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138道 同构 练习题
1.已知函数 f (x) = aexInx(a ≠ 0)，若 x∈ (0,1)， f (x) < x2 + xIna，求 a的取值范围.
2.已知 f (x) = ex aInx ，若对任意 x∈ (0,+∞)，不等式 f (x) > aIna恒成立，求正实数 a
的取值范围.
λx Inx
3.设实数 λ > 0，若对任意的 x∈ (0,+∞) ，不等式 e ≥ 0恒成立，则 λ的取值范围是
λ
（ ）．
x Inx + a
4.已知 e 1≥ 恒成立，则实数 a的最大值为（ ）。
x
m
5.设实数 m > 0，若对任意的 x ≥ e，若不等式 x2 ln x me x ≥ 0 恒成立，则 m 的最大值为（ ）．
1
6.对任意的 x∈ (0, )
m
+ ∞ ，不等式 2x3 ln x me x ≥ 0 恒成立，求实数 m 的最大值 .
7.已知函数 f (x) = m ln (x +1) 3x 3，若不等式 f (x) > mx 3ex 在 x∈(0 , + ∞)上恒成立，
则实数 m 的取值范围是（ ）．
8.对 x > 0，不等式 2ae2x ln x + ln a ≥ 0恒成立，则实数 a的最小值为_____ . ．
x 1
9.若 x (0, ), e∈ +∞ ≥ x Inx + a恒成立，则 a的最大值（ C ）
x
1
A.1 B. C. 0 D. e
e
ex
10.已知关于 x的不等式
3 x aInx ≥1对于任意的 x∈ (1,+∞)恒成立，则实数 a的取值x
范围（ B ）
A.（ ∞,1 e] B.（ ∞, 3] C.（ ∞,2] D.（ ∞,2 e2 ]
2
1
11.已知不等式 x +αInx + x ≥ x
α
，对 x∈ (1,+∞)恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
e
e
A. e B. C. e D. 2e 2
ax 1
12.对任意的 x∈ (0 , + ∞)，恒有 a (e +1) ≥ 2 x + ln x，求实数 a的最小值 ．
x
13.已知 x0 是方程 2x2e2x ln x 0的实根，则关于实数 x0 的判断正确的是（ ） ．
A． x ≥ In2 1 B． x < C． 2x0 ln x0 0 D． 2ex0 ln xe 0
0

