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利用基本不等式求最值 8 大题型
命题趋势
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有
着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中
数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法
1. 直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2. 配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3. 代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型 1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型 2：分母为多项式时
方法 1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法 2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为 3a+ 4b与 a+ 3b，分子为 a+ 2b，
设 a+ 2b= λ 3a+ 4b + μ a+ 3b = 3λ+ μ a+ 4λ+ 3μ b
1
∴ 3λ+ μ= 1
λ= 5
+ = ，解得： 4λ 3μ 2 μ= 25
4. 消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5. 构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等
式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
热点题型解读
【题型 1 直接法求最值】
【例1】(2022春 ·辽宁锦州 ·高三校考阶段练习 )已知 x> 0,y> 0，且 x+ y= 12，则 xy的最大值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
【变式1-1】(2022·四川广安 ·广安二中校考模拟预测 )已知 3x+ 9y= 18，当 x+ 2y取最大值时，则 xy的值为 (
)
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
【变式1-2】(2023·河南郑州 ·高三校联考阶段练习 )已知正数 a,b满足 a2+ 2b2= 1,则 ab2的最大值是 ( )
A. 1 3 3 13 B. 3 C. 9 D. 9
【变式1-3】(2022·上海 ·高三统考学业考试 )已知 x> 1，y> 1且 lg x+ lg y= 4，那么 lg x·lg y的最大值是 (
)
A. 2 B. 12 C.
1
4 D. 4
【变式1-4】(2022春 ·云南 ·高三校联考阶段练习 )已知正数 a,b满足 a+ 5b 2a+ b = 36，则 a+ 2b的最小
值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
【题型 2 配凑法求最值】
【例2】(2022·全国 ·高三专题练习 )已知-3< x< 0，则 f x = x 9- x2 的最小值为________．
【变式2-1】(2022春 ·上海静安 ·高三上海市市西中学校考期中 )函数 f(x) = x+ 9x- 1 (x> 1)的值域为__
____.
【变式2-2】(2022 春 · 湖南长沙 · 高三雅礼中学校考阶段练习 ) 已知 x > 0 ,y > 0，且 x + y = 7，则
1+ x 2+ y 的最大值为 ( )
A. 36 B. 25 C. 16 D. 9
【变式2-3】(2022 春 ·山东济宁 ·高三统考期中 )已知向量m= a- 5,1 ,n= 1,b+ 1 ，若 a> 0,b> 0，且m
⊥n 1，则 + +
1
的最小值为 ( )
3a 2b 2a+ 3b
A. 15 B.
1 1 1
10 C. 15 D. 20
【题型 3 消元法求最值】
y2
【例3】(2022春 ·湖南永州 ·高三校考阶段练习 )设 x≥ 0,y≥ 0,x2+ 2 = 1，则 x 1+ y
2 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 22 4 D. 2
【变式3-1】(2023春 ·江西鹰潭 ·高三贵溪市实验中学校考阶段练习 )已知正数 a,b满足 a2- 2ab+ 4= 0，则 b
- a4 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
【变式3-2】(2022春 ·广东广州 ·高三执信中学校考阶段练习 )设正实数 x、y、z满足 4x2- 3xy+ y2- z= 0，
xy
则 z 的最大值为 ( )
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
【变式3-3】(2023·全国 ·高三专题练习 )设正实数 x，y，z满足 x2- xy3xy+ 4y2- z= 0，则当 z 取得最大值
2
时，x +
1
y -
2
z 的最大值为 ( )
A. 0 B. 3 C. 94 D. 1
【变式3-4】(2022春 ·湖南长沙 ·高三湖南师大附中校考阶段练习 ) (多选 )已知 a，b，c均为正实数，ab+ ac
= 2 1 1 8，则 a + + + + + 的取值不可能是 ( )b c a b c
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【变式3-5】(2022春 ·云南昆明 ·高三云南师大附中校考阶段练习 )若 x21+ y21= 4,x22+ y22= 4,x1 y2=-2，则 x2
y1的最大值为___________．
【题型 4 代换法求最值】
【例4】(2022春 · 1 9上海崇明 ·高三上海市崇明中学校考阶段练习 )已知 x> 0,y> 0，且 4x+ y= 1，则 x + y 的
最小值是_____．
b 4
【变式4-1】(2022春 ·江西 ·高三九江一中校联考阶段练习 )已知 a> 0，b> 0，a+ b= 2，则 a + 的最小值b
为_______.
【变式4-2】(2022春 ·江西抚州 ·高三金溪一中校考阶段练习 )若正实数 x，y满足 2x+ y= xy，则 x+ 2y的最
小值为______．
【变式4-3】(2022 春 ·黑龙江鹤岗 ·高三鹤岗一中校考阶段练习 )已知 x > -2，y > 0，2x + y = 3，则
x+ 2y+ 2
x+ 2 +
7
y 的最小值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【变式4-4】(2022·广西 ·统考一模 )如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且AG=

