设m 0,若任给 x 0 都有 e 成立,则实数m的最小值为( )m1 1 2 eA. B. C. D.e 2e e 3解析:原不等式等价于memx ≥ ln x,两边乘以 x得mxemx ≥ x ln x设 f (x) xex ,上述不等式等价于 f (mx)≥ f (ln x) 由于 f (x) 是增函数ln x所以转化为mx≥ ln x恒成立即:m≥ 恒成立,x设 g(x) ln x 1 1 ,求导可知 g(x)max ,所以m≥x e e39.若对任意 x (0, ) ,不等式 2e2x aIna aInx 0恒成立,则实数 a的最大值为( )A. e B.e C. 2e D.e2解析:同构: 2xe2x axInax Inax e Inax2x又因为 xex在 (0, )单增, 2x Inax a [e ]min 2ex40.已知对任意 x (0, ) ,都有 k(ekx 1) (11 ) ln x 0 ,则实数 k的取值范围为_______.x1解析:对任意 x (0, ) ,都有 k(ekx 1) (1 ) ln x 0x可得 kx(ekx 1) (1 x)lnx,即 (1 ekx )lnekx (1 x) ln x,可设 f (x) (1 x)lnx,可得上式即为 f (ekx ) f (x)f (x) ln x 1 x由 ,令 h(x) f (x) h (x)1 1 x 1,则 x x x2 ,x2当 x 1时, h (x) 0 , h(x) 单调递增当 0 x 1时, h (x) 0 , h(x) 单调递减,则 f (x) 在 x 1处取得极小值且为最小值 2,则 f (x) 0 恒成立,可得 f (x) 在 (0, ) 上单调递增kx k ln x ln x 1 ln x则 e x恒成立,即有 恒成立,可设 g(x) , g (x) x x x2当 x e时, g (x) 0 , g(x) 单调递减当 0 x e 时, g (x) 0 , g(x) 单调递增,1 1可得 g(x) 在 x e处取得极大值,且为最大值 ,则 k e e(1 1即 k的取值范围是 , ) .故答案为: ( , ) .e eax41 函数 f (x) x 1 x In(ax) 2(a 0),若函数 f (x) 在区间 (0, )内存在零点,则实e数 a的取值范围是( )A. (0,1] B.[1, ) C. (0,e] D.[3, )解析: f (x) e Inax 1 x x Inax 2 e Inax 1 x (Inax 1 x) 1 0当 Inax 1 x 0 Inax x 1 ax 1,即 a 142.已知函数 f (x) Inx e x (ea 1)x a(a R) ,若不等式 f (x) 0恒成立,求实数 a的取值范围( )解析:不等式即: xea a Inx e x x在 (0, )恒成立,等价于: ea Inx a Inx e x x在 (0, )恒成立构造函数: (x) e x x,知在 R上单增,所以 (a Inx) (x) a Inx x a x Inx a [x Inx]max 1 a 1e x43.已知函数 a e 1 x aInx, a R恒成立,则 a的取值范围是( )x解析: e x aInx (x aInx) e 1 构造函数 (x) e x x知在 R上单增 (x aInx) (1) x aInx 1 a x 1 a [ x 1所以 ]Inx Inx min 144.(浙江新高考模拟卷——学军中学)已知函数 x3e2x (k 2)x 3Inx 1恒成立,求 k的取值范围( )解析: x3e2x e3Inx 2x 3Inx 2x 1要使, x3e2x (k 2)x 3Inx 1只需要:3Inx 2x 1 (k 2)x 3Inx 1,即: k 045.(2020 年山东) f (x) ae x Inx Ina,若 f (x) 1,求 a的取值范围( )解析:方法一:同构构造 h(x) xexae x Inx Ina 1 ae x 1 In ex xex ex ex exInex In In e aa a a aex x In 1 Inx Ina Ina 1 Inx x Ina 0 a 1a方法二:构造 h(x) x e x . ae x 1 Inx Ina 1 ae x 1 Ina 1 Inx, e Ina x 1 Ina x 1 Inx x Inx e InxIna x 1 Inx Ina Inx x 1 Ina 0 a 146.已知函数 xex x Inx (b 2)x 1恒成立,求b的取值范围( )解析: e x Inx (x Inx) 1 (b 2)xx [e x Inx (x Inx) 1] 0 b 2 0 b 247. 已知函数 xex ax axa Inx aInx (a 1)x, x (1, )时恒成立,则 a的取值范围( )答案: a ,e 提示: xex x axa Inx aInx,48.设函数 f (x) axex ax 1 1(a R). 若不等式 f (x) ln x在区间 , 上恒成立, e 求 a的取值范围.解析: axe x ax 1 Inx a(e x Inx x) 1 Inx a(e x Inx x Inx 1) 1 a(Inx 1) Inxa(e x Inx x Inx 1) 1 a(Inx 1) Inx a(e x Inx x Inx 1) (a 1)(Inx 1) 0a(e x Inx x Inx 1) 0 (a 1)(Inx 1) 0 a(e x Inx x Inx 1) 0 (a 1)(Inx 1) 0 0 a 1 0 a 149.若函数 f (x) x e x b b(x x2 xInx)有零点,则b的取值范围.解析: x e x b b(x x2 xInx) 1 e x b Inx b(1 x Inx) e x x 1 b(1 x Inx) x b Inx 2 b(2 x Inx) x Inx 2 x Inx 2 0 b 150.已知函数 f (x) aInx 2e x 1 (a 2)x a 0 ,对任意 x [1, ) 恒成立,则实数 a的取值范围 .答案: a ( ,2]解析: 2e x 1 (a 2)x a aInx 2e x 1 ax 2x a aInx2e x 1 2x aInx ax a 2e x 1 2(x 1) 2 a( Inx x 1)2e x 1 2(x 2[e x 1 (x 1) 1] a[x 1 Inx] 2[e x 1 (x 1) 1] 0 a[x 1 Inx] 0 a 251.若 x 0 证明:(e x 1)In(x 1) x2解:需证:(e x 1)In(x 1) x2In(x 1) x Ine x In(e x 1 1)即证: x x x e 1 e 1 e x 1令 h(x) In(x 1) , (x 0) h(x) h(e x 1)x h(x)在 (0, )单减,即证: x e x 1即证 e x x 1 0(x 0) 显然成立。52.已知函数 f (x) x2e x a(x 2Inx) 有两个零点,则 a的取值范围( )解析: f (x) e2 Inx x a(x 2Inx) ,令 t x 2Inx容易知 t单增, f (t) et at, f (t) et a① a 0 , f (t) f (t)至多有一个根,不符合题意。② a 0, f (t) et at 0 et at 1 t 1 1 t (0, ) a (e, )a e a e符合题意53.