14.已知函数 f (x) = x ln (x +1)，g (x) = ex x 1，若 g (x) ≥ kf (x)对 x∈[0 , + ∞)恒成立，
求实数 k 的取值范围．
3
15.已知函数 f (x) = x ex+1 ，g (x) = k ln x + k (x +1)．设 h (x) = f (x) g (x)，其中 k > 0，若
h (x) ≥ 0恒成立，求 k 的取值范围.
16.已知函数 f (x) = xlnx ， f ′(x)为 f (x)的导函数．证明： f (x) < 2ex 2
17.若函数 f (x) = x(e2x a) Inx 1无零点，则整数 a的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C.1 D. 0
18.已知 f (x) = ln x + ax a ．若 g (x) = ex 1 f (x)的最小值为 M ，求证 M ≤1．
4
19.已知函数 f (x) = a ln x + bex 1 (a + 2)x + a．（ a , b为常数）若 b = 2，若对任意的
x∈[1 , + ∞)， f (x) ≥ 0恒成立，求实数 a的取值范围.
1+ ln x ax
20.若 ≤ a + e 恒成立，求实数 a的取值范围．
x
ex f (x ) f (x )
21.已知函数 f (x) = ax, x∈ (0,+∞)，当 x > x 1 22 1时，不等式 数 a的取值范围为 (D )
e e
A． ( ∞， e] B． ( ∞,e) C． ( ∞, ) D． ( ∞， ]
2 2
22.设函数 f (x) = xex a(x + Inx) ，若 f (x) ≥ 0恒成立，则实数 a的取值范围（ ）
A. [0，e] B. [0，1] C. ( ∞,e] D. [e,+∞)
5
ln x x
23.（2020 成都二诊）已知函数 f (x) = ，g(x) = x e ，若存在 x1 ∈ (0，+ ∞)，x2 ∈R ， x
x
使得 f (x1) = g(x2 ) = k(k < 0)
2 2 k
成立，则（ ） ex 的最大值为（ ） 1
4 1
A. e2 B. e C. 2 D. 2 e e
1
24.（重庆渝中区模拟）若关于 x的不等式 x + a ln x + x ≥ x
a (a < 0) 对任意的 x∈(1，+ ∞)恒
e
成立，则实数 a的最小值是（ ） .
kx
25.（名校联考）已知对任意的 x∈ (0，+ ∞)，都有 k(e +1) (1
1
+ ) ln x > 0，则实数 k 的取
x
值范围是 .
6
26.对任意 x > 0，不等式 2ae2x Inx + Ina ≥ 0恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
27.若函数 f (x) = x(e2x a) ln x 1无零点，则整数 a的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
28.若 x > 0时，恒有 x2e3x (k + 3)x 2ln x 1≥ 0成立，则实数 k 的取值范围是 .
29.（2019 衡水金卷）已知 a 0，不等式 xa+1 ex + aInx ≥ 0对任意的实数 x 1恒成立，
则实数 a的最小值是（ ）
1 1
A． B． 2e C． D． e
2e e
7
30.（2019 武汉调研，2020 安徽六安一中模考）已知函数 f (x) = ex aIn(ax a) + a(a > 0)，
若关于 x的不等式 f x 0 恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A. (0，e] B． (0，e2 ) C． [1，e2 ] D． (1，e2 )
31.已知 x0是函数 f (x) = x2ex 2 + Inx 2
2 x
的零点，则 e 0 + Inx0 为（ ）
8
32.对任意的实数 x > 0，不等式 2ae2x Inx + Ina ≥ 0恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
2 1 2 1
A. B. C. D.
e 2 e e 2e
f (x) ex
2
33.已知函数 = ，则不等式 f (x) > ex得解集为（ ）
1+ Inx
A. (0,1) 1 B. ( ,1) C. (1,e) D. (1,+∞)
e
9
34.已知函数 f (x) = x Inx
①求函数 f (x)的单调性
x 1
x
② > e + Inx +1 当 ，证明： ≥ e +1
e x
1
③ a若不等式 x + aInx + x ≥ x 对 x∈ (1,+∞)恒成立，求实数 a的最小值 e
35.不等式 x 3ex aInx ≥ x +1对任意 x∈ (1,+∞)恒成立，则实数 a的取值范围是（ D ）
A. ( ∞,1 e] B. ( ∞,2 e2 ] C. ( ∞, 2] D. ( ∞, 3]
10
36.已知不等式 ex x 1> m[x In(x +1)]对一切正数 x都成立，则实数 m 的取值范围是
（ C ）
( , eA. ∞ ] e B. ( ∞, ] C. ( ∞,1] D. ( ∞,e]
3 2
37.若不等式 mxemx
2
≥ Inx 恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
1 1 1
A. [ 2 ,+∞) B. [ ,+∞)
1
C. [ ,+∞) D. [ ,+∞)
e 2e e e
mx Inx
38.设 m > 0，若任给 x > 0 都有 e ≥ 成立，则实数 m 的最小值为( )
m
1 1 2 e
A. B. C. D.
e 2e e 3
11
39.若对任意 x∈ (0,+∞)，不等式 2e2x aIna aInx ≥ 0恒成立，则实数 a的最大值为（ ）
A. e B. e C. 2e D. e2
kx 1
40.已知对任意 x∈ (0,+∞) ，都有 k(e +1) (1+ ) ln x > 0，则实数 k 的取值范围为_______．
x
f (x) ax41 函数 = x 1 + x In(ax) 2(a > 0)，若函数 f (x)在区间 (0,+∞) 内存在零点，则实e
数 a的取值范围是（ ）
A. (0,1] B. [1,+∞) C. (0,e] D. [3,+∞)
12
42.已知函数 f (x) = Inx ex + (ea 1)x + a(a∈R) ，若不等式 f (x) ≤ 0恒成立，求实数 a
的取值范围（ ）
ex
43.已知函数 a e +1≥ x aInx， a∈R 恒成立，则 a的取值范围是（ ） x
44.（浙江新高考模拟卷——学军中学）已知函数 x3e2x ≥ (k + 2)x + 3Inx +1恒成立，求 k 的
取值范围（ ）
13
45.（2020 年山东） f (x) = aex Inx + Ina，若 f (x) ≥1，求 a的取值范围（ ）
46.已知函数 xex x Inx ≥ (b 2)x +1恒成立，求 b 的取值范围（ ）
47.已知函数 xex + ax ≥ axa Inx + aInx + (a 1)x, x∈ (1,+∞)时恒成立，则 a的取值范围
（ ）
14
48.设函数 f (x) = axex 1 ax 1(a∈R). 若不等式 f (x) ≥ ln x在区间 , +∞ 上恒成立， e
求 a的取值范围．
49.若函数 f (x) = x + ex b b(x + x2 xInx)有零点，则 b 的取值范围.
50.已知函数 f (x) = aInx + 2ex 1 (a + 2)x + a ≥ 0 ,对任意 x∈[1,+∞)恒成立，则实数 a的
取值范围 .
15
51.若 x > 0证明：（ex 1)In(x +1) > x2
52.已知函数 f (x) = x2ex a(x + 2Inx) 有两个零点，则 a的取值范围（ ）
53.若不等式 x(ex 1) > Inx 1+ t 对任意 x∈ (0,+∞)恒成立，则实数 t的取值范围（ ）
16
54.已知函数 f (x) = x2ex a(x + 2Inx) ，讨论 f (x)的零点的个数
55.已知函数 f (x) = a ln x + bex 1 (a + 2)x + a．（ a , b为常数）若 b = 2，若对任意的
x∈[1 , + ∞) f (x) ≥ 0， 恒成立，求实数 a的取值范围.
56.已知函数 f (x) = x ln (x +1)，g (x) = ex x 1．若 g (x) ≥ kf (x)对 x∈[0 , + ∞)恒成立，
求实数 k 的取值范围．
17
57.已知函数 f (x) = ex + mx 1，其中 e是自然对数的底数.若关于 x的不等式
f (x) + ln (x +1) ≥ 0 在 [0，+∞)上恒成立，求实数 m 的取值范围.
58.已知函数 f (x) = ax + lnx(a∈R)．当 a =1时，不等式 xex +1> f (x) + m对于任意 x∈ (0,+∞)
恒成立，求实数 m 的取值范围________．
lnx + a
59.已知函数 f (x) = , (a∈R)，g(x) = e2x 2．若 f (x) ≤ g(x)在 (0,+∞)上成立，求 a的
x
取值范围______．
ex
60.已知函数 f (x) = + a(lnx x)．当 a > 0时，求 f (x)的最小值______．
x
18
f (x) = xex ax2 g (x) = ln x + x x
2 1 e +
61.设 ， a .当 a > 0 h x = f x时，设 ( ) ( ) ag (x) ≥ 0 恒
成立，求 a的取值范围_______．
62.已知函数 f (x) = xex a(x + lnx)．若 f (x) > 0 在 x∈[1， +∞)恒成立，求实数 a的取值范
围______．
a
63.函数 f (x) = (x + )Inx, g(x) = memx +m ，当 a =1时，不等式 2 f (x) g(x) ≤ 0恒成
x
立，求 m 的取值范围（ ）
64.已知 a > 0 f (x) ax Inx a 1，函数 = ，若 > ，证明 f (x) >1 xe ax
e
19
65.若对任意的 x > 0，恒有 a(eax +1) 2(x 1≥ + )Inx，则实数 a的最小值为（ ）
x
66.已知 x0时函数 f (x) = x
2ex 2 + Inx 2的零点，则 e2 x0 + Inx0 =（ ）
4 x0
67.已知 x 是方程 x3ex 40 + 2Inx 4 = 0的一个根，则 e 2 + 2Inx0 的值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
20
68.已知函数 f (x) = ex+m x3 , g (x) = ln (x +1) + 2．当 m ≥1时，证明：f (x) > g(x) x3.
x
69.已知函数 f (x) = me ln x 1.当 m ≥1时，证明： f (x) >1.
21
70.若 f (x) = xex + ax,a∈R, g(x) = axa Inx + aInx + (a 1)x,当 x∈ (1,+∞)时，若
f (x) ≥ g(x)恒成立，则 a的取值范围（ ）
71.已知函数 (eax 1)Inx = ax2 ax, (a > 0)在 x∈[1,+∞)有三个不同的解，求 a的范围？
λx Inx
72.设实数 λ > 0，若对于任意的 x∈ (0,+∞)，不等式 e ≥ 0恒成立，则 λ的取值范
λ
围？
73.若不等式 xex Inx 1≥ kx对任意的 x > 0都成立，则 k 的取值范围（ ）
22
74.已知 f (x) = Inx + x xex+1，求 f (x)最大值_______.
ex 2
75.已知函数 f (x) = xex Inx x 2最小值为 a， g(x) = + Inx x最小值为 b 则
x
（ ）
A. a = b B. a > b C. a < b D.不确定
1
76.已知不等式 x + aInx + x ≥ x
a 对 x∈ (1,+∞)恒成立，则实数 a的取值范围（ ）
e
23
x
77.已知函数 f (x) = e 2 , g(x) = Inx，当 x > 0时， t[ f 2t (x) +1] ≥ 2(x 1+ )g(x)恒成立，则
x
实数 t的范围（ ）
78.不等式 x(e2x 2a) ≥ x + Inx +1恒成立，则 a得取值范围为（ ）
x
79.已知函数 f (x) = aInx e+ ax + e2 ，若对任意 x∈ (0,+∞)，都有 f (x) ≥ 0恒成立，求
x
实数 a的取值范围（ ）
24
80.已知 f (x) = mxInx 1,m ≠ 0，若 g(x) = x2 2 x 且关于 x的不等式 f (x) ≤ g(x)在
e
(0,+∞)上恒成立，求实数 m 的取值范围.
81.（焦作市 2021 届高三一模理 12）已知对任意的 a,b∈R 都有 (b a)eb a ≥ be b λa 恒
成立，则实数 λ的取值范围（ ）
25
82.（浙江省 2021 届高三百校 12 月联考）已知 a >1，若对任意的 x∈[1 ,+∞)，不等式
3
4x In3x ≤ aex Ina
恒成立，则 a的最小值（ ）
83.已知函数 f (x) = ex a xInx + x(a∈R)有两个极值点， x1, x2 (x1 < x2 )，设 f (x)的导
函数为 g(x)，证明 a > 2。（同类同构）
x+1 x
84.已知函数 f (x) = ae , g(x) = In 1，其中 a > 0，若 f (x) ≥ g(x)在区间 (0,+∞)恒
a
成立，求 a 得最小值
26
84.已知函数 f (x) = aex In(x +1) + Ina 1，若函数 f (x) 有且仅有两个零点，则 a 的取
值范围（ ）
85.已知函数 f (x) =1+ aexInx，若不等式 f (x) ≥ ex (xa x)(a < 0)对 x∈ (1,+∞)恒成立，
求实数 a 的取值范围
27
x
86.已知 xe ax Inx ≥1对任意的 x∈ (0,+∞)恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
x 1
87.若不等式 ax(e 1) ≥ Inx +1在区间[ ,+∞)上恒成立，求 a的取值范围（ ）
e
88.已知函数 f (x) = x (a +1)Inx, a∈R x，当a = 2e 时，xe +m + f (x) ≥ 0恒成立，求实
数m 的取值范围？
x 1
x be
89.（2014 年全国 I 卷）设函数 f (x) = ae Inx + ，a = 2,b =1，证明： f (x) >1
x
28
x
90.已知函数 f (x) = e In(x +m) ，当 m ≤ 2时，证明 f (x) > 0
91. 已知 a > 0函数 f (x) = ex a In(x + a) 1 ， (x > 0)的最小值为 0，则实数 a 的取值
范围（ ）
92.函数 f (x) = e2x aInx 2，证明：当 a > 0时， f (x) ≥ 2a + aIn
a
93.已知函数 f (x) = aex 1 Inx + Ina若 f (x) ≥1，求 a 的取值范围（ ）
29
x
94.已知函数 f (x) = e In(x +1) a 的图像在 x = 0处与 x 轴相切，若 x > t ≥ 0，证明：
ex t + In(t +1) > In(x +1) +1
95.已知 f (x) = aInx x +1, g(x) = x ex ，a 为实数，设h(x) = f (x) + g(x)，求所有的实
数值 a ，使得对任意的 x > 0，不等式 h(x) ≤1 e恒成立
x
96.已知函数 f (x) = e (a +1)Inx 2，当 a = e时，证明： f (x) > 2e (e +1)In(e +1）
30
x
97.已知函数 f (x) = e (a +1)Inx 2，当 a = 2时，证明： f (x) > 4 3In3
x
98.已知函数 f (x) = ae , g(x) = In(x 1) +1，证明：当 a
1
≥ 时， f (x) ≥ g(x)
e2
x 1
99.已知函数 f (x) = Inx ax + a, a∈R ，若关于 x 的不等式 f (x) + e ≥1在区间 [1,+∞)
上恒成立，求 a 的取值范围（ ）
f (x) = Inx + ax2100.已知函数 ，若 f (x) > ax2 + 2ax ex + e 2a在 x∈ (1,+∞)上恒成立，
求实数 a 的取值范围（）
31
1
101.已知 a >1, x ≥ ，不等式 4x In(3x) ≤ aex Ina 恒成立，则 a 的最小值为（ ）
3
f (x) = ex a102.已知函数 xInx + x有两个极值点点 x1, x2 (x1 < x2 )，设 f (x)的导函数为
g(x)，证明： a > 2
103.已知函数 f (x) = Inx a(x 1)， g(x) = ex ，设 h(x) = f (x +1) + g(x)，当 x ≥ 0，
h(x) ≥1，求实数 a 的取值范围（ ）
104.已知函数 f (x) = ae2x + (2a 1)ex x ，a 为常数，若 x ≥ 0时， f (x) ≥ (3a 1)cos x
恒成立，求实数 a 的取值范围（ ）
32
ax
105.已知函数 f (x) = x 1 + x In(ax) 2, (a > 0)，若函数 f (x)在区间 (0,+∞)内存在零e
点，则实数 a 的取值范围（B）
A. (0,1] B.[1,+∞) C. (0,e] D.[3,+∞)
x
106.已知函数 f (x) = xe Inx x 1,若对任意 x∈ (0,+∞)使得 f (x) ≥ a，则 a 的最大值
为（ ）
A.0 B. e 2 C.1 D. e 1
108.若直线 y = ax + b 与曲线 y = Inx +1相切，则 ab 的最大值为（ ）
m,n f (x) ex mx n 1 f (x) ≥ 0 x R n m109.已知 为实数， = + 若 对 ∈ 恒成立，则 的取
m
值范围（ ）
33
110.已知函数 f (x) = xeax 1 Inx ax,a ( 1∈ ∞, 2 ],则函数 f (x) 的最小值为（ ） e
111.已知函数 f (x) = x + In(x 1), g(x) = xInx，若 f (x1) =1+ 2Int, g(x2 ) = t
2
，则
(x1x2 x2 )Int的最小值为（ ）
1 2 1 1
A. 2 B. C. D. e e 2e e
112.已知函数 f (x) = (x 2)ex a x2 + ax ， a∈R ，若不等式
2
f (x) + (x +1)ex a+ x2 2ax + a > 0恒成立，求 a 的取值范围。
2
34
113.已知函数 f (x) = Inx ax +1≤ 0恒成立，则实数 a 的取值范围（ ）
114.已知函数 f (x) = x + Inx, g(x) = xInx，若 f (x1) = x + Inx, g(x) = xInx，若
f (x1) = Int, g(x2 ) = t ，则 x1x2Int 的最小值（ ）
Int
115.已知函数 f (x) = xex , g(x) = xInx，若 f (x1) = g(x2 ) = t > 0，则 的最大值（ ） x1x2
35
116.已知函数 f (x) = x Inx ，已知实数a > 0 ，若 f (x) + ae2x + Ina ≥ 0在 (0,+∞)上恒成
立，求实数 a 的取值范围（ ）
1 3 ax
117.若 x∈ (0, )时，关于 x的不等式 ax e + 2Inx ≤ 0恒成立，则实数 a的最大值（ ）
e
x
118.已知函数 f (x) = ae + 2x 1，证明：对任意的a ≥1，当 x > 0时， f (x) ≥ (x + ae)x
36
119.已知函数 f (x) = x Inx,a > 0若 f (x) + ae2x + Ina ≥ 0在 (0,+∞)上恒成立，求实数 a
的取值范围_____.
a
120.已知函数 f (x) = aex + ln 2(a > 0) ，若 f (x) > 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为
x + 2
________．
2x+a 1 a
121.已知函数 f (x) = e Inx + 在定义域内没有零点，则实数 a的取值范围为（ ）
2 2
122.若 x (0, 1∈ )时，关于 x 的不等式 ax3eax + 2Inx ≤ 0，则实数 a的最大值为（ ）
e
37
x 2
123.函数 f (x) = ae xInx 若 a ≥ f (x) > 0
e2
，证明：
124.已知 x0是函数 f (x) = x2ex 2 + Inx 2的零点，则 e
2 x0 + Inx0 =（ ）
2 1
125.已知关于 x得方程 2x +1 2ax = x2 + ax 1，当 ≤ x ≤ 3时有两个不相等的实数根，2
则 a 的取值范围（ ）
ex
126.函数 f (x) = (x > 0)，函数 g(x) = mx，若不等式 f (x) + g(x) > 0在 (0,+∞)上恒成
x
立，求实数m 的范围？
38
127.若 h(x) = aex Inx + Ina(a > 0) ，当 x > a 时，不等式 h(x) ≥ 0恒成立，求 a 的最小
值？
128.已知函数 f (x) = x(ex a) 2Inx + 2In2 2(a∈R) ，若 f (x) ≥ 0，求 a 的取值范围
（ ）
39
x
129.已知函数 f (x) = e 2ax 1, g(x) = 2aIn(x +1),a∈R ，若对任意
x∈[0,+∞), f (x) + g(x) ≥ x恒成立，求 a 的取值范围（ ）
f (x) 1 emx 1 2130.函数 = x 若m >1，且对
m 2 ,
x (e, ), mx(mx 6) + 2 f
′(x)
任意 ∈ +∞ ≥ Inx 6恒成立，求实数m的取值范围.
Inx
x
f (x) ax x
In
131.已知函数 = (a > 0) ，当 x >1时， f (x) ≥ ax ，求 a 的取值范围。 Inx e Inx
40
132.已知函数 f (x) = ln x + ax +1．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
2x
（2）对任意 x > 0 ， xe f (x) 恒成立，求实数 a 的最大值．
41
133.已知 a > 0，若 a ln x≤ x ln a恒成立，则 a的值是________．
m x
134.已知函数 f (x) = (x x +mInx)e +1(m < 0) ，当 x∈ (1,+∞)时恒有 f (x) ≥ 0，求实
数m 的取值范围（ ）
x
2
135.若 a > 0, x > 0,ea a In(ax + b) ≥ b 在定义域内恒成立，求 a 的取值范围（ ）
42
e2x 2
136.当 a > 0时，证明 > Inx + 2+ In
a a
ax
x (e, ), 2e + a
2x2 6ax 2x
137.若 a >1，对任意 ∈ +∞ ≥ Inx 6恒成立，求 a 的取值范
Inx
围（ ）
43
f (x) = ex+a138.已知 + ax, g(x) = (x +1)ln(x +1).
（1）讨论 f (x) 的单调性;
（2）若函数 F (x) = f (x) g(x)在定义域上单调递增，求实数 a的取值范围.
44138 道 同构 练习题
1.已知函数 f (x) ae xInx(a 0) ，若 x (0,1) ， f (x) x2 xIna，求 a的取值范围.
x2 xIna ae xInx x Ina Inx Inx In(ae
x )
解析：由 对 x (0,1) 恒成立。
ae x x x ae x
Inx
构造 h(x) , x (0,1) ， h(x) 单增，
x
所以： x ae x x x 1 a x a [ x ]max ，因为 x (0,1) a e e e
2.已知 f (x) e x aInx，若对任意 x (0, ) ，不等式 f (x) aIna恒成立，求正实数 a
的取值范围.
解析： e x aInx aIna e x Ina Inx Ina
ex Ina x Inx x Inx e Inx Inx构造 g(x) e x x，单增，
所以： x Ina Inx Ina x Inx Ina [x Inx]min x (x 1) 1
3.设实数 0 ，若对任意的 x
Inx
(0, ) x，不等式 e 0恒成立，则 的取值范围是

