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(共49张PPT)
11.3 公式法
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
知识回顾
1. 什么叫把多项式分解因式？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2. 已学过哪一种分解因式的方法？
提公因式法
导入新知
如何分解a 2－b 2呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
直接用平方差公式分解因式
实际上，把平方差公式(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2
反过来，就得到b 2＝(a＋b)(a－b).
这样就成为分解因式的一个公式了.
试着将下面的多项式分解因式：
(1) p 2－16=________；(2) y 2－4 =________ ；
(3) x 2－ =________；(4) 4a 2－b 2 =________.
探索新知
归 纳
平方差公式法：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)．
这样就成为分解因式的一个公式了．
(1)上面公式特点：公式的左边是一个两项式，都能写成平方形式且符号相反；公式的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个底数的和，另一个二项式是两个底数的差．
探索新知
(2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的形式．
(3)乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的
积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方
差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分
解，在今后的学习中要加以区分，不能混淆．
即
归 纳
探索新知
把下列各式分解因式：
(1)4x 2－9y 2 ； (2)(3m－1)2－9.
例1
(1) 4x 2－9y 2
＝(2x )2－(3y )2
＝(2x＋3y )(2x－3y ).
解：
(2)(3m－1)2－9
＝(3m－1)2－32
＝(3m－1＋3)(3m－1－3)
＝(3m＋2)(3m－4).
探索新知
总 结
解题的关键是熟练掌握平方差公式的特点：
① 可以看作是二项式；
② 这两项都必须是完全平方式；
③ 这两项的符号相反．
典题精讲
下面分解因式的结果是否正确？如果不正确，指出错在哪里，并改正过来.
(1)4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )；
(2)ab 2－9a 3 ＝(b＋3a)(b－3a).
1
(1)不正确，4x 2＝(2x )2，正确结果应为4x 2－y 2＝(2x )2－y 2＝(2x＋y )(2x－y )．
(2)不正确，应先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解，正确的应为ab 2－9a 3＝a (b 2－9a 2)＝a (b＋3a)(b－3a)．
解：
典题精讲
运用公式法分解因式：
(1)25a 2－16b 2； (2)a 2b 2－ c 2；
(3)(a＋2b)2－4； (4)x 4－25x 2．
2
(1)25a 2－16b 2＝(5a)2－(4b)2＝(5a＋4b)(5a－4b)．
(2)a 2b 2－ c 2＝(ab)2－ .
(3)(a＋2b)2－4＝(a＋2b)2－22＝(a＋2b＋2)(a＋2b－2).
(4)x 4－25x 2＝(x 2)2－(5x )2＝(x 2＋5x )(x 2－5x )
＝x 2(x＋5)(x－5)或x 4－25x 2＝x 2(x 2－25)
＝x 2(x 2－52)＝x 2(x＋5)(x－5)．
解：
典题精讲
把下列各式分解因式.
(1)256－x 2； (2)9x 2－64；
(3) x 2－m 2n 2.
3
(1)256－x 2＝162－x 2＝(16＋x )(16－x )．
(2)9x 2－64＝(3x )2－82＝(3x＋8)(3x－8)．
(3) x 2－m 2n 2＝ －(mn)2
解：
典题精讲
下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解；如果不可以，请说明理由.
(1)x 2＋y 2；(2)－x 2＋y 2；(3)－x 2－y 2；(4) x 2－81.
4
(1)不可以，不符合平方差公式的结构特点．
(2)可以，－x 2＋y 2＝y 2－x 2＝(y＋x )(y－x )．
(3)不可以，因为－x 2－y 2＝－(x 2＋y 2)，不符合平方差公式的结构特点．
(4)可以，x 2－81＝x 2－92＝(x＋9)(x－9)．
解：
典题精讲
下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．－x 2＋y 2 B．X 2－(－y )2
C．－m 2－n 2 D．4m 2－ n 2
下列各式中，可用平方差公式分解因式的有(　　)
①－a 2－b 2；②16x 2－9y 2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m 2＋225n 2；⑤(6x )2－9(2y )2.