若不等式 x(e x 1) Inx 1 t对任意 x (0, ) 恒成立,则实数 t的取值范围( )答案: ( ,2)54.已知函数 f (x) x2e x a(x 2Inx) ,讨论 f (x) 的零点的个数解析: x2e x a(x 2Inx) e x 2 Inx a(x 2Inx)t令 t x 2Inx et at a e t 0 a e, f (x) 无零点; a 0 & a e f (x) 只有一个零点a e f (x) 有两个零点55.已知函数 f x a ln x be x 1 (a 2)x a.( a , b为常数)若 b 2 ,若对任意的x 1 , , f x 0恒成立,求实数 a的取值范围.解析:由题意得: aInx 2e x 1 (a 2)x a 0, (x 1) ;a(Inx x 1) 2( e x 1 x) a(Inx x 1) 2(x 1 e x 1 1) 即: 2(e x 1 (x 1) 1) a(x Inx 1)(2 e x 1 (x 1) 1) a(e Inx Inx 1),因为 x 1 Inx当且仅当 x 1时等号成立,构造 g(x) e x x 1容易得:g(x) 0,所以只需要满足 a 2 。56.已知函数 f x x ln x 1 ,g x e x x 1.若 g x kf x 对 x 0 , 恒成立,求实数 k的取值范围.解析:由题意得: e x x 1 k[x In(x 1)] k[x 1 In(x 1) 1]即 e x x 1 k[e In(x 1) In(x 1) 1]又因为 x 0 ,所以: x In(x 1) 0又 y e x x 1在 0, 单增,且 x 0, y 0所以不等式恒成立满足 k 1即可。57.已知函数 f x e x mx 1,其中 e是自然对数的底数.若关于 x的不等式f x ln x 1 0 在 0,+ 上恒成立,求实数m的取值范围.解析:由题意得:e x mx 1 In(x 1) 0 e x x 1 [x 1 1 In(x 1)] (m 2)x 0e x x 1 [e In(x 1) In(x 1) 1] (m 2)x 0构造 g(x) e x x 1, x In(x 1)当且仅当 x 0 时等号成立即 (m +2)x ≥0 , x ∈[0 ,+∞),即 m ≥ 258.已知函数 f (x) ax lnx(a R) .当 a 1时,不等式 xex 1 f (x) m对于任意 x (0, )恒成立,求实数m的取值范围________.解析: xex 1 x Inx m e x Inx x Inx 1 m 2当 x Inx 0取等,所以:m 2 .lnx a59.已知函数 f (x) , (a R) ,g(x) e2x 2.若 f (x) g(x) 在 (0, ) 上成立,求 a的x取值范围______.Inx a解析: e2x 2 Inx a xe2x 2x Inx a e2x Inx 2xx a 1 e Inx 2x Inx 2x 1,当 Inx 2x 0 取等, a 1 0 a 1x60.已知函数 f (x) e a(lnx x).当 a 0时,求 f (x) 的最小值______.x解析: f (x) e x Inx a(x Inx),令 x Inx t 1 g(t) et at, (t 1) g(t)min g(Ina) a Ina .61.设 f x xe x ax 2 , g x ln x x x 2 1 e .当 a 0时,设 h x f x ag x 0 恒a成立,求 a的取值范围_______.解析: xex a(Inx x 1) e 0 e x Inx a(x Inx 1) e 0令 t Inx x et a(t 1) e 0 et e a(t 1) et et a e62.已知函数 f (x) xex a(x lnx) .若 f (x) 0 在 x [1, ) 恒成立,求实数 a的取值范围______.解析: xe x a(x Inx) 0 e x Inx a(x Inx) e x ex a ea63.函数 f (x) (x )Inx, g(x) memx m,当 a 1时,不等式 2 f (x) g(x) 0恒成x立,求m的取值范围( )2解析: 2(x 1 )Inx memx m e Inx Inx2 Inx2 mxemx mxx构造 h(x) xex x,易知单增, h(Inx2 ) h(mx) m Inx Inx 2 2 2 m [2 ] m [ , )x x max e e164.已知 a 0 ,函数 f (x) ax Inx,若 a ,证明 f (x) 1 xe axe解析: ax Inx 1 e Inx e ax e Inx ax Inx ax 1 Inx 1 a Inx ax Inx ax 0x e由 e x x 1,当且仅当 x 0 时取等,得 e Inx ax Inx ax 1,证毕。65.若对任意的 x 0 ,恒有 a(eax 1) 1 2(x )Inx,则实数 a的最小值为( )x解析:a(eax 1) 1 2(x )Inxx ax(eax 1) (x2 1)Inx2 (eax 1)Ineax (x2 1)Inx2构造 f (x) (x 1)Inx,容易知单增eax x2 2Inx 2Inx 2 2 a a [ ]max a x x e e66.已知 x 时函数 f (x) x2e x 20 Inx 22 x的零点,则 e 0 Inx0 ( )解析:x2e x 2 Inx 2 0 x2e x 2 2 Inxxxex e In ex x x Inx x In(In e ) In ex x x x2 In(e ) x 2 Inx x,&e2 x x e2 x0 Inxx 0 x0 Inx0 24 x067.已知 x 是方程 x3e x 40 2Inx 4 0 的一个根,则 e 2 2Inx0 的值是( )A.3 B.4 C.5 D.64 4 4 4 4解析: x3e x 4 e 4 2Inx In xex e In e Inx x e e2 2 2 In(In 2 ) Inx x x x x24令x In e 2 x 4 2Inxx4 x 4 x0 4 x 2Inx e 2 x e 2 2Inx0 x0 2Inx0 468.已知函数 f (x) ex+m x3 , g x ln x 1 2 .当m 1时,证明:f x g(x) x3.解析:先证明 ex x 1(x R),且 ln(x 1) x (x 1)设 F (x) e x x 1,则 F (x) ex 1因为当 x 0 时, F (x) 0当 x 0时, F (x) 0,所以 F (x)在 ( ,0)上单调递减,在 (0, )上单调递增所以当 x 0 时, F (x)取得最小值F (0) 0所以 F (x) F (0) 0,即 ex x 1(x R)所以 ln(x 1) x (当且仅当 x 0 时取等号)再证明 ex+m ln x 1 2 0.由 ex x 1(x R)得 ex 1 x 2 (当且仅当 x 1时取等号)因为 x 1,m 1,且 ex 1 x 2 与 ln(x 1) x 不同时取等号所以 ex+m ln x 1 2 em 1 ex 1 ln x 1 2 em 1(x 2) x 2 (em 1 1)(x 2) 0 .综上得证。69.已知函数 f x mex ln x 1.当m 1时,证明: f x 1.