（ ） ．
e x Inx解： 0 xe x xInx Inxe Inx
ln x
x Inx
1
，即 恒成立，
x
，
max e
x Inx a
4.已知 e 1 恒成立，则实数 a的最大值为（ ）。
x
答案：1
m
5.设实数m 0，若对任意的 x e，若不等式 x2 ln x me x 0 恒成立，则m的最大值为
（ ） ．
m m m m
解： x2 ln x me x 0 x2 ln x m m m me x x ln x e x eln xln x e x ln x ，
x x x
得m x ln x emin （注意定义域）.
6.对任意的 x (0, )
m
，不等式 2x3 ln x me x 0 恒成立，求实数m的最大值 .
m m m
解：由题意得 2x3 ln x me x x2 ln x2 m e x eln x
2
ln x2 m e x ，
x x
ln x2 m m x 2即 ， ln x2 .
x min e
7.已知函数 f x m ln x 1 3x 3，若不等式 f x mx 3e x 在 x 0 , 上恒成立，
则实数m的取值范围是（ ）．
解：由题意得：m ln x 1 3x 3 mx 3e x 3 e x x 1 mx m ln x 1 ，
3 ex x 1 m x 1 ln x 1 1 3 ex x 1 m e ln x 1 右边凑 1，得 ln x 1 1
得m 3 .（说明：定义域大于零，所以 x ln x 1 ，m 3成立）.
8.对 x 0，不等式 2ae2x ln x ln a 0恒成立，则实数 a的最小值为_____ . ．
解：由题意得： 2ae2x ln x lna 0 2ae2x ln x lna In x
a
x x x In x
2xe2x In x x 1 In e a 2x In a ( )
a a a a e2x min 2e
x 1
9.若 x (0, e ), x Inx a恒成立，则 a的最大值（ C ）
x
1
A.1 B. C.0 D. e
e
解析： e x Inx 1 x Inx a e x Inx 1 x Inx 1 1 a a 0
e x
10.已知关于 x的不等式 x aInx 1对于任意的 x (1, ) 恒成立，则实数 a的取值
x3
范围（ B ）
A.（ ,1 e] B.（ , 3] C.（ ,2] D.（ ,2 e2 ]
e x -3
解析：
3 x aInx 1 e
x Inx x Inx -3 1 x 3Inx 1 x aInx 1.
x
3Inx aInx, x 1 a 3
1
11.已知不等式 x Inx x x ，对 x (1, ) 恒成立，则实数 a的最小值为（ ）e
e
A. e B. C. e D. 2e2
x Inx e x x

解析： x x e Inx x
Inx e ( Inx )
令 g(x) x e x g (x) 1 e x g(x) g( Inx )
x
x Inx , (x 1) e
Inx
ax 1
12.对任意的 x (0 , ) ，恒有 a e 1 2 x x ln x，求实数 a的最小值 ．
解：由题意得： ax eax ax 2x 2 ln x 2ln x x 2 ln x 2 ln x 2
ax 2 ln x 2即 ax e ax ln x e ln x 2 ，
ax ln x2 2ln x 2得 a

.
x max e
13.已知 x 是方程 2x2e2x0 + ln x = 0 的实根，则关于实数 x0 的判断正确的是（ ） ．
A． x In2
1
B． x C． 2x0 + ln x0 = 0 D． 2ex0 + ln x = 0e 0
1
2x2e2x + ln x = 0 2x 1 In解析： 2xe Inx 1 In 1 In 1 e x
x x x x
2x In 1 2x Inx 0x
14.已知函数 f x x ln x 1 ，g x e x x 1，若 g x kf x 对 x 0 , 恒成立，
求实数 k的取值范围．
x
解析：由题意得： e x 1 k x ln x 1
x
右边式子凑 1得 e x 1 k x 1 ln x 1 1
即 ex x 1 k ln(x 1) e ln x 1 1 ，因为 x ln x 1
当且仅当 x 0 等号成立，所以满足 k 1即可
当且仅当 ex x 1 1，即 x 0 等号成立，所以 k 1.
15.已知函数 f x x e x 1 ，g x k lnx k x 1 ．设 h x f x g x ，其中 k 0，若
h x 0恒成立，求 k的取值范围.
x 1
解析：由题意得： x e k ln x x 1 eln x x 1 k ln x x 1
因为 eln x x 1 k ln x x 1 ，当且仅当 x 1时等号成立
因为 ex ex，所以等价于证: e ln x x 1 k ln x x 1
当且仅当 x 1时等号成立，所以 k e .
16.已知函数 f (x) xlnx， f (x)为 f (x) 的导函数．证明： f (x) 2ex 2
x
解析：由题意得： x ln x 2e x 2 ，因为 ln x （当且仅当 x e时等号成立）e
2 2
等价于证明 x x 2e x 2 x 2e 1 x x ，构造 g x e e ex
x 2 x
则 g x ，易知 g x g 2 2e 1
ex max

17.若函数 f (x) x(e2x a) Inx 1无零点，则整数a的最大值是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
解析： f (x) x(e2x a) Inx 1 0
e2x Inx ax Inx 1 2x Inx 1 ax Inx 1 (2 a)x 0
a 2 a 1
18.已知 f x ln x ax a x 1．若 g x e f x 的最小值为M ，求证M 1．
解析：构造 f x e x x 1 ，则 f x 0
则 f x 1 f ln x e x 1 x x ln x 1 ，
g x e x 1 ln x a x 1 f x 1 f ln x a x 1 1
f x 1 f ln x 0 g xmin ， e x 1
1
a
x
g 1 a，接下来分类讨论：
1.当 a 0，则 g x 1min ，成立；
2.当 a 0，则 g 1 a 0 ，得 g x g 1 1min ，成立；
3.当 a 0 ，则 g 1 a 0 ，得 g x g 1 1min ；
x 1
19.已知函数 f x a ln x be (a 2)x a．（ a , b为常数）若 b 2 ，若对任意的
x 1 , ， f x 0恒成立，求实数 a的取值范围.
a ln x 2e x 1 a 2 x a 0 x 1解析：由题意得：
即 a ln x a 2 x a 2e x 1 a ln x ax 2x a 2e x 1 ，
a ln x x 1 2 e x 1 x
a ln x x 1 2 x 1 e x 1 1
右边凑 1，得
a eln ln x e ln x 1 2 eln x 1 e x 1 1
，
g x e ln x e x 1 g构造 ，则 x 0 a g ln x 2 g x 1，即
当且仅当 x 1时取等号，所以只需满足 a 2 .
1 ln x
a e ax20.若 恒成立，求实数 a的取值范围．
x
1 ln x
【解析】 a e ax 1 ln x ax xe ax xe ax ln x ax 1
x
而 xe ax e ln x ax ln x ax 1，故 a R
x f (x ) f (x )
21.已知函数 f (x) e ax, x (0, ) 1，当 x2 x1时，不等式 2x x 恒成立，则实x 2 1
数 a的取值范围为 ( D )
A． ( ， e] B． ( ,e) C． (
e
, ) D． (
e
， ]
2 2
22.设函数 f (x) xex a(x Inx) ，若 f (x) 0恒成立，则实数 a的取值范围（ ）
A. 0，e B. 0，1 C. ,e D. e,
解析：同构思想： e x Inx a(x Inx) e x ex a [0,e]
f (x) ln x23.（2020 成都二诊）已知函数 ，g(x) x e x，若存在 x
x 1
(0， )，x2 R，
x2 2 k
使得 f (x1) g(x2 ) k(k 0)成立，则（ ） ex 的最大值为（ ）1
4 1
A. e2 B. e C. 2 D.e e2
f (x) ln x
x2
解析： ，g(x) x e x
ln x1 x2 k 0 ln x Ine x
1 k 0
x x e 2 x e x21 1
构造 F (x) Inx ，做出图像：因为 k 0 容易知道：0 x 1,0 e x2 1
x 1
又因为 F (x)在 (0,1) 单增
x e x2 x Inx ( x 2 2所以： 1 2 1 ) e
k k 2ek [k 2ek ] 4
x max