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
5
C
B
6
典题精讲
分解因式：16－x 2＝(　　)
A．(4－x )(4＋x ) B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x )(8－x ) D．(4－x )2
下列因式分解正确的是(　　)
A．x 2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x 2＋2x＋1＝x (x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m (x－6y )
D．2x＋4＝2(x＋2)
7
A
D
8
典题精讲
将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　)
A．a (a－1) B．a (a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
下列分解因式错误的是(　　)
A．a 2－1＝(a＋1)(a－1)
B．1－4b 2＝(1＋2b)(1－2b)
C．81a 2－64b 2＝(9a＋8b)(9a－8b)
D．(－2b)2－a 2＝(－2b＋a)(2b＋a)
9
B
10
D
典题精讲
如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
11
a＋6
典题精讲
已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x 2－y 2的值为________．
若x 2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．
已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a 2－b 2的值是________．
12
－4
14
13
3
15
探索新知
2
知识点
先提取公因式再用平方差公式分解因式
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要
先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
探索新知
例2
把下列各式分解因式：
(1)a 3－16a； (2)2ab 3－2ab．
(1) a 3－16a
＝a (a 2－16)
＝a (a＋4)(a－4).
解：
(2) 2ab 3－2ab
＝2ab (b 2－1)
＝(b－1)(b＋1).
探索新知
总 结
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a
和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的
多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因
式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分
解为止．
(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了
要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简.
典题精讲
分解因式：9a 4－a 2.
1
9a 4－a 2
＝a 2(9a 2－1)
＝a 2[(3a)2－12]
＝a 2(3a＋1)(3a－1)．
解：
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)4x 2－100； (2)12y 4－3y 2；
(3)x 3－64x； (4)2a 4－50a 2
2
(1)4x 2－100＝4(x 2－25)＝4(x 2－52)＝4(x＋5)(x－5).
(2)12y 4－3y 2＝3y 2(4y 2－1)＝3y 2[(2y )2－12]
＝3y 2(2y＋1)(2y－1)．
(3)x 3－64x＝x (x 2－64)＝x (x 2－82)＝x (x＋8)(x－8).
(4)2a 4－50a 2＝2a 2(a 2－25)＝2a 2(a＋5)(a－5)．
解：
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)(x＋1)2－a 2；
(2)(2x＋3)2－4m 2；
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2；
(4)4(3x＋y )2－(2x－y )2．
3
(1)(x＋1)2－a 2＝(x＋1＋a )(x＋1－a )．
(2)(2x＋3)2－4m 2＝(2x＋3)2－(2m)2＝(2x＋3＋2m) (2x＋3－2m)．
解：
典题精讲
(3)(2x＋3)2－(3x－4)2＝[(2x＋3)＋(3x－4)][(2x＋3)－(3x－4)]＝(5x－1)(7－x )．
(4)4(3x＋y )2－(2x－y )2＝[2(3x＋y )]2－(2x－y )2＝[2(3x＋y )＋(2x－y )][2(3x＋y )－(2x－y )]＝(8x＋y )(4x＋3y )．
典题精讲
如图，在半径为R 的圆形钢板上冲去半径为r 的四个小圆孔.若R=8.6 cm，r =0.7 cm，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.(π取3.14)
4
典题精讲
根据题意得，大圆的面积SR＝πR 2＝π×8.62(cm2)，四个小圆孔的面积Sr 总＝4πr 2＝4π×0.72(cm2)．
所以剩余钢板的面积S剩＝SR－Sr 总＝π×8.62－4π×0.72＝π(8.62－4×0.72)＝π[8.62－(2×0.7)2]＝π(8.62－1.42)＝π(8.6＋1.4)×(8.6－1.4) ≈3.14×10 ×7.2＝226.08(cm2)．
所以剩余钢板的面积为226.08 cm2.
解：
典题精讲
分解因式：x 4－1.
5
x 4－1
＝(x 2＋1)(x 2－1)
＝(x 2＋1)(x＋1)(x－1)．
解：
典题精讲
把x 3－9x 分解因式，结果正确的是(　　)
A．x (x 2－9)
B．x (x－3)2
C．x (x＋3)2
D．x (x＋3)(x－3)
6
D
典题精讲
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是(　　)
A．x 3－x＝x (x 2－1)
B．x 2y－y 3＝y (x＋y )(x－y )
C．－m 2＋4n 2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p 2－27q 2＝3( p＋3q )( p－3q )
7
A
典题精讲
小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x 2－y 2，a 2－b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x 2－y 2)a 2－(x 2－y 2)b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌 D．美我宜昌
8
C
易错提醒
1. 分解因式：(a＋b)2－4a 2.
解：
(a＋b)2－4a 2＝(a＋b)2－(2a)2＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)＝(3a＋b)(b－a)．
易错点：忽视系数变平方的形式导致出错.
2. 分解因式：a 4－1.