2GM，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，AB= xAP(x> 0)，AC =

yAQ(y> 0) 1 + 1，则 x y+ 1 的最小值为 ( )
A. 34 B. 1 C.
4
3 D. 4
【题型 5 双换元法求最值】
2
【例5】(2022 · x春 天津河西 ·高三天津市新华中学校考阶段练习 )设 x>-1,y>-2，且 x+ y= 4，则 x+ 1 +
y2
y+ 2 的最小值是__________.
3 8
【变式5-1】(2022春 ·江西南昌 ·高三南昌二中校考阶段练习 )已知正数 x，y满足 +
x+ 2y y 3x+ 2y x
= 1，则 xy的最小值是 ( )
A. 5 8 4 54 B. 3 C. 3 D. 2
2 y2
【变式5-2】(2022· · 1全国 高三专题练习 )设正实数 x,y满足 x> 2 ,y> 1
4x
，不等式 y- 1 + 2x- 1 ≥m恒成
立，则m的最大值为 ( )
A. 8 B. 16 C. 2 2 D. 4 2
3
【变式5-3】(2022春 ·浙江 ·高三浙江省新昌中学校联考期中 )已知 x> 0,y> 0，若 x+ y= 1，则 3x+ 2y +
1
1+ 3y 的最小值是___________.
【题型 6 齐次化求最值】
【例6】(2020春 · a b浙江金华 ·高三浙江金华第一中学校考阶段练习 )已知 a,b都是负实数，则 +
a+ 2b a+ b
的最小值是____________ .
【变式6-1】(2021 春 ·重庆沙坪坝 ·高三重庆一中校考阶段练习 )已知对任意正实数 x，y，恒有 x2+ y2≤
a x2- xy+ y2 ，则实数 a的最小值是___________.
x2+ 3y2
【变式6-2】(2022·全国 ·高三专题练习 )已知 x> 0，y> 0，则 的最小值为____．
xy+ y2
【题型 7 构造不等式法求最值】
【例7】(2013春 ·浙江嘉兴 ·高三阶段练习 )已知正实数 a，b满足 2ab= a+ b+ 12，则 ab的最小值是_____
______.
【变式7-1】已知 x> 0，y> 0，2xy= x+ y+ 4，则 x+ y的最小值为______．
【变式7-2】(2022·全国 ·高三专题练习 )若 4x2+ y2+ xy= 1，则 2x+ y的最大值是___________．
【变式7-3】( y+ 12020春 ·天津河北 ·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习 )若 x> 0，y> 0， x
+ 4x+ 2y = 5，则 2x+ y的最小值为___________.
【题型 8 多次使用不等式求最值】
【例8】(2022春 ·重庆沙坪坝 ·高三重庆八中校考阶段练习 )已知 a> 0,b> 0 4 b，则 +
b a2
+ 2a的最小值为 (
)
A. 2 2 B. 4 2 C. 4 2+ 1 D. 2 2+ 1
【变式8-1】(2022春 ·江苏淮安 ·高三校联考期中 )当 0< x< 2a, 1 1不等式 2 + 2 ≥ 1恒成立，则实数x 2a- x
a的取值范围是 ( )
A. 2,+∞ B. 0， 2 C. 0,2 D. 2,+∞
【变式8-2】(2022·全国 ·模拟预测 )已知 a> 0，b> 0，c> 1，a+ 2b= 2 1，则 a +
2 c+ 2c- 1 的最小值为 (b
)
A. 92 B. 2 C. 6 D.
21
2
2b a+ c
【变式8-3】(2022 · · π π 春 安徽 高三校联考阶段练习 )已知 a,b,c∈R+，θ∈ - 2 , 2 ，不等式 a2
≤
+ 4b2+ c2
cosθ恒成立，则 θ的取值范围是 ( )
A. - π π2 , 2 B. -
π , π π π π π 3 3 C. - 4 , 4 D. - 6 , 6
【变式8-4】(2023·全国 ·高三专题练习 )若 a，b c ab+ bc， 均为正实数，则 2 2 2 的最大值为 ( )a + 2b + c
A. 1 B. 12 4 C.
2
2 D.
3
2
限时检测
(建议用时：60 分钟 )
1. (2022 1春 ·江苏徐州 ·高三学业考试 )若正实数 x，y满足 x +
2
y = 1，则 x+ 2y的最小值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. (2022春 · 1广东湛江 ·高三校考阶段练习 )已知 x> 2,y= x+ x- 2 ，则 y的最小值为 ( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
3. (2022春 ·河南 ·高三安阳一中校联考阶段练习 )已知 a> 1，b> 1，且 lna + 4lnb= 2，则 logae + logbe4 的
最小值为 ( )
A. 9lg2 B. 21 C. 252 2 D. 12
4. (2022春 ·吉林四平 ·高三四平市第一高级中学校考阶段练习 )已知正数 a,b满足 4a+ 9b= 4，则 ab的最
大值为 ( )
A. 19 B.
1
6 C.
1
3 D.
1
2
5. (2022 春 ·黑龙江牡丹江 ·高三牡丹江一中校考期末 )已知 a> 0,b> 0，9 是 3a与 27b的等比中项，则
a2+ 2 2+ 3b + 1a 的最小值为 ( )b
A. 9+ 2 6 B. 21+ 2 64 C. 7 D.
14+ 2 6
3
6. (2022春 ·河南南阳 ·高三校考阶段练习 )在△ABC中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两

点，设AM = xAB ,AN = yAC，(x> 0，y> 0)，则 4x+ y的最小值是 ( )
A. 4 B. 103 3 C. 3 D. 2
7. (2022春 ·四川德阳 ·高三阶段练习 )已知实数 a、b> 0，且函数 f x = x2- 2 a+ b x+ 2 a+ b - 1 的
a 2
定义域为R，则 + a 的最小值是 ( )2b
A. 4 B. 6 C. 2 2 D. 2
8. (2022 1 1 n春 ·江西宜春 ·高三校考阶段练习 )设 x> y> z，且 x- y + y- z ≥ x- z n∈N 恒成立，则 n的
最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. (2022春 ·重庆沙坪坝 ·高三重庆南开中学校考阶段练习 ) (多选 )已知实数 a，b满足 4a2- ab+ b2= 1，以
下说法正确的是 ( )
A. a ≤ 2 1515 B. a+ b < 1 C.
4
5 ≤ 4a
2+ b2≤ 43 D. 2a- b ≤
2 10
5
10.(2022·浙江 ·模拟预测 ) (多选 )已知 a，b为正数，且 2a+ b- 2= 0，则 ( )
A. a2+ 16> 8a B. 2 + 1 ≥ 9 C. a2+ b2≥ 2 5a 5 D.
3 < a+ b- 52 a- 2 < 4b
11. (2022春 ·山西 ·高三校联考阶段练习 ) (多选 )若 a> b> 1，且 a+ 3b= 5，则 ( )
A. 1- +
4 1
- 的最小值为 24 B. - +
4
- 的最小值为 25a b b 1 a b b 1
C. ab- b2- a+ b 1的最大值为 4 D. ab- b
2- a+ b 1的最大值为 16
12.(2022春 ·山东 ·高三利津县高级中学校联考阶段练习 ) (多选 )在下列函数中，最小值是 4的是 ( )
A. y= x+ 4 B. y= x+ 5x x> 0 x+ 1
C. y= sinx+ 4 ，x∈ 0, π 2 D. y= 4
x+ 41-x
sinx
13.(2022春 · 2山东 ·高三利津县高级中学校联考阶段练习 )已知正实数 x，y满足 4x+ 7y= 4，则 x+ 3y +
1
2x+ y 的最小值为______.
a + b2- a2
14.(2022春 ·天津静海 ·高三静海一中校考阶段练习 )若 a, ∈ b R，且 b2- a2= 1，则 的最大值为
b
___________.
15.(2022春 ·天津和平 · 8 3高三耀华中学校考阶段练习 )已知正数 x，y满足 + = 1，则 xy
3x2+ 2xy xy+ 2y2
的最小值是_________．
16.(2022春 ·陕西商洛 ·高三校联考阶段练习 )已知正实数 a, b,c满足 a2+ ab+ b2- 12c2= 0 a+ b，则当 x 取
得最大值时，a- b2+ c的最大值为______.利用基本不等式求最值 8 大题型
命题趋势
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有
着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中
数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法
1. 直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2. 配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3. 代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型 1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型 2：分母为多项式时
方法 1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法 2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为 3a+ 4b与 a+ 3b，分子为 a+ 2b，
设 a+ 2b= λ 3a+ 4b + μ a+ 3b = 3λ+ μ a+ 4λ+ 3μ b
3λ+ μ= 1 λ=
1
∴ 5 + = ，解得：4λ 3μ 2 μ= 25
4. 消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5. 构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等
式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
热点题型解读
【题型 1 直接法求最值】
【例1】(2022春 ·辽宁锦州 ·高三校考阶段练习 )已知 x> 0,y> 0，且 x+ y= 12，则 xy的最大值为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
【答案】C
【解析】因为 x> 0,y> 0，x+ y= 12≥ 2 xy，即 xy≤ 36，当且仅当 x= y= 6 时取到等号，
故 xy的最大值为 36. 故选：C
【变式1-1】(2022·四川广安 ·广安二中校考模拟预测 )已知 3x+ 9y= 18，当 x+ 2y取最大值时，则 xy的值为 (
)
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由已知 3x+ 9y= 18 可得 3x+ 32y= 18，
则 18= 3x+ 32y≥ 2 3x× 32y= 2 3x+2y，即 3x+2y≤ 81，
所以 x+ 2y≤ 4，当且仅当 x= 2y= 2 时取等号，即 x= 2，y= 1，此时 xy= 2. 故选：B．
【变式1-2】(2023·河南郑州 ·高三校联考阶段练习 )已知正数 a,b满足 a2+ 2b2= 1,则 ab2的最大值是 ( )
A. 1 B. 33 3 C.
3
9 D.
1
9
【答案】C
【解析】解 :由题知 1= a2+ 2b2= a2+ b2+ b2≥ 3 3 a2b2b2,∴ 3 a2b4≤ 13 ,
当且仅当 a= b= 33 时取等号，所以 ab
2≤ 39 ．故选 :C．
【变式1-3】(2022·上海 ·高三统考学业考试 )已知 x> 1，y> 1且 lg x+ lg y= 4，那么 lg x·lg y的最大值是 (
)
A. 2 B. 12 C.
1
4 D. 4
【答案】D
∵ > > ∴ > > ∴ ≤ lgx+ lgy
2 2
【解析】 x 1，y 1， lg x 0，lg y 0， lgx lgy 2 =
4
2 = 4，
当且仅当 lg x= lg y= 2，即 x= y= 100 时等号成立．故选：D.
【变式1-4】(2022春 ·云南 ·高三校联考阶段练习 )已知正数 a,b满足 a+ 5b 2a+ b = 36，则 a+ 2b的最小
值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
【答案】D
a+ 5b + 2a+ b 2 2
【解析】因为 a+
9(a+ 2b)
5b 2a+ b ≤ 2 ，所以 4 ≥ 36.
又 a> 0,b> 0. 所以 a+ 2b≥ 4，当且仅当 a= 8 ,b= 23 3 时，等号成立 . 故选：D
【题型 2 配凑法求最值】
【例2】(2022·全国 ·高三专题练习 )已知-3< x< 0，则 f x = x 9- x2 的最小值为________．
【答案】- 92
【解析】因为-3< x< 0，
2 2
所以 f x = x 9- x2=- 9- x2 x2≥- 9- x + x 2 =-
9
2 ，
当且仅当 9- x2= x2，即 x=- 3 22 时取等，
所以 f x = x 9- x2 的最小值为- 92 .
【变式2-1】(2022春 ·上海静安 ·高三上海市市西中学校考期中 )函数 f(x) = x+ 9x- 1 (x> 1)的值域为__
____.
【答案】 7,+∞
【解析】由题知，x> 1，所以 x- 1> 0，
所以 f(x) = 9 x- 1 + x- 1 + 1≥ 2 x- 1
9
x- 1 + 1= 7，
当且仅当 x- 1= 9x- 1 ，即 x= 4 时取等号，
所以函数 f(x) = x+ 9x- 1 (x> 1)的值域为 7,+∞ .
【变式2-2】(2022 春 · 湖南长沙 · 高三雅礼中学校考阶段练习 ) 已知 x > 0 ,y > 0，且 x + y = 7，则
1+ x 2+ y 的最大值为 ( )
A. 36 B. 25 C. 16 D. 9
【答案】B
【解析】由 x+ y= 7，得 x+ 1 + y+ 2 = 10，
1+ x + 2+ y 2则 1+

