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第5讲 内切球半径秒杀公式
知识与方法
方法1:锥体的内切球半径为锥体体积,为表面积.
一般可用等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.
第一步:先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
第二步:设内切球的半径为,建立等式:
第三步:解出.
方法2:锥形的内切球半径,也可用相似三角形来求.
如图,三棱锥是正三棱锥,求其外接球的半径.
第一步:先作出内切球的截面图,分别是两个三角形的外心;
第二步:求出是侧面的高;
第三步:由,建立等式:,解出.
典型例题
【例1】已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 。
【解析】
【解法1】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球,如图,圆锥母线,底面半径,则其高,不妨设该内切球与母线切点,令,由,则,即,解得,
【解法2】圆锥的高,内切球体积.
【答案】.
【例2】如图, 已知球 是棱长为 1 的正方体 的内切球, 则平面 截球 的截面面积为（）
A. B. C. D.
【解析】根据题意知, 平面 是边长为 的正三角形, 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积, 则由图得, 内切圆的半径是 , 则所求的截面圆的面积是 .
【答案】 A.
【例3】在《九章算术》中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 若四棱锥 为阳马, 侧棱 平面 , 且 , 则该阳马的内切球表面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由已知可得四棱锥 的直观图如右所示: 其体积 , 其表面积 ,故四棱锥 的内切球半径 , 故该阳马的内切球表面积为 ,
【答案】 A.
【例4】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器中，再向容器注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm, 如不计容器的厚度, 则球的体积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 , 则圆心 为正方体上底面正方形的中心. 如图, 设球的半径为 ,
根据题意得球心到上底面的距离等于 , 而圆 的半径为 4 , 由球的截面圆性质, 得 , 解得 ,
该球的体积 .
【答案】 A.
【例5】在三棱锥 中, , 则该三棱锥的内切球的表面积为（)
A. B. C. D.
【解析】如图, 在长方体 中, 设 , 则 ,
故四面体 的体积 . 四面体 的表面积
,
根据等体积可得 .
该三棱锥的内切球的表面积为 .
【答案】 A.
【例6】正四面体 的棱长为 1 , 点 是该正四面体内切球球面上的动点, 当 取得最小值时, 点 到 的距离为 ( )
A. B. C. D.
【解析】 四面体 是棱长为 1 的正四面体,
底面 外接圆的半径为 , 高为 ,
其体积 ,
设正四面体内切球的半径为 ,
则 , 得 .
如图, 取 的中点为 ,
则 . 则当 的长度最小时, 取得最小值,
设正四面体内切球的球心为 , 可得 ,
球心 到点 的距离 ,
球 上的点 到 的最小距离为 .
即当 取得最小值时, 点 到 的距离为 .
【答案】 A.
【例7】早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体, 它们的各个面和多面角都全等. 已知正二十面体是由 20 个等边三角形所组成的正多面体, 共有 12 个顶点, 30 条棱, 20 个面, 正二十面体的体积公式为 (其中 为棱长), 已知一个正二十面体各棱长之和为 , 则该正二十面体内切球的半径为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由题可知, 正二十面体的棱长 , 设正二十面体内切球的半径为 , 解得 ,
【答案】 B.
【例8】拱尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式. 依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖. 也有单檐和重檐之分. 多见于亭阁式建筑,园林建筑. 以八中校园腾龙阁为例, 它属重檐四角攒尖, 它的上层轮廍可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的侧面积是底面积的 3 倍, 则此正四棱雉的内切球半径与底面边长比为 (）
A. B. C. D.
【解析】设底边边长为 , 正四棱锥的高为 , 则斜高为 , 所以侧面积为 , 即为 , 解得 .
设正四棱锥的内切球半径为 ,
由等积法可得 ,
所以 , 即 .
【答案】 B.第5讲 内切球半径秒杀公式
知识与方法
方法1:锥体的内切球半径为锥体体积,为表面积.
一般可用等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等.
第一步:先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
第二步:设内切球的半径为,建立等式:
第三步:解出.
方法2:锥形的内切球半径,也可用相似三角形来求.
如图,三棱锥是正三棱锥,求其外接球的半径.
第一步:先作出内切球的截面图,分别是两个三角形的外心;
第二步:求出是侧面的高;
第三步:由,建立等式:,解出.
典型例题
【例1】已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 。
【例2】如图, 已知球 是棱长为 1 的正方体 的内切球, 则平面 截球 的截面面积为（）
A. B. C. D.
【例3】在《九章算术》中, 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 若四棱锥 为阳马, 侧棱 平面 , 且 , 则该阳马的内切球表面积为 ( )
A. B. C. D.
【例4】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器中，再向容器注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm, 如不计容器的厚度, 则球的体积为 ( )
A. B. C. D.
【例5】在三棱锥 中, , 则该三棱锥的内切球的表面积为（)
A. B. C. D.
【例6】正四面体 的棱长为 1 , 点 是该正四面体内切球球面上的动点, 当 取得最小值时, 点 到 的距离为 ( )
A. B. C. D.
【例7】早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体, 它们的各个面和多面角都全等. 已知正二十面体是由 20 个等边三角形所组成的正多面体, 共有 12 个顶点, 30 条棱, 20 个面, 正二十面体的体积公式为 (其中 为棱长), 已知一个正二十面体各棱长之和为 , 则该正二十面体内切球的半径为 ( )
A. B. C. D.
【例8】拱尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式. 依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖. 也有单檐和重檐之分. 多见于亭阁式建筑,园林建筑. 以八中校园腾龙阁为例, 它属重檐四角攒尖, 它的上层轮廍可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的侧面积是底面积的 3 倍, 则此正四棱雉的内切球半径与底面边长比为 (）
A. B. C. D.

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