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函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 10 大题型
命题趋势
函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等
函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属
于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧
一、单调性定义的等价形式:
1、函数 f (x)在区间 [a,b]上是增函数:
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 < x2 ，都有 f (x1 ) f (x2 ) < 0 ；
任取 x1 , x
f (x ) f (x )
2 ∈[a,b]，且 x 1 21 ≠ x2 ， > 0 ； x1 x2
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 ≠ x2 ， (x1 x2 )[ f (x1 ) f (x2 )] > 0 ；
任取 x1 , x2 ∈[a,b]
x x
，且 x1 ≠ x 1 22 ， > 0 . f (x1 ) f (x2 )
2、函数 f (x)在区间 [a,b]上是减函数:
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 < x2 ，都有 f (x1 ) f (x2 ) > 0 ；
任取 x1 , x [a,b]
f (x ) f (x )
2 ∈ ，且 x ≠ x ， 1 21 2 < 0 ； x1 x2
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 ≠ x2 ， (x1 x2 )[ f (x1 ) f (x2 )] < 0 ；
任取 x1 , x2 ∈[a,b]
x x
，且 x1 ≠ x ， 1 22 < 0 . f (x1 ) f (x2 )
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶
函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f ( x) 与± f (x) 之一是否相等.
2、验证法：在判断 f ( x) 与 f (x) 的关系时，只需验证 f ( x) ± f (x) =0 及 f ( x) = ±1是否成立.
f (x)
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ y 轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶
函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.
因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 f ( x) 与 f (x) 的关系.
首先要特别注意 x 与 x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， f (x) 与 f ( x) 对应不
同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
三、常见奇、偶函数的类型
1、 f (x) = ax + a x （ a > 0且a ≠ 0 ）为偶函数；
2、 f (x) = ax a x （ a > 0且a ≠ 0 ）为奇函数；
x x 2x
3、 f (x) a a a 1= =
ax + a x a2x
（ a > 0且a ≠ 0 ）为奇函数；
+1
4、 f (x) = log b xa （ a > 0且a ≠ 0,b ≠ 0）为奇函数； b + x
5、 f (x) = log ( x2a +1± x)（ a > 0且a ≠ 0 ）为奇函数；
6、 f (x) = ax + b + ax b 为偶函数；
7、 f (x) = ax + b ax b 为奇函数；
四、函数的周期性与对称性常用结论
1、函数的周期性的常用结论（ a 是不为 0 的常数）
（1）若 f (x + a) = f (x)，则T = a ； （2）若 f (x + a) = f (x a)，则T = 2a ；
（3）若 f (x + a) = f (x)，则T = 2a ； （4）若 f (x + a) 1= ，则T = 2a ；
f (x)
（5）若 f (x a) 1+ = ，则T = 2a ； （6）若 f (x + a) = f (x + b)，则T = a b（ a ≠ b ）；
f (x)
2、函数对称性的常用结论
（1）若 f (a + x) = f (a x)，则函数图象关于 x = a 对称；
（2）若 f (x) = f (2a x)，则函数图象关于 x = a 对称；
（3）若 f (a + x) = f (b x)，则函数图象关于 x a + b= 对称；
2
（4）若 f (2a x) = 2b f (x)，则函数图象关于 (a,b)对称；
3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数 f (x)满足 f (a + x) = f (a x)，则其函数图象关于直线 x = a 对称，
当 a = 0 时可以得出 f (x) = f ( x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数 f (x)满足 f (2a x) = 2b f (x)，则其函数图象关于点 (a,b)对称，
当 a = 0 ,b = 0 时可以得出 f ( x) = f (x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
4、函数对称性与周期性的关系
（1）若函数 f (x)关于直线 x = a 与直线 x = b 对称，那么函数的周期是 2 b a ；
（2）若函数 f (x)关于点 (a,0)对称，又关于点 (b,0)对称，那么函数的周期是 2 b a ；
（3）若函数 f (x)关于直线 x = a ，又关于点 (b,0)对称，那么函数的周期是 4 b a .
5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1）①函数 f (x)是偶函数；②函数图象关于直线 x = a 对称；③函数的周期为 2 a .
（2）①函数 f (x)是奇函数；②函数图象关于点 (a,0)对称；③函数的周期为 2 a .
（3）①函数 f (x)是奇函数；②函数图象关于直线 x = a 对称；③函数的周期为 4 a .
（4）①函数 f (x)是偶函数；②函数图象关于点 (a,0)对称；③函数的周期为 4 a .
其中 a ≠ 0 ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
热点题型解读
【题型 1 函数的单调性及应用】
【例 1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间[0,1]上单调递增的是
（ ）
x
A． y = sin2x B． y e 1= x C
1
． y = x + D y = log (x + x2． 1 +1)
e +1 x 2
【变式 1-1】（2022 春·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数，
又在区间 (0,+∞) 上单调递增的是（ ）
A y x 1． = +1 B
1
． y = x + C． y = x | x | Dx x ．
y = ln x
【变式 1-2】（2022 春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）设函数 f (x)的定义域为
R ．则“ f (x)在 R 上严格递增”是“ g (x) = f (x) + x 在 R 上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【变式 1-3】（2022 春·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数 f (x) =| x 1| + | x 2 |的单调递增区间是
（ ）
A．[1,+∞) B． ( ∞,1] C． [1,2] D．[2,+∞)
【变式 1-4】（2022 春·江苏南通·高三统考开学考试）设函数 f (x) = x2 + 2x +8，
g (x) = loga x (0 < a <1)，则函数 y = g ( f (x))的减区间为（ ）
A． ( ∞,1) B． ( 2,1) C． (1,+∞) D． (1,4)
【题型 2 利用函数的单调性求最值】
2
【例 2】（2022·河北·校联考模拟预测）已知1< m ≤ 3，则 m +m3 2 的取值范围为（ ） m +m + 4m + 4
A 3． ,
1
13 4 B
1 , 1 ． 5 4 C
3 1
． ,

13 4 D
1 , 1 ．
5 4

2x +1
【变式 2-1】（2022 春·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习）已知函数 f (x) = x ( x f2 (x) 1) ,则 在
[ 2,0)∪(0,1]上的值域为（ ）
5
A ∞ , ∪[3,+∞ ) B 0, 5 C 5 ． ． ． ,0 ∪(0,3]6 6 6 D
5
． ,+∞ 6

【变式 2-2】（2022 春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数 f (x)对任意
的 x, y∈R ，总有 f (x + y) = f (x) + f ( y)，若 x∈( ∞,0)时， f (x) > 0 2，且 f (1) = ，则当 x∈[ 3,1]3 时，
f (x)的最大值为（ ）
A．0 B 2． 3 C．1 D．2
【变式 2-3】（2022 春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）若函数 f (x) 是在 R 上的奇函
x
数，当 x > 0 时， f (x) 1= ，则 f (x) 的值域为（ ）
3
A． ( 1,1) B． ( ∞, 1)∪ (1,+∞) C． ( 1,0) (0,1) D． ( ∞,0) (0,+∞)
(x 1)ex , x 1
【变式 2-4】（2022·浙江杭州·模拟预测） f (x) = 2 1ax x 1 a, x 1的最小值是 ，则实数
a 的取
+ >
值范围是（ ）
2 3 , ∞ 2 3
3 1
A． +2 B
1
． ∞ , C． 1 , D． ,+∞
2 2 2 2
【题型 3 利用函数的单调性求参数】
( ) (3a 2) x + 3, x ≤1【例 3】（2022 春·吉林·高三校联考阶段练习）已知函数 f x = ( a > 0 a ≠1)
loga x + 5a, x >1
且
是 R 上的单调函数，则 a 的取值范围是（ ）
A 0, 2 ∪(1,+∞) B 0, 1 ∪(1,+∞) C 2 ,1 ． ． ． ∪(1,+∞)3 2 3 D
1
． ,1 ∪(1,+∞) 2
ax 1, (x <1)
【变式 3-1（】2022 春·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）已知函数 f (x) = ，
(a 2)x + 3a, (x ≥1)
f (x
满足对任意 x ≠ x ，都有 1
) f (x2 )
1 2 < 0x1 x
成立，则 a 的取值范围是（ ）
2
A 3
3 3
．(0,1) B． ,14 C．
0,
4 D．
, 2

4
【变式 3-2】（2022 春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数
( ) f x f xf x = ax2 (2a 2) x 2 1≤ x < x ≤1 ( 1 ) ( )+ + ，若对于任意 21 2 ，都有 > 2x x ，则
a 的最小值为
1 2
（ ）
A． 2 B． 1 C
1
． D2 ．0
【变式 3-3】（2022 春·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数 f (x) = x2 + k ln x ，对任意的
f (x ) f (x )
x2 > x1 > 0 ，有 2 1 > 2022x x 恒成立，则实数 k 的取值范围为（ ） 2 1
2 2
A．[0, 1011 1011+∞ ) B 1011． ,+∞ 2 C． ,+∞2 D． ,+∞2
【题型 4 函数的奇偶性及应用】
【例 4】（2022 春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，
也不是偶函数的是（ ）．
A． y = x + sin 2x B
1
． y = x2 cos x C． y = 2x + x D． y = x2 + sin x 2
【变式 4-1】（2022 春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知 f (x)是 R 上的奇函数，
a
且当 x > 0 时， f (x) = 2x ，若 f (2) + f (0) =1，则 f ( 6) =（ ） x
A．-6 B．-7 C．-11 D．-15
1
【变式 4-2】（2022 春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）若 f (x) = ln a + + b2 x 是奇函数，
则 a = _____，b = ______．
【变式 4-3】（2022 春·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考阶段练习）函数 f (x)和 g (x)的
定义域均为 R ，且 y = f (4+ 3x)为偶函数， y = g (x + 4) +1为奇函数，对 x∈R ，均有
f (x) + g (x) = x2 +1，则 f (7) g (7) =__________.
【变式 4-4】（高考真题）定义在 ( ∞,+∞) 上的任意函数 f (x)都可以表示成一个奇函数 g (x)和一
个偶函数 h (x)之和，如果 f (x) = lg (10x +1)， x∈ ( ∞,+∞) ，那么（ ）
A． g(x) = x ， h(x) = lg (10x +10 x + 2)
B． g(x)
1
= lg (10x +1) + x ， h(x)
1
= lg (10x +1) x 2 2
C g(x) x． = ， h(x) = lg (10x x+1) 2 2
D g(x) x． = ， h(x) = lg2 (10
x +1) x+ 2
4-5 2023· · f (x) f x 1 1【变式 】（ 广西桂林 统考一模） 是定义在 R 上的函数， + + 为奇函数，
2 2
则 f (2023) + f ( 2022) =（ ）
A．－1 B
1
． C． 12 D．1 2
【题型 5 奇函数+常数型求值】
【例 5】（2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 f (x) = ln ( 1+ x2 + x) ax + 3 ，若
f (2) = 2 ，则 f ( 2) = ______.
【变式 5-1】（2022 春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数
f (x) = (ax a x ) + lg (x + x2 +1) +1，若 f (2) = 4 ，则 f ( 2) = （ ）
A． 3 B． 2 C．3 D．2
【变式 5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时，
f (x) = x2 2x ，则函数 f (x) 在 R 上的解析式为___________．
【变式 5-3】（2022 春·吉林·
b
高三校联考阶段练习）已知函数 f (x) = x3 + + 3(b∈R), 若 f ( 5) = 2x ，
则 f (5) =（ ）
A． 2 B．2 C． 4 D．4
【变式 5-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 f (x) = e x ex 1+ + 3，若 f (m) = 2x ，则
f ( m) =（ ）
A． 2 B． 4 C． 2 D． 4
【变式 5-5】（2022·上海·高三统考学业考试）已知函数 f (x) = x + ln( x2 +1 x) 5 (x∈[ 2016,2016])
的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝（ ）
A．－10 B．10 C．5 D．－5
【题型 6 函数的对称性及应用】
【例 6】（2022·
4
四川资阳·统考二模）已知函数 f (x) = 2x + x (x∈R)，则 f (x)的图象（ ） 2
A．关于直线 x =1对称 B．关于点 (1,0)对称
C．关于直线 x = 0 对称 D．关于原点对称
【变式 6-1】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)满足
f (x) + f (2 x) = 2, g (x) x= ，若函数 y = f (x)与 y = g (x)x 1 的图像恰有四个交点，则这四个交点的
横坐标之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式 6-2】（2021 春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）函数
2sin πx(0 ≤ x ≤1)
f (x) = a、b、clg x(x >1) ，若 互不相等，且 f (a) = f (b) = f (c) ，则 a + b + c 的取值范围是
（ ）
A． (1,100) B． (1,11) C． (2,101) D．[2,11]
【变式 6-3】（2022·上海·统考模拟预测）己知函数 f (x) (x∈R )满足 f ( x) = 2 f (x)，若函数
y x +1
2023
= 与 y = f (x)图像的交点为 (x1, y1 ) ,(x2 , y2 ) ,3(x2023, yx 2023 )，则∑(xi + yi ) =________； i=1
【题型 7 函数的周期性及应用】
【例 7】（2022 春·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知 f (x)是 R 上的奇函数， f (x + 2)是 R 上的
偶函数，且当 x∈[0,2]时， f (x) = x2 + 2x ，则 f (2021) =___________．
【变式 7-1】（2022 春·山东泰安·高三统考期中）已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且对任
意实数 x 都有 f (x) + f (2 x) = 0 ，当 x∈[ 1,0]时， f (x) = 2x
1
，则 f (log2 63) = ___________. 2
f (x + 2( ) )
, x ≥ 0
【变式 7-2（】2022·全国·模拟预测）若函数 f x = h (x) , x < 0 的图象关于原点对称，且
f (5) =1，