解析:设 F (x) e x x 1,则 F (x) ex 1F (x)取得最小值 F (0) 0 .所以 F (x) F (0) 0即 ex x 1(当且仅当 x 0 时取等号)由 ex x 1(x R)得 ex 1 x(当且仅当 x 1时取等号)所以 ln x x 1(x 0)(当且仅当 x 1时取等号)再证明mex ln x 2 0因为 x 0 ,m 1,且 ex x 1与 ln x x 1不同时取等号所以mex ln x 2 m x 1 x 1 2 m 1 x 1 0综上可知,当m 1时, f x 1.70.若 f (x) xex ax,a R, g(x) axa Inx aInx (a 1)x, 当 x (1, ) 时,若f (x) g(x) 恒成立,则 a的取值范围( )a解析: xex ax axa Inx aInx ax x x xex Inxae Inx Inxa构造: h(x) x xex单增, h(x) h(Inxa )① a 0 时, f (x) g(x) 恒成立② a 0时, Inxa x Inxax aInx 0 , a e aInx71.已知函数 (eax 1)Inx ax2 ax, (a 0) 在 x [1, ) 有三个不同的解,求a的范围?解析: (eax 1)Inx ax2 ax,①当 x 1时,成立ax Inx②当 x 1 (e 1) x 1 e 1时, ax Inx Inxg(x) ex 1又因为 在 x [1, ) 单增, ax Inx aInx 1 a (0, )x x eInx72.设实数 0,若对于任意的 x (0, ) ,不等式 e x 0恒成立,则 的取值范 围?e x Inx 0 xe x x x x解析: xInx xe xInx e Ine xInx 令 f (x) xInx x (0, 1), f (x) ; x (1 , ), f (x) ;e e x e x x x Inx [ Inx 1e 1,所以 ]x max e73.若不等式 xex Inx 1 kx对任意的 x 0 都成立,则 k的取值范围( )k xex Inx 1 e x Inx (Inx 1) e x Inx (Inx x) 1 x解析: 1x x x k 174.已知 f (x) Inx x xex 1 ,求 f (x) 最大值_______.解析: f (x) Inx x e Inx x 1 Inx x 1 e Inx x 1 1 2当 Inx x 1 0 时 f (x) 取最大值为 2e x 275.已知函数 f (x) xex Inx x 2最小值为 a, g(x) Inx x最小值为b则x( )A. a b B.a b C.a b D.不确定解析: f (x) e x Inx (x Inx) 1 1 1g(x) e x 2 Inx (x 2 Inx 1) 1 1,当 x Inx 0; x 2 Inx 0 等号成立。76.已知不等式 x aInx 1 x xa对 x (1, ) 恒成立,则实数 a的取值范围( )e解析: x aInx 1 xa x e x xa aInx e x Ine xx xa Inxae不妨令 f (x) x Inx, x (0,1) , (1, ) x 1 0 e x 1所以当 e x (0,1)e当 a 0时, xa与 e x 无法比较,不满足恒成立。当 a 0 xa (0,1) e x x xa x aInx a a eInxx77.已知函数 f (x) e 2 , g(x) Inx,当 x 0 时,t[ f 2t (x) 1] 1 2(x )g(x) 恒成立,则x实数 t的范围( )解析:t(etx 1) 2(x 1 )Inx xt(etx 1) (x2 1)Inx2x (etx 1)Inetx (x2 1)Inx2构造: F (x) (x 1)Inx知 F (x)在 (0, ) etx x2 tx 2Inx t 2Inx 2 t x e78.不等式 x(e2x 2a) x Inx 1恒成立,则 a得取值范围为( )1答案: a ,2xe2x x Inx 1解析: 2a h(x), xe2x e Inx 2x 2x Inx 1x2x xe2x x Inx 1 x xe x Inx 1 1, (Inx 2x 0)x1取等。 h(x)min 1 2a 1 a 2x79.已知函数 f (x) aInx e ax e2 ,若对任意 x (0, ) ,都有 f (x) 0恒成立,求x实数 a的取值范围( )解析:要证: e x Inx a(x Inx) e2 0只需要证: e x Inx 2 a 2 (x Inx) 1 0e h(x) e x x 1 0, (x 1)同构: h(x 2) e x 2 (x 2) 1 e x 2 x 1 0, (x 2) e x Inx 2 a (x Inx) 1 e x Inx 22 (xa Inx) 1 (1 2 )(x Inx)e eh(x Inx 2) (1 a 2 )(x Inx) 0e h(x Inx 2) 0, (x Inx 2) 取等 x Inx a 1 1 2 0 a e2e80.已知 f (x) mxInx 1,m 0 ,若 g(x) x2 2 x且关于 x的不等式 f (x) g(x) 在e(0, )上恒成立,求实数m的取值范围.x 1 mInx 2解析:由题目得: 0x e①当 x 1 1 时, e( x Inx) 1 (Inx 2 e ) (e 1 m)Inx 0e e x e e(1 x 1 e 1 Inx) 0 (Inx 2 ) 0 Inx(e m) 0 0e (x e) e x (x e) e 1 m e em e 1 e1 2 1 1②当0 x 1时, (x Inx ) (eInx ) ( e m)Inx 0e e x e (x 1 Inx 2 ) 0 (eInx1 ) 0 Inx(1 e m)e e x 0 0(x 1 ) (x 1e 1 ) m ee e em 1 ee m 0 m [1 1综合①② e,0) (0,e ]e e81.(焦作市 2021 届高三一模理 12)已知对任意的 a,b R都有 (b a)eb a be b a恒成立,则实数 的取值范围( )解析: b a eb a be b a b a eb a be b a 0 b a eb a b a be b b 0构造 f (x) xex x,即 f (b a) f ( b) 0,由于 a,b为任意实数, f (x) 0 f (x) x(e x ) 0① x 0 ,满足题意② x 0, e x 0 1 ③ x 0,e x 0 1综上所述: 1182.(浙江省 2021 届高三百校 12 月联考)已知 a 1,若对任意的 x [ , ) ,不等式34x In3x ae x Ina恒成立,则 a的最小值( )解析:4x In3x ae x Ina x 3x In3x e Ina x Ina e In3x In3x e Ina x (Ina x)构造 f (x) e x x f (In3x) f (Ina x) f (x) 1在 x 0 单增, x [ , ) In3x 0, Ina x (1 , )3 3In3x Ina x Ina In3x 3x x x 3所以: x In x a 3 x a [3 ] e e e x max e83.已知函数 f (x) e x a xInx x(a R) 有两个极值点, x1, x2 (x1 x2 ) ,设 f (x) 的导函数为 g(x) ,证明 a 2。