解：
a 4 －1＝(a 2＋1)(a 2－1)＝(a 2＋1)(a＋1)(a－1)．
易错点：分解不彻底导致出错.
学以致用
小试牛刀
n 是整数，式子 ×[1－(－1)n ](n 2－1)的计算结果(　　)
A．是0
B．总是奇数
C．总是偶数
D．可能是奇数也可能是偶数
C
1
把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2； (2)x 4－81y 4；
(3)a 4－9a 2b 2； (4)m 2x 4－16m 2y 4；
(5)2x 4－ ； (6)3(m＋n)2－27n 2.
小试牛刀
2
小试牛刀
(1)原式＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
(2)原式＝(x 2＋9y 2)(x 2－9y 2)
＝(x 2＋9y 2)(x＋3y )(x－3y )．
(3)原式＝a 2(a 2－9b 2)＝a 2(a＋3b)(a－3b)．
(4)原式＝m 2(x 4－16y 4)＝m 2(x 2＋4y 2)(x 2－4y 2)
＝m 2(x 2＋4y 2)(x＋2y )(x－2y )．
解：
小试牛刀
(5)原式＝ ＝
＝
(6)原式＝3[(m＋n)2－9n 2]＝3(m＋n＋3n)(m＋n－3n)
＝3(m＋4n)(m－2n)．
小试牛刀
3
计算：
(1) ；
(2)1 9972－1 9982＋1 9992－2 0002＋…＋2 0172－
2 0182.
(1)原式＝
＝
＝5.
解：
小试牛刀
(2)原式＝(1 997＋1 998)×(1 997－1 998)＋(1 999＋2 000)
×(1 999－2 000)＋…＋(2 017＋2 018)×(2 017－2 018)
＝－(1 997＋1 998)－(1 999＋2 000)－…－(2 017＋2 018)
＝－(1 997＋1 998＋1 999＋2 000＋…＋2 017＋2 018)
＝－441 65
小试牛刀
4
已知a，b，c 为△ABC 的三条边的长，请说明：(a－c )2－b 2是负数．
∵a，b，c 为△ABC 的三条边的长，
∴a＋b＞c，b＋c＞a，
即a－c＋b＞0，a－c－b＜0.
∴(a－c )2－b 2＝(a－c＋b)(a－c－b)＜0，
∴(a－c )2－b 2是负数．
解：
小试牛刀
5
(1)利用因式分解说明：257－512能被250整除．
(2)233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．
(1)∵257－512＝(52)7－(56)2＝(57)2－(56)2＝(57＋56)
×(57－56)＝(57＋56)×62 500＝(57＋56)×2502，
∴257－512能被250整除．
(2)233－2＝2×(232－1)＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×(24＋1)×(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
∴这两个数是17，15.
解：
(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x 2－4y 2的值.
(2)已知|a－b－3 |＋(a＋b－2)2＝0，求a 2－b 2的值．
(3)已知m，n 互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n 的值．
小试牛刀
6
(1)由2x＋4y＝5，得x＋2y＝ .
∴x 2－4y 2＝(x＋2y )(x－2y )＝ ×3＝ .
解：
小试牛刀
(2)∵|a－b－3 |＋(a＋b－2)2＝0，
∴a－b＝3，a＋b＝2.
∴a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
(3)∵(m＋2)2－(n＋2)2＝4，
∴(m＋2＋n＋2)(m＋2－n－2)＝4，
即(m＋n＋4)(m－n)＝4，
又∵m＋n＝0，∴m－n＝1，∴m＝ ，n＝－ .
小试牛刀
7
李老师在黑板上写出三个算式：52－32＝8×2，92－72＝8×4，152－32＝8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112－52＝8×12，152－72＝8×22.
(1)请你再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)；
(2)用文字写出反映上述算式的规律；
(3)请说明这个规律的正确性．
小试牛刀
(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)任意两个奇数的平方差都是8的倍数．
(3)设m，n 为整数，两个奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当m，n 同是奇数或偶数时，m－n 一定为偶数，所以4(m－n)一定是8的倍数；②当m，n 是一奇一偶时，则m＋n＋1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任意两个奇数的平方差都是8的倍数．
解：
课堂小结
课堂小结
1. 平方差公式：a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)
2. 运用平方差公式因式分解需注意：
(1)多项式的特征：有两个平方项；两个平方项异号.
(2)当多项式有公因式时，先提公因式，再用平方差公
式进行因式分解；
(3)分解因式一定要分解到不能再分解为止.
同学们，
下节课见！
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