则 h( 2022) + h( 2023) + h( 2024) =（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【变式 7-3】（2022 春·河南·高三期末）已知定义在 R 上函数 f (x)，对任意的 x 有
f (x + 2) + f (x) = 2 3 ，若函数 f (x +1)的图像关于直线 x= 1对称，则 f (2023)=______.
【变式 7-4】（2022 春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知 f (x) 是定义在
R 上的偶函数且 f (0) =1， g(x) = f (x 1) 是奇函数，则 f (1) + f (2) + f (3) +L + f (2021) + f (2022) =
（ ）
A． 2 B． 1 C． 0 D．1
【题型 8 利用函数的性质比较大小】
【例 8】（2021 春·江苏淮安·高三江苏省盱眙中学校考期中）已知 f (x + 2)是偶函数，当 2 < x1 < x2
f (x2 ) f (x1) > 0 a = f 1 时， 恒成立，设 ，b = f (3) c = f (4)x x 2 ， ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） 2 1
A．b < a < c B． c < b < a C．b【变式 8-1】（2022 春·福建莆田·高三校考阶段练习）若函数 f (x + 2)为偶函数，对任意的
x1,x2∈ [2,+∞) ，且 x1 ≠ x2 ，都有 (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) < 0 ，则（ ）

A． f (log2 6) < f (0) < f log1 0.2 B． f log1 0.2 < f (0) < f (log2 6)
2 2

C． f log1 0.2 < f (log2 6) < f (0) D． f (0) < f (log2 6) < f log1 0.2
2 2
【变式 8-2】（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数 f (x) 为 R 上的偶函数，对
f x f x
任意不相等的 x , x ( ∞ ,0)
(
∈ ，均有 1
) ( 2 )
1 2 < 0
ln 2 ln 3 ln5
成立，若 a = f
,b = f ,c = f

x x 2 3 5 ，则1 2
a，b，c 的大小关系是（ ）
A． c < b < a B． a < c < b C． a < b < c D． c < a < b
【变式 8-3】（2022 春·山西运城·高三统考期中）已知函数 f (x)满足：①定义域为 R ，② f (x +1)
为偶函数，③ f (x + 2)为奇函数，④对任意的 x1, x2 ∈[0,1]，且 x1 ≠ x2 ，都有 (x1 x2 )( f (x1 ) f (x2 )) > 0 ，
7
则 f , f
2 , f 11
3 3 3
的大小关系是（ ）

A f 7 < f 2 f 11 f 7 11 2． <
< f < f
3 3 3
B． 3 3 3
C f 11 < f 7 < f 2 ． 3 3 D
f 11 f 2 f 7． < <


3 3 3 3
【题型 9 利用函数的性质解不等式】
【例 9】（2023·全国·高三专题练习）定义在 (0,+∞ )上的函数 f (x)满足：对 x1, x2 ∈(0,+∞)，且
x f x x f x
x x ( ) ( )1 ≠ 2 ，都有 2 1 1 2 > 0成立，且 f (2) = 4
f
，则不等式 (x)x x > 2 的解集为（ ） 1 2 x
A． (4,+∞) B． (0,4) C． (0,2) D． (2,+∞)
【变式 9-1】（2022 春·河南驻马店·高三统考阶段练习）定义在 R 上的函数 f (x)满足：对任意的
f x f x
x1, x2 (x1 ≠ x )
( ) ( )
2 ，有 1 2 < 0 f (2) = 3 f (x) 2x +1< 0x 1 x ， ，则不等式 的解集为（ ）2
A． (3,+∞) B． (2,+∞) C． ( ∞,3) D． ( ∞, 2)
【变式 9-2】（2022 春·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数 f (x)的定
义域为{x∣x∈ R,x ≠ 0}，对定义域内任意 x1, x2 ，都有 f (x1x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )，且当 x >1时，
f (x) > 0, f (16) = 4 ，则不等式 f (x) + f (3) > 2 的解集为（ ）
A 4 3． ∞ , ∪ ,0
3 4 4 3 3 4
∪
0, ∪
3 4 4
,+∞ B． , ∪ ,1 ∪ ,+∞
3 3 4 4 3
C ． ∞ ,
4 1, 3 3 ,1 4 , ∞ 4 3 3 4 ∪

3
∪ ∪ + D． , ∪ 0, ∪ ,+∞
4 4 3 3 4 4 3
【变式 9-3】（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知 g (x)为定义在 R 上的奇函数，且对任意
g (a) g (b)
的非负数 a b ，有 < 0，且 f (x) = g (x) + 2 ，若 f (m) + f (m 2) > 4 ，则实数 m 的取值范
a b
围是（ ）
A． (3,+∞) B． ( ∞,3) C． (1,+∞) D． ( ∞,1)
【变式 9-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 f (x) = lg(| x | +1) + 2x + 2 x ，则使不等式
f (x +1) < f (2x) 成立的 x 的取值范围是（ ）
A． ( ∞, 1)∪ (1,+∞) B． ( 2, 1) C． ( ∞,
1
)∪ (1,+∞) D． (1,+∞) 3
【题型 10 类周期函数及应用】
【例 10】（2020 春·全国·高三校联考阶段练习）设函数 f (x)的定义域为 R ，满足3 f (x) = f (x +1)，
且当 x∈(0,1]时，f ( x) = x2 x,若对任意 x∈( ∞,a] 54，都有 f (x) ≥ ，则实数 a25 的取值范围是（ ）
A ,12 ∞ ． B
,13 ∞ ． C． ( ∞ , 2]5 5 D． ( ∞,3]
【变式 10-1】（2022·高一课时练习）设函数 f (x)的定义域为 R，满足 f (x +1) = 2 f (x)，且当 x∈(0,1]
时， f (x) = x (x 1)．若对任意 x∈( ∞, m] f (x) 8，都有 ≥ 9 ，则 m 的取值范围是（ ）
A 9 ∞, B 7 ∞, 5
8
． ． C． ∞,

4 3 2 D

． ∞,

3
【变式 10-2】（2022 春·陕西咸阳·高一校考期中）设函数 f (x)的定义域为 (1,+∞)，满足
f (2x) = 2 f (x)，且当 x∈(1,2]时， f (x) = (x 1)(x 2)，若对任意 x∈(1, m]，都有 f (x) ≥ 1，则 m 的
取值范围是（ ）
A． (1,6 2 B． (1,6+ 2 C． (1,12 2 2 D． (1,12+ 2 2
【变式 10-3】（2019 春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）定义域为 R 的函数 f (x)满足

[ x
2 x, x∈[0,1)
f ( x + 2) = 4 f ( x)，当 x∈ 0,2)时， f (x) = ,若 x∈[ 2，0) t∈[1，2)
log (x +1), x∈[1, 2)
时,对任意的 都有
2
f (x) t a≥
16 8t 2 成立，则实数 a 的取值范围是
A． ( ∞，2] B． [2，+∞) C． ( ∞，6] D．[6，+∞)
【变式 10-4】（2022 春·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）（多选）设函数 f (x) 的定义域为
R，满足 f (x) = 2 f (x 2) ，且当 x∈ (0, 2]时， f (x) = x(2 x) ，若对任意 x∈ ( ∞,m] ，都有 f (x) ≤ 3 ，则
实数 m 的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C 9． D
11
．
2 2
（建议用时：60 分钟）
1．（2022·河南·统考一模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
x x x
A． f (x) = sin x x2 B． f (x) = ln(2 x) ln(x + 2) C． f (x) e + e D． f (x) = 2 - 1=
2 2x +1
2．（2023 春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）已知函数 f (4x + 3)的周期为 1，则（ ）
A． f (x + 2) f (x 2) = 0 B． f (x +1) f (x) = 0
C． f (x + 2) + f (x 2) = 0 D． f (x +1) + f (1 x) = 0
3．（2022 春·甘肃白银·高三校考阶段练习）若偶函数 f (x)在 ( ∞ , 1]上是增函数，则（ ）
A 3． f < f ( 1) < f (2)2 B． f (2) < f
3
< f ( 1)
2
C f (2) f ( 1) f 3． < <

D f ( 1) f
3． < < f (2)
2 2
4．（2023·全国·模拟预测）已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，满足 f (x) = f (2 x)，则 f (2022) =
（ ）
A．2 B．1 C． 1 D．0
a
x2 + ax + , (x <1)5．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知函数 f (x) = 4 ，若 y = f (x)在
x a , (x ≥1)
( ∞,+∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[2,4] B． (2,4) C． (2,+∞) D．[2,+∞)
6．（2023·广西梧州·统考一模）已知定义在 R 上的函数 f (x) 在 ( ∞,1]上单调递增，若函数 f (x +1)
为偶函数，且 f (3) = 0 ，则不等式 xf (x) > 0 的解集为（ ）
A． ( 1,3) B． ( ∞, 1)∪ (3,+∞) C． ( ∞, 1)∪ (0,3) D． ( 1,0) (3,+∞)
x
7 2
π
．（2023 春·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知 f (x) = x + ax + cos 2x ，若 f = 2 ，2 1 3 +
则 f
π
3 等于（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
8．（2022 春·陕西·高三校联考阶段练习）已知定义在 R 上的函数 f (x) = aex x2 ，对任意两个不
相等的实数 x1, x2 (x1 > x2 )满足不等式 f (x1 ) f (x2 ) > 4x2 4x1 ，则实数 a 的最小值为（ ）
A 1． 3 B
2 3 4
e ． e3 C． 3 De ． e3
9．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）（多选）函数 f (x) , g (x)分别是定义在 R 上的奇函
数和偶函数，且 f (x) g (x) = x3 + x2 1，则（ ）
A． f ( 1) = 1 B． g ( 1) = 2 C． f (1) + g (1) =1 D． f (1) + g (1) = 2
10．（2021 春·广东深圳·高三深圳市龙华中学校考阶段练习）（多选）已知函数
f (x) = ln (x 2) + ln (6 x)，则（ ）
A． f (x)在 (2,6)上单调递增 B． f (x)在 (2,6)上的最大值为 2ln 2
C． f (x)在 (2,6)上单调递减 D． y = f (x)的图像关于直线 x = 4 对称
11．（2023 春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）已知定义域为 R 的函数 f (x)在
( 1,0]上单调递增， f (2 + x) = f (2 x)，且图象关于 (3,0)对称，则 f (x)（ ）
A．周期T = 4 B．在 (0,2]单调递减
C．满足 f (2021) < f (2022) < f (2023) D．在[0,2023]上可能有 1012 个零点
12．（2022 春·江苏南通·高三统考阶段练习）（多选）已知函数 f (x) 及其导函数 f ′(x) 的定义域均
1
为 R，记 g(x) = f ′(x) ， f (2x 1) + f (3 2x) = f ( 2) ， g(1 x) + g( 3x) = g ，则（ 2 ）
A． f (4) = 0 B． g(2) = g( 1) C g
1
． = 0 D． g(2022) = g(0)
2