(同类同构)解析:思路分析: f (x) g(x) e x a Inx有两根即 e x a (x a) 1 x Inx 1 a 2令 h(x) e x x 1 h(x) 0, (x 0) 取等;h(x a) e x a (x a) 1 0 (x a) 取等;h(Inx) x Inx 1 0 (x 1) 取等; a 2 0 a 2 (不等同时取等,另 a 1不成立)x 184.已知函数 f (x) ae , g(x) In x 1,其中 a 0,若 f (x) g(x) 在区间 (0, )恒a成立,求 a得最小值x 1 x Inx解析: f (x) g(x) ae In 1x x xex 1 (In 1) xex 1 (In x 1)e aa a a a构造: h(x) xex 1 x h(x) h(In 1) , h(x)在 (0, )单增a则 x In x 1 Ina Inx x 1 Ina [Inx x 1] 2 a 1 max a e284.已知函数 f (x) ae x In(x 1) Ina 1,若函数 f (x) 有且仅有两个零点,则 a的取值范围( )解析: f (x) ae x In(x 1) Ina 1 0有两解, (a 0, x 1)x x e(x 1)指对分离: ae In(x 1) 1 Ina ae Ina同乘 e(x 1)得: (x 1)e x 1e(x 1) In e(x 1) a a构造函数: g(t) tet , (t 0) g(t) g(x 1) g(In e(x 1) e(x 1)单增 ) x 1 In 图像有两个交点a aa x 1 e x 1 e[x 1x 1 ]max e1 1,综上: a (0,1)e e e85.已知函数 f (x) 1 ae xInx,若不等式 f (x) e x (xa x)(a 0) 对 x (1, ) 恒成立,求实数 a的取值范围f (x) e x a解析: (x x)(a 0) 1 ae x Inx e x (x a x) 1 a x a ae x aInx x x e x x Inxf (x) e x (xa x)(a 0) 1 ae xInx e x (xa x) 1 a x a ae x aInx x x e x x Inx又 x 1, x 1,又 a 0, xa 1, Inxa 0构造 g(t) et t, (t 0) , g(t)单减 g( x) g(Inxa ) x Inxa aInx, (x 1) a x a [ x ] eInx Inx max g( x) g(Inxa ) x Inxa x x aInx, (x 1) a a [ ] e,综上: a [ e, )Inx Inx maxx86.已知 xe ax Inx 1对任意的 x (0, ) 恒成立,则 a的取值范围是( )解析: f (x) xex ax Inx 1 0 f (x) e x Inx (x Inx) 1 (1 a)x 0f (x) [e x Inx (x Inx) 1] 0 (1 a)x 0 1 a 0 a 1x Inx 087.若不等式 ax(e x 1) Inx 1 1在区间[ , )上恒成立,求 a的取值范围( )e解析: ax(e x 1) Inx 1 ae x Inx ax aInx a Inx 1 aInx a 0[ae x Inx ax aInx a] x Inx [ Inx 1 aInx a] 0 a 1 0 a 1a(e x Inx 1) 0 (a 1) Inex 0[ae x Inx ax aInx a]a(e x Inx [ Inx 1 aInx a] 0 a 1 0 a 1 x Inx 1) 0 (a 1) Inex 088.已知函数 f (x) x (a 1)Inx,a R ,当 a 2e 时,xex m f (x) 0恒成立,求实数m的取值范围?x Inx解析: e (2e 1)Inx x m 0 e[e x Inx 1 (x Inx 1) 1] (e 1)x (e 1)Inx (e 1) e 1 m 0e x Inx (2e 1)Inx x m 0 e[e x Inx 1 (x Inx 1) 1] (e 1)x (e 1)Inx (e 1) e 1 m 0e[e x Inx 1 (x Inx 1) 1] 0 [(e 1)x (e 1)Inx (e 1)] 0 e 1 m 0x 1 x 1 e 1 m 0 m 1 ex 189.(2014 年全国 I卷)设函数 f (x) ae xInxbe ,a 2,b 1,证明: f (x) 1xx 1e xInx 2e 1 0 xInx 2 x 0 e InxInx 2 xe x 0 [e InxInx] 2解析: x xx e e e 1 [ xe ] 1 0 e e ex 1 x 1 ex 1e xInx 2e 2 x 2 2 1 0 xInx 0 e InxInx xe x 0 [e InxInx] [ xe x ] 0x e e x e 1 e e1 ex 1 x 1 e所以得证90.已知函数 f (x) e x In(x m) ,当m 2时,证明 f (x) 0解析: e x In(x m) e x x 1 (x m) In(x m) 1 2 m 0 [e x x 1] 0 [(x m) In(x m) 1] 0 2 m 0 2 m 0 m 2x 0 x m 1m 191. 已知 a 0函数 f (x) e x a In(x a) 1 , (x 0) 的最小值为0 ,则实数 a的取值范围( )解析: e x a (x a) 1 (x a) In(x a) 1 1 2a 0[e x a (x a) 1] 0 [(x a) In(x a) 1] 0 1 2a 0x a x 1 a1因为最小值为 0 , 1 2a 0 a 292.函数 f (x) e2x aInx,证明:当 a 0时, f (x) 2a 2 aIna2x2x解析: e aInx 2a aIn2 e 0 Inx 2 In2 Ina 0 e2x Ina (2x Ina) 1 2x In2x 1 0a a2 e2xe2x aInx 2a aIn 0 Inx 2 In2 Ina 0 e2x Ina (2x Ina) 1 2x In2x 1 0a a[e2x Ina (2x Ina) 1] 0 [2x In2x 1]1 0 0 x ,a e。2x Ina 0 2x 1 293.已知函数 f (x) ae x 1 Inx Ina若 f (x) 1,求 a的取值范围( )ae x 1解析: Inx Ina 1 0 a(e x 1 x) ax Inx Ina 1 a(e x 1 x) (x Inx 1) (a 1)x Ina 0ae x 1 Inx Ina 1 0 a(e x 1 x) ax Inx Ina 1 a(e x 1 x) (x Inx 1) (a 1)x Ina 0 [a(e x 1 x)] 0 [(x Inx 1)] (a 1)x Ina 0 (a 1)x Ina 0 a 1 0x 1 x 1 [a(e x 1 x)] 0 [(x Inx 1)] (a 1)x Ina 0 (a 1)x Ina 0 a 1 0x 1 x 1当 a 1时, (a 1) 1 Ina 0 不一定满足 f (x) 1,所以综上 a 194.