x 2+ y ≤

2 = 25，
当且仅当 1+ x= 2+ y，即 x= 4,y= 3 时，取等号，
所以 1+ x 2+ y 的最大值为 25. 故选：B.
【变式2-3】(2022 春 ·山东济宁 ·高三统考期中 )已知向量m= a- 5,1 ,n= 1,b+ 1 ，若 a> 0,b> 0，且m
⊥n 1 1，则
3a+ + + 的最小值为 ( )2b 2a 3b
A. 1 B. 1 1 15 10 C. 15 D. 20
【答案】A
【解析】根据题意，m n = a- 5+ b+ 1= 0，即 a+ b= 4，则 3a+ 2b + 2a+ 3b = 20，
又 a> 0,b> 0，
故 1 1 1+ + + = 20
1
+ +
1
+ 3a+ 2b + 2a+ 3b3a 2b 2a 3b 3a 2b 2a 3b
= 1 2+ 2a+ 3b + 3a+ 2b ≥ 1 × 2+ 2 2a+ 3b × 3a+ 2b 120 3a+ 2b 2a+ 3b 20 3a+ 2b 2a+ 3b = 5 ，
当且仅当 2a+ 3b = 3a+ 2b+ ，且 a+ b= 4，即 a= b= 2 时取得等号 . 故选：A.3a 2b 2a+ 3b
【题型 3 消元法求最值】
y2
【例3】(2022春 ·湖南永州 ·高三校考阶段练习 )设 x≥ 0,y≥ 0,x2+ 2 = 1，则 x 1+ y
2 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 22 4 D. 2
【答案】C
2
【解析】因为 x2+ y2 = 1，所以 y
2= 2- 2x2≥ 0，解得：x∈ 0,1 ，
2 2
故 x 1+ y2= x 1+ 2- 2x2= x 3- 2x2= 2 2x22 3- 2x
2 ≤ 2 × 2x + 3- 2x = 3 2 2 2 4 ，
当且仅当 2x2= 3- 2x2，即 x= 32 时，等号成立，
故 x 1+ y2 的最大值为 3 24 .
【变式3-1】(2023春 ·江西鹰潭 ·高三贵溪市实验中学校考阶段练习 )已知正数 a,b满足 a2- 2ab+ 4= 0，则 b
- a4 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
【答案】B
【解析】∵ a,b> 0,a2- 2ab+ 4= 0，则有 b= a2 +
2
a，
∴ b- a4 =
a
2 +
2 a a 2 a 2
a - 4 = 4 + a ≥ 2 4 a = 2，
当且仅当 a = 24 a，即 a= 2 2 时等号成立，此时 b=
3
2 2，故选：B.
【变式3-2】(2022春 ·广东广州 ·高三执信中学校考阶段练习 )设正实数 x、y、z满足 4x2- 3xy+ y2- z= 0，
xy
则 z 的最大值为 ( )
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
【答案】C
【解析】因为正实数 x、y、z满足 4x2- 3xy+ y2- z= 0，则 z= 4x2- 3xy+ y2，
xy xy
则 = = 1 1z 2 2 ≤ = 1，当且仅当 y= 2x> 0 时取等号.4x - 3xy+ y 4x
y +
y
x - 3 2
4x y
y x - 3
xy
故 z 的最大值为 1. 故选：C .
xy
【变式3-3】(2023·全国 ·高三专题练习 )设正实数 x，y，z满足 x2- 3xy+ 4y2- z= 0，则当 z 取得最大值
2
时，x +
1
y -
2
z 的最大值为 ( )
A. 0 B. 3 C. 94 D. 1
【答案】D
【解析】由正实数 x，y，z满足 x2- 3xy+ 4y2- z= 0，
∴ z= x2- 3xy+ 4y2．
∴ xy = xy 1z 2 = ≤
1 = 1，
x - 3xy+ 4y2 x + 4y - 3 x 4yy x 2 y x - 3
当且仅当 x= 2y> 0 时取等号，此时 z= 2y2．
∴ 2
2
x +
1 - 2 = 2 1 2 1y z 2y + y - 2 =- y - 1 + 1≤ 1，当且仅当 y= 1 时取等号，2y
即 2 + 1 - 2x y z 的最大值是 1．故选：D
【变式3-4】(2022春 ·湖南长沙 ·高三湖南师大附中校考阶段练习 ) (多选 )已知 a，b，c均为正实数，ab+ ac
= 2 1 + 1 8，则 a b+ +c a+ + 的取值不可能是 ( )b c
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】ABC
【解析】a，b，c均为正实数，由 ab+ ac= 2 得：a b+ c = 2，即 b+ c= 2a，
所以 1 + 1 + 8 = 1 + a
2
a + + + a 2 +
8 = 2+ a + 8a2 ，b c a b c a+ 2 2a a + 2a
2 2
由基本不等式得：1 + 1 + 8 = 2+ a + 8a ≥ 2 2+ a 8aa = 4，b+ c a+ b+ c 2a a2+ 2 2a a2+ 2
当且仅当 2+ a
2 8a
2a = 2 ，即 a= 2± 2 时，等号成立 . 故选：ABCa + 2
【变式3-5】(2022春 ·云南昆明 ·高三云南师大附中校考阶段练习 )若 x21+ y21= 4,x22+ y22= 4,x1 y2=-2，则 x2
y1的最大值为___________．
【答案】2
【解析】 x 22 y1 = 4- y22 4- x2 4 41 = 4- 4- x22 1 = 20- 4 2 + x2 ，x1 x 1 1
由 y = -22 x ，所以 y2 =1
-2
x = 2 ≤ 2，所以 1≤ x1 ≤ 2，1 x1
所以 x2 y1 2= 20- 4 42 + x21 ≤ 20- 4× 2 4 2x x2 x1 = 4，当且仅当 |x1| = 2 时，等号成立，1 1
所以 x2 y1≤ 2，当且仅当 x2= 2,y1= 2 或 x2=- 2,y1=- 2 时取等号，
所以 x2 y1的最大值为 2．
【题型 4 代换法求最值】
【例4】(2022春 ·上海崇明 ·高三上海市崇明中学校考阶段练习 )已知 x> 0,y> 0，且 4x+ y= 1 1 9，则 x + y 的
最小值是_____．
【答案】25
【解析】因为 x> 0,y> 0，且 4x+ y= 1，
所以 1x +
9 = y yy 4x+ y
1 + 9 = 4+ 36x x y y + x + 9≥ 13+ 2 36xy x = 25，
y
当且仅当 36xy = x，即 x=
1
10 ,y=
3
5 时，等号成立.
【变式4-1】(2022春 ·江西 · b 4高三九江一中校联考阶段练习 )已知 a> 0，b> 0，a+ b= 2，则 a + 的最小值b
为_______.
【答案】2 2+ 2
【解析】因为 a> 0，b> 0，且 a+ b= 2，
所以 b + 4 = b + 4 a+ b = b + 2a + 2≥ 2 b × 2aa a 2 a a b + 2= 2 2+ 2，b b b
当且仅当 b2= 2a2时取等号
故 b + 4a 的最小值为 2 2+ 2b
【变式4-2】(2022春 ·江西抚州 ·高三金溪一中校考阶段练习 )若正实数 x，y满足 2x+ y= xy，则 x+ 2y的最
小值为______．
【答案】9
【解析】由 2x+ y= xy得 2y +
1
x = 1，又因为 x> 0，y> 0，
所以 + = + 2 + 1 = 2x +
2y + ≥ 2x 2yx 2y x 2y y x y x 5 2 y x + 5= 9，
当且仅当 x= y= 3 时等号成立，故 x+ 2y的最小值为 9．
【变式4-3】(2022 春 ·黑龙江鹤岗 ·高三鹤岗一中校考阶段练习 )已知 x > -2，y > 0，2x + y = 3，则
x+ 2y+ 2 7
x+ 2 + y 的最小值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】因为 x>-2，y> 0，2x+ y= 3，
所以 2 x+ 2 + y= 7，x+ 2> 0，
x+ 2y+ 2 + 7 = x+ 2y+ 2
2
所以 +
x+ 2 + y 2y 2 x+ 2= 2y2+ + ≥ 2+ 2 2 x+ 2 x+ 2 y x+ 2 y x+ 2 y x+ 2 y
= 6，
当且仅当 x+ 2= y，即 x= 1 ，y= 73 3 时等号成立，
x+ 2y+ 2
即 7x+ 2 + y 的最小值为 6，故选：B.

