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数列中的奇偶项问题
一、真题剖析
【2020年新课标 1卷文科】数列 {an}满足 an+2+ (-1)nan= 3n- 1，前 16项和为 540，则 a1= _____
________
二、题型选讲
题型一、分段函数的奇偶项求和
例1.(2022·南京 9月学情【零模】) (本小题满分 10分 )已知正项等比数列 {an}的前 n项和为 Sn，S3=
7a1，且 a1，a2+ 2，a3成等差数列．
(1)求 {an}的通项公式；
( ) = an，n为奇数，2 若 bn 求数列 {bn}的前 2n项和Tn n 2n．， 为偶数，
变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三 10月月考 )已知等差数列 {an}前n项和为Sn(n∈N+)，数列 {bn}
是等比数列，a1= 3，b1= 1，b2+S2= 10，a5- 2b2= a3.
(1)求数列 {an}和 {bn}的通项公式；
2
(2)若 c = S
,n为奇数
n n ，设数列 {cn}的前n项和为Tn，求T2n.
bn,n为偶数
公众号：高中数学最新试题
变式2.(2022·山东 ·潍坊一中模拟预测 ) a1 + a2 a n已知数列 an 满足 n2 22
+ + =
2n 2n
．
(1)求数列 an 的通项公式；
( 2-n,n为奇数2)对任意的n∈N ，令 bn= 2-n, ，求数列 bn 的前n项和Sn．2 为偶数
n a 1n+1+ ，为正奇数，
变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试 ) (10分 ) 2 2已知数列 {a }满足 2n 2an+ n
2 2 ，n为正偶数．
(1)问数列 {an}是否为等差数列或等比数列 说明理由．
a
(2)求证：数列 2n 是等差数列，并求数列 {a n}的通项公式．2n 2
题型二、含有 (-1)n类型
例2【. 2022·广东省深圳市福田中学 10月月考】已知等差数列 {an}前n项和为Sn，a5= 9，S5= 25.
(1)求数列 {an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)设 bn= (-1)nSn，求 {bn}前n项和Tn.
变式1【. 2022·广东省深圳市育才中学 10月月考】已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且对任意正整数 n，an
= 34 Sn+ 2成立．
(1)bn= log2an，求数列 bn 的通项公式；
(2)设 c n+ 1n= -1 n+1 ，求数列 c 的前n项和T．bnb n nn+1
公众号：高中数学最新试题
变式2.(2021·山东济宁市 ·高三二模 )已知数列 an 是正项等比数列，满足 a3是 2a1、3a2的等差中项，a4
= 16．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn= -1 nlog2a2n+1，求数列 bn 的前n项和Tn．
变式3.(2022·湖北 ·黄冈中学二模 )已知数列 an 中，a1= 2,n an+1- an = an+ 1.
( a + 11)求证：数列 n n 是常数数列；
(2)令 b nn= (-1) an,Sn为数列 bn 的前n项和，求使得Sn≤-99的n的最小值.
题型三、an+ an+1 类型
例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末 )已知数列 an 满足 a1= 1，an+ an+1= 2n；数列 bn 前 n项和为
Sn，且 b1= 1，2Sn= bn+1- 1.
(1)求数列 an 和数列 bn 的通项公式；
(2)设 cn= an bn，求 cn 前 2n项和T2n.