13．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 f (x) = x3 (a 2x 2 x )是奇函数，则 a = ______.
14 1．（2022·河南·统考一模）已知 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x∈[0,+∞) 时， f (x) = 2x x 1 ，则不等+
式 f (3x 1) < f (1 x) 的解集为___________.
15．（2016·
1
辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知函数 g (x) = + ln x 在[1,+∞)x sinθ 上为增函
数．且θ ∈(0,π) f (x) mx m 1， = ln x (m∈R)． x
（1）求θ 的值；
（2）若 f (x) g (x)在[1,+∞)函数是单调函数，求 m 的取值范围．
16．（2022 春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数 f (x) = log
x +1
a ( ) ，（其中 a > 0 a ≠1x 1 且 ）．
（1）判断 f (x)的奇偶性；
（2）若 a >1，判断 f (x)的单调性；
（3）当 f (x)的定义域区间为 (1, a)时， f (x)的值域为 (1,+∞)，求 a 的值．函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 10 大题型
命题趋势
函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的
单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对
于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧
一、单调性定义的等价形式:
1、函数 f (x)在区间 [a,b]上是增函数:
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 < x2 ，都有 f (x1 ) f (x2 ) < 0 ；
x , x [a,b] x x f (x1 ) f (x ) 任取 21 2 ∈ ，且 1 ≠ 2 ， > 0 ； x1 x2
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 ≠ x2 ， (x1 x2 )[ f (x1 ) f (x2 )] > 0 ；
任取 x1 , x2 ∈[a,b] x
x x
，且 1 ≠ x ， 1 22 > 0 . f (x1 ) f (x2 )
2、函数 f (x)在区间 [a,b]上是减函数:
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 < x2 ，都有 f (x1 ) f (x2 ) > 0 ；
任取 x1 , x2 ∈[a,b] x
f (x1 ) f (x2 )，且 1 ≠ x2 ， < 0 ； x1 x2
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x1 ≠ x2 ， (x1 x2 )[ f (x1 ) f (x2 )] < 0 ；
任取 x1 , x2 ∈[a,b]，且 x x
x1 x≠ ， 21 2 < 0 . f (x1 ) f (x2 )
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；
若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 f ( x) 与± f (x) 之一是否相等.
2、验证法：在判断 f ( x) 与 f (x) 的关系时，只需验证 f ( x) ± f (x) =0 及 f ( x) = ±1是否成立.
f (x)
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ y 轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；
两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其
判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 f ( x) 与 f (x) 的关系.首先要特别注
意 x 与 x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， f (x) 与 f ( x) 对应不同的表达式，而它们
的结果按奇偶函数的定义进行比较.
三、常见奇、偶函数的类型
1、 f (x) = ax + a x （ a > 0且a ≠ 0 ）为偶函数；
2、 f (x) = ax a x （ a > 0且a ≠ 0 ）为奇函数；
ax a x 2x3、 f (x) a 1= x x = 2x （ a > 0且a ≠ 0 ）为奇函数； a + a a +1
4、 f (x) log b x= a （ a > 0且a ≠ 0,b ≠ 0）为奇函数； b + x
5、 f (x) = log 2a ( x +1± x)（ a > 0且a ≠ 0 ）为奇函数；
6、 f (x) = ax + b + ax b 为偶函数；
7、 f (x) = ax + b ax b 为奇函数；
四、函数的周期性与对称性常用结论
1、函数的周期性的常用结论（ a 是不为 0 的常数）
（1）若 f (x + a) = f (x)，则T = a ； （2）若 f (x + a) = f (x a)，则T = 2a ；
（3）若 f (x 1+ a) = f (x)，则T = 2a ； （4）若 f (x + a) = ，则T = 2a ；
f (x)
（5）若 f (x a) 1+ = ，则T = 2a ； （6）若 f (x + a) = f (x + b)，则T = a b （ a ≠ b ）；
f (x)
2、函数对称性的常用结论
（1）若 f (a + x) = f (a x)，则函数图象关于 x = a 对称；
（2）若 f (x) = f (2a x)，则函数图象关于 x = a 对称；
（3）若 f (a + x) = f (b x)，则函数图象关于 x a + b= 对称；
2
（4）若 f (2a x) = 2b f (x)，则函数图象关于 (a,b)对称；
3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系
（1）若函数 f (x)满足 f (a + x) = f (a x)，则其函数图象关于直线 x = a 对称，
当 a = 0 时可以得出 f (x) = f ( x)，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；
（2）若函数 f (x)满足 f (2a x) = 2b f (x)，则其函数图象关于点 (a,b)对称，
当 a = 0 ,b = 0 时可以得出 f ( x) = f (x)，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；
4、函数对称性与周期性的关系
（1）若函数 f (x)关于直线 x = a 与直线 x = b 对称，那么函数的周期是 2 b a ；
（2）若函数 f (x)关于点 (a,0)对称，又关于点 (b,0)对称，那么函数的周期是 2 b a ；
（3）若函数 f (x)关于直线 x = a ，又关于点 (b,0)对称，那么函数的周期是 4 b a .
5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系
（1）①函数 f (x)是偶函数；②函数图象关于直线 x = a 对称；③函数的周期为 2 a .
（2）①函数 f (x)是奇函数；②函数图象关于点 (a,0)对称；③函数的周期为 2 a .
（3）①函数 f (x)是奇函数；②函数图象关于直线 x = a 对称；③函数的周期为 4 a .
（4）①函数 f (x)是偶函数；②函数图象关于点 (a,0)对称；③函数的周期为 4 a .
其中 a ≠ 0 ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
热点题型解读
【题型 1 函数的单调性及应用】
【例 1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在区间[0,1]上单调递增的是（ ）
x
A． y = sin2x B
1 2
． y e 1= y = x + y = log1 (x + x +1)
ex
C． D．
+1 x 2
【答案】B
【解析】 x∈[0,1]时， 2x∈[0, 2] ，而 0
π π
< < 2 ，即 2x = x
π
， = 时， y = sin 2x4 取得最大值， 2 2
因此 y = sin 2x 在[0,1] 上不是增函数，A 错；
y e
x 1 2
= x =1 x ，设 0 ≤ x < x
x1
1 2 ≤1，则 02 2 2 2
x ≥ x ，所以1 ≤1 ye 1 +1 e 2 +1 ex 1 ex ，即1 + 2 +1 1
< y2 ，是增函数，
x
又记 f (x) e 1 e
x 1 1 ex
= x ，定义域是实数集 R，则 f ( x) = x = x = f (x) ， e +1 e +1 1+ e
函数为奇函数，B 正确；
1 1 1 5 1 11 + = > + = 2 1<
2 ，但 2
1 2 1 ，即 y = x + 在[0,1]x 上不是增函数，C 错； 2
设 0 ≤ x1 < x2 ≤1，则 x2 2 2 21 < x2 ， x1 +1 < x2 +1 ， 0 < x1 + x21 +1 < x + x22 2 +1 ，
2 2
所以 log1 (x1 + x1 +1) > log1 (x2 + x2 +1) ，
2 2
y = log (x + x2即函数 1 +1)在[0,1] 上为减函数，D 错．故选：B．
2
【变式 1-1】（2022 春·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在区
间 (0,+∞) 上单调递增的是（ ）
A 1． y = x +1 B． y = x
1
+ C． y = x | x | D． y = ln x x x
【答案】C
1
【解析】对于 A，将 x 代入函数则 y = x +1 x
1
= 1
x x ，故该函数非奇非偶，则 A 错误；
1 1
对于 B，将 x 代入函数则 y = x + = x + x x ，故该函数为奇函数，
1 x x
任意取 x1, x2 ∈(0,+∞)， x x x
1 1 x x
1 < 2 ， 1 + x + = x x + 2 12 1 2 = (x
( 1 2 )
x x x x 2
x1 ) ，
1 2 1 2 x1x2
显然该函数在 (0,+∞)上不是单调递增的，故 B 错误；
对于 C，将 x 代入函数则 y = x x = (x x )，故该函数为奇函数，
x2 ,x ≥ 0
函数 y= x2 ,x<0 ，根据二次函数的性质，
可得该函数在区间 (0,+∞) 上单调递增，故 C 正确；
对于 D，函数 y = ln x 的定义域为 (0,+∞)，则该函数非奇非偶，故 D 错误.故选：C.
【变式 1-2】（2022 春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）设函数 f (x)的定义域为 R ．则
“ f (x)在 R 上严格递增”是“ g (x) = f (x) + x 在 R 上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】若函数 f (x)在 R 上严格递增，对任意的x 、 x2 ∈R 且 x1 < x2 ， f (x1 ) < f (x1 2 )，
由不等式的性质可得 f (x1 ) + x1 < f (x2 ) + x2 ，即 g (x1) < g (x2 )，
所以， g (x) = f (x) + x 在 R 上严格递增，
所以，“ f (x)在 R 上严格递增” “ g (x) = f (x) + x 在 R 上严格递增”；
若 g (x) = f (x) + x 在 R 上严格递增，不妨取 f (x) 1= x 2 ，
则函数 g (x) = f (x) 1
1
+ x = x
2 在 R 上严格递增，但函数
f (x) = x
2 在 R 上严格递减，
所以，“ f (x)在 R 上严格递增” / “ g (x) = f (x) + x 在 R 上严格递增”.
因此，“ f (x)在 R 上严格递增”是“ g (x) = f (x) + x 在 R 上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式 1-3】（2022 春·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数 f (x) =| x 1| + | x 2 |的单调递增区间是（ ）
A．[1,+∞) B． ( ∞,1] C． [1,2] D．[2,+∞)
【答案】D
3 2x, x <1
【解析】因为 f (x) = x 1 + x 2 =

1,1≤ x < 2 ，

2x 3, x ≥ 2
所以 f (x) 的增区间为[2,+∞) ，故选：D.
【变式 1-4】（2022 春·江苏南通·高三统考开学考试）设函数 f (x) = x2 + 2x +8， g (x) = loga x (0 < a <1)，
则函数 y = g ( f (x))的减区间为（ ）
A． ( ∞,1) B． ( 2,1) C． (1,+∞) D． (1,4)
【答案】B
【解析】依题意， g ( f (x)) = log 2 2a ( x + 2x +8) ，则 x + 2x +8 > 0 得： 2 < x < 4 ，
即函数 y = g ( f (x))的定义域为 ( 2, 4) ，
显然函数 f (x)在 ( 2,1)上单调递增，在 (1,4)上单调递减，
而 g (x) = loga x (0 < a <1)在 (0,+∞ )上单调递减，
因此函数 y = g ( f (x))在 ( 2,1)上单调递减，在 (1,4)上单调递增，
所以函数 y = g ( f (x))的减区间为 ( 2,1) .故选：B
【题型 2 利用函数的单调性求最值】
2
【例 2】（2022·河北·校联考模拟预测）已知1< m ≤ 3，则 m +m3 的取值范围为（ ） m +m2 + 4m + 4
A．
3 , 1 13 4 B
1 1 3 1 1 1 ．

, , ,
5 4 C． 13 4
D．
5 4
【答案】D
【解析】∵1< m ≤ 3
m2 +m m (m +1) m
∴原式= m3 2
= 2 = +m + 4m + 4 m (m +1) + 4(m +1) m2 + 4
令 f (m) m= m2 ，+ 4
(m2 + 4) 2m2 4 m2
则 f ′(m) = ( 2
= 2 ，
m2 + 4) (m2 + 4)
当 m∈(1,2)时， f ′(m) > 0 ， f (m)在区间 (1,2)上单调递增，
当 m∈(2,3)时， f ′(m) < 0 ， f (m)在区间 (2,3)上单调递减，
又∵ f (1) 1 1 3 3= 2 = ， f (3) = 2 = ， f (1) < f (3)， f (2)
2 1
=
1 + 4 5 3 + 4 13 22
=
+ 4 4 ，
m (1,3] f (m) 1 1 ∴当 ∈ 时， ∈ , ，
5 4
2 1 1
∴当1< m ≤ 3

， m +m3 的取值范围是 , .故选：D. m +m2 + 4m + 4 5 4
2x +1
【变式 2-1】（2022 春·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习）已知函数 f (x) = ( x ) ,则 fx 2 1 (x) 在
[ 2,0)∪(0,1]上的值域为（ ）
A 5 ∞ , ． ∪[3,+∞ ) B
0, 5 ． C
5
． ,0 ∪(0,3] D
5
． ,+∞