【变式4-4】(2022·广西 ·统考一模 )如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且AG=

2GM，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，AB= xAP(x> 0)，AC = yAQ(y> 0) 1，则 x +
1
y+ 1 的最小值为 ( )
A. 34 B. 1 C.
4
3 D. 4
【答案】B

【解析】由于M为线段BC的中点，则AM = 12 AB+
1
2 AC

又AG= 2GM，所以AM = 32 AG，又AB= xAP(x> 0)，AC = yAQ(y> 0)
3 x 所以 2 AG= 2 AP+
y
2 AQ，则AG=
x y
3 AP+ 3 AQ
因为G,P,Q三点共线，则 x3 +
y
3 = 1，化得 x+ y+ 1 = 4
由 1x +
1 = 1 y+ 1 y+ 1y+ 1 4 x+ y+ 1
1 + 1 = 1 x x y+ 1 4 y+ 1 + x + 2 ≥
1
4 2 xy+ 1 x + 2 = 1
当且仅当 x
y+ 1
y+ 1 = x 时，即 x= 2,y= 1 时，等号成立，
1 1
x + y+ 1 的最小值为 1 故选：B
【题型 5 双换元法求最值】
2
【例5】(2022春 · x天津河西 ·高三天津市新华中学校考阶段练习 )设 x>-1,y>-2，且 x+ y= 4，则 x+ 1 +
y2
y+ 2 的最小值是__________.
【答案】167
【解析】令 x+ 1= a(a> 0)，y+ 2= b(b> 0)，则 x= a- 1，y= b- 2，
因为 x+ y= 4，则有 a+ b= 7，
x2 + y
2 2
= (a- 1) + (b- 2)
2
所以 x+ 1 y+ 2 a = a+
1
a - 2+ b+
4 - 4= 7- 2- 4+ 1a +
4
b b b
= 1+ 17 (a+ b)
1 4
a + = 1+
1 1+ 4+ b + 4a7 a ≥ 1+
1
7 × 5+ 2 b × 4a
16
b b a b = 7
当且仅当 b= 2a，即 a= 7 ,b= 143 3 时取等号，
则 x,y分别等于 4
2
, 8 y
2
3 3 时，
x
x+ 1 + y+ 2 的最小值是
16
7 .
【变式5-1】(2022春 · 3 8江西南昌 ·高三南昌二中校考阶段练习 )已知正数 x，y满足 +
x+ 2y y 3x+ 2y x
= 1，则 xy的最小值是 ( )
A. 5 8 4 54 B. 3 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】xy= xy 3 + 8 = 3x
8y
x+ 2y y 3x+ 2y x x+ 2y
+ 3x+ 2y，
令 x+ 2y=m，3x+ 2y=n，则 x= n-m2 ，y=
3m-n
4 ，
xy= 3x + 8y = 3n + 6m - 7 ≥ 2 3nx+ 2y 3x+ 2y 2m n 2 2m
6m - 7 = 5n 2 2 ，
当且仅当 3n = 6m 3 82m n 且 + = 1，即 x= 5，y=
5 时，等号成立，
x+ 2y y 3x+ 2y x 2
所以 xy≥ 5 52 ，故 xy有最小值 2 . 故选：D.
2 y2
【变式5-2】(2022·全国 ·高三专题练习 ) 1 4x设正实数 x,y满足 x> 2 ,y> 1，不等式 y- 1 + 2x- 1 ≥m恒成
立，则m的最大值为 ( )
A. 8 B. 16 C. 2 2 D. 4 2
【答案】A
【解析】设 y- 1= b,2x- 1= a，则 y= b+ 1 1 b> 0 ,x= 2 a+ 1 a> 0
4x2 y2 a+ 1 2 b+ 1 2 a+ 1 b+ 1 ab+ a+ b + 1所以 y- 1 + 2x- 1 = + a ≥ 2 =