e21
1 a
24.（重庆渝中区模拟）若关于 x的不等式 x a ln x x x (a 0) 对任意的 x 1， 恒e
成立，则实数 a的最小值是（ ） .
解析 1： x e x a
a
x aInx e ( Inx ) x Inxa ，令 g(x) x e ，因为单增
x
所以： x Inxa a [ ]min a e。答案： eInx
解析 2： x e x xa aInx Ine x e x xa Inxa
构造 g(x) x Inx，因为单增。所以 e x xa a e .
25.（名校联考）已知对任意的 x (0， ) ，都有 k(ekx 1)
1
(1 ) ln x 0，则实数 k的取
x
值范围是 .
解析： k(ekx 1) (1 1 ) ln x 0 kekx k 1 (1 ) ln x
x x
kxekx kx ln xeln x ln x
构造函数： g(x) xe
x x，容易知道 g(x) 单增
kx Inx Inx k ( ) 1max x e
26.对任意 x 0 ，不等式 2ae2x Inx Ina 0恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
x x x In x
解析： 2ae2x Inx Ina 0 2xe2x In In e a
a a a
令 g(x) xe x，在 x 0 ，单增
所以： 2x In x，即
a 2x Inx Ina, Ina Inx 2x
1 1
Ina [Inx 2x]max In a 2e 2e
27.若函数 f (x) x(e2x a) ln x 1无零点，则整数 a的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
解析： x(e2x a) ln x 1 0 e Inx 2x ax Inx 1 0
e Inx 2x Inx 2x 1 Inx 2x 1 ax Inx 1 0
e Inx 2x Inx 2x 1 (2 a)x 0
[e Inx 2x Inx 2x 1] 0 (2 a)x 0
x 0 2 a 0 a 2 a 1
28.若 x 0 时，恒有 x2e3x (k 3)x 2ln x 1 0 成立，则实数 k的取值范围是 .
解析： x2e3x (k 3)x 2ln x 1 0
e2 Inx 3x (2Inx 3x) 1 (2Inx 3x) 1 (k 3)x 2Inx 1 0
e2 Inx 3x (2Inx 3x) 1 kx 0
[e
2 Inx 3x (2Inx 3x) 1] 0 kx 0 ， x 0 k 0
29.（2019 衡水金卷）已知 a < 0，不等式 xa 1 e x aInx 0 对任意的实数 x >1恒成立，则
实数 a的最小值是（ ）
1 1
A． B． 2e C． D． e
2e e
xa 1 e x aInx 0 xex 1 In 1
In 1 1
解析： a a e x
a In
x x xa
x aInx a [ 1 ] e a e
令 g(x) xe x单增函数， Inx min
x
30（. 2019 武汉调研，2020 安徽六安一中模考）已知函数 f (x) e x aIn(ax a) a(a 0) ，
若关于 x的不等式 f (x) > 0 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. (0，e] B． (0，e2 ) C． [1，e2 ] D． (1，e2 )
解法一： f (x) e x aIn(ax a) a(a 0)
e x aIn[a(x 1)] a e x Ina Ina In(x 1) 1
e x Ina x Ina Ina In(x 1) 1 x Ina
In(x 1) 1 x e In(x 1) In(x 1) ,令 g(x) e x x，单增
x Ina In(x 1) Ina x In(x 1)
Ina [x In(x 1)] 2 2 Ina 2 a e
解法二： e x aIn[a(x 1)] a 0, (x 1)
(x 1)e x a(x 1)In[a(x 1)] a(x 1)
(x 1)e x (In[a(x 1)] 1) a(x 1)
(x 1)e x (In[a(x 1)] 1) e In[a(x 1)]
构造 g(t) (t 1)et g(x) g(In[a(x 1)])，因为 g(t)单增，
2
x In[a(x 1)] Ina x In(x 1) ，所以 a e
Ina [x In(x 1)]min 2
31.已知 x 是函数 f (x) x2e x 20 Inx 2
2 x
的零点，则 e 0 Inx0 为（ ）
解析： x2e x0 2 Inx 2 0 x2e x 2 Ine2 Inx
e2
2
x2e x e2In xex e
2 e2 e2 Ine
In xex In e x
x x x x
令 g(x) xe x可知 x 0, g(x) 单增，所以
2
x In e 2 Inx x0 2 Inx e
2 x0 x e2 x00 0 Inx xx 0 0
Inx0 2
32.对任意的实数 x 0 ，不等式2ae2x Inx Ina 0恒成立，则实数 a的最小值为（ ）
2 1 2 1
A. B. C. D.
e 2 e e 2e
解析： 。
2ae2x x Inx Ina 0 2ae2x In
a
In x
2xe2x In x e a 2x In x
a a
Inx 1因为 x In x 1 x 1 x 2x 1 a ；
e a ae ae 2e
ex2
33.已知函数 f (x) ，则不等式 f (x) e x得解集为（ ）
1 Inx
1
A. (0,1) B. ( ,1) C. (1,e) D. (1, )
e
ex2 ex e x e1 Inxe x e
x
解析：
1 Inx 1 Inx x 1 Inx x
e x 1
构造 g(x) , (x )
x e
g(x) 在 (0,1) 单调递减， (1, )单调递增
①当 x (1 ,1) 时，1 Inx 1, g(x) 递减
e
1
1 Inx x x 1 Inx x 0 所以取交集： x ( ,1)
e
②当 x (1, ) 时，1 Inx 1, g(x) 递增
1 Inx x x 1 Inx x 所以取交集： x无解.
34.已知函数 f (x) x Inx
①求函数 f (x) 的单调性
1 e xx Inx 1②当 ，证明： e 1
e x
③若不等式 x aInx 1 x x
a
对 x (1, ) 恒成立，求实数 a的最小值
e
解析：① f (x) 在 (0,1) 单减， (1, ) 单增。
e x Inx 1
②要证： e 1
x
即证： e x Inex ex x e x x ex Inex e x Ine x ex Inex
又 e x ex 1由（1）可得： f (x) 在 (1, ) 单增，故 f (e x ) f (ex)
故原不等式成立。
③
x aInx 1 xa 1 x xa aInx e x Ine xx x x
a aInx
e e
e x Ine x xa Inxa f (e x ) f (xa )
又因为0 e x 1, f (x) 在 (0,1) 单减
e x xa a x e . Inx max
35.不等式 x 3e x aInx x 1对任意 x (1, ) 恒成立，则实数 a的取值范围是（ D ）
A. ( ,1 e] B. ( ,2 e2 ] C. ( , 2] D. ( , 3]
解析： e x 3Inx aInx x 1
e x 3Inx (x 3Inx) 1 aInx 3Inx (a 3)Inx
[e x 3Inx (x 3Inx) 1] 0 (a 3)[Inx] 0 a 3 0 a 3
36.已知不等式 e x x 1 m[x In(x 1)]对一切正数 x都成立，则实数m的取值范围是
（ C ）
( , e eA. ] B. ( , ] C. ( ,1] D. ( ,e]
3 2
解析：设 h(x) e x x 1， h(x) 恒增， h(x) mh(In(x 1)
x In(x 1) x 0 取等号， m 1。
37.若不等式mxemx
2
Inx恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
[ 1 , ) [ 1 1
1
A. B. , ) C.[ , ) D.[ , )
e2 2e e e
解析：①．当m 0，显然不成立.
②.m 0 2时，mxemx Inx .
（i）当 x (0,1)时，显然成立
（ii）当 x (1, ) mx2，mxe Inx，
2 2
mxemx Inx mx2emx xInx Inxe Inx
构造函数 h(x) xex ,在 x (1, ) h(x) 单增
mx2 Inx m [ Inx 2 ]
1