6 6 6 6
【答案】D
2x +1
【解析】由题知 f (x) = ( x ) ,定义域为 ( ∞ ,0)U 0,+∞x 2 1 ( ) ,
x x
∴ f ( x) 2 +1 2 +1= = = f x( x ) ( x ) ( ) x 2 1 x 2 1 ,
∴ f (x)在定义域上为偶函数,
2x +1 2x 1+ 2 1 2 1 2
则当 x > 0 时, f (x) = = = + = 1+ ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) , x 2 1 x 2 1 x x 2 1 x 2 1
x x
∴ f ′(x) 1= 2 1 2 2 ln 2 1 1 2 2 2 ln 2
x2
1+ + 2 = + + x x x
(2 1) x (2 1) x x x 2 1 ( ) (2x
2
1)
1 2 2 2x ln 2
x > 0,∴2x 1> 0 ，∴ + + > 0x x(2x 1) (2x 1)2 ，
∴ f ′(x) < 0 ,∴ f (x)在 (0,+∞ )单调递减,
f (x)在定义域上为偶函数,∴ f (x)在 ( ∞ ,0)单调递增,
∴ f (x)在[ 2,0)单调递增,在 (0,1]单调递减,
x
f ( 2) 5= , f (1) = 3,lim 2 +1 = +∞
6 x→0 x(2x 1) ,
故 f (x)在[ 2,0)∪(0,1] 5 上的值域为 ,+∞ 6 .故选:D
【变式 2-2】（2022 春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数 f (x)对任意的
x, y∈R ，总有 f (x + y) = f (x) + f ( y)，若 x∈( ∞,0)时， f (x) > 0 ，且 f (1) 2= ，则当 x∈[ 3,1]时， f (x)3 的
最大值为（ ）
A．0 B 2． 3 C．1 D．2
【答案】D
【解析】令 x = y = 0 ，则 f (0) = f (0) + f (0)，得 f (0) = 0 ，
令 y = x ，则 f (0) = f (x) + f ( x)，
所以 f ( x) = f (x)，所以 f (x)为奇函数，
任取 x1, x2 ∈R ，且 x1 < x2 ，则 x1 x2 < 0 ， f (x1 x2 ) > 0 ，
所以 f (x1) f (x2 ) = f [(x1 x2 ) + x2 ] f (x2 ) = f (x1 x2 ) + f (x2 ) f (x2 ) = f (x1 x2 ) > 0 ，
所以 f (x1) > f (x2 ) ，所以 f (x)在 R 上递减，
所以当 x∈[ 3,1]时， f (x)的最大值为 f ( 3)，
因为 f (1) 2= 2，所以 f ( 1) = 3 ， 3
所以 f ( 3) = f ( 1) + f ( 2) 2= f ( 1) + f ( 1) + f ( 1) = 3× = 23 ，故选：D
【变式 2-3】（2022 春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）若函数 f (x) 是在 R 上的奇函数，当
1 xx > 0 时， f (x) = ，则 f (x) 的值域为（ ）
3
A． ( 1,1) B． ( ∞, 1)∪ (1,+∞) C． ( 1,0) (0,1) D． ( ∞,0) (0,+∞)
【答案】A
x
【解析】当 x > 0 时， f (x) = 1 ∈ (0,1)
3
，

因为 f (x) 是 R 上的奇函数，所以 f (0) = 0 ；
当 x < 0 时，由于 f (x) 图象关于原点对称，故 f (x)∈ ( 1,0) ，
所以 f (x)∈ ( 1,1) .故选：A
(x 1)ex , x 1
【变式 2-4】（2022·浙江杭州·模拟预测） f (x) = ax2 x 1 a, x 1的最小值是 1，则实数
a 的取值范围
+ >
是（ ）
2 3 A． ,+∞ B． ∞ ,
2 3 3 1 1
C． 1 ,2 2 2 D

2 ．
,+∞
2
【答案】A
【解析】当 x 1时， f ′(x) = x ex ，令 f ′(x) = 0，得 x = 0 ，
则 f (x)在 ( ∞ ,0)上单调递减， (0,1)上单调递增，即函数 f (x)在 x = 0 处取得最小值 1，
所以问题转化为 ax2 x +1 a… 1在 (1,+∞)上恒成立，
令 g (x) = ax2 x + 2 a ，则 g (x) ≥ 0 在 (1,+∞)上恒成立
当 a 0 时，不符合.
1
1 <1
1 ≥1
当 a

> 0 时，对称轴 x = 2a ，则
2a 或 2a
g (1) = a 1+ 2 a ≥ 0 Δ =1 4a (2 a) ≤ 0
a 1解得 > 或 2 3 a 12 剟 ，所以 a…
2 3 ，故选：A.
2 2 2
【题型 3 利用函数的单调性求参数】
(3a 2) x + 3, x ≤1
【例 3】（2022 春·吉林·高三校联考阶段练习）已知函数 f (x) = ( a > 0 且 a ≠1)log x + 5a, x >1 是 R 上 a
的单调函数，则 a 的取值范围是（ ）
A 0, 2 1 ． ∪(1,+∞) B． 0, ∪(1,+∞) C
2
． ,1 ∪(1,+∞) D
1
． ,1 ∪(1,+∞) 3 2 3 2
【答案】B
( ) (3a 2) x + 3, x ≤1【解析】因为 f x = ( a > 0 a ≠1) Rlog x + 5a, x >1 且 是 上的单调函数， a
3a 2 > 0
若 f (x) R 是 上的单调递增函数，则 a >1 ，解得 a >1；

(3a 2) + 3 ≤ loga 1+ 5a
3a 2 < 0
若 f (x) R 是 上的单调递减函数，则 0 < a <1 1，解得 0 < a ≤ 2 ；
(3a 2) + 3 ≥ loga 1+ 5a
1
综上，a 的取值范围是 0, (1,+∞)2 .故选：B.
ax 1, (x <1)
【变式 3-1】（2022 春·福建莆田·高三莆田第五中学校考期中）已知函数 f (x) = (a 2)x 3a, (x 1) ，满 + ≥
f (x ) f (x )
足对任意 x1 ≠ x2 ，都有 1 2 < 0x x 成立，则 a 的取值范围是（ ） 1 2
A 3 3
3
．(0,1) B． ,1 C． 0, D． , 2

4 4 4

【答案】C
f (x ) f (x )
【解析】由对任意 x1 ≠ x2 ，都有 1 2 < 0成立可得， f (x)x x 在 R 上单调递减， 1 2
0 < a <1

所以 a 2 < 0
3
，解得 0 < a ≤ ，故选:C.
4
a
1 1 ≥ (a 2)×1+ 3a
【变式 3-2】（2022 春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数
( ) f x f xf x = ax2 (2a 2) x 2 1≤ x < x ≤1 ( 1 ) ( )+ + ，若对于任意 ，都有 21 2 > 2 ，则 ax x 的最小值为（ ） 1 2
A． 2 B． 1 C
1
． D2 ．0
【答案】B
f (x ) f (x )
【解析】因为 x < x 1 21 2 ，所以 > 2x1 x
2
可化为 f (x1) f (x2 ) < 2(x1 x2 ) ，即 f (x1) + 2x1 < f (x2 ) + 2x2 ，
令 F (x) = f (x) + 2x = ax2 + (2a + 4)x 2 ， 即 F (x) 在[ 1,1]单调递增，
当 a = 0 时， F (x) = 4x 2 在[ 1,1]单调递增，
a > 0 a < 0
当 a

≠ 0 时，则 a + 2 a + 2 ≤ 1或 ≥1，解得 a > 0 或 1≤ a < 0， a a
综上所述， a ≥ 1，即 a 的最小值为 1.故选：B.
【变式 3-3】（2022 春·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数 f (x) = x2 + k ln x ，对任意的 x2 > x1 > 0 ，有
f (x2 ) f (x1 ) > 2022 k
x x 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） 2 1
2 2
A．[0, )
1011 1011 1011+∞ B． ,+∞ C． ,+∞2 D．
,+∞
2 2
【答案】D
f (x2 ) f (x1 )【解析】∵对于任意得 x2 > x1 > 0 有 > 2022x 2 x
，
1
∴ f (x2 ) 2022x2 > f (x1 ) 2022x1
∴ g (x) = f (x) 2022x 在 (0,+∞)上单调递增，
g (x) = x2∵ + k ln x 2022x
∴ g′(x) = 2x k+ 2022 ≥ 0 在 (0,+∞)x 上恒成立，
∴ 2x2 2022x + k ≥ 0 ，即 k ≥ 2022x 2x2 , x > 0 在 (0,+∞)上恒成立，，
2022x 2x2 2 x 1011
2
10112 10112
∵ = + ≤
2 2 2
10112 10112
∴ k ≥ ，即实数 k 的取值范围为 ,+∞2 .故选：D. 2
【题型 4 函数的奇偶性及应用】
【例 4】（2022 春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是
偶函数的是（ ）．
A． y = x + sin 2x B． y = x2
1
cos x C． y = 2x + D y = x2 + sin x 2x ．
【答案】D
【解析】由题意，四个函数定义域都是 R
在 f (x) = x + sin 2x 中， f ( x) = x + sin ( 2x) = x sin 2x = f (x)，是奇函数；
在 g (x) = x2 cos x 中， g ( x) = ( x)2 cos ( x) = x2 cos x = g (x)，是偶函数；
h (x) 1 1 1在 = 2x + x 中， h ( x) = 2 x + x = 2x + = h (x) 2 2 2x ，是偶函数；
在 w(x) = x2 + sin x 中， w( x) = ( x)2 + sin ( x) = f (x) = x2 sin x ≠ w(x)，
∴ y = x2 + sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；故选：D.
【变式 4-1】（2022 春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知 f (x)是 R 上的奇函数，且当
a
x > 0 时， f (x) = 2x ，若 f (2) + f (0) =1，则 f ( 6) =（ x ）
A．-6 B．-7 C．-11 D．-15
【答案】C
【解析】因为 f (x)是 R 上的奇函数，所以 f (0) = 0，由 f (2) + f (0) =1得 f (2) =1；
f (2) 4 a 6即 = =1，得 a = 6 ，所以 f (x) = 2x 2 x ；
f ( 6) = f (6) 6= (2×6 ) = 11.
6 故选：C.
【变式 4-2】（2022 春·陕西西安·
1
高三长安一中校考阶段练习）若 f (x) = ln a + + b2 x 是奇函数，则
a = _____，b = ______．
1
【答案】 4 ； ln 4
【解析】因为 f (x) = ln a
1
+ + b
2 x 是奇函数，所以其定义域关于原点对称，
a 1由 + ≠ 0可得， (2 x)(2a +1 ax) ≠ 0， 2 x
x 2a +1 1所以 = = 2a ，解得
a =
4 ，
所以函数的定义域为 ( ∞, 2) ( 2,2) (2,+∞) ，
因为 f (x) 在 x = 0 处有定义，即 f (0) = 0 ，
所以 ln
1
+ b = 0 ，解得b = ln 4 . 4
【变式 4-3】（2022 春·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考阶段练习）函数 f (x)和 g (x)的定义
域均为 R ，且 y = f (4+ 3x)为偶函数， y = g (x + 4) +1为奇函数，对 x∈R ，均有 f (x) + g (x) = x2 +1，则
f (7) g (7) =__________.
【答案】621
【解析】由函数 y = f (4+ 3x)为偶函数，则 f (4 + 3x) = f (4 3x)，
即函数 f (x)关于直线 x = 4 对称，故 f (x) = f (8 x)；
由函数 y = g (x + 4) +1为奇函数，则 g ( x + 4) +1= g (x + 4) 1，
整理可得 g (4 x) = 2 g (4+ x)，即函数 g (x)关于 (4, 1)对称，故 g (x) = 2 g (8 x)；
由 f (x) + g (x) = x2 +1，则 f (8 x) + g (8 x) = (8 x)2 +1，可得 f (x) 2 g (x) = (8 x)2 +1，
f (x) + g (x) = x2 +1
故 2 ，解得 f (x) = x2 8x + 34 ， g (x) = 8x 33
f (x)
g (x) = x 16x + 67 ，
f (7) g (7) = (49 56+ 34)×(56 33) = 621.
【变式 4-4】（高考真题）定义在 ( ∞,+∞) 上的任意函数 f (x)都可以表示成一个奇函数 g (x)和一个偶函
数 h (x)之和，如果 f (x) = lg (10x +1)， x∈ ( ∞,+∞) ，那么（ ）
A． g(x) = x ， h(x) = lg (10x +10 x + 2)
B g(x) 1 lg (10x 1) x h(x) 1． = + + ， = 2 2 lg (10
x +1) x
C． g(x)
x x
= ， h(x) = lg (10x +1 2 ) 2
D． g(x)
x
= ， h(x) = lg 10x +1
x
+
2 ( ) 2
【答案】C
【解析】根据题意，
g(x) f (x) f ( x) ,h(x) f (x) + f ( x) f (x) f (x) f ( x) f (x) + f ( x)令 = = 则有 = + ， 2 2 2 2
x
x 10 +1
f (x) f ( x) lg (10x +1) lg (10 x +1) lg (10 +1) lg x g(x) = = = 10 x=
所以 2 2 2 2 ，
10x +1
h(x) f (x) + f ( x)
lg (10x +1) + lg (10 x +1) lg (10x +1) + lg
= = 10
x ，故选:C.
2 2 = = lg (10x +12 )
x

2
1 1
【变式 4-5】（2023·广西桂林·统考一模） f (x)是定义在 R 上的函数， f x + +2 2 为奇函数，则
f (2023) + f ( 2022) =（ ）
A 1．－1 B． C． 12 D2 ．1
【答案】A
【解析】 f (x)
1 1
是定义在 R f