2
b ab ab
= 2 ab+ 1 + a+ b ≥ 2 2 ab 1 + 2 ab = 2 2+ 2 = 8ab ab ab ab
当且仅当 a= b= 1 即 x= 2,y= 1 时取等号
2 y2
所以 4xy- 1 + 2x- 1 的最小值是 8，则m的最大值为 8. 故选A
【变式5-3】(2022春 · 3浙江 ·高三浙江省新昌中学校联考期中 )已知 x> 0,y> 0，若 x+ y= 1，则 3x+ 2y +
1
1+ 3y 的最小值是___________.
【答案】85
【解析】设 x+ y+ k= λ 3x+ 2y + μ 1+ 3y ，
1= 3λ λ= 1
由对应系数相等得 1= 2λ+ 3μ ，得
3
k= μ

k= μ= 19
所以 x+ y+ 19 =
1
3 3x+ 2y +
1
9 1+ 3y
整理得 1= 310 3x+ 2y
1
+ 10 1+ 3y 即 1=
1
10 9x+ 6y + 1+ 3y
所以 3 1 1 3 13x+ 2y + 1+ 3y = 10 9x+ 6y + 1+ 3y 3x+ 2y + 1+ 3y = 1+
1 3 1+ 3y + 9x+ 6y 810 3x+ 2y 1+ 3y ≥ 5 .
经验证当 x= y= 12 时，等号可取到.
【题型 6 齐次化求最值】
【例6】(2020春 · a b浙江金华 ·高三浙江金华第一中学校考阶段练习 )已知 a,b都是负实数，则 +
a+ 2b a+ b
的最小值是____________ .
【答案】2 2- 2
a b 2 2【解析】 + + + =
a + 2ab+ 2b ab 1
a 2b a b a2 2
= 1-
+ 3ab+ 2b a2
= 1- ，
+ 3ab+ 2b2 a + 2bb a + 3
因为 a,b都是负实数，所以 a > 0, 2b
b a
> 0，
所以 a + 2ba ≥ 2
a 2b
b × a = 2 2(当且仅当
a = 2ba 时等号成立 ).b b
所以 a + 2ba + 3≥ 2 2+ 3，所以
1 ≤ 1 ，
b a + 2bb a + 3
2 2+ 3
所以- 1 ≥- 1 = 2 2- 3，所以 1- 1 ≥ 1+ 2 2- 3= 2 2- 2.
a + 2b 2 2+ 3 a 2bb a + 3 b + a + 3
即 a + b+ + 的最小值是 2 2- 2.a 2b a b
【变式6-1】(2021 春 ·重庆沙坪坝 ·高三重庆一中校考阶段练习 )已知对任意正实数 x，y，恒有 x2+ y2≤
a x2- xy+ y2 ，则实数 a的最小值是___________.
【答案】2
【解析】因为 x> 0,y> 0，则 x2- xy+ y2= x- y 2+ xy> 0，
x22+ 2≤ 2- + 2 + y
2
则 x y a x xy y ，即 ≤ a，
x2- xy+ y2
x2+ y2
又 = 1
x2- xy+ y2 xy
，
1-
x2+ y2
因为 x2+ y2≥ xy2xy，所以 1- 12 2 ≥ 2 ，所以
1
x + y - xy
≤ 2，
1
x2+ y2
x2+ y2
即 2 2 ≤ 2，当且仅当 x= y时，取等号，x - xy+ y
x2 + y
2
所以 2 = 2，x - xy+ y2 max
所以 a≥ 2，即实数 a的最小值是 2.
x2+ 3y2
【变式6-2】(2022·全国 ·高三专题练习 )已知 x> 0，y> 0，则 的最小值为____．
xy+ y2
【答案】2
x2
2 2 2 + 3
【解析】∵ x，y> x + 3y0，则 2 =
y
xy+ y x
，
y + 1
设 xy = t，t> 0，
x2+ 3y2 2
则 = t +
2
3 t+ 1 - 2 t+ 1 + 4 4 4
xy+ y2 t+ 1
= t+ 1 = (t+ 1) + t+ 1 - 2≥ 2 t+ 1 × t+ 1 - 2= 4- 2= 2，
当且仅当 t+ 1= 4t+ 1 ，即 t= 1 时取等号，此时 x= y，
x2+ 3y2
故 2 的最小值为 2.xy+ y
【题型 7 构造不等式法求最值】
【例7】(2013春 ·浙江嘉兴 ·高三阶段练习 )已知正实数 a，b满足 2ab= a+ b+ 12，则 ab的最小值是_____
______.
【答案】9
【解析】由 2ab= a+ b+ 12 得，2ab≥ 2 ab+ 12，
化简得 ab- 3 ab+ 2 ≥ 0，解得 ab≥ 9，所以 ab的最小值是 9.
【变式7-1】已知 x> 0，y> 0，2xy= x+ y+ 4，则 x+ y的最小值为______．
【答案】4
x+ y 2 x+ y 2
【解析】由题知 x> 0,y> 0,由基本不等式得 xy≤ 2 ，即 x+ y+ 4≤ 2× 2 ，
2
令 t= x+ y，t> 0，则有 t+ 4≤ 2× t2 ，整理得 t
2- 2t- 8≥ 0，解得 t≤-2(舍去 )或 t≥ 4，
即 x+ y≥ 4，当且仅当 x= y= 2 时等号成立，
所以 x+ y的最小值为 4.
【变式7-2】(2022·全国 ·高三专题练习 )若 4x2+ y2+ xy= 1，则 2x+ y的最大值是___________．
【答案】2 105
【解析】∵ 4x2+ y2+ xy= 1，
∴ ( + )2- = ≥( + )2- 3 2x+ y
2
2x y 3xy 1 2x y 2 2 =
5
8 (2x+ y)
2 ，
当且仅当 2x= y时，等号成立，
此时 (2x+ y)2≤ 8 ，所以 2x+ y≤ 2 10 ，即 2x+ y的最大值是 2 105 5 5 .
y+ 1
【变式7-3】(2020春 ·天津河北 ·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习 )若 x> 0，y> 0， x
+ 4x+ 2y = 5，则 2x+ y的最小值为___________.
【答案】8
【解析】因为 x> 0，y> 0，所以 2x+ y> 0
y+ 1
由 + 4x+ 2x y = 5 两边同时乘 xy，得 y
2+ y+ 4x2+ 2x= 5xy，
即 4x2+ y2+ 4xy+ 2x+ y= 5xy+ 4xy，则 2x+ y 2+ 2x+ y = 9xy，
≤ 2x+ y
2 2x+ y因为 =
2 2
2xy ，所以 9xy= 9 × 2xy≤ 9
2x+ y
× = 92 4 2 2 4 8 2x+ y
2，
故 2x+ y 2+ 2x+ y 9 ≤ 8 2x+ y
2，整理得 2x+ y 2- 8 2x+ y ≥ 0，即 2x+ y 2x+ y- 8 ≥ 0，
所以 2x+ y≥ 8 或 2x+ y≤ 0(舍去 )，
故 2x+ y的最小值为 8.
【题型 8 多次使用不等式求最值】
【例8】(2022 4 b春 ·重庆沙坪坝 ·高三重庆八中校考阶段练习 )已知 a> 0,b> 0，则 + 2 + 2a的最小值为 (b a
)
A. 2 2 B. 4 2 C. 4 2+ 1 D. 2 2+ 1
【答案】B
【解析】因为 a> 0,b> 0，所以 4 + b + 2a≥ 2 4 b + 2a= 4 42 b 2 a + 2a≥ 2 a 2a= 4 2，b a a
当且仅当 4 = b 4
b a2
且 a = 2a，即 a= 2,b= 2 2 时取等号，
即 4 + b
b a2
+ 2a的最小值为 4 2. 故选：B.
【变式8-1】(2022春 ·江苏淮安 · 1 1高三校联考期中 )当 0< x< 2a,不等式 2 + 2 ≥ 1恒成立，则实数x 2a- x
a的取值范围是 ( )
A. 2,+∞ B. 0， 2 C. 0,2 D. 2,+∞
【答案】B
【解析】1 1 12 + ≥ 1 恒成立，即 +
1 ≥ 1
x 2a- x 2 x2 2a- x 2 min
∵ 0< x< 2a,∴ 2a- x> 0，
又 1 + 1 ≥ 2 1 2 2 2
x2 (2a- x)2 x2(
=
2a- x)2 x( - ) ≥ 2 = 2 ，2a x x+ 2a- x a2
上述两个不等式中，等号均在 x= 2a- x时取到，
∴ 1 + 1 = 2 x2
，
2a- x 2 a2min
∴ 22 ≥ 1，解得- 2≤ a≤ 2 且 a≠ 0，又 a> 0，a
实数 a的取值范围是 0， 2 . 故选：B.
【变式8-2】(2022·全国 · 1 2 2模拟预测 )已知 a> 0，b> 0，c> 1，a+ 2b= 2，则 a + b c+ c- 1 的最小值为 (
)
A. 9 212 B. 2 C. 6 D. 2
【答案】D
【解析】1 + 2 = 1 1 2 1 2b 2a 1 9a b 2 a + b a+ 2b = 2 5+ a + b ≥ 2 5+ 4 = 2 ，
当且仅当 a= b= 23 时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件 )
所以 1 + 2 c+ 2 ≥ 9 c- 1 + 2 + 9 ≥
9 c- 1 9 21
a b c- 1 2 c- 1 2 2 2
2
c- 1 + 2 = 2 ，
9 c- 1当且仅当 2 52 = c- 1 ，即 c= 3 且 a= b=
2
3 时，等号成立，
故最小值为 212 ，故选：D
2b a+ c
【变式8-3】(2022 春 ·安徽 ·高三校联考阶段练习 )已知 a,b,c∈R+ θ∈ π π