已知函数 f (x) e x In(x 1) a的图像在 x 0 处与 x 轴相切,若 x t 0,证明:e x t In(t 1) In(x 1) 1解析: e x t In(t 1) In(x 1) 1 e x t (x t) 1 x In(x 1) [t In(t 1)] 0 [e x t (x t) 1] 0 {x In(x 1) [t In(t 1)]} 0x t95. 已知 f (x) aInx x 1, g(x) x e x, a为实数,设 h(x) f (x) g(x) ,求所有的实数值 a,使得对任意的 x 0 ,不等式 h(x) 1 e恒成立解析: e(e x 1 x) ex aInx e 0 e(e x 1 x) e(x Inx 1) (e a)Inx 0 [e(e x 1 x)] 0 [e(x Inx 1)] 0 (e a)Inx 0x 1 x 1当 x 1, Inx 0 e a 0 a e当 x (0,1), Inx 0 e a 0 a e,综上: a e96.已知函数 f (x) e x (a 1)Inx 2 ,当 a e时,证明: f (x) 2e (e 1)In(e 1)解析: e x (a 1)Inx 2 2e (e 1)In(e 1) e x (e 1)Inx 2(e 1) (e 1)In(e 1) 0e x (a 1)Inx 2 2e (e 1)In(e 1) e x (e 1)Inx 2(e 1) (e 1)In(e 1) 0ex ex e x ex (e 1)( In 1) 0 [e x ex] ex 0 [(e 1)( Inex 1)] 0e 1 e 1 0x 1 e 1 e 1 ex 1 x 1 1 e 1 ee x ex (e 1)( ex In ex 1) 0 [e x ex] [(e 1)( ex 0 Inex 1)] 0 0e 1 e 1 x 1 e 1 e 1 ex 1 x 1 1 e 1 e97.已知函数 f (x) e x (a 1)Inx 2 ,当 a 2 时,证明: f (x) 4 3In3解析: e x (a 1)Inx 2 4 3In3 e x 3Inx 6 3In3 0e x ex 3(ex In ex 1) ex ex 0 [e x ex] 0 [3( In 1)] 03 3 x 1 3 3 0x 3 e198.已知函数 f (x) ae x , g(x) In(x 1) 1,证明:当 a 时, f (x) g(x)e2解析: f (x) g(x) 1 1 e x2 In(x 1) 1 (a x x 22 )e e (x 2) 1 (x 1) In(x 1) 1 (a1 )e xe e e2f (x) 1 1 g(x) 2 ex In(x 1) 1 (a 2 )ex e x 2 (x 2) 1 (x 1) In(x 1) 1 (a 1 )e xe e e2[e x 2 (x 2) 1] 0 [(x 1) In(x 1) 1]1 0 (a )ex2x 2 x 2 e a 1 所以: f (x) g(x) 02 得证。e99. 已知函数 f (x) Inx ax a,a R,若关于 x 的不等式 f (x) e x 1 1在区间[1, )上恒成立,求 a的取值范围( )解析:e x 1 Inx a(x 1) 1 0 [e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx] (2 a)(x 1) 0 , {[e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx]} 0 (2 a)(x 1) 0, x 1 2 a 0 a 2x 1100.已知函数 f (x) Inx ax2 ,若 f (x) ax2 2ax e x e 2a在 x (1, ) 上恒成立,求实数 a的取值范围()解析: e x Inx 2a(x 1) e 0 e[e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx] (e 1 2a)(x 1) 0e x Inx 2a(x 1) e 0 e[e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx] (e 1 2a)(x 1) 0e[e x 1 (x 1) 1] 0 [(x 1) Inx] 0 (e 1 2a)(x 1) 0, x 1 e 1 2a 0e 1 a x 1 x 1 2e[e x 1 (x 1) 1] 0 [(x 1) Inx] 0 (e 1 2a)(x 1) 0, x 1 e 1 2a 0 ae 1 x 1 x 1 2a 1, x 1101.已知 ,不等式 4x In(3x) ae x Ina 恒成立,则 a的最小值为( )3解析:同构变形:3x In3x ae x x Ina 3x In3x ae x Inae x又因为3x 1,a 1,构造 y t Int(t 1)单增所以 ae x 3x a 3x x a [3xx ]3e e max e102.已知函数 f (x) e x a xInx x有两个极值点点 x1, x2 (x1 x2 ),设 f (x) 的导函数为g(x) ,证明: a 2解析: g(x) e x a Inx有两根,即: e x a (x a) 1 x Inx 1 a 2 [e x a (x a) 1] 0 [x Inx 1] 0 a 2 a 2 0 a 2。x a x 1注意:(不能同时取等,另 a 1不成立)(此题:同类同构)103.已知函数 f (x) Inx a(x 1), g(x) e x ,设 h(x) f (x 1) g(x) ,当 x 0 ,h(x) 1,求实数 a的取值范围( )解析:当 x 0 , h(x) 1x x 1 2 1 2即:e In(x 1) ax 1 (e x x 1) In(x 1) x x ) (2 a)x 02 2(e x 1所以: x2 x 1) 0 In(x 1)1 x x2 )2 2 0 (2 a)[x] 0 0,x 0 x 0所以: 2 a 0 a 2 (此题:同类异构)104.已知函数 f (x) ae2x (2a 1)e x x,a为常数,若 x 0 时, f (x) (3a 1)cos x恒成立,求实数 a的取值范围( )解析:ae2x (2a 1)e x x (3a 1)cos xa(e2x ex x) (3a 1)(ex x 1) (3a 1)(1 cos x) (4a 2)x 0所以:a[(e2x e x x) 0 ] (3a 1)[(ex x 1) 0 ] (3a 1)[(1 cos x) 0 ] (4a 2)[x 0 ] 0x 0 x 0 x 0 a 0 所以: 3a 11 0 a 2 ,(此题:同类异构) 4a 2 0105.已知函数 f (x) ax x 1 x In(ax) 2, (a 0),若函数 f (x) 在区间 (0, )内存在零e点,则实数 a的取值范围(B)A. (0,1] B.[1, ) C. (0,e] D.[3, ) ax axe1 x e1 x Inax解析: x 1 所以:ef (x) e1 x Inax (1 x Inax) 1 0e x 1当且仅当:1 x Inax 0 a a 1x106.已知函数 f (x) xe x Inx x 1,若对任意 x (0, ) 使得 f (x) a,则 a的最大值为( )A.0 B. e 2 C.1 D. e 1解析:f (x) xe x Inx x 1 e x Inx (x Inx) 1 a [e x Inx (x Inx) 1] 0 a a 0107.