变式1.(2022·江苏苏州 ·高三期末 )若数列 an 满足 an+m= an+ d(m∈N *，d是不等于 0的常数 )对任
意 n∈N *恒成立，则称 an 是周期为m，周期公差为 d的“类周期等差数列”．已知在数列 an 中，
a1= 1，an+ an+1= 4n+ 1(n∈N *)．
(1)求证： an 是周期为 2的“类周期等差数列”，并求 a2,a2022的值；
(2)若数列 bn 满足 bn= an+1- an(n∈N *)，求 bn 的前n项和Tn．
公众号：高中数学最新试题
变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中 ) (10分 )已知等差数列 {an}满足 an+ an+ 1=
4n，n∈N *．
(1)求 {an}的通项公式；
(2) = + = an，n为奇数，设 b1 1，bn 1 - + n 求数列 {bn}的前 2n项和Sb 2 2n．n ，n为偶数，
三、追踪训练
1. (2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测 )若数列 {an}中不超过 f(m)的项数恰为 bm(m∈N *
)，则称数列 {bm}是数列 {an}的生成数列，称相应的函数 f(m)是数列 {an}生成 {bm}的控制函数．
已知 an= 2n，且 f(m) =m，数列 {bm}的前m项和Sm，若Sm= 30，则m的值为 ( )
A. 9 B. 11 C. 12 D. 14
2.【2022 ·广东省深圳市第七高级中学 10月月考】(多选题 )已知数列 an 满足 a n+1+ a n= n
n n+1
-1 2 ，其前n项和为Sn，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是 ( )
A. m为定值 B. m+ a1为定值 C. S2019- a1为定值 D.ma1有最大值
3. (2022·江苏南通市区期中 ) (多选题 )已知数列 {an}满足 a n1=-2，a2= 2，an+2- 2an= 1- (-1) ，则
5
A. {a2n-1}是等比数列 B. a2i 1+ 2 =-10
i=1
10
C. {a2n}是等比数列 D. ai= 52
i=1
4. (2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考 )已知数列 {an}满足 a + 1+ (-1)nn an= 2n+ 1，则 a1+ a3+
a5+ +a99= ．
5. (2021·天津红桥区 ·高三一模 )已知数列 an 的前n项和Sn满足：Sn= 2an+ (-1)n，n≥ 1.
(1)求数列 an 的前 3项 a1，a2，a3；
(2) 2求证：数列 an+ 3 -1
n 是等比数列：
(3)求数列 (6n- 3) an 的前n项和Tn.
1 an+n, n= 2k- 1
6. (2022·山东烟台 ·高三期末 )已知数列 a 2n 满足 a1= 4，an+1= (k∈N *)．an- 2n, n= 2k
(1)记 bn= a2n- 2，证明：数列 bn 为等比数列，并求 bn 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 2n项和S2n．
公众号：高中数学最新试题数列中的奇偶项问题
一、真题剖析
【2020年新课标 1卷文科】数列 {an}满足 an+2+ (-1)nan= 3n- 1，前 16项和为 540，则 a1= _____
________
【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以数列中的两项之间的关系为载体，考查数列中的项。
【必备知识】本题考查数列中的递推公式以及通项公式，并项求和等问题 ·
【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学
探索，对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用
a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 a1方程，求解即可得出结论.
【答案】7
【解析】an+2+ (-1)nan= 3n- 1，
当n为奇数时，an+2= an+ 3n- 1；当n为偶数时，an+2+ an= 3n- 1.
设数列 an 的前n项和为Sn，
S16= a1+ a2+ a3+ a4+ +a16
= a1+ a3+ a5 +a15+ (a2+ a4) + (a14+ a16)
= a1+ (a1+ 2) + (a1+ 10) + (a1+ 24) + (a1+ 44) + (a1+ 70)
+ (a1+ 102) + (a1+ 140) + (5+ 17+ 29+ 41)
= 8a1+ 392+ 92= 8a1+ 484= 540，
∴ a1= 7.
故答案为：7.
二、题型选讲
题型一、分段函数的奇偶项求和
例1.(2022·南京 9月学情【零模】) (本小题满分 10分 )已知正项等比数列 {an}的前 n项和为 Sn，S3=
7a1，且 a1，a2+ 2，a3成等差数列．
(1)求 {an}的通项公式；
( ) = a ，n为奇数，2 若 b nn 求数列 {bn}的前 2n项和Tn n 2n．， 为偶数，
【解析】
(1)因为数列 {an}为正项等比数列，记其公比为 q，则 q> 0．
因为S3= 7a1，所以 a1+ a2+ a3= 7a1，即 a3+ a2- 6a1= 0，
因此 q2+ q- 6= 0，解得 q= 2或-3，
从而 q= 2． 2分
又 a1，a2+ 2，a3成等差数列，
所以 2(a2+ 2) = a1+ a3，即 2(2a1+ 2) = a1+ 4a1，解得 a1= 4．
因此 a = 4× 2n-1= 2n+1n ． 5分
( ) = an，n为奇数，2 因为 bn n，n为偶数，
所以T2n= (b1+ b3+ +b2n-1) + (b2+ b4+ +b2n)
= (a1+ a3+ +a2n-1) + (2+ 4+ +2n)
= (22+ 24+ +22n) + (2+ 4+ +2n)) 8分
= 4× 1- 4
n
+ (2+ 2n)n1- 4 2
n+1
=n2+n+ 4 - 43 ． 10分
变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三 10月月考 )已知等差数列 {an}前n项和为Sn(n∈N+)，数列 {bn}
是等比数列，a1= 3，b1= 1，b2+S2= 10，a5- 2b2= a3.