， - 2 , 2 ，不等式 ≤a2+ 4b2+ c2
cosθ恒成立，则 θ的取值范围是 ( )
A. - π , π B. π π π π π π 2 2 - 3 , 3 C. - 4 , 4 D. - 6 , 6
【答案】C
2b a+ c
【解析】因为 a,b,c∈R+,θ∈ π π - 2 , 2 ，不等式 2 2 2 ≤ cosθ恒成立，a + 4b + c
2b a+ c
所以 2 2 2 ≤ cosθ， a + 4b + c max
因为 a,b,c∈R+，所以 2ab= 1 × 2a 2b 1 ≤ a2+ 2b 2 = 1 a2+ 2b2 ，
2 2 2
当且仅当 a= 2b时等号成立；
2bc= 1 × 2c 1 1 2b ≤ c2+ 2b 2 = c2+ 2b2 ，
2 2 2
当且仅当 c= 2b时等号成立.
1 2 2 1 2 2
2b a+ c + a + 2b + c + 2b2 2 所以 = ab bc ≤ 2 2 = 22 ，a + 4b2+ c2 a2+ 4b2+ c2 a2+ 4b2+ c2 2
当且仅当 a= 2b= c时等号成立，
2b a+ c所以 2 2
a2+ 4b2+ c2
的最大值为 2 ，所以 cosθ≥ 2 ，
又因为 θ∈ - π , π ，所以 θ∈ - π π 2 2 4 , 4 . 故选：C .
【变式8-4】(2023·全国 ·高三专题练习 )若 a，b，c ab+ bc均为正实数，则 2 的最大值为 ( )a + 2b2+ c2
A. 1 1 2 32 B. 4 C. 2 D. 2
【答案】A
【解析】因为 a，b均为正实数，
则 ab+ bc2 2 2 =
a+ c ≤ a+ c = a+ c
a + 2b + c a2+ c2 a2+ c2 2 2 a2 2+ 2b 2 × 2b + c b b
1 a2= + 2ac+ c
2
= 1 1 + ac ≤ 1 1 + ac 12 2+ 2 2 2 2+ 2 2 2 = 2 ，2 a c a c 2 a2× c2
a2+ c2当且仅当 = 2b，且 a= c，即 a= b= c时取等号，
b
则 ab+ bc2 2 2 的最大值为
1
2 ．故选：A．a + 2b + c
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1. (2022 · · ) x y 1 + 2春 江苏徐州 高三学业考试 若正实数 ， 满足 x y = 1，则 x+ 2y的最小值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】因为 x，y是正数，
所以有 1x +
2
y x+ 2y = 5+
2y + 2x ≥ + 2y5 2 2xx y x y = 9，
2y
当且仅当 = 2xx y 时取等号，即当且仅当 x= y= 3 时取等号，故选：C
2. (2022 1春 ·广东湛江 ·高三校考阶段练习 )已知 x> 2,y= x+ x- 2 ，则 y的最小值为 ( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】因为 x> 2，所以 x- 2> 0, 1x- 2 > 0，
由基本不等式得 y= x+ 1 1 1x- 2 = x- 2+ x- 2 + 2≥ 2 x- 2 x- 2 + 2= 4，
当且仅当 x- 2= 1x- 2 ，即 x= 3 时，等号成立，则 y的最小值为 4. 故选：C
3. (2022春 ·河南 ·高三安阳一中校联考阶段练习 )已知 a> 1，b> 1，且 lna + 4lnb= 2，则 logae + log 4be 的
最小值为 ( )
A. 9lg2 B. 21 252 C. 2 D. 12
【答案】C
【解析】log e= 1 ，log e4= 4a b ，因为 a> 1，b> 1，故 lna> 0,lnb> 0，lna lnb
log 4 1 4 1 1 4ae+ logbe = + = 2 × lna+ 4lnb +lna lnb lna lnb
= 12 × +
4lnb + 4lna17 ≥ 1 4lnb 4lna2 × 17+ 2 = 25 ，lna lnb lna lnb 2
2
当且仅当 lna= lnb时，即 a= b= e 5 时等号成立．
所以 logae+ logbe4 的最小值为 252 ．故选：C
4. (2022春 ·吉林四平 ·高三四平市第一高级中学校考阶段练习 )已知正数 a,b满足 4a+ 9b= 4，则 ab的最
大值为 ( )
A. 19 B.
1
6 C.
1
3 D.
1
2
【答案】A
【解析】正数 a,b满足 4a+ 9b= 4，
由基本不等式得：4a+ 9b= 4≥ 2 4a 9b，解得：ab≤ 19 ，
当且仅当 4a= 9b，即 a= 12 ,b=
2
9 时，等号成立，ab的最大值为
1
9 . 故选：A
5. (2022 春 ·黑龙江牡丹江 ·高三牡丹江一中校考期末 )已知 a> 0,b> 0，9 是 3a与 27b的等比中项，则
a2+ 2 + 3b
2+ 1
a 的最小值为 ( )b
A. 9+ 2 6 B. 21+ 2 6 14+ 2 64 C. 7 D. 3
【答案】B
【解析】由等比中项定义知：3a 27b= 3a+3b= 92，∴ a+ 3b= 4，
∴ a
2+ 2 2
a +
3b + 1 = a+ 3b+ 2a +
1 = 4+ 1 2 14 a + a+ 3b = 4+
1
4 5+
6b a
b b b a
+
b
≥ 4+ 14 5+ 2 6b a
5+ 2 6
a b = 4+ 4 =
21+ 2 6
4
6b a 4 3- 6(当且仅当 = ，即 = - ， = a a 4 6 8 bb 3 时取等号 )，
即 a
2+ 2 3b2+ + 1 的最小值为 21+ 2 6a 4 . 故选：B.b
6. (2022春 ·河南南阳 ·高三校考阶段练习 )在△ABC中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两