x max 2e
mx Inx
38.设m 0，若任给 x 0 都有 e 成立，则实数m的最小值为( )
m
1 1 2 e
A. B. C. D.
e 2e e 3
解析：原不等式等价于memx ≥ ln x，两边乘以 x得mxemx ≥ x ln x
设 f (x) xex ，上述不等式等价于 f (mx)≥ f (ln x) 由于 f (x) 是增函数
ln x
所以转化为mx≥ ln x恒成立即：m≥ 恒成立，
x
设 g(x) ln x 1 1 ，求导可知 g(x)max ，所以m≥x e e
39.若对任意 x (0, ) ，不等式 2e2x aIna aInx 0恒成立，则实数 a的最大值为（ ）
A. e B.e C. 2e D.e2
解析：同构： 2xe2x axInax Inax e Inax
2x
又因为 xex在 (0, )单增， 2x Inax a [
e
]min 2ex
40.已知对任意 x (0, ) ，都有 k(ekx 1) (1
1
) ln x 0 ，则实数 k的取值范围为_______．
x
1
解析：对任意 x (0, ) ，都有 k(ekx 1) (1 ) ln x 0
x
可得 kx(ekx 1) (1 x)lnx，即 (1 ekx )lnekx (1 x) ln x，
可设 f (x) (1 x)lnx，可得上式即为 f (ekx ) f (x)
f (x) ln x 1 x由 ，令 h(x) f (x) h (x)
1 1 x 1
，则
x x x2
，
x2
当 x 1时， h (x) 0 ， h(x) 单调递增
当 0 x 1时， h (x) 0 ， h(x) 单调递减，则 f (x) 在 x 1处取得极小值
且为最小值 2，则 f (x) 0 恒成立，可得 f (x) 在 (0, ) 上单调递增
kx k ln x ln x 1 ln x则 e x恒成立，即有 恒成立，可设 g(x) ， g (x) x x x2
当 x e时， g (x) 0 ， g(x) 单调递减
当 0 x e 时， g (x) 0 ， g(x) 单调递增，
1 1
可得 g(x) 在 x e处取得极大值，且为最大值 ，则 k
e e
(1 1即 k的取值范围是 ， ) ．故答案为： ( ， ) ．
e e
ax
41 函数 f (x) x 1 x In(ax) 2(a 0)，若函数 f (x) 在区间 (0, )内存在零点，则实e
数 a的取值范围是（ ）
A. (0,1] B.[1, ) C. (0,e] D.[3, )
解析： f (x) e Inax 1 x x Inax 2 e Inax 1 x (Inax 1 x) 1 0
当 Inax 1 x 0 Inax x 1 ax 1，即 a 1
42.已知函数 f (x) Inx e x (ea 1)x a(a R) ，若不等式 f (x) 0恒成立，求实数 a
的取值范围（ ）
解析：不等式即： xea a Inx e x x在 (0, )恒成立，
等价于： ea Inx a Inx e x x在 (0, )恒成立
构造函数： (x) e x x，知在 R上单增，所以
(a Inx) (x) a Inx x a x Inx
a [x Inx]max 1 a 1
e x
43.已知函数 a e 1 x aInx， a R恒成立，则 a的取值范围是（ ）x
解析： e x aInx (x aInx) e 1 构造函数 (x) e x x知在 R上单增
(x aInx) (1) x aInx 1 a x 1 a [ x 1所以 ]
Inx Inx min
1
44.（浙江新高考模拟卷——学军中学）已知函数 x3e2x (k 2)x 3Inx 1恒成立，求 k的
取值范围（ ）
解析： x3e2x e3Inx 2x 3Inx 2x 1
要使， x3e2x (k 2)x 3Inx 1
只需要：3Inx 2x 1 (k 2)x 3Inx 1，即： k 0
45.（2020 年山东） f (x) ae x Inx Ina，若 f (x) 1，求 a的取值范围（ ）
解析：方法一：同构构造 h(x) xex
ae x Inx Ina 1 ae x 1 In ex xex ex ex ex
Inex
In In e a
a a a a
ex
x In 1 Inx Ina Ina 1 Inx x Ina 0 a 1
a
方法二：构造 h(x) x e x .
ae x 1 Inx Ina 1 ae x 1 Ina 1 Inx
，
e Ina x 1 Ina x 1 Inx x Inx e Inx
Ina x 1 Inx Ina Inx x 1 Ina 0 a 1
46.已知函数 xex x Inx (b 2)x 1恒成立，求b的取值范围（ ）
解析： e x Inx (x Inx) 1
(b 2)x
x
[e x Inx (x Inx) 1] 0 b 2 0 b 2
47. 已知函数 xex ax axa Inx aInx (a 1)x, x (1, )时恒成立，则 a的取值范围
（ ）
答案： a ,e
提示： xex x axa Inx aInx，
48.设函数 f (x) axex ax 1 1(a R). 若不等式 f (x) ln x在区间 , 上恒成立， e
求 a的取值范围．
解析： axe x ax 1 Inx a(e x Inx x) 1 Inx
a(e x Inx x Inx 1) 1 a(Inx 1) Inx
a(e x Inx x Inx 1) 1 a(Inx 1) Inx
a(e x Inx x Inx 1) (a 1)(Inx 1) 0
a(e x Inx x Inx 1) 0 (a 1)(Inx 1) 0
a(e x Inx x Inx 1) 0 (a 1)(Inx 1) 0 0
a 1 0 a 1
49.若函数 f (x) x e x b b(x x2 xInx)有零点，则b的取值范围.
解析： x e x b b(x x2 xInx) 1 e x b Inx b(1 x Inx)
e x x 1 b(1 x Inx) x b Inx 2
b(2 x Inx) x Inx 2 x Inx 2 0 b 1
50.已知函数 f (x) aInx 2e x 1 (a 2)x a 0 ,对任意 x [1, ) 恒成立，则实数 a的
取值范围 .
答案： a ( ,2]
解析： 2e x 1 (a 2)x a aInx 2e x 1 ax 2x a aInx
2e x 1 2x aInx ax a 2e x 1 2(x 1) 2 a( Inx x 1)
2e x 1 2(x 2[e x 1 (x 1) 1] a[x 1 Inx]
2[e x 1 (x 1) 1] 0 a[x 1 Inx] 0 a 2
51.若 x 0 证明：（e x 1)In(x 1) x2
解：需证：（e x 1)In(x 1) x2
In(x 1) x Ine x In(e x 1 1)
即证： x x x e 1 e 1 e x 1
令 h(x) In(x 1) , (x 0) h(x) h(e x 1)
x
h(x)在 (0, )单减，即证： x e x 1
即证 e x x 1 0(x 0) 显然成立。
52.已知函数 f (x) x2e x a(x 2Inx) 有两个零点，则 a的取值范围（ ）
解析： f (x) e2 Inx x a(x 2Inx) ，令 t x 2Inx
容易知 t单增， f (t) et at， f (t) et a
① a 0 , f (t) f (t)至多有一个根，不符合题意。
② a 0, f (t) et at 0 et at 1 t 1 1 t (0, ) a (e, )a e a e
符合题意
53.若不等式 x(e x 1) Inx 1 t对任意 x (0, ) 恒成立，则实数 t的取值范围（ ）
答案： ( ,2)
54.已知函数 f (x) x2e x a(x 2Inx) ，讨论 f (x) 的零点的个数
解析： x2e x a(x 2Inx) e x 2 Inx a(x 2Inx)
t
令 t x 2Inx et at a e
t
0 a e， f (x) 无零点； a 0 & a e f (x) 只有一个零点
a e f (x) 有两个零点
55.已知函数 f x a ln x be x 1 (a 2)x a．（ a , b为常数）若 b 2 ，若对任意的
x 1 , ， f x 0恒成立，求实数 a的取值范围.
解析：由题意得： aInx 2e x 1 (a 2)x a 0, (x 1) ；
a(Inx x 1) 2( e x 1 x)
a(Inx x 1) 2(x 1 e x 1 1) 即：
2(e x 1 (x 1) 1) a(x Inx 1)
（2 e x 1 (x 1) 1) a(e Inx Inx 1),因为 x 1 Inx
当且仅当 x 1时等号成立，构造 g(x) e x x 1容易得：
g(x) 0，所以只需要满足 a 2 。
56.已知函数 f x x ln x 1 ，g x e x x 1．若 g x kf x 对 x 0 , 恒成立，
求实数 k的取值范围．
解析：由题意得： e x x 1 k[x In(x 1)] k[x 1 In(x 1) 1]
即 e x x 1 k[e In(x 1) In(x 1) 1]
又因为 x 0 ，所以： x In(x 1) 0
又 y e x x 1在 0， 单增，且 x 0, y 0
所以不等式恒成立满足 k 1即可。
57.已知函数 f x e x mx 1，其中 e是自然对数的底数.若关于 x的不等式
f x ln x 1 0 在 0，+ 上恒成立，求实数m的取值范围.
解析：由题意得：
e x mx 1 In(x 1) 0
e x x 1 [x 1 1 In(x 1)] (m 2)x 0
e x x 1 [e In(x 1) In(x 1) 1] (m 2)x 0
构造 g(x) e x x 1， x In(x 1)当且仅当 x 0 时等号成立
即 (m +2)x ≥0 , x ∈[0 ,+∞)，即 m ≥ 2
58.已知函数 f (x) ax lnx(a R) ．当 a 1时，不等式 xex 1 f (x) m对于任意 x (0, )
恒成立，求实数m的取值范围________．
解析： xex 1 x Inx m e x Inx x Inx 1 m 2
当 x Inx 0取等，所以：m 2 .
lnx a
59.已知函数 f (x) , (a R) ，g(x) e2x 2．若 f (x) g(x) 在 (0, ) 上成立，求 a的
x
取值范围______．
Inx a
解析： e2x 2 Inx a xe2x 2x Inx a e2x Inx 2x
x
a 1 e Inx 2x Inx 2x 1，当 Inx 2x 0 取等， a 1 0 a 1
x
60.已知函数 f (x) e a(lnx x)．当 a 0时，求 f (x) 的最小值______．
x
解析： f (x) e x Inx a(x Inx)，令 x Inx t 1
g(t) et at, (t 1) g(t)min g(Ina) a Ina .
61.设 f x xe x ax 2 ， g x ln x x x 2 1 e .当 a 0时，设 h x f x ag x 0 恒
a
成立，求 a的取值范围_______．
解析： xex a(Inx x 1) e 0 e x Inx a(x Inx 1) e 0
令 t Inx x et a(t 1） e 0 et e a(t 1） et et a e
62.已知函数 f (x) xex a(x lnx) ．若 f (x) 0 在 x [1， ) 恒成立，求实数 a的取值范
围______．
解析： xe x a(x Inx) 0 e x Inx a(x Inx) e x ex a e
a
63.函数 f (x) (x )Inx, g(x) memx m，当 a 1时，不等式 2 f (x) g(x) 0恒成
x
立，求m的取值范围（ ）
2
解析： 2(x 1 )Inx memx m e Inx Inx2 Inx2 mxemx mx
x
构造 h(x) xex x，易知单增，
h(Inx2 ) h(mx) m Inx Inx 2 2 2 m [2 ] m [ , )
x x max e e
1
64.已知 a 0 ，函数 f (x) ax Inx，若 a ，证明 f (x) 1 xe ax
e
解析： ax Inx 1 e Inx e ax e Inx ax Inx ax 1
Inx 1 a Inx ax Inx ax 0
x e
由 e x x 1，当且仅当 x 0 时取等，得 e Inx ax Inx ax 1，证毕。
65.若对任意的 x 0 ，恒有 a(eax 1) 1 2(x )Inx，则实数 a的最小值为（ ）
x
解析：
a(eax 1) 1 2(x )Inx
x
ax(eax 1) (x2 1)Inx2
(eax 1)Ineax (x2 1)Inx2
构造 f (x) (x 1)Inx，容易知单增
eax x2 2Inx 2Inx 2 2 a a [ ]max a x x e e
66.已知 x 时函数 f (x) x2e x 20 Inx 2
2 x
的零点，则 e 0 Inx0 （ ）
解析：
x2e x 2 Inx 2 0 x2e x 2 2 Inx
x
xex e In e
x x x
Inx x In(In e ) In e
x x x x
2
In(e ) x 2 Inx x,&e2 x x e2 x0 Inx
x 0
x0 Inx0 2
4 x0
67.已知 x 是方程 x3e x 40 2Inx 4 0 的一个根，则 e 2 2Inx0 的值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4 4 4 4 4
解析： x3e x 4 e 4 2Inx In xex e In e Inx x e e2 2 2 In(In 2 ) Inx x x x x2
4
令x In e 2 x 4 2Inxx
4 x 4 x0
4 x 2Inx e 2 x e 2 2Inx0 x0 2Inx0 4
68.已知函数 f (x) ex+m x3 , g x ln x 1 2 ．当m 1时，证明：f x g(x) x3.
解析：先证明 ex x 1(x R)，且 ln(x 1) x (x 1)
设 F (x) e x x 1，则 F (x) ex 1
因为当 x 0 时， F (x) 0
当 x 0时， F (x) 0，所以 F (x)在 ( ,0)上单调递减，在 (0, )上单调递增
所以当 x 0 时， F (x)取得最小值F (0) 0
所以 F (x) F (0) 0，即 ex x 1(x R)
所以 ln(x 1) x （当且仅当 x 0 时取等号）
再证明 ex+m ln x 1 2 0．由 ex x 1(x R)
得 ex 1 x 2 （当且仅当 x 1时取等号）
因为 x 1，m 1，且 ex 1 x 2 与 ln(x 1) x 不同时取等号
所以 ex+m ln x 1 2 em 1 ex 1 ln x 1 2
em 1(x 2) x 2 (em 1 1)(x 2) 0 ．综上得证。
69.已知函数 f x mex ln x 1.当m 1时，证明： f x 1.
解析：设 F (x) e x x 1，则 F (x) ex 1
F (x)取得最小值 F (0) 0 ．所以 F (x) F (0) 0
即 ex x 1（当且仅当 x 0 时取等号）由 ex x 1(x R)
得 ex 1 x（当且仅当 x 1时取等号）
所以 ln x x 1(x 0)（当且仅当 x 1时取等号）
再证明mex ln x 2 0
因为 x 0 ，m 1，且 ex x 1与 ln x x 1不同时取等号
所以mex ln x 2 m x 1 x 1 2 m 1 x 1 0
综上可知，当m 1时， f x 1．
70.若 f (x) xex ax,a R, g(x) axa Inx aInx (a 1)x, 当 x (1, ) 时，若
f (x) g(x) 恒成立，则 a的取值范围（ ）
a
解析： xex ax axa Inx aInx ax x x xex Inxae Inx Inxa
构造： h(x) x xex单增， h(x) h(Inxa )
① a 0 时， f (x) g(x) 恒成立
② a 0时， Inxa x Inxa
x
aInx 0 ， a e a
Inx
71.已知函数 (eax 1)Inx ax2 ax, (a 0) 在 x [1, ) 有三个不同的解，求a的范围？
解析： (eax 1)Inx ax2 ax,
①当 x 1时，成立
ax Inx
②当 x 1 (e 1) x 1 e 1时，
ax Inx Inx
g(x) e
x 1
又因为 在 x [1, ) 单增， ax Inx a
Inx 1
a (0, )
x x e
Inx
72.设实数 0，若对于任意的 x (0, ) ，不等式 e x 0恒成立，则 的取值范

围？
e x Inx 0 xe x x x x解析： xInx xe xInx e Ine xInx

令 f (x) xInx x (0, 1), f (x) ; x (1 , ), f (x) ;
e e
x e x x x Inx [ Inx 1e 1，所以 ]
x max