已知对任意的 x (0, ) 都有 k(ekx 1) (1 1 )Inx 0 ,则实数 k的取值范围( )xkx解析: k(e 1) (11 )Inx 0 k(ekx 1 1) (1 )Inx kxekx kx xInx Inx e Inx Inx Inxx xk(ekx 1 1) (1 )Inx 0 k(ekx 1) (1 1 )Inx kxekx kx xInx Inx e Inx Inx Inxx xg(x) x xex kx Inx k Inx k [ Inx ] 1单增,所以: x x max e108.若直线 y ax b与曲线 y Inx 1相切,则 ab的最大值为( )解析: ax b Inx 1 ax b 1 Inx, Inax ax 1 Inx ax 1 Ina ax b 1所以:b Ina ab 1 aIna e109.已知m,n为实数, f (x) e x mx n 1若 f (x) 0 x n m对 R恒成立,则 的取m值范围( )x解析: e mx n 1 0 e x 1 mx n [e x 1] 0 mx nn n 0 1 1m mf (x) xeax 1 1110.已知函数 Inx ax,a ( , 2 ],则函数 f (x) 的最小值为( )e解析: f (x) xeax 1 Inx ax eax Inx 1 (ax Inx 1) 1 0当且仅当 ax Inx 1 0 a 1 Inx 1 等号成立,则 a x e2111.已知函数 f (x) x In(x 1), g(x) xInx,若 f (x1) 1 2Int, g(x22 ) t ,则(x1x2 x2 )Int的最小值为( )1 2 1 1A. 2 B. C. D. e e 2e e x1 In(x1 1) 1 2Int解析: x1 1 In(x1 1) Inx2 In(Inx2 )x 2 2Inx2 t Inx2 In(Inx2 ) 2Int构造 h(x) x Inx, h(x) 单增, x1 1 Inx2 ,(x1x2 x2 )Int x2 (x1 1)Int x2InxIn(x2Inx2 ) x2Inx2In(x2Inx2 )2 2 2构造m(x) xInx 1,则m(x)min e所以: (x1x2 x2 )Int1的最小值为 2ex a 2112.已知函数 f (x) (x 2)e x ax, a R,若不等式2f (x) (x 1)e x a x2 2ax a 0恒成立,求 a的取值范围。21 x 1 1解析 1: (2x 1)e x ax a x, xe 2ex e (x )e 2 2e(x ) e2 23 3 3 (2x 1)e x 4e 2 x 4e 2 1 a 4e 2 (此法:切线找点)x解析 2:过 (1,0) 点作 y (2x 1)e x的切线,设切点 (x0 , (2x0 1)e 0 ),则k (2x (2x 1)ex0 0 3 0 1)ex0 0 x0 0 & x0 x0 1 23 3解之得: k 1,k 4e 2 ,所以1 a 4e 2113.已知函数 f (x) Inx ax 1 0 恒成立,则实数 a的取值范围( )解析:由 f (x) Inx ax 1 0Inx ax 1 0 a Inx 1 e Inex e [ Inex得: ]max 1x ex ex114.已知函数 f (x) x Inx, g(x) xInx,若 f (x1) x Inx, g(x) xInx,若f (x1) Int, g(x2 ) t,则 x1x2Int的最小值( )x Inx Int, x Inx t e x1 Inx1 x Inx x e x1 Inx e Inx解析: 21 1 2 2 , 2 2 1 2构造 h(x) xex单增, x1 Inx2 x1x2Int x2Inx2Int tInt x1x2Int [tInt]1min ex Int115.已知函数 f (x) xe , g(x) xInx,若 f (x1) g(x2 ) t 0,则 的最大值( )x1x2解析:由题意: f (x1) x1ex1 t 0 x1 0; g(x2 ) x2Inx2 t 0 x2 1而: g(x2 ) x2Inx2 Inx eInx22 f (Inx2 ) f (x1) f (Inx2 )构造 h(x) xex 在 (0, ) 单增x Inx x x x Inx t Int Int , [ Int ] 1 Int 1 1 2 1 2 2 2 max x1x2 t t e x1x2 e116.已知函数 f (x) x Inx,已知实数 a 0 ,若 f (x) ae2x Ina 0在 (0, )上恒成立,求实数 a的取值范围( )Inx ae x解析 1:由题意知 Ina ;x两边同时加上 x ,得 ae x Ina a Inx,即 ae x In(ae x ) x Inx构造 h(x) x Inx x x,因为单增,即: ae x a x a [x 1e e x]max eIn x解析 2:由题意知 Inx ae x Ina1 In x x; e x Inx xe x e a In x xe xa a a a ah(x) xex x 0 h(In x x 1构造 ,在 单增, ) h(x) In x a a a e1 3 ax117.若 x (0, )时,关于 x 的不等式 ax e 2Inx 0 恒成立,则实数a的最大值( )eax3eax 2Inx 0 axeax 2Inx 0 axeax 2Inx ax 1 1解析: x2 x2 axe Inx2 x2构造 f (x) xex, f (ax) f (In 1 2 ), In12 (2, ) 且单增x x1 2Inx 2Inx 1所以: ax In 2 a a ( )min 2 1 2ex x xe118.已知函数 f (x) ae x 2x 1,证明:对任意的 a 1,当 x 0 时, f (x) (x ae)x解析: aex 2x 1 (x ae)x (a 1)(ex ex) ex ex (x 1)2 0 (a 1)[(ex ex)] 0 [ex ex (x 1)2 ] 0 0x 1 x 1aex 2x 1 (x ae)x (a 1)(ex ex) ex ex (x 1)2 0 (a 1)[(ex ex)] x 0 [e ex (x 1)2 ] 0 0x 1 x 1即: a 1,得证 (同类异构)119.已知函数 f (x) x Inx,a 0 若 f (x) ae2x Ina 0在 (0, )上恒成立,求实数 a的取值范围_____.x Inx ae2x Ina 0 ae2x解析: 2x Ina x Inx ae2x Ina e2x x Inxh(x) x Inx ae2x x a x a [ x ] 1设 ,因为单增, 2x e e2x max 2ex a120.已知函数 f (x) ae ln 2(a 0) ,若 f (x) 0 恒成立,则实数 a的取值范围为x 2________. f x aex【解】 ln a 2 0,则 ex lna ln a ln x 2 2 ,x 2两边加上 x x lna得到 e x lna x 2 ln x 2 e ln x 2 ln x 2 , y ex x单调递增, x lna ln x 2 ,即 ln a ln x 2 x,令g x ln x 2 x g x 1 1 x 1,则 ,因为 f x 的定义域为x 2 x 1 2, x 2, 1 时,g x 0 ,g x 单调递增,x 1, ,g x 0,g x 单调递减, ln a g x a emax g 1 1, .