上的函数， x + +
2 2
为奇函数，

f x 1 1 + + = f x 1+ 1 + f x 1+ + f 1 则 x + = 12 2 2 2 2 2 .
f (2023) f ( 2022) f 4045 1 f 4045 1∴ + = + + +

= 1.2 2 2 2 故选：A
【题型 5 奇函数+常数型求值】
【例 5（】2022 春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 f (x) = ln ( 1+ x2 + x) ax + 3 ，若 f (2) = 2 ，
则 f ( 2) = ______.
【答案】8
【解析】设 g (x) = ln ( 1+ x2 + x) ax ，则 f (x) = g (x) + 3.
因为 1 2+ x2 + x > |x|+x ≥ 0 ，所以函数 g (x) = ln ( 1+ x + x) ax 的定义域为 R，
因为 g (x) + g ( x) = ln ( 1+ x2 + x) ax + ln ( 1+ x2 x) + ax = ln1= 0 ，
所以 g (x)是一个奇函数.
所以 f (x) + f ( x) = g ( x) + 3+g ( x)+3 = 6 ，
又 f (2) = 2，故 f ( 2) = 8 .
【变式 5-1】（2022 春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数
f (x) = (ax a x ) + lg (x + x2 +1) +1，若 f (2) = 4 ，则 f ( 2) = （ ）
A． 3 B． 2 C．3 D．2
【答案】B
【解析】因为 f (x) = (ax a x ) + lg (x + x2 +1) +1, x∈R ，
令 g (x) = (ax a x ) + lg (x + x2 +1) , x∈R ，所以 f (x) = g (x) +1，
g( x) = (a x ax ) + lg ( x + ( x)2 +1) = (ax x又因为 a ) + lg 1 2 = x + x +1
(ax a x ) -lg(x + x2 +1) = g(x) ，
所以 g(x) 为奇函数，
因为 f (2) = 4 ，即 g(2) +1= 4 ，所以 g(2) = 3，所以 g( 2) = g(2) = 3，
所以 f ( 2) = g( 2) +1= 3+1= 2 .故选：B.
【变式 5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时，
f (x) = x2 2x ，则函数 f (x) 在 R 上的解析式为___________．
x2 2x,x ≤ 0
【答案】 f (x)=


2
x 2x,x>0
【解析】因为函数 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数，则有 f (0)=0 ，
设 x < 0 ，有 x > 0 ，则 f ( x) = ( x)2 2( x) = x2 + 2x ，
又由函数 f (x) 为奇函数，则 f (x) = f ( x) = x2 2x ，
x2 2x,x ≤ 0
则 f (x)=

．
2
x 2x,x>0
【变式 5-3】（2022 春·吉林·高三校联考阶段练习）已知函数 f (x) = x3
b
+ + 3(b∈R), 若 f ( 5) = 2 ，则 f (5) =x
（ ）
A． 2 B．2 C． 4 D．4
【答案】D
b b
【解析】设 g(x) = x3 + x ，则
g(x) = x3 +
x 为奇函数，
f (x) = g(x) + 3 ，
因为 f ( 5) = g( 5) + 3 = 2 ，所以 g( 5) = 1，所以 g(5) =1，
所以 f (5) = g(5) + 3 = 4 .故选:D.
1
【变式 5-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 f (x) = e x ex + + 3，若 f (m) = 2 ，则 f ( m) =x
（ ）
A． 2 B． 4 C． 2 D． 4
【答案】D
g (x) f (x) 3 e x ex 1 g ( x) ex e x 1【解析】令 = = + = = g (x) x ，则 x ，
∴g (x)为定义在 ( ∞ ,0)U(0,+∞)上的奇函数，∴g (m) + g ( m) = 0 ，
即 f (m) 3+ f ( m) 3 = 0 ，∴ f ( m) = 6 f (m) = 4 .故选：D.
【变式 5-5】（2022·上海·高三统考学业考试）已知函数 f (x) = x + ln( x2 +1 x) 5 (x∈[ 2016,2016])的最
大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝（ ）
A．－10 B．10 C．5 D．－5
【答案】A
【解析】设 g(x) = f (x) + 5 = x + ln( x2 +1 x) ，
则 g(x) + g( x) = x + ln( x2 +1 x) x ln( x2 1 x) = ln ( x2 +1 x)( x2 + + + +1+ x)

= ln1= 0
∴ g( x) = g(x) ， g(x) 是奇函数，因此 g(x)min + g(x)max = 0 ，
又 g(x)min = f (x)min + 5 = m + 5， g(x)max = f (x)max + 5 = M + 5 ，
∴ g(x)min + g(x)max = M + 5+m + 5 = 0 ， M +m = 10 ．故选：A．
【题型 6 函数的对称性及应用】
【例 6】（2022·
4
四川资阳·统考二模）已知函数 f (x) = 2x + x (x∈R)，则 f (x)的图象（ ） 2
A．关于直线 x =1对称 B．关于点 (1,0)对称
C．关于直线 x = 0 对称 D．关于原点对称
【答案】A
x
【解析】对于 A 项，由已知可得， f (2 x) = 22 x 4 2 4 x 4+
22 x
= 4 + x = 2 + x = f (x)， 4 2 2
所以 f (x)的图象关于直线 x =1对称，故 A 项正确；
4
对于 B 项，因为 f (2 x) == 2x + 2x ，则
f (2 x) ≠ f (x)，故 B 项错误；
对于 C 项， f ( x) = 2 x 4 4 2x 1+ x = + x ，则 f ( x) ≠ f (x)2 2 ，故 C 错误；
1
对于 D 项，因为 f ( x) = 4 2x + x ，则 f ( x) ≠ f (x)，故 D 错误.故选:A. 2
【变式 6-1】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)满足
f (x) + f (2 x) = 2, g (x) x= ，若函数 y = f (x)与 y = g (x)x 1 的图像恰有四个交点，则这四个交点的横坐标
之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】因为函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)满足 f (x) + f (2 x) = 2 ，
所以，函数 y = f (x)图像关于点 (1,1)对称，
( ) x (x 1) +1因为 g x 1= = =1+ ，
x 1 x 1 x 1
y 1其图像由 = x 图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
所以，函数 y = g (x)图像关于点 (1,1)对称，
设数 y = f (x)与 y = g (x)的图像的四个交点的横坐标为 x1, x2 , x3, x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
所以，根据对称性， x1 + x4 = x2 + x3 = 2 ，
所以，这四个交点的横坐标之和为 x1 + x4 + x2 + x3 = 4.故选：B
2sin πx(0 ≤ x ≤1)
【变式 6-2】（2021 春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）函数 f (x) =
lg x(x
>1) ，若
a、b、c 互不相等，且 f (a) = f (b) = f (c) ，则 a + b + c 的取值范围是（ ）
A． (1,100) B． (1,11) C． (2,101) D．[2,11]
【答案】C
【解析】函数 f (x) 的图像如图所示：
1
设 a < b < c ，由函数图像数形结合可知： a + b = 2× =12 ，
0 < lg c < 2 ，∴1< c <100
∴2 < a + b + c <101 ．故选：C．
x +1
【变式 6-3】（2022·上海·统考模拟预测）己知函数 f (x) (x∈R )满足 f ( x) = 2 f (x)，若函数 y = x 与
2023
y = f (x)图像的交点为 (x1, y1 ) ,(x2 , y2 ) ,3(x2023, y2023 )，则∑(xi + yi ) =________；
i=1
【答案】2023
【解析】因为 f ( x) = 2 f (x)，所以函数 f (x) (x∈R )关于 (0,1)对称，
y x +1 1 1又 = = +x x 的图像关于
(0,1)对称，
所以两函数的交点也关于 (0,1)对称，
对于每一组对称 (xi , yi )和 (xi′, yi′)，都有 xi + xi′ = 0， yi + yi′ = 2 ．
2023
∑(x y ) 2023从而 i + i = ×2 = 2023．
i=1 2
【题型 7 函数的周期性及应用】
【例 7】（2022 春·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知 f (x)是 R 上的奇函数， f (x + 2)是 R 上的偶函数，
且当 x∈[0,2]时， f (x) = x2 + 2x ，则 f (2021) =___________．
【答案】 3
【解析】 f (x)是 R 上的奇函数∴ f ( x) = f (x)
f (x + 2)是 R 上的偶函数，∴ f (2+ x) = f (2 x)，即 f (4+ x) = f ( x)
∴ f (x +8) = f (x)
∴ f (2021) = f (252×8+ 5) = f (5)
又 f (5) = f ( 1) = f (1)
当 x∈[0,2]时， f (x) = x2 + 2x ，∴ f (1) = 3，∴ f (2021) = f (1) = 3.
【变式 7-1】（2022 春·山东泰安·高三统考期中）已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且对任意实数
x f (x) + f (2 x) = 0 x∈[ 1,0] f (x) 2x 1都有 ，当 时， = ，则 f (log2 63) = ___________. 2
31
【答案】 64
【解析】由于 f (x) 是偶函数，∴当 x∈[0,1] 时， f (x) = f ( x) = 2 x 1 2 ；
由 f (x) + f (2 x) = 0 得 f (x)= f (2 x) ，关于 (1,0) 点对称，
f (x) 2 (2 x) 1 1当1≤ x ≤ 2 时， 0 ≤ 2 x ≤1 ， = = 2x 2 + ，
2 2
并且函数的周期T = 4×(1 0) = 4 ， 25 < 63 < 26 ，5 < log2 63 < 6 ，1< log2 63 4 < 2 ，
f (log 63) = f (log log2 63 4 2 1 31∴ 2 2 63 4) = 2 + = . 2 64
f x + 2 , x ≥ 0
【变式 7-2】（2022·全国·模拟预测）若函数 f (x) =
( )
h (x) , x < 0 的图象关于原点对称，且
f (5) =1，则

h( 2022) + h( 2023) + h( 2024) =（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题可知，当 x ≥ 0 时， f (x) = f (x + 2)，且 f (5) =1，
由题意知 f (x)为奇函数，则 f (0) = 0，
又 h ( 2022) + h ( 2023) + h ( 2024) = f ( 2022) + f ( 2023) + f ( 2024)
= f (2022) + f (2023) + f (2024)

f (2022) = f (2024) = 0, f (2023) = f (5) =1，
则 h ( 2022) + h ( 2023) + h ( 2024) = 1.故选：A.
【变式 7-3】（2022 春·河南·高三期末）已知定义在 R 上函数 f (x)，对任意的 x 有 f (x + 2) + f (x) = 2 3 ，
若函数 f (x +1)的图像关于直线 x= 1对称，则 f (2023)=______.
【答案】 3
【解析】因为函数 f (x +1)的图像关于直线 x= 1对称，
所以函数 f (x)的图像关于 y 轴对称，即函数 f (x)为偶函数，
所以， f (x + 2) = f (x) + 2 3 ， f (x + 4) = f (x + 2) + 2 3 ， f (x + 4) = f (x)，
所以，函数 f (x)的周期T = 4 ， f (2023) = f (505×4+ 3) = f (3) = f ( 1)，
因为 f ( 1) = f (1)，令 x= 1， f (1) = f ( 1) + 2 3 ，所以， f (1) = 3 .
所以 f (2023) = f (505×4+ 3) = f (3) = f ( 1) = f (1) = 3
【变式 7-4】（2022 春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知 f (x) 是定义在 R 上的
偶函数且 f (0) =1， g(x) = f (x 1) 是奇函数，则 f (1) + f (2) + f (3) +L + f (2021) + f (2022) =（ ）
A． 2 B． 1 C． 0 D．1
【答案】B
【解析】由于 g(x) = f (x 1) 是奇函数，图象关于原点对称，
所以 f (x)关于 ( 1,0)对称， g (0) = f ( 1) = 0所以 f ( 2+ x) = f ( x)，
由于 f (x)是偶函数 f ( x) = f (x)，所以 f ( 2+ x) = f ( x) = f (x)，
所以 f (x) = f (x + 2) , f (x + 2) = f (x)，
所以 f (x + 4) = f (x + 2+ 2) = f (x + 2) = ( f (x)) = f (x)，
所以 f (x)是周期为 4 的周期函数.
f (0) =1， f (1) = f ( 1) = 0, f (2) = f (0+ 2) = f (0) = 1，
f (3) = f (1+ 2) = f (1) = 0, f (4) = f (2+ 2) = f (2) =1，
所以 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0 ，
所以 f (1) + f (2) + f (3) +L + f (2021) + f (2022) = 505×0+ f (1) + f (2) = 1.故选：B
【题型 8 利用函数的性质比较大小】
【例 8】（2021 春·江苏淮安·高三江苏省盱眙中学校考期中）已知 f (x + 2)是偶函数，当 2 < x1 < x2 时，
f (x2 ) f (x1) > 0 1 恒成立，设 a = f ，b = f (3) ， c = f (4)x x 2 ，则 a、b、c 的大小关系为（ ） 2 1
A．b < a < c B． c < b < a C．b【答案】A
f (x ) f (x )
【解析】因为当 2 < x1 < x2 时， 2 1 > 0x x 恒成立， 2 1
因为 x2 x1 > 0 ，所以 f (x2 ) f (x1) > 0 ，即 f (x1) < f (x2 ) ，
所以 f (x) 在 (2,+∞) 上是增函数，
又因为函数 f (x + 2)是偶函数，则 f ( x + 2) = f (x + 2) ，
3 3 1 7
x 3= f + 2 = f 令
7
2 ，得 2
+ 2 ，即 f = f ，即 a = f
2
，
2 2 2
3 7因为 < < 42 ，
f (x) 在 (2,+∞) 上是增函数，
所以 f (3) < f
7
< f (4)，即b < a < c.2 故选：A.
【变式 8-1】（2022 春·福建莆田·高三校考阶段练习）若函数 f (x + 2)为偶函数，对任意的 x1,x2∈ [2,+∞) ，
且 x1 ≠ x2 ，都有 (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) < 0 ，则（ ）