e
73.若不等式 xex Inx 1 kx对任意的 x 0 都成立，则 k的取值范围（ ）
k xe
x Inx 1 e x Inx (Inx 1) e x Inx (Inx x) 1 x
解析： 1
x x x
k 1
74.已知 f (x) Inx x xex 1 ，求 f (x) 最大值_______.
解析： f (x) Inx x e Inx x 1 Inx x 1 e Inx x 1 1 2
当 Inx x 1 0 时 f (x) 取最大值为 2
e x 2
75.已知函数 f (x) xex Inx x 2最小值为 a， g(x) Inx x最小值为b则
x
（ ）
A. a b B.a b C.a b D.不确定
解析： f (x) e x Inx (x Inx) 1 1 1
g(x) e x 2 Inx (x 2 Inx 1) 1 1，
当 x Inx 0; x 2 Inx 0 等号成立。
76.已知不等式 x aInx 1 x x
a对 x (1, ) 恒成立，则实数 a的取值范围（ ）
e
解析： x aInx 1 xa x e x xa aInx e x Ine xx x
a Inxa
e
不妨令 f (x) x Inx, x (0,1) , (1, )
x 1 0 e x 1所以当 e x (0,1)
e
当 a 0时， xa与 e x 无法比较，不满足恒成立。
当 a 0 xa (0,1) e x x xa x aInx a a e
Inx
x
77.已知函数 f (x) e 2 , g(x) Inx，当 x 0 时，t[ f 2t (x) 1] 1 2(x )g(x) 恒成立，则
x
实数 t的范围（ ）
解析：
t(etx 1) 2(x 1 )Inx xt(etx 1) （x2 1)Inx2
x
(etx 1)Inetx （x2 1)Inx2
构造： F (x) (x 1)Inx
知 F (x)在 (0, ) etx x2 tx 2Inx t 2Inx 2 t
x e
78.不等式 x(e2x 2a) x Inx 1恒成立，则 a得取值范围为（ ）
1
答案： a ，
2
xe2x x Inx 1
解析： 2a h(x), xe2x e Inx 2x 2x Inx 1
x
2x
xe2x x Inx 1 x xe x Inx 1 1, (Inx 2x 0)
x
1
取等。 h(x)min 1 2a 1 a 2
x
79.已知函数 f (x) aInx e ax e2 ，若对任意 x (0, ) ，都有 f (x) 0恒成立，求
x
实数 a的取值范围（ ）
解析：要证： e x Inx a(x Inx) e2 0
只需要证： e x Inx 2 a 2 (x Inx) 1 0e
h(x) e x x 1 0, (x 1)
同构：
h(x 2) e x 2 (x 2) 1 e x 2 x 1 0, (x 2)
e x Inx 2 a (x Inx) 1 e x Inx 22 (x
a
Inx) 1 (1 2 )(x Inx)e e
h(x Inx 2) (1 a 2 )(x Inx) 0e
h(x Inx 2) 0, (x Inx 2) 取等
x Inx a 1 1 2 0 a e
2
e
80.已知 f (x) mxInx 1,m 0 ，若 g(x) x2 2 x且关于 x的不等式 f (x) g(x) 在
e
(0, )上恒成立，求实数m的取值范围.
x 1 mInx 2解析：由题目得： 0
x e
①当 x 1 1 时， e( x Inx) 1 (Inx 2 e ) (e 1 m)Inx 0
e e x e
e(1 x 1 e 1 Inx) 0 (Inx 2 ) 0 Inx(e m) 0 0e (x e) e x (x e) e 1
m e
e
m e 1
e
1 2 1 1
②当0 x 1时， (x Inx ) (eInx ) ( e m)Inx 0
e e x e
(x 1 Inx 2 ) 0 (eInx
1
) 0 Inx(
1
e m)
e e x 0
0
(x 1 ) (x 1
e 1
) m e
e e e
m 1 e
e
m 0 m [1 1综合①② e,0) (0,e ]
e e
81.（焦作市 2021 届高三一模理 12）已知对任意的 a,b R都有 (b a)eb a be b a恒
成立，则实数 的取值范围（ ）
解析：
b a eb a be b a b a eb a be b a 0
b a eb a b a be b b 0
构造 f (x) xex x，即 f (b a) f ( b) 0，由于 a,b为任意实数，
f (x) 0 f (x) x(e x ) 0
① x 0 ,满足题意
② x 0, e x 0 1 ③ x 0，e x 0 1
综上所述： 1
1
82.（浙江省 2021 届高三百校 12 月联考）已知 a 1，若对任意的 x [ , ) ，不等式
3
4x In3x ae x Ina
恒成立，则 a的最小值（ ）
解析：
4x In3x ae x Ina x 3x In3x e Ina x Ina e In3x In3x e Ina x (Ina x)
构造 f (x) e x x f (In3x) f (Ina x)
f (x) 1在 x 0 单增， x [ , ） In3x 0， Ina x (1 , )
3 3
In3x Ina x Ina In3x 3x x x 3所以： x In x a 3 x a [3 ] e e e x max e
83.已知函数 f (x) e x a xInx x(a R) 有两个极值点， x1, x2 (x1 x2 ) ，设 f (x) 的导
函数为 g(x) ，证明 a 2。（同类同构）
解析：思路分析： f (x) g(x) e x a Inx有两根
即 e x a (x a) 1 x Inx 1 a 2
令 h(x) e x x 1 h(x) 0， (x 0) 取等；
h(x a) e x a (x a) 1 0 (x a) 取等；
h(Inx) x Inx 1 0 (x 1) 取等；
a 2 0 a 2 （不等同时取等，另 a 1不成立）
x 1
84.已知函数 f (x) ae , g(x) In x 1，其中 a 0，若 f (x) g(x) 在区间 (0, )恒
a
成立，求 a得最小值
x 1 x In
x
解析： f (x) g(x) ae In 1
x x
xex 1 (In 1) xex 1 (In x 1)e a
a a a a
构造： h(x) xex 1 x h(x) h(In 1) ， h(x)在 (0, )单增
a
则 x In x 1 Ina Inx x 1 Ina [Inx x 1] 2 a 1 max a e2
84.已知函数 f (x) ae x In(x 1) Ina 1，若函数 f (x) 有且仅有两个零点，则 a的取
值范围（ ）
解析： f (x) ae x In(x 1) Ina 1 0有两解， (a 0, x 1)
x x e(x 1)
指对分离： ae In(x 1) 1 Ina ae In
a
同乘 e(x 1)得： (x 1)e x 1
e(x 1) In e(x 1)
a a
构造函数： g(t) tet , (t 0)
g(t) g(x 1) g(In e(x 1) e(x 1)单增 ) x 1 In 图像有两个交点
a a
a x 1 e x 1 e[
x 1
x 1 ]max e
1
1，综上： a (0,1)
e e e
85.已知函数 f (x) 1 ae xInx，若不等式 f (x) e x (xa x)(a 0) 对 x (1, ) 恒成立，
求实数 a的取值范围
f (x) e x a解析： (x x)(a 0) 1 ae x Inx e x (x a x) 1 a x a a
e x
aInx x x e x x Inx
f (x) e x (xa x)(a 0) 1 ae xInx e x (xa x) 1 a x a a
e x
aInx x x e x x Inx
又 x 1， x 1，又 a 0, xa 1, Inxa 0
构造 g(t) et t, (t 0) ， g(t)单减
g( x) g(Inxa ) x Inxa aInx, (x 1) a x a [ x ] e
Inx Inx max
g( x) g(Inxa ) x Inxa x x aInx, (x 1) a a [ ] e，综上： a [ e, )
Inx Inx max
x
86.已知 xe ax Inx 1对任意的 x (0, ) 恒成立，则 a的取值范围是（ ）
解析： f (x) xex ax Inx 1 0 f (x) e x Inx (x Inx) 1 (1 a)x 0
f (x) [e x Inx (x Inx) 1] 0 (1 a)x 0 1 a 0 a 1
x Inx 0
87.若不等式 ax(e x 1) Inx 1 1在区间[ , )上恒成立，求 a的取值范围（ ）
e
解析： ax(e x 1) Inx 1 ae x Inx ax aInx a Inx 1 aInx a 0
[ae x Inx ax aInx a] x Inx [ Inx 1 aInx a] 0 a 1 0 a 1a(e x Inx 1) 0 (a 1) Inex 0
[ae x Inx ax aInx a]a(e x Inx [ Inx 1 aInx a] 0 a 1 0 a 1 x Inx 1) 0 (a 1) Inex 0
88.已知函数 f (x) x (a 1)Inx,a R ，当 a 2e 时，xex m f (x) 0恒成立，求实
数m的取值范围？
x Inx
解析： e (2e 1)Inx x m 0 e[e x Inx 1 (x Inx 1) 1] (e 1)x (e 1)Inx (e 1) e 1 m 0
e x Inx (2e 1)Inx x m 0 e[e x Inx 1 (x Inx 1) 1] (e 1)x (e 1)Inx (e 1) e 1 m 0
e[e x Inx 1 (x Inx 1) 1] 0 [(e 1)x (e 1)Inx (e 1)] 0 e 1 m 0
x 1 x 1
e 1 m 0 m 1 e
x 1
89.（2014 年全国 I卷）设函数 f (x) ae xInx
be
，a 2,b 1，证明： f (x) 1
x
x 1
e xInx 2e 1 0 xInx 2 x 0 e InxInx 2 xe x 0 [e InxInx] 2解析： x
x
x e e e 1
[ xe ] 1 0
e e e
x 1 x 1
e
x 1
e xInx 2e 2 x 2 2 1 0 xInx 0 e InxInx xe x 0 [e InxInx] [ xe x ] 0
x e e x e 1 e e
1

e
x 1 x 1
e
所以得证
90.已知函数 f (x) e x In(x m) ，当m 2时，证明 f (x) 0
解析： e x In(x m) e x x 1 (x m) In(x m) 1 2 m 0
[e x x 1] 0 [(x m) In(x m) 1] 0 2 m 0 2 m 0 m 2
x 0 x m 1
m 1
91. 已知 a 0函数 f (x) e x a In(x a) 1 ， (x 0) 的最小值为0 ，则实数 a的取值
范围（ ）
解析： e x a (x a) 1 (x a) In(x a) 1 1 2a 0
[e x a (x a) 1] 0 [(x a) In(x a) 1] 0 1 2a 0
x a x 1 a
1
因为最小值为 0 ， 1 2a 0 a
2
92.函数 f (x) e2x aInx，证明：当 a 0时， f (x) 2a 2 aIn
a
2x
2x
解析： e aInx 2a aIn
2 e
0 Inx 2 In2 Ina 0 e2x Ina (2x Ina) 1 2x In2x 1 0
a a
2 e2xe2x aInx 2a aIn 0 Inx 2 In2 Ina 0 e2x Ina (2x Ina) 1 2x In2x 1 0
a a
[e2x Ina (2x Ina) 1] 0 [2x In2x 1]
1
0 0 x ,a e。
2x Ina 0 2x 1 2
93.已知函数 f (x) ae x 1 Inx Ina若 f (x) 1，求 a的取值范围（ ）
ae x 1解析： Inx Ina 1 0 a(e x 1 x) ax Inx Ina 1 a(e x 1 x) (x Inx 1) (a 1)x Ina 0
ae x 1 Inx Ina 1 0 a(e x 1 x) ax Inx Ina 1 a(e x 1 x) (x Inx 1) (a 1)x Ina 0
[a(e x 1 x)] 0 [(x Inx 1)] (a 1)x Ina 0 (a 1)x Ina 0 a 1 0
x 1 x 1
[a(e x 1 x)] 0 [(x Inx 1)] (a 1)x Ina 0 (a 1)x Ina 0 a 1 0
x 1 x 1
当 a 1时， (a 1) 1 Ina 0 不一定满足 f (x) 1，所以综上 a 1
94.已知函数 f (x) e x In(x 1) a的图像在 x 0 处与 x 轴相切，若 x t 0，证明：
e x t In(t 1) In(x 1) 1
解析： e x t In(t 1) In(x 1) 1 e x t (x t) 1 x In(x 1) [t In(t 1)] 0
[e x t (x t) 1] 0 {x In(x 1) [t In(t 1)]} 0
x t
95. 已知 f (x) aInx x 1, g(x) x e x， a为实数，设 h(x) f (x) g(x) ，求所有的
实数值 a，使得对任意的 x 0 ，不等式 h(x) 1 e恒成立
解析： e(e x 1 x) ex aInx e 0 e(e x 1 x) e(x Inx 1) (e a)Inx 0
[e(e x 1 x)] 0 [e(x Inx 1)] 0 (e a)Inx 0
x 1 x 1
当 x 1, Inx 0 e a 0 a e
当 x (0,1), Inx 0 e a 0 a e，综上： a e
96.已知函数 f (x) e x (a 1)Inx 2 ，当 a e时，证明： f (x) 2e (e 1)In(e 1）
解析： e x (a 1)Inx 2 2e (e 1)In(e 1） e x (e 1)Inx 2(e 1) (e 1)In(e 1) 0
e x (a 1)Inx 2 2e (e 1)In(e 1） e x (e 1)Inx 2(e 1) (e 1)In(e 1) 0
ex ex
e x ex (e 1)( In 1) 0 [e x ex] ex 0 [(e 1)( In
ex
1)] 0
e 1 e 1 0x 1 e 1 e 1 ex
1 x 1 1
e 1 e
e x ex (e 1)( ex In ex 1) 0 [e x ex] [(e 1)( ex 0 In
ex
1)] 0 0e 1 e 1 x 1 e 1 e 1 ex
1 x 1 1
e 1 e
97.已知函数 f (x) e x (a 1)Inx 2 ，当 a 2 时，证明： f (x) 4 3In3
解析： e x (a 1)Inx 2 4 3In3 e x 3Inx 6 3In3 0
e x ex 3(ex In ex 1) ex ex 0 [e x ex] 0 [3( In 1)] 03 3 x 1 3 3 0x 3
e
1
98.已知函数 f (x) ae x , g(x) In(x 1) 1，证明：当 a 时， f (x) g(x)
e2
解析： f (x) g(x) 1 1 e x2 In(x 1) 1 (a
x x 2
2 )e e (x 2) 1 (x 1) In(x 1) 1 (a
1
)e x
e e e2
f (x) 1 1 g(x) 2 e
x In(x 1) 1 (a 2 )e
x e x 2 (x 2) 1 (x 1) In(x 1) 1 (a 1 )e x
e e e2
[e x 2 (x 2) 1] 0 [(x 1) In(x 1) 1]
1
0 (a )e
x
2
x 2 x 2 e
a 1 所以： f (x) g(x) 02 得证。e
99. 已知函数 f (x) Inx ax a,a R，若关于 x 的不等式 f (x) e x 1 1在区间[1, )
上恒成立，求 a的取值范围（ ）
解析：e x 1 Inx a(x 1) 1 0 [e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx] (2 a)(x 1) 0 ，
{[e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx]} 0 (2 a)(x 1) 0, x 1 2 a 0 a 2
x 1
100.已知函数 f (x) Inx ax2 ，若 f (x) ax2 2ax e x e 2a在 x (1, ) 上恒成立，
求实数 a的取值范围（）
解析： e x Inx 2a(x 1) e 0 e[e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx] (e 1 2a)(x 1) 0
e x Inx 2a(x 1) e 0 e[e x 1 (x 1) 1] [(x 1) Inx] (e 1 2a)(x 1) 0
e[e x 1 (x 1) 1] 0 [(x 1) Inx] 0 (e 1 2a)(x 1) 0, x 1 e 1 2a 0
e 1
a
x 1 x 1 2
e[e x 1 (x 1) 1] 0 [(x 1) Inx] 0 (e 1 2a)(x 1) 0, x 1 e 1 2a 0 a
e 1