故答案为: e, 2x a 1 a121.已知函数 f (x) e Inx 在定义域内没有零点,则实数 a的取值范围为( )2 2f (x) e2x a 1 a 2x a a 1 a 1解析: Inx 0 e Inx e2x a x e Inx Inx2 2 2 2 2 2构造: g(x) e2x x x a 1 Inx a 1 Inx x a In2 12 2 2 2x 1122.若 (0, )时,关于 x 的不等式 ax3eax 2Inx 0 ,则实数 a的最大值为( )eIn 1解析: ax3eax 2Inx 0 axeax 2Inx 1 In 1 1 2 2 e x2 Inx x x2因为 x (0,1) In 1 2 ax In 2 a 2Inx 2 , e x x2 a 2ex123. 函数 f (x) ae x xInx 2若 a ,证明: f (x) 0e22 x 2 x解析:即证: a 2 , f (x) ae xInx ee e22 x124.已知 x 是函数 f (x) x2e x 2 Inx 2的零点,则 e 00 Inx0 ( )解析:f (x) e x 2 2 Inx x 2 2Inx Inx x e x0 2 2 Inx0 x0 2 2Inx0 Inx0 x0 0e x0 2 2 Inx0 x0 2 2Inx Inx xInx00 0 0 e Inx0得: 2Inx0 x0 2 Inx0 e2 x0 Inx0 22 1125.已知关于 x 得方程 2x 1 2ax x2 ax 1,当 x 3时有两个不相等的实数根,2则 a的取值范围( )2解析: 2x 1 x2 1 2ax ax,即 x2 1 ax1 x 1 5当 3有两个不同的交点, a x , a (2, ]2 x 2e x126.函数 f (x) (x 0),函数 g(x) mx,若不等式 f (x) g(x) 0 在 (0, )上恒成x立,求实数m的范围?e x解析: mx 0,则 e x mx2 0 e x mx2x2 2因为 e x e x2 e m (切线放缩)4 4127.若 h(x) ae x Inx Ina(a 0) ,当 x a时,不等式 h(x) 0恒成立,求 a的最小值?x解析: ae Inx Ina 0 e x Ina x Ina Inx x所以: x Ina Inx Ina Inx x①0 a 1, x (0,1) , (1, ) , Ina 1 a 1 e② a 1, x [a, ) a 0 1恒成立。综上: a e128.已知函数 f (x) x(e x a) 2Inx 2In2 2(a R) ,若 f (x) 0,求 a的取值范围( )解析: e x Inx 2Inx 2In2 2 ax 0 e x Inx In2 Inx In2 1a a x 0 e x Inx In2 x Inx In2 (1 )x 02 2e x Inx 2Inx 2In2 2 ax 0 e x Inx In2 Inx In2 1 a x 0 e x Inx In2 x Inx In2 a (1 )x 02 2 1 a 0 a 22容易知道: h(x) e x x 1 0 , x 0 取等号h(x Inx In2) e x Inx In2 (x Inx In2) 1 0, x0 Inx0 In2 取等1①当1 a 0即 a 2 时,原式恒成立2②当1 1 a 0即 a 2 时, ax 2x2g(x) e x Inx In2 (x Inx In2) 1 1 (1 a)x e x Inx In2 (e x Inx In2 (x Inx In2) 1) 1 h(x Inx In2)2g(x) e x Inx In2 (x Inx In2) 1 (1 1 a)x e x Inx In2 (e x Inx In2 (x Inx In2) 1) 1 h(x Inx In2)2当 x0 Inx0 In2 时, h(x0 Inx0 In2) 0g(x0 ) h(x0 Inx0 In2) 0 ,矛盾:综合 a 2129.已知函数 f (x) e x 2ax 1, g(x) 2aIn(x 1),a R,若对任意x [0, ), f (x) g(x) x恒成立,求 a的取值范围( )解析: ex 2ax 1 2aIn(x 1) x 0 (e x x 1) 0 2a[In(x 1) x] 0 0 2a 0 a 0x 0 x 0e x 2ax 1 2aIn(x 1) x 0 (e x x 1) 0 2a[In(x 1) x] 0 0 2a 0 a 0x 0 x 01 1130. 函数 f (x) emx x2 若m 1,且对m 2 ,x (e, ),mx(mx 6) 2 f (x)任意 Inx 6恒成立,求实数m的取值范围.Inx解析:原式化简为: (mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2x (mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2e Inx(mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2x (mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2e Inx构造 h(x) x2 6 2e x 2(x 3 e x ) ,等价于 h(mx) h(Inx) , m 1, x (e, ) mx 1, Inx 1,当 x 1时, h (x) 2(x 3 e x ) 2(1 3 e) 0所以: h(mx) h(Inx) mx Inx m Inx Inx 1 m [ ] x x max e综上:m 1xax x In131.已知函数 f (x) (a 0) ,当 x 1时, f (x) ax ,求 a的取值范围。Inx e Inxxax x In a a e x In x x Ina解析: x e Inx Ina ex Ina x Ina Inx xInx e Inx a构造 g(x) e x x,知单增x Ina Inx Ina Inx x, x 1 Ina 1 a 1 e132.已知函数 f (x) ln x ax 1.(1)讨论 f (x) 的单调性;(2)对任意 x 0, xe2 x f (x) 恒成立,求实数 a的最大值.f (x) 1 a 1 ax解:(1) (x 0)x x当 a 0 时, x (0, ) f (x) 1 ax, 0 ,所以 f (x) 在 (0, ) 上单调递增;x1 1 ax 1当 a 0 时, x (0, ) , f (x) 0 ,所以 f (x) 在 (0, )上单调递增;a x ax ( 1 ,+ ), f (x)1 ax 0 1,所以 f (x) 在 ( ,+ ) 上单调递减;a x a综上:当 a 0时, f (x) 在 (0, ) 上单调递增;f (x) (0, 1 ) ( 1当 a 0 时, 在 上单调递增,在 ,+ ) 上单调递减.a a(2)任意 x 0 , xe2x f (x) ,即 xe2x ln x ax 1 0 恒成立,即 eln x 2x ln x ax 1 0 恒成立;令 g(x) = eln x 2x ln x ax 1,则任意 x 0 , g(x) = eln x 2x ln x ax 1 0 ,ln x 2x因为,存在正实数 x0 ,满足: ln x0 2x0 0 ,且 g(x0 ) = e 0 0 ln x0 ax0 1 0,所以 2x0 ax0 0,所以 a 2 .