A． f (log2 6) < f (0) < f log1 0.2 B． f log1 0.2 < f (0) < f (log2 6)
2 2

C． f log1 0.2 < f (log2 6) < f (0) D． f (0) < f (log2 6) < f log1 0.2
2 2
【答案】D
【解析】由题意知函数 f (x + 2)为偶函数，故函数 f (x)关于直线 x=2 对称，
由对任意的 x1,x2∈ [2,+∞) ，且 x1 ≠ x2 ，都有 (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) < 0 ，
可知函数 f (x)在 x∈ [2,+∞) 时单调递减，

而 f (0) = f (4), f log1 0.2 = f (log25)，
2

因为 2 2
【变式 8-2】（2022·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数 f (x) 为 R 上的偶函数，对任意不
f x f x
相等的 x1, x2 ∈ ( ∞ ,0)
(
，均有 1
) ( 2 ) < 0 a ln 2 ln 3= f ,b = f ,c = f ln5
x1 x
成立，若 2 3 ，则 a，b，c 的大2 5
小关系是（ ）
A． c < b < a B． a < c < b C． a < b < c D． c < a < b
【答案】D
f (x ) f (x )
【解析】∵对任意不等x x ∈ ∞ ,01， 2 ( )，均有 1 2 < 0x x 成立， 1 2
∴此时函数在区间 ( ∞ ,0)上为减函数，
又∵ f (x) 是偶函数，∴当 x∈(0,+∞ )时， f (x) 为增函数．
由 ln 52 < ln 25 2ln 5 < 5ln 2
ln 5 ln 2
< ， ln 32 > ln 23 2ln 3 > 3ln 2
ln 3 ln 2
>
5 2 3 2 ，
ln 5 ln 2 ln 3 f ln 3 > f ln 2 ln 5所以 < < ，所以 > f

5 2 3 ，即 c < a < b .故选：D． 3 2 5
【变式 8-3】（2022 春·山西运城·高三统考期中）已知函数 f (x)满足：①定义域为 R ，② f (x +1)为偶
函数，③ f (x + 2)为奇函数，④对任意的 x1, x2 ∈[0,1]，且 x1 ≠ x2 ，都有 (x1 x2 )( f (x1 ) f (x2 )) > 0 ，则
f 7 2 11 3
, f , f 的大小关系是（ ）
3 3
A f 7 < f 2 11 7 11 2 ． 3
< f B f < f < f
3 3 ． 3 3 3
C f 11 f 7 f 2 D f 11 f 2 f 7． <

3
< < <
3 3
． 3 3 3
【答案】C
【解析】∵ f (x +1) 在 R 上为偶函数，
∴ f (x +1) = f ( x +1) ，∴ f (x) 关于 x=1 对称.
∵ f (x + 2) 在 R 上为奇函数，∴ f (x + 2) + f ( x + 2) = 0 ，
∴ f (x) 关于 (2,0) 对称，且 f (2)=0
∵ f (x +1) = f ( x +1) ，∴ f (x) = f ( x + 2)（将上式中的 x 换成 x-1）
又∵ f (x + 2) + f ( x + 2) = 0 ，∴ f ( x + 2) = f (x + 2) ②
∴由①②得： f (x) = f (x + 2) ③
∴由③得： f (x+2) = f (x + 4) ④ （将③中的 x 换成 x+2）
∴由③④得： f (x) = f (x + 4)
∴ f (x) 的一个周期为T = 4 ，且 f (0)=0 ， f (x) 关于 (0,0) 对称
又∵对任意的 x1, x2 ∈[0,1]，且 x1 ≠ x2 ，都有 (x1 x2 )( f (x1 ) f (x2 )) > 0 ，
∴ f (x) 在[0,1]上单调递增.
∴ f (x) 在一个周期内的草图为：
7 7
∴ f ( ) = f ( + 4)
5 5 1 11 11 1
= f ( ) = f (2 ) = f ( ) f ( ) = f ( 4) = f ( )
3 3 3 3 3 ， 3 3 3 ，
f ( 1) f (1) f (2) f (11 7∴如图所示： < < ，即： ) < f ( ) < f (
2) C.
3 3 3 3 3 3 ，故选：
【题型 9 利用函数的性质解不等式】
【例 9】（2023·全国·高三专题练习）定义在 (0,+∞ )上的函数 f (x)满足：对 x1, x2 ∈(0,+∞)，且 x1 ≠ x2 ，
x2 f (x1 ) x1 f (x2 ) > 0 f x都有 x x 成立，且 f (2) = 4 ，则不等式
( )
> 2 的解集为（ ）
1 2 x
A． (4,+∞) B． (0,4) C． (0,2) D． (2,+∞)
【答案】D
【解析】令 g (x) f (x)= ，
x
x f (x ) x f (x )
因为对 x1、x2 ∈(0,+∞)，且 x ≠ x ，都有 2 1 1 21 2 > 0x1 x
成立，
2
不妨设 0 < x1 < x2 ，则 x1 x2 < 0 ，故 x2 f (x1 ) x1 f (x2 ) < 0，
f (x
则 1
) f (x )
< 2 ，即 g (x ) < g (x )x1 x
1 2 ，
2
所以 g (x)在 (0,+∞ )上单调递增，
f 2 f x
又因为 f (2) = 4 ，所以 g (2) ( )= = 2 ，故 ( ) > 2 可化为 g (x) > g (2)，
2 x
所以由 g (x) f x的单调性可得 x > 2 ，即不等式 ( ) > 2 的解集为 (2,+∞) .故选：D.
x
【变式 9-1】（2022 春·河南驻马店·高三统考阶段练习）定义在 R 上的函数 f (x)满足：对任意的
x1, x2 (
f x
x (≠ x )，有 1
) f (x2 )
1 2 < 0 ， f (2) = 3，则不等式 f (x) 2x +1< 0x x 的解集为（ ） 1 2
A． (3,+∞) B． (2,+∞) C． ( ∞,3) D． ( ∞, 2)
【答案】B
( ) ( ) f (x1 ) f (x )【解析】在 R 上的函数 f x 满足：对任意的 x1, x x ≠ x ，有 22 1 2 < 0x x ， 1 2
所以 f (x)在 R 上单调递减，
令 g (x) = f (x) 2x +1，则 g (x)在 R 上单调递减，且 g (2) = 0 ，
则由 g (x) < 0 ，即 g (x) < g (2)，得 x > 2 ，
所以不等式 f (x) 2x +1< 0 的解集为 (2,+∞)．故选：B．
【变式 9-2】（2022 春·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知函数 f (x)的定义域
为{x∣x∈ R,x ≠ 0}，对定义域内任意 x1, x2 ，都有 f (x1x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )，且当 x >1时， f (x) > 0, f (16) = 4 ，
则不等式 f (x) + f (3) > 2 的解集为（ ）
A ∞ , 4 3 ∪ ,0 3 4∪ 0, ∪ ,+∞ B 4 , 3 3 ∪ ,1 ∪ 4 ． 3 4 4 3 ．
,+∞
3 4 4 3
C ∞ , 4 3 3 4 4 3 3 4． ∪ 1,

∪

,1 ∪

,+∞

D

． , ∪

0,
∪ ,+∞
3
4 4 3 3 4 4 3
【答案】A
【解析】由于对定义域内任意 x1, x2 ，都有 f (x1x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )，
取 x1=x2 =1, 则 f (1)=2f (1) f (1)=0 ，
取 x1=x2 = 1, 则 f (1)=2f ( 1) f ( 1)=0 ，
x1=x,x2 = 1, 则 f ( x)=f (x)+f ( 1)=f (x)，所以 f (x)是偶函数，
x
令 0 < x1 < x2 ，则 2 >1, f x > 0x 由 x >1时， ( ) 得 1
f (x ) =f x x2 =f (x )+f x2 f (x ) f (x )=f x 2 1 x 1 x 2 1
2 >0 f (x2 ) f (x1 )>0 ，
1 1 x1
所以 f (x)在 (0,+∞ )上单调递增， f (16)=2f (4)=4 f (4)=2
由于 f (1)=0 ，当 x >1时，原不等式可化为： f (x) + f (3) > f (4)，
即 f (3x)>f (4) 3x>4 x> 43 ，
当 0 < x <1时，原不等式可化为： f (x) + f (3) > f (4)，
即 f (3)>f (4)+f (x)=f (4x)， f (4x)3 4
当 x < 0 时，由 f (x)是偶函数可得
故原不等式的解集是： ∞ ,
4 3 3 4
∪

,0
∪ 0, ∪ ,+∞

3 4 ,故选：A 4 3
【变式 9-3】（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知 g (x)为定义在 R 上的奇函数，且对任意的非负
g
数 a b ，有 (a) g (b) < 0，且 f (x) = g (x) + 2 ，若 f (m) + f (m 2) > 4 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
a b
A． (3,+∞) B． ( ∞,3) C． (1,+∞) D． ( ∞,1)
【答案】D
g a g b
【解析】因为对任意的非负数 a b ,有 ( ) ( ) < 0,
a b
故函数 g (x)在 R 上为单调递减函数，
又 f (x) = g (x) + 2 ， f (m) + f (m 2) > 4 ，所以 g (m) + 2+ g (m 2) + 2 > 4 ,即 g (m) > g (m 2) ,
因为 g (x)为奇函数，则 g (m) > g (2 m) ,所以 m < 2 m ,解得 m <1,
所以实数 m 的取值范围是 (-∞，1) .故选：D
【变式 9-4】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 f (x) = lg(| x | +1) + 2x + 2 x ，则使不等式 f (x +1) < f (2x) 成
立的 x 的取值范围是（ ）
A． ( ∞, 1)∪ (1,+∞) B ( 2, 1) C ( ,
1
． ． ∞ )∪ (1,+∞) D． (1,+∞) 3
【答案】C
【解析】函数 f (x) = lg(| x | +1) + 2x + 2 x 定义域为 ( ∞,0) (0,+∞) ，
显然有 f ( x) = lg(| x | +1) + 2 x + 2x = f (x) ，即函数 f (x) 是偶函数，
当 x > 0 时， f (x) = lg(x +1) + 2x + 2 x ，令 g(x) = 2x + 2 x (x > 0) ，
x1, x2 ∈ (0,+∞) ， x1 < x2 ， g(x1) g(x x12 ) = 2 + 2 x1 2x2 2 x = (2x 2x )(1
1
2 1 2
x x ) ， 2 1 2 2
因 0 < x1 < x
1
2 ，则1< 2x1 < 2x2 ，即 2x1 2x2 < 0 ，1 2x
> 0
2x ， 1 2
有 g(x1) < g(x2 ) ， g(x) 在 (0,+∞)上单调递增，
又 y = lg(x +1) 在 (0,+∞)上单调递增，因此， f (x) 在 (0,+∞)上单调递增，
于是得 f (x +1) < f (2x) f (| x +1|) < f (| 2x |) | x +1|<| 2x |
1
，解得 x < 3 或 x >1，
所以不等式 f (x +1) < f (2x)
1
成立的 x 的取值范围是 ( ∞, )∪ (1,+∞) .故选：C 3
【题型 10 类周期函数及应用】
【例 10】（2020 春·全国·高三校联考阶段练习）设函数 f (x)的定义域为 R ，满足3 f (x) = f (x +1)，且当
x∈(0,1]时， f ( x) = x2 x, 54若对任意 x∈( ∞, a]，都有 f (x) ≥ 25 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A 12 13 ． ∞, B． ∞, 5 C． ( ∞ , 2] D． ( ∞,3] 5
【答案】A
【解析】因为 f (x) = x2 x 1对称轴为 x = ，所以当 x∈(0,1] f (x) = x2 x 12 时， 的最小值为 4 ；
当 x∈( 1,0]时， x +1∈(0,1], f (x +1) = (x +1)2 (x +1)，
由3 f (x) = f (x +1) 1知， f (x) = f (x +1)3 ，
1
所以此时 f (x) = (x +1)
2 1 (x +1)
3 ，其最小值为