x 1 x 1 2
a 1, x 1101.已知 ，不等式 4x In(3x) ae x Ina 恒成立，则 a的最小值为（ ）
3
解析：同构变形：3x In3x ae x x Ina 3x In3x ae x Inae x
又因为3x 1,a 1，构造 y t Int(t 1)单增
所以 ae x 3x a 3x x a [
3x
x ]
3
e e max

e
102.已知函数 f (x) e x a xInx x有两个极值点点 x1, x2 (x1 x2 )，设 f (x) 的导函数为
g(x) ，证明： a 2
解析： g(x) e x a Inx有两根，即： e x a (x a) 1 x Inx 1 a 2
[e x a (x a) 1] 0 [x Inx 1] 0 a 2 a 2 0 a 2。
x a x 1
注意：（不能同时取等，另 a 1不成立）（此题：同类同构）
103.已知函数 f (x) Inx a(x 1)， g(x) e x ，设 h(x) f (x 1) g(x) ，当 x 0 ，
h(x) 1，求实数 a的取值范围（ ）
解析：当 x 0 ， h(x) 1
x x 1 2 1 2
即：e In(x 1) ax 1 (e x x 1) In(x 1) x x ) (2 a)x 0
2 2
(e x 1所以： x2 x 1) 0 In(x 1)
1
x x2 )
2 2 0
(2 a)[x] 0 0，
x 0 x 0
所以： 2 a 0 a 2 （此题：同类异构）
104.已知函数 f (x) ae2x (2a 1)e x x，a为常数，若 x 0 时， f (x) (3a 1)cos x
恒成立，求实数 a的取值范围（ ）
解析：
ae2x (2a 1)e x x (3a 1)cos x
a(e2x ex x) (3a 1)(ex x 1) (3a 1)(1 cos x) (4a 2)x 0
所以：
a[(e2x e x x) 0 ] (3a 1)[(e
x x 1) 0 ] (3a 1)[(1 cos x) 0 ] (4a 2)[x 0 ] 0
x 0 x 0 x 0
a 0

所以： 3a 1
1
0 a
2 ，（此题：同类异构）
4a 2 0
105.已知函数 f (x) ax x 1 x In(ax) 2, (a 0)，若函数 f (x) 在区间 (0, )内存在零e
点，则实数 a的取值范围（B）
A. (0,1] B.[1, ) C. (0,e] D.[3, )
ax axe1 x e1 x Inax解析： x 1 所以：e
f (x) e1 x Inax (1 x Inax) 1 0
e x 1
当且仅当：1 x Inax 0 a a 1
x
106.已知函数 f (x) xe x Inx x 1,若对任意 x (0, ) 使得 f (x) a，则 a的最大值
为（ ）
A.0 B. e 2 C.1 D. e 1
解析：
f (x) xe x Inx x 1 e x Inx (x Inx) 1 a [e x Inx (x Inx) 1] 0 a a 0
107.已知对任意的 x (0, ) 都有 k(ekx 1) (1 1 )Inx 0 ，则实数 k的取值范围（ ）
x
kx
解析： k(e 1) (1
1
)Inx 0 k(ekx 1 1) (1 )Inx kxekx kx xInx Inx e Inx Inx Inx
x x
k(ekx 1 1) (1 )Inx 0 k(ekx 1) (1 1 )Inx kxekx kx xInx Inx e Inx Inx Inx
x x
g(x) x xex kx Inx k Inx k [ Inx ] 1单增,所以：
x x max e
108.若直线 y ax b与曲线 y Inx 1相切，则 ab的最大值为（ ）
解析： ax b Inx 1 ax b 1 Inx, Inax ax 1 Inx ax 1 Ina ax b 1
所以：b Ina ab 1 aIna
e
109.已知m,n为实数， f (x) e x mx n 1若 f (x) 0 x n m对 R恒成立，则 的取
m
值范围（ ）
x
解析： e mx n 1 0 e x 1 mx n [e x 1] 0 mx n
n n
0 1 1
m m
f (x) xeax 1 1110.已知函数 Inx ax,a ( , 2 ],则函数 f (x) 的最小值为（ ）e
解析： f (x) xeax 1 Inx ax eax Inx 1 (ax Inx 1) 1 0
当且仅当 ax Inx 1 0 a 1 Inx 1 等号成立，则 a
x e2
111.已知函数 f (x) x In(x 1), g(x) xInx，若 f (x1) 1 2Int, g(x
2
2 ) t ，则
(x1x2 x2 )Int的最小值为（ ）
1 2 1 1
A. 2 B. C. D. e e 2e e
x1 In(x1 1) 1 2Int
解析： x1 1 In(x1 1) Inx2 In(Inx2 )x 2 2Inx2 t Inx2 In(Inx2 ) 2Int
构造 h(x) x Inx， h(x) 单增， x1 1 Inx2 ，
(x1x2 x2 )Int x2 (x1 1)Int x2Inx
In(x2Inx2 ) x2Inx2In(x2Inx2 )
2 2 2
构造m(x) xInx 1，则m(x)min e
所以： (x1x2 x2 )Int
1
的最小值为
2e
x a 2
112.已知函数 f (x) (x 2)e x ax， a R，若不等式
2
f (x) (x 1)e x a x2 2ax a 0恒成立，求 a的取值范围。
2
1 x 1 1
解析 1： (2x 1)e x ax a x， xe 2ex e (x )e 2 2e(x ) e
2 2
3 3 3
(2x 1)e x 4e 2 x 4e 2 1 a 4e 2 （此法：切线找点）
x
解析 2：过 (1,0) 点作 y (2x 1)e x的切线，设切点 (x0 , (2x0 1)e 0 )，则
k (2x (2x 1)e
x0 0 3
0 1)e
x0 0 x0 0 & x0 x0 1 2
3 3
解之得： k 1,k 4e 2 ，所以1 a 4e 2
113.已知函数 f (x) Inx ax 1 0 恒成立，则实数 a的取值范围（ ）
解析：由 f (x) Inx ax 1 0
Inx ax 1 0 a Inx 1 e Inex e [ Inex得： ]max 1x ex ex
114.已知函数 f (x) x Inx, g(x) xInx，若 f (x1) x Inx, g(x) xInx，若
f (x1) Int, g(x2 ) t，则 x1x2Int的最小值（ ）
x Inx Int, x Inx t e x1 Inx1 x Inx x e x1 Inx e Inx解析： 21 1 2 2 ， 2 2 1 2
构造 h(x) xex
单增， x1 Inx2 x1x2Int x2Inx2Int tInt x1x2Int [tInt]
1
min e
x Int115.已知函数 f (x) xe , g(x) xInx，若 f (x1) g(x2 ) t 0，则 的最大值（ ）x1x2
解析：由题意： f (x1) x1e
x1 t 0 x1 0; g(x2 ) x2Inx2 t 0 x2 1
而： g(x2 ) x2Inx2 Inx e
Inx2
2 f (Inx2 ) f (x1) f (Inx2 )
构造 h(x) xex 在 (0， ) 单增
x Inx x x x Inx t Int Int , [ Int ] 1 Int 1 1 2 1 2 2 2 max x1x2 t t e x1x2 e
116.已知函数 f (x) x Inx，已知实数 a 0 ，若 f (x) ae2x Ina 0在 (0, )上恒成
立，求实数 a的取值范围（ ）
Inx ae x解析 1：由题意知 Ina ；
x
两边同时加上 x ，得 ae x Ina a Inx，即 ae x In(ae x ) x Inx
构造 h(x) x Inx x x，因为单增,即： ae x a x a [
x 1
e e x
]max e
In x
解析 2：由题意知 Inx ae x Ina
1 In x x; e x In
x
xe x e a In x xe x
a a a a a
h(x) xex x 0 h(In x x 1构造 ，在 单增， ) h(x) In x a
a a e
1 3 ax
117.若 x (0, )时，关于 x 的不等式 ax e 2Inx 0 恒成立，则实数a的最大值（ ）
e
ax3eax 2Inx 0 axeax 2Inx 0 axeax 2Inx ax 1 1解析：
x2

x2
axe In
x2 x2
构造 f (x) xex， f (ax) f (In 1 2 ), In
1
2 (2, ) 且单增x x
1 2Inx 2Inx 1
所以： ax In 2 a a ( )min 2 1 2ex x x
e
118.已知函数 f (x) ae x 2x 1，证明：对任意的 a 1，当 x 0 时， f (x) (x ae)x
解析： aex 2x 1 (x ae)x (a 1)(ex ex) ex ex (x 1)2 0 (a 1)[(ex ex)] 0 [e
x ex (x 1)2 ] 0 0
x 1 x 1
aex 2x 1 (x ae)x (a 1)(ex ex) ex ex (x 1)2 0 (a 1)[(ex ex)] x 0 [e ex (x 1)
2 ] 0 0
x 1 x 1
即： a 1，得证 （同类异构）
119.已知函数 f (x) x Inx,a 0 若 f (x) ae2x Ina 0在 (0, )上恒成立，求实数 a
的取值范围_____.
x Inx ae2x Ina 0 ae2x解析： 2x Ina x Inx ae2x Ina e2x x Inx
h(x) x Inx ae2x x a x a [ x ] 1设 ，因为单增， 2x e e2x max