点，设AM = xAB ,AN = yAC，(x> 0，y> 0)，则 4x+ y的最小值是 ( )
A. 4 103 B. 3 C. 3 D. 2
【答案】C

【解析】在△ABC中，E为重心，所以AE= 2 1

3 2 AB+AC =
1
3 AB+AC ，
设AM = xAB ,AN = yAC，(x> 0，y> 0)，
1 1 1 1 1 1 所以AB= x AM ,AC = y AN，所以AE= 3 x AM + 3 y AN .
因为M、E、N三点共线，所以 1 13x + 3y = 1，
所以 4x+ y 1 + 1 = 4 + 1 +
y
+ 4x ≥ 5 y 4x3x 3y 3 3 3x 3y 3 + 2 3x 3y = 3
( y当且仅当 = 4x3x 3y，即 x=
1
2 ，y= 1 时取等号 )．故 4x+ y的最小值是 3．故选：C．
7. (2022春 ·四川德阳 ·高三阶段练习 )已知实数 a、b> 0，且函数 f x = x2- 2 a+ b x+ 2 a+ b - 1 的
a 2
定义域为R，则 + a 的最小值是 ( )2b
A. 4 B. 6 C. 2 2 D. 2
【答案】A
【解析】∵ f x = x2- 2 a+ b x+ 2 a+ b - 1 定义域为R，
∴ x2- 2 a+ b x+ 2 a+ b - 1≥ 0 在R上恒成立，
∴△= -2 a+ b 2- 4× 2 a+ b - 1 ≤ 0，即： a+ b 2- 2 a+ b + 1≤ 0
∴ a+ b- 1 2≤ 0，解得：a+ b= 1
又∵ a> 0,b> 0
∴ a + 2 = 1- b + 2a a =
1 + 2 - 1 = 1 + 2 a+ b - 1 = a + 2ba 2 a 2 a + 2≥ 2
a 2b
2b 2b 2b 2b 2b 2b
a + 2= 4
当且仅当 a = 2b，即 a= 2 ,b= 1 时取等号 . 故选：A.
2b a 3 3
8. (2022春 ·江西宜春 ·高三校考阶段练习 )设 x> y> z 1 1 n，且 x- y + y- z ≥ x- z n∈N 恒成立，则 n的
最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】因为 x> y> z，所以 x- y> 0，y- z> 0，x- z> 0，
所以不等式 1 1 n 1 1x- y + y- z ≥ x- z 恒成立等价于n≤ x- z x- y + y- z 恒成立.
因为 x- z= x- y + y- z ≥ 2 x- y y- z ， 1 + 1 ≥ 2 1 1x- y y- z x- y y- z，
所以 x- z 1 1x- y + y- z ≥ 4 x- y y- z 1 1x- y y- z = 4
(当且仅当 x- y= y- z时等号成立 )，则要使n≤ 1 1 x- z x- y + y- z 恒成立，
只需使n≤ 4 n∈N ，故n的最大值为 4. 故选：C
9. (2022春 ·重庆沙坪坝 ·高三重庆南开中学校考阶段练习 ) (多选 )已知实数 a，b满足 4a2- ab+ b2= 1，以
下说法正确的是 ( )
A. a ≤ 2 15 4 15 B. a+ b < 1 C. 5 ≤ 4a
2+ b2≤ 4 D. 2a- b ≤ 2 103 5
【答案】ACD
【解析】由 4a2- ab+ b2= 1，可得 b2- ab+ 4a2- 1= 0，关于 b的方程有解，
所以△= -a 2- 4 4a2- 1 ≥ 0，所以 a2≤ 415 ，即 a ≤
2 15
15 ，故A正确；
取 a= 0,b= 1，4a2- ab+ b2= 1，则 a+ b = 1，故B错误；
由 4a2- ab+ b2= 1，可得 4a2+ b2= ab+ 1= 1+ 12 2ab，
2
又- 4a + b
2
≤ 2ab≤ 4a
2+ b2 ，令 t= 4a2+ b2，则- t2 2 2 ≤ 2 t- 1 ≤
t
2 ，
所以 45 ≤ t≤
4 4 2
3 ，即 5 ≤ 4a + b
2≤ 43 ，故C正确；
由 4a2- ab+ b2= 1，可得 2a- b 2+ 3ab= 1，所以 2a- b 2= 1- 3ab= 1+ 32 2a -b ，
2
令u= 2a- b ，由 2a -b ≤ 2a- b2 ，可得u
2≤ 1+ 3 28 u ，
所以u2≤ 8 ，即 2a- b ≤ 2 105 5 ，故D正确 . 故选：ACD.
10.(2022·浙江 ·模拟预测 ) (多选 )已知 a，b为正数，且 2a+ b- 2= 0，则 ( )
A. a2+ 16> 8a B. 2 + 1 ≥ 9 C. a2a + b
2≥ 2 5 3 a+ b- 5
b 5
D. 2 < a- 2 < 4
【答案】ACD
【解析】对于A选项，a2+ 16- 8a= a- 4 2≥ 0，当且仅当 a= 4 时等号成立，
当 a= 4 时，由于 2a+ b- 2= 0，得 b= 2- 2a= 2- 8=-6，与 b为正数矛盾，故 a≠ 4，
即得 a2+ 16> 8a，故A选项正确；
对于B选项，∵ 2a+ b- 2= 0，∴ a+ b2 = 1. 又∵ a> 0,b> 0
∴ 2 + 1 = 2 + 1a a a+
b b a 1 5 b
2 = 2+ a + + 2 ≥ 2 + 2 a
a 9
b b b b
= 2 ，
当且仅当 b = a，即 a= b= 2a 3 时等号成立；故B选项不正确；b
对于C选项，∵ 2a+ b- 2= 0，∴ b= 2- 2a，a∈ 0,1 .
2
∵ a2+ b2= a2+ 2- 2a 2= 5a2- 8a+ 4= 5 a- 4 + 45 5 ，
∴ a2+ b2≥ 4 ，当且仅当 a= 45 5 时等号成立，∴ a
2+ b2≥ 2 55 ，故C选项正确；
对于D选项，∵ 2a+ b- 2= 0，∴ b= 2- 2a，a∈ 0,1 .
∴ a+ b- 5 = a+ 2- 2a- 5 -a- 3
- a- 2
= =
- 5 5
a- 2 a- 2 a- 2 a- 2 =-1- a- 2 0< a< 1 ，
当 0< a< 1 时，-2< a- 2<-1，
∴-5< 5 <- 5 ，得 3a- 2 2 2 <-1-
5 3 a+ b- 5
a- 2 < 4，即 2 < a- 2 < 4，故D选项正确 . 故选：ACD
11. (2022春 ·山西 ·高三校联考阶段练习 ) (多选 )若 a> b> 1，且 a+ 3b= 5，则 ( )
A. 1 + 4 1 4的最小值为 24 B. + 的最小值为 25
a- b b- 1 a- b b- 1
C. ab- b2- a+ b 1 1的最大值为 4 D. ab- b
2- a+ b的最大值为 16
【答案】BD
【解析】由 a> b> 1，可知 a- b> 0，b- 1> 0， a- b + 4 b- 1 = a+ 3b- 4= 5- 4= 1，
1 4 a- b + 4 b- 1+ =
4 a- b + 4 b- 1 4 b- 1 4 a- b
- - - +