12 ；
2
同理，当 x∈(1,2]时， f (x) = 3 (x 1) (x 1) 3 ，其最小值为 4 ；
当 x∈(2,3]时， f ( x) = 9 (x 2)
2 (x 2) 9 的最小值为 ； 4
9 54 3
作出如简图，因为 < < ，要使 f (x) 54≥ ， 4 25 4 25
则有9 (x
54 12 13
2)2 (x 2) ≥ .解得 x ≤ 或 x ≥ ， 25 5 5
要使对任意 x∈( ∞,a] f (x) 54
12
，都有 ≥ 25 ，则实数
a 的取值范围是 ∞, .故选: A . 5
【变式 10-1】（2022·高一课时练习）设函数 f (x)的定义域为 R，满足 f (x +1) = 2 f (x)，且当 x∈(0,1]时，
f (x) = x (x 1)．若对任意 x∈( ∞,m] 8，都有 f (x) ≥ ，则 m9 的取值范围是（ ）
A 9 ∞, B , 7． ． ∞

4 3 C

． ∞,
5
2 D
8
． ∞,
3
【答案】B
1 1
【解析】当 1< x ≤ 0 时， 0 < x +1≤1，则 f (x) = f (x +1) = (x +1) x ； 2 2
当1< x ≤ 2 时， 0 < x 1≤1，则 f (x) = 2 f (x 1) = 2(x 1)(x 2)；
当 2 < x ≤ 3 时， 0 < x 2 ≤1，则 f (x) = 2 f (x 1) = 22 f (x 2) = 22 (x 2)( x 3)，……
3

1 (x +1) x, 1< x ≤ 0,
2

由此可得 f (x) = x (x 1) ,0 < x ≤1, 由此作出函数 f (x)的图象，如图所示．
2(x 1)(x 2) ,1< x ≤ 2,

22 (x 2)(x 3) , 2 < x ≤ 3,
3
由图可知当 2 < x ≤ 3 时，令 22 (x 2)(x 3) 8 = 9 ，
7 8
整理得 (3x 7)(3x 8) = 0 ，解得 x = x = 3 或 3 ，将这两个值标注在图中．
要使对任意 x∈( ∞, m]都有 f (x) 8≥ 9 ，
7
必有 m ≤ ，即实数 m
7
的取值范围是 ∞,
.
3 3 故选：B．
【变式 10-2】（2022 春·陕西咸阳·高一校考期中）设函数 f (x)的定义域为 (1,+∞)，满足 f (2x) = 2 f (x)，
且当 x∈(1,2]时， f (x) = (x 1)(x 2)，若对任意 x∈(1, m]，都有 f (x) ≥ 1，则 m 的取值范围是（ ）
A． (1,6 2 B． (1,6+ 2 C． (1,12 2 2 D． (1,12+ 2 2
【答案】C
【解析】 Q f (2x) = 2 f (x) ,∴ f (x) 2 f ( x= ) , 2
当 x∈(1,2]时， f (x) = (x 1)(x 2) 3 3 1在 (1, ]上递减，在 (1, ]上递增，值域为[ ,0]2 2 4 ，
当 x∈ (2, 4]
x
时， ∈ (1,2] ， f (x) = 2 f (
x ) 2(1 x 1)(1= x 2) ，值域为[ 1 ,0] 2 2 2 2 2 ，
当 x∈ (4,8]
x
时， ∈ (2,4]， f (x) = 2 f (
x ) 4(1 x 1)(1= x 2) ，值域为[ 1,0]2 2 4 4 ，
当 x∈ (8,16]
x
时， ∈ (4,8]， f (x) = 2 f (
x ) 8(1= x 1)(1 x 2)
2 2 8 8 在
(8,12] 上递减，在[12,16]上递增，
且当 x =12 时， f (x)min = f (12) = 2，
1 1
令 f (x) = 8( x 1)( x 2) = 1，解得 x1 =12 2 2, x2 =12+ 2 28 8 ，
即当8 < x ≤12 2 2 时， 1≤ f (x) < 0 ，当12 2 2 < x <12+ 2 2 时， f (x) < 1，
所以当 m ≤12 2 2 时，对任意 x∈(1, m]都有 f (x) ≥ 1，
即 m 的取值范围是 (1,12 2 2 ，故选：C
【变式 10-3】（2019 春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）定义域为 R 的函数 f (x)满足
2 x x, x∈[0,1)f ( x + 2) = 4 f ( x)，当 x∈[0,2)时， f (x) = ,若 x∈[ 2，0) 时,对任意的 t∈[1，2)
log (x +1), x∈[1, 2)
都有
2
f (x) t a≥
16 8t 2 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． ( ∞，2] B． [2，+∞) C． ( ∞，6] D．[6，+∞)
【答案】D
【解析】当 x∈[ 2, 1)时， x + 2∈[0,1)
∴ f (x) 1= f (x + 2) 1= (x + 2)2 (x + 2) 1= x2 + 3x + 2
4 4 4 ( )
3 1
∴ x∈[ 2, 1) 时， f (x) = f = min 2 16
当 x∈[ 1,0)时， x + 2∈[1,2) 1∴ f (x) = f (x 1+ 2) = log 2 (x + 3) 4 4
∴ x∈[ 1,0) 1时， f (x) = f 1 =min ( ) 2
∴ x∈[ 2,0)时， f (x) 1 t a 1= ，即 ≤ 对 t∈[1,22 )min 16 16 8t 16 恒成立
即： 2a ≥ t3 + t 2 对 t∈[1,2)恒成立
令 g (t ) = t3 + t 2 ， t∈[1,2)，则 g′(t ) = 3t 2 + 2t
当 t∈[1,2)时， g′(t ) > 0 ，则 g (t )在[1,2)上单调递增
∴g (t ) < g (2) =12∴2a ≥12，解得： a∈[6,+∞)
【变式 10-4】（2022 春·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）（多选）设函数 f (x) 的定义域为 R，满
足 f (x) = 2 f (x 2) ，且当 x∈ (0, 2]时， f (x) = x(2 x) ，若对任意 x∈ ( ∞,m] ，都有 f (x) ≤ 3 ，则实数 m 的取
值可以是（ ）
A．3 B．4 C 9． D
11
．
2 2
【答案】ABC
【解析】因为函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x) = 2 f (x 2) ，且当 x∈ (0, 2]时， f (x) = x(2 x) ，
所以当 x∈ (2, 4]时， f (x) = 2(x 2)[2 (x 2)] = 2(x 2)(4 x) ，
当 x∈ (4,6]时， f (x) = 4[(x 2) 2][4 (x 2)] = 4(x 4)(6 x) ，
函数部分图象如图所示，
由 4(x 4)(6 x) = 3 ，得 4x2
9 11
40x + 99 = 0 ，解得 x = 或 x = 2 2 ，
因为对任意 x∈ ( ∞,m] ，都有 f (x) ≤ 3 ，
9
所以由图可知 m ≤ ，故选：ABC 2
限时检测
（建议用时：60 分钟）
1．（2022·河南·统考一模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
x x x
A． f (x) = sin x x2 B． f (x) = ln(2 x) ln(x + 2) C． f (x) e + e D． f (x) = 2 - 1=
2 2x +1
【答案】D
【解析】对于 A 选项，因为 f (x) = sin x x2 的定义域为 ( ∞,+∞)，
π 2 2 2 2但 f = sin
π π 1 π ， f π = = sin π π π
= 1 ，
2 2 2 4 2 2 2 4
故 f
π π≠ f 2 2 2 ，所以函数 f (x) = sin x x 不是奇函数，不符合条件，A 错误；
对于 B 选项，函数 f (x) = ln(2 x) ln(x + 2) 的定义域为 ( 2,2)，
f (1) = ln 3， f ( 1) = ln 3 ， f ( 1) > f (1)，
函数 f (x) = ln(2 x) ln(x + 2) 在 ( 2,2)不是增函数，不符合条件，B 错误；
x x
对于 C 选项，函数 f (x) e + e= 的定义域为 ( ∞,+∞)，
2
e x + ex x xf ( x) = = f (x)，函数 f (x) e + e= 为偶函数，不符合条件，C 错误；
2 2
x x x
D 选项，因为函数 f (x) = 2 - 1x 的定义域为 ( ∞,+∞)， f ( x)
2 1 1 2
= x = x = f (x)， 2 +1 2 +1 1+ 2
x
所以函数 f (x) 2 1= x 为奇函数， 2 +1
2
将函数式变为 f (x) =1 x ，因为函数 y = 2x 在 ( ∞,+∞)2 1 单调递增，且 2
x > 0 ，
+
所以函数 y = 2x +1在 ( ∞,+∞)单调递增，且 2x +1>1，
2
所以函数 y = x 在 ( ∞,+∞)
2
2 +1 单调递减，且
0 <
2x
< 2 ，
+1
2
所以随着 x 增大，函数 f (x) =1 2x 1 的函数值也增大， +
即 f (x)是单调递增函数，符合条件.故选：D.
2．（2023 春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）已知函数 f (4x + 3)的周期为 1，则（ ）
A． f (x + 2) f (x 2) = 0 B． f (x +1) f ( x) = 0
C． f (x + 2) + f (x 2) = 0 D． f (x +1) + f (1 x) = 0
【答案】A
【解析】因函数 f (4x + 3)的周期为 1，
则 f (4x + 3) = f 4 (x + 1) + 3 = f (4x + 7) .
令 4x = t ，则 f (t + 3) = f (t + 7)，得 f (x) 的周期为 4，则 f (x + 4) = f (x) .
f (x + 2) = f (x 2) f (x + 2) f (x 2) = 0，故 A 正确，C 错误.
又由 f (x + 4) = f (x)，可得 f (x + 1) = f (x 3) = f (x + 5)，故 B，D 错误.故选：A
3．（2022 春·甘肃白银·高三校考阶段练习）若偶函数 f (x)在 ( ∞ , 1]上是增函数，则（ ）
A． f
3
< f ( 1) < f (2) B． f (2) f
3
< < f ( 1)
2 2

C． f (2) < f ( 1)
3
< f D f ( 1) f
3． < < f (2)
2 2
【答案】B
【解析】因为 f (x)
3
在 ( ∞ , 1] 3 上是增函数，且 2 < < 1，所以 f ( 2) < f < f ( 1) 2 2 ，
又 f (x)
3
为偶函数，所以 f ( 2) = f (2)，则 f (2) < f < f ( 1) 2 ，故选：B．
4．（2023·全国·模拟预测）已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，满足 f (x) = f (2 x)，则 f (2022) =（ ）
A．2 B．1 C． 1 D．0
【答案】D
【解析】因为函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f (x) = f (2 x)，
所以 f (2 + x) = f ( x) = f (x) ，所以 f (x + 4) = f (x) ，
即函数 f (x) 是周期为 4 的周期函数，
因为函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0) = 0 ，
因为 f (x) = f (2 x)，所以 f (2) = f (0) = 0 ，
又因为 2022 = 4×505+ 2 ，所以 f (2022) = f (2) = 0 ，故选： D .
x2 ax a + + , (x <1)
5．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知函数 f (x) =