2e
x a
120.已知函数 f (x) ae ln 2(a 0) ，若 f (x) 0 恒成立，则实数 a的取值范围为
x 2
________．
f x aex【解】 ln a 2 0，则 ex lna ln a ln x 2 2 ，
x 2
两边加上 x x lna得到 e x lna x 2 ln x 2 e ln x 2 ln x 2 ，
y ex x单调递增， x lna ln x 2 ，即 ln a ln x 2 x，令
g x ln x 2 x g x 1 1 x 1，则 ，因为 f x 的定义域为
x 2 x 1
2, x 2, 1 时，g x 0 ，g x 单调递增，x 1, ，g x 0，
g x 单调递减， ln a g x a emax g 1 1， .故答案为： e,
2x a 1 a
121.已知函数 f (x) e Inx 在定义域内没有零点，则实数 a的取值范围为（ ）
2 2
f (x) e2x a 1 a 2x a a 1 a 1解析： Inx 0 e Inx e2x a x e Inx Inx
2 2 2 2 2 2
构造： g(x) e2x x x a 1 Inx a 1 Inx x a In2 1
2 2 2 2
x 1122.若 (0, )时，关于 x 的不等式 ax3eax 2Inx 0 ，则实数 a的最大值为（ ）
e
In 1
解析： ax3eax 2Inx 0 axeax 2Inx 1 In 1 1 2 2 e x
2 In
x x x2
因为 x (0,
1) In 1 2 ax In 2 a 2Inx 2 ， e x x2
a 2e
x
123. 函数 f (x) ae x xInx 2若 a ，证明： f (x) 0
e2
2 x 2 x
解析：即证： a 2 ， f (x) ae xInx ee e2
2 x
124.已知 x 是函数 f (x) x2e x 2 Inx 2的零点，则 e 00 Inx0 （ ）
解析：
f (x) e x 2 2 Inx x 2 2Inx Inx x e x0 2 2 Inx0 x0 2 2Inx0 Inx0 x0 0
e x0 2 2 Inx0 x0 2 2Inx Inx x
Inx0
0 0 0 e Inx0
得： 2Inx0 x0 2 Inx0 e
2 x0 Inx0 2
2 1
125.已知关于 x 得方程 2x 1 2ax x2 ax 1，当 x 3时有两个不相等的实数根，2
则 a的取值范围（ ）
2
解析： 2x 1 x2 1 2ax ax，即 x2 1 ax
1 x 1 5当 3有两个不同的交点， a x ， a (2, ]
2 x 2
e x
126.函数 f (x) (x 0)，函数 g(x) mx，若不等式 f (x) g(x) 0 在 (0, )上恒成
x
立，求实数m的范围？
e x
解析： mx 0，则 e x mx2 0 e x mx2
x
2 2
因为 e x e x2 e m （切线放缩）
4 4
127.若 h(x) ae x Inx Ina(a 0) ，当 x a时，不等式 h(x) 0恒成立，求 a的最小
值？
x
解析： ae Inx Ina 0 e x Ina x Ina Inx x
所以： x Ina Inx Ina Inx x
①0 a 1, x (0,1) , (1, ) , Ina 1 a 1
e
② a 1, x [a, ) a 0 1恒成立。综上： a
e
128.已知函数 f (x) x(e x a) 2Inx 2In2 2(a R) ，若 f (x) 0，求 a的取值范围
（ ）
解析： e x Inx 2Inx 2In2 2 ax 0 e x Inx In2 Inx In2 1
a a
x 0 e x Inx In2 x Inx In2 (1 )x 0
2 2
e x Inx 2Inx 2In2 2 ax 0 e x Inx In2 Inx In2 1 a x 0 e x Inx In2 x Inx In2 a (1 )x 0
2 2
1 a 0 a 2
2
容易知道： h(x) e x x 1 0 ， x 0 取等号
h(x Inx In2) e x Inx In2 (x Inx In2) 1 0， x0 Inx0 In2 取等
1
①当1 a 0即 a 2 时，原式恒成立
2
②当1 1 a 0即 a 2 时， ax 2x
2
g(x) e x Inx In2 (x Inx In2) 1 1 (1 a)x e x Inx In2 (e x Inx In2 (x Inx In2) 1) 1 h(x Inx In2)
2
g(x) e x Inx In2 (x Inx In2) 1 (1 1 a)x e x Inx In2 (e x Inx In2 (x Inx In2) 1) 1 h(x Inx In2)
2
当 x0 Inx0 In2 时， h(x0 Inx0 In2) 0
g(x0 ) h(x0 Inx0 In2) 0 ，矛盾：综合 a 2
129.已知函数 f (x) e x 2ax 1, g(x) 2aIn(x 1),a R，若对任意
x [0, ), f (x) g(x) x恒成立，求 a的取值范围（ ）
解析： e
x 2ax 1 2aIn(x 1) x 0 (e x x 1) 0 2a[In(x 1) x] 0 0 2a 0 a 0
x 0 x 0
e x 2ax 1 2aIn(x 1) x 0 (e x x 1) 0 2a[In(x 1) x] 0 0 2a 0 a 0
x 0 x 0
1 1
130. 函数 f (x) emx x2 若m 1，且对
m 2 ,
x (e, ),mx(mx 6) 2 f
(x)
任意 Inx 6恒成立，求实数m的取值范围.
Inx
解析：原式化简为： (mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2x (mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2e Inx
(mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2x (mx)2 6mx 2emx (Inx)2 6Inx 2e Inx
构造 h(x) x2 6 2e x 2(x 3 e x ) ，等价于 h(mx) h(Inx) ，
m 1, x (e, ) mx 1, Inx 1,
当 x 1时， h (x) 2(x 3 e x ) 2(1 3 e) 0
所以： h(mx) h(Inx) mx Inx m Inx Inx 1 m [ ]
x x max e
综上：m 1
x
ax x In
131.已知函数 f (x) (a 0) ，当 x 1时， f (x) ax ，求 a的取值范围。Inx e Inx
x
ax x In a a e x In x x Ina解析： x e Inx Ina e
x Ina x Ina Inx x
Inx e Inx a
构造 g(x) e x x，知单增
x Ina Inx Ina Inx x, x 1 Ina 1 a 1
e
132.已知函数 f (x) ln x ax 1．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）对任意 x 0， xe2 x f (x) 恒成立，求实数 a的最大值．
f (x) 1 a 1 ax解：（1） (x 0)
x x
当 a 0 时， x (0, ) f (x) 1 ax， 0 ，所以 f (x) 在 (0, ) 上单调递增；
x
1 1 ax 1
当 a 0 时， x (0, ) ， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0, )上单调递增；
a x a
x ( 1 ，+ )， f (x)
1 ax
0 1，所以 f (x) 在 ( ，+ ) 上单调递减；
a x a
综上：当 a 0时， f (x) 在 (0, ) 上单调递增；
f (x) (0, 1 ) ( 1当 a 0 时， 在 上单调递增，在 ，+ ) 上单调递减.
a a
（2）任意 x 0 ， xe2x f (x) ，即 xe2x ln x ax 1 0 恒成立,
即 eln x 2x ln x ax 1 0 恒成立；
令 g(x) = eln x 2x ln x ax 1,则任意 x 0 ， g(x) = eln x 2x ln x ax 1 0 ,
ln x 2x
因为，存在正实数 x0 ，满足： ln x0 2x0 0 ,且 g(x0 ) = e 0 0 ln x0 ax0 1 0，
所以 2x0 ax0 0，所以 a 2 .
下证：当 a 2 时成立：即证： eln x 2x ln x 2x 1 0 ,
因为 x R，ex x 1,
所以： eln x 2x ln x 2x 1 ln x 2x 1 ln x 2x 1 0显然成立；
所以实数 a的最大值为 2 .
133.已知 a 0 ，若 a ln x≤ x ln a 恒成立，则 a的值是________．
答案： e
ln x ln a
解析：两边同时除以 ax得， ，要使该不等式恒成立
x a
即 x a ln x时， 取最大值，故 a e．
x
134.已知函数 f (x) (x xm mInx)e x 1(m 0) ，当 x (1, ) 时恒有 f (x) 0，求实
数m的取值范围（ ）
解析： f (x) 0 x xm mInx e x 0 e x x xm mInx e x x xm mInx
e x ( x) xm Inxm
设 g(t) et t, g( x) g(Inxm )
g (t) et 1 0 t 0 t ( ,0)递减
x 1, Inxm mInx 0 x Inxm mInx m ( x )
Inx max
e
综上[ e,0)
x
135.若 a 0, x 0,e a a2In(ax b) b在定义域内恒成立，求 a的取值范围（ ）
x x x
解析： ax e a a2In(ax b) ax b a2Ine a e a a2In(ax b) ax b，
x
构造函数 g(x) a2Inx x，易知 g(x) 单增，故有 e a ax b
由 e x x 1 结合图像得 a 1,b 1，故 a (0,1]
e2x 2
136.当 a 0 时，证明 Inx 2 In
a a
e2x 2
解析：要证 Inx 2 In e2x Ina，即证： In2x 2 Ina 0
a a
构造函数 h(x) e x x 1
易证： h(x) h(0) 0
由于 h(2x Ina) e2x Ina 2x Ina 1,h(In2x) 2x In2x 1
故 h(2x Ina) h(In2x) e2x Ina 2x Ina 1 2x 1 e2x Ina In2x Ina 2 0
当且仅当 2x Ina且 In2x 0 即 x 1 ,a e时等号成立
2
e2x Inx 2 In 2所以当 a 0时，
a a
ax 2 2
137.若 a 1，对任意 x (e, ),
2e a x 6ax 2x
Inx 6 恒成立，求a的取值范
Inx
围（ ）
a2x2 In2x e eax 3ax e Inx x解析：由 可得：即为 3Inx,
2 2
因为 a 1， x e，故 ax e, Inx 1
2
令 F (t) et
t
3t(t 0) ，则 F (ax) F (Inx)在 x (e, )上恒成立
2
易知函数 F (t)在 (1, )上单调递增，所以只需要 ax Inx
Inx
即 a ，即 a [ Inx ] 1max ，即 a
1
，结合 a 1，所以 a (1, )
x x e e
138.已知 f (x) e x a ax, g(x) x 1 ln x 1 .
（1）讨论 f (x) 的单调性;
（2）若函数 F (x) f (x) g (x) 在定义域上单调递增，求实数 a的取值范围.
详解：（1） f ' (x) e x a a, x R. f ' (x) 在 R上单调递增.
当 a 0, f ' (x) 0, f (x) 在 , 上单调递增；
当 a 0时, f ' (x) 0 x a ln( a),
f ' (x) 0 x a ln( a); f ' (x) 0 x a ln( a);
f (x)在 , a ln( a) 上单调递减；在 a ln( a), 上单调递增
（2） F (x) e x a ax x 1 ln x 1 定义域是 ( 1, ) ；
函数 F (x)在定义域上单调递增的充要条件是 F ' (x) 0 (x 1) 恒成立.
法一： F ' (x) e x a a ln(x 1) 1 0 (x 1) 恒成立， F ' (0) ea a 1 0
令 t(x) ex x 1, 则 t ' (x) e x 1 0 t(x) 在 R单调递增，
t(0) 0,ea a 1 t(a) 0 a 0
当 a 0时，
记G(x) F ' (x),G' (x) e x a 1 h(x), x 1
x 1
h' (x) e x a 1 2 0 G' (x)在( 1, )上单调递增. x 1
当x 1时G' (x) ；当x 时G' (x) ；
存在唯一的x 使G' (x ) 1 e x0 a0 0 0,.......................................................8分x0 1
1
事实上，取 x1 1 a ，e
a 0 0 1 1, 1 x 0, e x1 a ea , 1 ea
ea 1 x1 1
G' (x1) G' ( 1
1
a ) 0e
又G '(0) 1 ea 1 0 存在唯一的x0

1

ea
,0 ,使G' (x0 ) 0,
G' (x0 ) 0 e
x0 a 1x 1, x0 a ln x0 1 0
当 1 x x0 ,G' (x) G' (x0 ) 0; 当x x0 ,G' (x) G' (x0 ) 0;
G(x) 在 1, x0 单调递减，在 x0 , 单调递增.
F ' (x)min G(x)min G(x0 ).........................................................................10分
ex0 a a ln(x0 1) 1
1
a x0 a 1x0 1
1
x 1
x 1 0
1 2 2a 2 x 1 2 2a 2a 0.
0 x0 1
0
a 0 F ' (x) 0
综上可知 a 0为所求
法二：
F ' (x) ex a a ln(x 1) 1 0 (x 1)
ex a (x a) x 1 ln(x 1) eln(x 1) ln(x 1)
令T (t) et t, T '(t) et 1 0, T (t)在R上单调递增
T (x a) T (ln(x 1)) x a ln(x 1)恒成立.
a S(x) ln(x 1) x a S(x)max
S ' (x) 1 1 x (x 1)
x 1 x 1
1 x 0时S ' (x) 0; x 0时,S ' (x) 0
S(x)在( 1,0)上单调递增，在(0, )上单调递减.
S(x)max S(0) 0
a 0
法三：
先证明 h(x) e x x 1 0 ，证明如下：
h' (x) e x 1 x 0时h' (x) 0; x 0时h' (x) 0; x 0时h' (x) 0;
x 0时h(x)单调递减; x 0时h(x)单调递增.
h(x)min h(0) 0 h(x) h(x)min 0
e x x 1 x 1 0时 ln e x ln(x 1)即x ln(x 1) 0.
若a 0,则
F ' (x) ex a a ln(x 1) 1 x a 1 a ln(x 1) 1
x ln(x 1) 2a 2a 0 (x 1)恒成立
若a 0,则ea 1 F ' (0) ea a ln1 1 ea 1 a 0
当且仅当a 0时F ' (x) 0恒成立

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