下证:当 a 2 时成立:即证: eln x 2x ln x 2x 1 0 ,因为 x R,ex x 1,所以: eln x 2x ln x 2x 1 ln x 2x 1 ln x 2x 1 0显然成立;所以实数 a的最大值为 2 .133.已知 a 0 ,若 a ln x≤ x ln a 恒成立,则 a的值是________.答案: eln x ln a解析:两边同时除以 ax得, ,要使该不等式恒成立x a即 x a ln x时, 取最大值,故 a e.x134.已知函数 f (x) (x xm mInx)e x 1(m 0) ,当 x (1, ) 时恒有 f (x) 0,求实数m的取值范围( )解析: f (x) 0 x xm mInx e x 0 e x x xm mInx e x x xm mInx e x ( x) xm Inxm设 g(t) et t, g( x) g(Inxm )g (t) et 1 0 t 0 t ( ,0)递减 x 1, Inxm mInx 0 x Inxm mInx m ( x )Inx max e综上[ e,0)x135.若 a 0, x 0,e a a2In(ax b) b在定义域内恒成立,求 a的取值范围( )x x x解析: ax e a a2In(ax b) ax b a2Ine a e a a2In(ax b) ax b,x构造函数 g(x) a2Inx x,易知 g(x) 单增,故有 e a ax b由 e x x 1 结合图像得 a 1,b 1,故 a (0,1]e2x 2136.当 a 0 时,证明 Inx 2 Ina ae2x 2解析:要证 Inx 2 In e2x Ina,即证: In2x 2 Ina 0a a构造函数 h(x) e x x 1易证: h(x) h(0) 0由于 h(2x Ina) e2x Ina 2x Ina 1,h(In2x) 2x In2x 1故 h(2x Ina) h(In2x) e2x Ina 2x Ina 1 2x 1 e2x Ina In2x Ina 2 0当且仅当 2x Ina且 In2x 0 即 x 1 ,a e时等号成立2e2x Inx 2 In 2所以当 a 0时, a aax 2 2137.若 a 1,对任意 x (e, ),2e a x 6ax 2x Inx 6 恒成立,求a的取值范Inx围( )a2x2 In2x e eax 3ax e Inx x解析:由 可得:即为 3Inx,2 2因为 a 1, x e,故 ax e, Inx 12令 F (t) ett 3t(t 0) ,则 F (ax) F (Inx)在 x (e, )上恒成立2易知函数 F (t)在 (1, )上单调递增,所以只需要 ax InxInx即 a ,即 a [ Inx ] 1max ,即 a1 ,结合 a 1,所以 a (1, )x x e e138.已知 f (x) e x a ax, g(x) x 1 ln x 1 .(1)讨论 f (x) 的单调性;(2)若函数 F (x) f (x) g (x) 在定义域上单调递增,求实数 a的取值范围.详解:(1) f ' (x) e x a a, x R. f ' (x) 在 R上单调递增.当 a 0, f ' (x) 0, f (x) 在 , 上单调递增;当 a 0时, f ' (x) 0 x a ln( a),f ' (x) 0 x a ln( a); f ' (x) 0 x a ln( a); f (x)在 , a ln( a) 上单调递减;在 a ln( a), 上单调递增(2) F (x) e x a ax x 1 ln x 1 定义域是 ( 1, ) ;函数 F (x)在定义域上单调递增的充要条件是 F ' (x) 0 (x 1) 恒成立.法一: F ' (x) e x a a ln(x 1) 1 0 (x 1) 恒成立, F ' (0) ea a 1 0令 t(x) ex x 1, 则 t ' (x) e x 1 0 t(x) 在 R单调递增, t(0) 0,ea a 1 t(a) 0 a 0当 a 0时,记G(x) F ' (x),G' (x) e x a 1 h(x), x 1x 1h' (x) e x a 1 2 0 G' (x)在( 1, )上单调递增. x 1 当x 1时G' (x) ;当x 时G' (x) ; 存在唯一的x 使G' (x ) 1 e x0 a0 0 0,.......................................................8分x0 11事实上,取 x1 1 a ,e a 0 0 1 1, 1 x 0, e x1 a ea , 1 eaea 1 x1 1 G' (x1) G' ( 1 1a ) 0e又G '(0) 1 ea 1 0 存在唯一的x0 1 ea,0 ,使G' (x0 ) 0, G' (x0 ) 0 ex0 a 1x 1, x0 a ln x0 1 0 当 1 x x0 ,G' (x) G' (x0 ) 0; 当x x0 ,G' (x) G' (x0 ) 0; G(x) 在 1, x0 单调递减,在 x0 , 单调递增. F ' (x)min G(x)min G(x0 ).........................................................................10分 ex0 a a ln(x0 1) 11 a x0 a 1x0 11 x 1x 1 0 1 2 2a 2 x 1 2 2a 2a 0.0 x0 10 a 0 F ' (x) 0综上可知 a 0为所求法二:F ' (x) ex a a ln(x 1) 1 0 (x 1) ex a (x a) x 1 ln(x 1) eln(x 1) ln(x 1)令T (t) et t, T '(t) et 1 0, T (t)在R上单调递增 T (x a) T (ln(x 1)) x a ln(x 1)恒成立. a S(x) ln(x 1) x a S(x)maxS ' (x) 1 1 x (x 1)x 1 x 1 1 x 0时S ' (x) 0; x 0时,S ' (x) 0 S(x)在( 1,0)上单调递增,在(0, )上单调递减. S(x)max S(0) 0 a 0法三:先证明 h(x) e x x 1 0 ,证明如下: h' (x) e x 1 x 0时h' (x) 0; x 0时h' (x) 0; x 0时h' (x) 0; x 0时h(x)单调递减; x 0时h(x)单调递增. h(x)min h(0) 0 h(x) h(x)min 0 e x x 1 x 1 0时 ln e x ln(x 1)即x ln(x 1) 0. 若a 0,则F ' (x) ex a a ln(x 1) 1 x a 1 a ln(x 1) 1 x ln(x 1) 2a 2a 0 (x 1)恒成立 若a 0,则ea 1 F ' (0) ea a ln1 1 ea 1 a 0 当且仅当a 0时F ' (x) 0恒成立 展开更多...... 收起↑ 资源列表 138道 同构练习题.pdf 138道 同构练习题(详解).pdf