- = +
+ 17 ≥ 17+
a b b 1 a b b 1 a- b b- 1
4 b- 1 4 a- b2 a- b b- 1 = 25
当且仅当 a- b= b- 1= 15 时，等号成立，
1 4
a- + 的最小值为 25．b b- 1
又 1= a- b + 4 b- 1 ≥ 2 a- b 4 b- 1 = 4 a- b b- 1 ．
当且仅当 a- b= 4 1 b- 1 = 2 时，等号成立，
所以 ab- b2- a+ b= a- b b- 1 ≤ 1 16 ，
故 ab- b2- a+ b的最大值为 116 ．故选：BD.
12.(2022春 ·山东 ·高三利津县高级中学校联考阶段练习 ) (多选 )在下列函数中，最小值是 4的是 ( )
A. y= x+ 4 B. y= x+ 5x x> 0+ x 1
C. y= sinx+ 4 π，x∈ 0, 2 D. y= 4
x+ 41-x
sinx
【答案】BD
【解析】对于A，当 x> 0 时，y= x+ 4x ≥ 2 x
4
x = 4，当且仅当 x=
4
x，即 x= 2 时取等号；
当 x< 0 时，y= x+ 4 =- -x+ - 4 ≤-2 x 4x x x =-4，
当且仅当-x=- 4x，即 x=-2 时取等号，所以 y∈ -∞ ,-4 4,+∞ ，A错误；
对于B，y= x+ 5 = x+ 1+ 4 = x+ 1+ 4 ，因为 x> 0，所以 x+ 1> 1，
x+ 1 x+ 1 x+ 1
x+ 1+ 4 ≥ 2 x+ 1 4+ = 4，当且仅当 x+ 1=
4 ，即 x= 3 时取等号，
x+ 1 x 1 x+ 1
所以 y= x+ 5 x> 0 的最小值为 4，B正确；
x+ 1
对于C，因为 x∈ 0, π 2 ，所以 sinx ∈ 0,1 ，
由对勾函数性质可知：y= sinx+ 4 ,x∈ 5,+∞ ，C错误；
sinx
对于D，4x> 0，y= 4x+ 41-x= 4x+ 4x ≥ 2 4
x× 4x = 4，当且仅当 4x=
4
x ，即 x=
1
4 4 4 2
时取等号，
所以 y= 4x+ 41-x的最小值为 4，D正确 . 故选：BD
13.(2022春 ·山东 · 2高三利津县高级中学校联考阶段练习 )已知正实数 x，y满足 4x+ 7y= 4，则 x+ 3y +
1
2x+ y 的最小值为______.
【答案】94
【解析】因为 4x+ 7y= 4，所以 2 + 1 = 1 2 x+ 3y + 2x+ y 2 1x+ 3y 2x+ y 4 x+ 3y + 2x+ y ，
2 1 1 2 x+ 3y 2 2x+ y所以 x+ 3y + 2x+ y = 4 4+ + + 1 ， 2x+ y x+ 3y
2 x+ 3y 2 2x+ y因为 , 为正实数，所以 > , x y 2x+ y 0 x+ 3y > 0，
2 x+ 3y 2 2x+ y
所以 + ≥ 2 x+ 3y 2 2x+ y 2x+ y x+ 3y 2 2x+ y x+ 3y = 4，
x+ 3y= 2x+ y当且仅当 时等号成立，即 x=
8 ,y= 4 时等号成立，
4x+ 7y= 4 15 15
所以 2 1 1 9 8 4x+ 3y + 2x+ y ≥ 4 4+ 4+ 1 = 4 ，当且仅当 x= 15 ,y= 15 时等号成立，
所以 2 1 9x+ 3y + 2x+ y 的最小值为 4 .
a + b2- a2
14.(2022春 ·天津静海 ·高三静海一中校考阶段练习 )若 a,b∈R，且 b2- a2= 1，则 的最大值为
b
___________.
【答案】 2
a + b2- a2 a + 1
【解析】由题知，a, b∈R，且 b2- a2= 1，即 b2= a2+ 1，所以 = ，
b b
a + 1 a + b2- a2
当 a = 0 时，b2= 1，即 b=±1，此时 =±1，所以 的最大值为 1，b b
a + 1 2 a2+ 2 a + 1 2 a 2 a
当 a ≠ 0 时， = 2 = + 1 2 ≤ 1+ = 2，当且仅当 a = 1 时取等号，b b a + 1 2 a
a + 1
此时- 2≤ ≤ 2
b
a + a2- b2
；所以 的最大值为 2.
b
a + a2- b2
综上， 的最大值为 2.
b
15.(2022春 ·天津和平 · 8 3高三耀华中学校考阶段练习 )已知正数 x，y满足 2 + 2 = 1，则 xy3x + 2xy xy+ 2y
的最小值是_________．
【答案】52
8 3 8 xy+ 2y2 + 3 3x2+ 2xy【解析】根据题意，由 2 + 2 = 可得

1 = 1，
3x + 2xy xy+ 2y 3x2+ 2xy xy+ 2y2
即 16 y2+ 9x2+ 14xy= 3x3y+ 8x2y2+ 4xy3= xy 4y2+ 3x2+ 8xy
y2 y
16y2+ 9x2+ 14xy 16 2 + 9+ 14
所以 x x
4y2
= xy= ；
+ 3x2+ 8xy 2 y4 y2 + 3+ 8x x
y 2
又因为 x，y均是正数，令 x = t∈ 0,+∞ ，则 xy= f t
16t + 14t+ 9
=
4t2+ 8t+ 3
2
所以， f t = 16t + 14t+ 9 2 = 4-
18t+ 3 = 4- 1
4t + 8t+ 3 4t2+ 8t+ 3 4t2+ 8t+ 3
18t+ 3
2
令 g t = 4t + 8t+ 3 18t+ 3 ，
16 16 16
则 g t = 2 t+ 11 + 9 2 1 9 10 2 1 9 10 189 27 18t+ 3 = 9 t+ 6 + 18t+ 3 + 27 ≥ 2 9 t+ 6 × 18t+ 3 + 27 = 27
16
当且仅当 2 t+ 19 6 =
9
18t+ 3 ，即 t=
1
2 时，等号成立；
所以 f t = 4- 1 ≥ 4- 1 = 45 5
4t2+ 8t+ 3 18 18
= 2
18t+ 3 27
所以 f t 的最小值为 f t = 5 min 2 ;
y
即当 t= x =
1
2 ,x= 2y= 5 时，即 x= 5,y=
5
2 时，等号成立.
16.(2022春 · a+ b陕西商洛 ·高三校联考阶段练习 )已知正实数 a, b,c满足 a2+ ab+ b2- 12c2= 0，则当 x 取
得最大值时，a- b2+ c的最大值为______.
【答案】916
【解析】由 a2+ ab+ b2- 12c2= 0，
可得 12c2= a+ b 2- ab≥ a+ b
2 3 a+ b
a+ b 2- 2 = 4 a+ b
2，即 c ≤ 4，
当且仅当 a= b时，等号成立，
所以当 a+ b
2
c 取得最大值时，a= b，c=
a+ b = a，所以 a- b2+ c= 3 a- a24 2 2 =- a-
3
4 +
9
16 ，
故当 a= 3 ,b= 3 ,c= 34 4 8 时，a- b
2+ c取最大值 916 .

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