4 ，若 y = f (x)在 ( ∞,+∞)
a
x , (x ≥1)
上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[2,4] B． (2,4) C． (2,+∞) D．[2,+∞)
【答案】A
【解析】 f (x)在 ( ∞,+∞)上单调递增；
a
≥12 a ≥ 2
∴ a >1

a >1 ，解得 2 ≤ a ≤ 4 ；

12 a a

+ + ≤ a1 a ≤ 4
4
所以实数 a 的取值范围为[2,4]．故选：A．
6．（2023·广西梧州·统考一模）已知定义在 R 上的函数 f (x) 在 ( ∞,1]上单调递增，若函数 f (x +1) 为偶
函数，且 f (3) = 0 ，则不等式 xf (x) > 0 的解集为（ ）
A． ( 1,3) B． ( ∞, 1)∪ (3,+∞) C． ( ∞, 1)∪ (0,3) D． ( 1,0) (3,+∞)
【答案】C
【解析】由函数 f (x +1) 为偶函数，知函数 f (x) 关于 x =1对称，
又函数 f (x) 在 ( ∞,1] 上单调递增，知函数 f (x) 在 (1,+∞)上单调递减，
由 f (3) = 0 ，知 f ( 1) = 0 ，作出函数的图象，如下：
由图可知，当 x < 1时， f (x) < 0，则 xf (x) > 0 ；
当 1< x < 0 时， f (x) > 0 ，则 xf (x) < 0 ；
当 0 < x < 3 时， f (x) > 0 ，则 xf (x) > 0 ；
当 x > 3时， f (x) < 0，则 xf (x) < 0 ；
所以不等式 xf (x) > 0 的解集为： x < 1或 0 < x < 3 ，故选：C
x π
7 2 π ．（2023 春·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知 f (x) = + ax + cos 2x ，若 f = 2 ，则 f 2x +1 3 3
等于（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】 f (x) 2
x
= + ax + cos 2x ，
2x +1
2x 2 x 2x 1
∴ f (x) + f ( x) =
2x
+
+1 2 x
+ 2cos 2x = x + + 2cos 2x =1+ 2cos 2x ， +1 2 +1 1+ 2x
∴ f (π ) + f ( π ) =1+ 2cos 2π = 0,
3 3 3
Q f π = 2 ∴ f π ， = 2，故选：A.
3 3
8．（2022 春·陕西·高三校联考阶段练习）已知定义在 R 上的函数 f (x) = aex x2 ，对任意两个不相等的
实数 x1, x2 (x1 > x2 )满足不等式 f (x1 ) f (x2 ) > 4x2 4x1 ，则实数 a 的最小值为（ ）
A 1． 3 B
2
． 3 C
3
． 3 D
4
． e e e e3
【答案】B
【解析】对任意两个不相等的实数 x1, x2 (x1 > x2 )，
满足不等式 f (x1 ) f (x2 ) > 4x2 4x1 ，即 f (x1 ) + 4x1 > f (x2 ) + 4x2 ，
对任意两个不相等的实数 x1, x2 (x1 > x2 )恒成立，
令 h(x) = f (x) + 4x ，则对任意两个不相等的实数 x1, x2 ，
当 x1 > x2 时，有 h (x1 ) > h (x2 )，则有 h(x) 在 R 上单调递增，则 h′ (x) ≥ 0 在 R 上恒成立，
由 h(x) = f (x) + 4x = aex x2 + 4x ，所以 h′(x) = aex 2x + 4 ≥ 0 在 R 上恒成立，
2x 4
因为 ex > 0 ，所以问题等价于 a ≥ ex 在 R 上恒成立，
2x 4
即求解u(x) = x 在 Re 上的最大值，
x x
由u′(x)
2e (2x 4)e 2x + 6
= =
( 2 x ex ) e ，
当 x < 3时，u′(x) > 0 ，此时u(x) 在 ( ∞,3)上单调递增，
当 x > 3时，u ′ (x) < 0 ，此时u(x) 在 (3,+∞)上单调递减，
所以u(x)max = u(3)
2×3 4 2 2
= =
e3 e3 ，所以
a ≥
e3 ，
2
故实数 a 的最小值为 3 ，故选：B. e
9．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）（多选）函数 f (x) , g (x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶
函数，且 f (x) g (x) = x3 + x2 1，则（ ）
A． f ( 1) = 1 B． g ( 1) = 2 C． f (1) + g (1) =1 D． f (1) + g (1) = 2
【答案】AC
【解析】由 f (x) g (x) = x3 + x2 1得： f ( x) g ( x) = x3 + x2 1，
又 f (x) , g (x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，∴ f (x) g (x) = x3 + x2 1；
f (x) g (x) = x3 + x2 1
由 f (x) = x3 g (x) = x2 +1
f (x) g (x) = x3 + x2 1
得： ， ；
对于 A， f ( 1) = ( 1)3 = 1，A 正确；
对于 B， g ( 1) = ( 1)2 +1= 0 ，B 错误；
对于 CD， f (1) + g (1) =1 1+1=1，C 正确，D 错误.故选：AC.
10．（2021 春·广东深圳·高三深圳市龙华中学校考阶段练习）（多选）已知函数 f (x) = ln (x 2) + ln (6 x)，
则（ ）
A． f (x)在 (2,6)上单调递增 B． f (x)在 (2,6)上的最大值为 2ln 2
C． f (x)在 (2,6)上单调递减 D． y = f (x)的图像关于直线 x = 4 对称
【答案】BD
【解析】 f (x) = ln (x 2) + ln (6 x) = ln (x 2)(6 x)，定义域为 (2,6)，
令 t = (x 2)(6 x)，则 y = ln t ，
二次函数 t = (x 2)(6 x)的图像的对称轴为 x=4，
∴ f (x)的图像关于直线 x=4 对称，且在(2，4)上递增，在(4，6)上递减,
当 x=4 时， f (x) = lnmax (4 2)(6 4) = ln 4 = 2ln 2 ,故选：BD.
11．（2023 春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）已知定义域为 R 的函数 f (x)在 ( 1,0]上
单调递增， f (2 + x) = f (2 x)，且图象关于 (3,0)对称，则 f (x)（ ）
A．周期T = 4 B．在 (0,2]单调递减
C．满足 f (2021) < f (2022) < f (2023) D．在[0,2023]上可能有 1012 个零点
【答案】ABD
【解析】A 选项：由 f (2+ x) = f (2 x) 知 f (x) 的对称轴为 x = 2 ，且 f (4 + x) = f ( x) ，
又图象关于 (3,0)对称，即 f (3+ x) = f (3 x) ，故 f (6+ x) = f ( x) ，
所以 f (4+ x) = f (6+ x) ，即 f (x) = f (2+ x)，所以 f (x) = f (x + 4) ， f (x) 的周期为 4，正确；
B 选项：因为 f (x) 在 ( 1,0]上单调递增，T = 4 ，所以 f (x) 在 (3,4]上单调递增，
又图象关于 (3,0)对称，所以 f (x) 在 (2,3]上单调递增，
因为关于 x = 2 对称，所以 f (x) 在 (1,2]上单调递减， f (1) = f (3) = 0，
故 f (x) 在 (0,2]单调递减，B 正确；
C 选项：根据周期性， f (2021) = f (1) ， f (2022) = f (2)， f (2023) = f (3) ，
因为 f (x) 关于 x = 2 对称，所以 f (1) = f (3) = 0， f (2) < f (1) ，
故 f (2022) < f (2021) = f (2023) ，错误；
D 选项：在[0,4)上， f (1) = f (3) = 0， f (x) 有 2 个零点，
所以 f (x) 在[0,2020)上有 1010 个零点，在[2020,2023]上有 2 个零点，
故 f (x) 在[0,2023]上可能有 1012 个零点，正确，故选：ABD．
12．（2022 春·江苏南通·高三统考阶段练习）（多选）已知函数 f (x) 及其导函数 f ′(x) 的定义域均为 R，
记 g(x) = f ′(x) ， f (2x 1) + f (3 2x) = f ( 2) ， g(1 x) + g( 3x) g
1= 2 ，则（ ）
A． f (4) = 0 B． g(2) = g( 1) g
1 C．
= 0 g(2022) = g(0)
2
D．

【答案】ACD
【解析】 f (2x 1) + f (3 2x) = f ( 2),
令 x
1
= ，得 f ( 2) + f (4) = f ( 2)，∴ f (4) = 0 ，所以 A2 正确.
令 t = 2x 1，则 f (t) + f (2 t) = f ( 2)
求导数得， f ′(t) f ′(2 t) = 0 ，即 g(t) = g(2 t)
所以 g(x) 关于 x =1对称，∴g(1 x) = g(1+ x)

g(1 x) + g( 3x) g
1
= （ ）

又因为 2 ∴g( 3x) = g(3x) ，所以 g(x)1 为偶函数. g(1+ x) + g(3x) = （g ）
2
∴g(x) = g( x) = g(2 x) ， g(x) 的周期为 2.
因为 g(x) 为周期为 2 的偶函数，所以 g(2) = g(0), g( 1) = g(1)
令 x = 0 时， g(2) + g(
1
1) = g(1) + g(0) = g( )
2
x 1 g(3令 = ，得 ) + g(
3) = g( 1 )
2 2 2 2
3 1 1
g( ) = g( )∴g( ) = 0 ，所以 B 不正确，C 正确. 2 2 2
因为 g(x) 的周期为 2，∴g(2022) = g(0) ，所以 D 正确.故选：ACD.
13．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 f (x) = x3 (a 2x 2 x )是奇函数，则 a = ______.
【答案】-1
【解析】设 g (x) = a·2x 2 x ，因为 f (x) = x3·g (x)是奇函数，
所以 f ( x) = ( x)3·g ( x) = f (x) = x3·g (x)，
即 g ( x) = g (x)即 a·2 x 2x = a 2x 2 x ，
整理得到 (a +1)(2x 2 x ) = 0，故得 a = 1.
14．（2022·
1
河南·统考一模）已知 f (x) 为 R 上的奇函数，当 x∈[0,+∞) 时， f (x) = 2x x +1 ，则不等式
f (3x 1) < f (1 x) 的解集为___________.
1
【答案】 ( ∞, ) 2
1
【解析】由函数 y = 2x 与 y = 均在[0,+∞)x 1 上单调递增， +
故 f (x) 在[0,+∞) 上单调递增，
而 f (x) 为 R 上的奇函数，故 f (x) 在 R 上单调递增，
f (3x 1) < f (1 x) 1等价于3x 1<1 x ，得 x < . 2
15 1．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知函数 g (x) = + ln x 在[1,+∞)x sinθ 上为增函数．且
θ ∈(0,π)， f (x) = mx m 1 ln x (m∈R)． x
（1）求θ 的值；
（2）若 f (x) g (x)在[1,+∞)函数是单调函数，求 m 的取值范围．
π
【答案】（1）θ = ；（2） ( ∞,0] [1,+∞) 2
1 g (x) 1【解析】（ ）由题意，在 = + ln x x sinθ 中
g′(x) 1 1=
sinθ x2
+ ≥ 0 在 x ≥ 1x 时成立
1 1 1
∴ ≥ ∴1≥
x sinθ x2 sinθ x
∵θ ∈( )
1
0,π π，∴ sinθ > 0∴ sinθ ≥ x ∴ sinθ =1解得：θ = max 2
（2）由题意及（1）得 sinθ =1， g (x) 1 1= + ln x = + ln x x sinθ x
在 h (x) = f (x) g (x)中， h (x) = f (x) g (x) = mx m 1 ln x 1 + ln x = mx
m
2ln x
x x x
2
h′(x) m m 2 mx 2x +m= + =
x2 x x2
∵ h (x) = f (x) g (x)在[1,+∞)函数是单调函数
2
在 x ≥ 1时，①m = 0时， h′(x) = < 0x ，恒成立．
2
m ≠ 0 时，对于 h′(x) mx 2x +m② = 2 x
令 K (x) = mx2 2x +m = 0 ∵[1,+∞)上函数为增函数，
1
当 m > 0时，对称轴 x = ，∴使 K (1) ≥ 0 成立，∴m 2+m ≥ 0 ，∴m ≥1 m
当 m < 0 时，使 K (1) ≤ 0 ，解得： m 1∴m < 0
综上， m ≥1或 m ≤ 0
∴m 的取值范围为： ( ∞,0] [1,+∞)
16．（2022 春·安徽滁州·
x +1
高三校考阶段练习）已知函数 f (x) = loga ( ) ，（其中 a > 0 且 a ≠1x ）． 1
（1）判断 f (x)的奇偶性；
（2）若 a >1，判断 f (x)的单调性；
（3）当 f (x)的定义域区间为 (1, a)时， f (x)的值域为 (1,+∞)，求 a 的值．
【答案】（1）奇函数；（2）减函数；（3） a =1+ 2
1 x +1【解析】（ ）由 > 0 得 x < 1或 x >1，即 f (x)的定义域为{x x < 1或 x >1} x ， 1
又 f ( x) log x +1 log x 1
1
= a = a = log
x +1 = f (x)
x 1 x +1 a x 1
故 f (x)为奇函数．
（2） f (x) = log
x +1
a y = log t t
x +1
=
x 1
由 a 和 x 1 复合而成，
a >1时， y = loga t 为增函数，
x +1 2
而 t = =1+ 在 ( ∞, 1)x 1 x 1 和 (
1,+∞)上都为减函数，

由复合函数的单调性知， f (x)在 ( ∞, 1)和 (1,+∞)上都为减函数．
（3）由题意 a >1，由（2）可知 f (x)在 (1,a)上为减函数，
故 f (x) > f (a) = log
a +1
=1 2a
a 1
，即 a 2a 1= 0，

a =1± 2 ，又因为 a >1，故 a =1+ 2

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