(1)求数列 {an}和 {bn}的通项公式；
2
(2)若 c = S
,n为奇数
n n ，设数列 {cn}的前n项和为Tn，求T2n.
bn,n为偶数
2n+1
【答案】(1)a = 2n+ 1，b = 2n-1；(2) 1+ 2 - 1n n 3 2n+ 1 .
【解析】
【分析】(1)设等差数列 {an}的公差为 d，等比数列 {bn}的公比为 q(q≠ 0)，根据等差等比数列通项公
式基本量的计算可得结果；
2 1 1
( ) = n(3+ 2n+ 1)
= - ，n为奇数
2 求出Sn 2 =n(n+ 2)，代入可得 cn= n(n+ 2) n n+ 2 ，2n-1，n为偶数
再分组求和，利用裂项求和和等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】(1)设等差数列 {an}的公差为 d，等比数列 {bn}的公比为 q(q≠ 0)，
∵ a1= 3，b1= 1，b2+S2= 10， a5- 2b2= a3，
∴ q+ 3+ 3+ d= 10 + - = + ，3 4d 2q 3 2d
∴ d= 2，q= 2，∴ a n-1n= 2n+ 1，bn= 2 ；
公众号：高中数学最新试题
( ) ( ) = n(3+ 2n+ 1)2 由 1 知，Sn 2 =n(n+ 2)，
2 = 1 - 1∴ c = n(n+ 2) n n+ 2
，n为奇数
n ，
2n-1，n为偶数
∴T = 1- 1 + 12n 3 3 -
1
5 + +
1 - 1 + (21+ 23+ 252n- 1 2n+ 1 + +2
2n-1)
n
= 1- 1 2(1- 4 )2n+ 1 + 1- 4
1+ 22n+1= 13 - 2n+ 1 .
a a a
变式2.(2022· n山东 ·潍坊一中模拟预测 )已知数列 a 满足 1 + 2n 2 2 + +
n = ．
2 2n 2n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)对任意的n∈ = 2-n,n为奇数N ，令 bn 22-n, ，求数列 bn 的前n项和Sn．为偶数
【解析】 (1)当n= 1时，得 a12 =
1
2，解得 a1= 1；
当n≥ 2时，可得 a1 + a22 2 + +
an = n ①
2 2n 2n
a1 + a22 2 + +
an-1 n- 1
2 2n-1
=
2n-1
②，
由①-②，得 ann =
n - n- 1 2-nn n-1 = n ，an= 2-n，2 2 2 2
当n= 1时，a1= 2- 1= 1也符合，
所以数列 an 的通项公式为 an= 2-n．
(2)由 ( ) = 2-n,n为奇数1 知 bn .当n为偶数时，22-n,为偶数
Sn= 1+ -1 + -3 + +2- n- 1 + 20+ 2-2+ +22-n
n
1+ 3-n n 1- 1 2
= 2 + 4 =
4-n n + 4 1- 12 1- 1 4 3 2n 4
-3n2= + 12n+ 16 - 112 ；3× 2n-2
当n为奇数时，
-3 n+ 1 2+ 12 n+ 1 + 16
Sn=Sn+1- b 1n+1= 12 - n-1 - 2
1-n
3× 2
= -3n
2+ 6n+ 25 4
12 - ．3× 2n-1
-3n2 + 6n+ 25 12 -
4
× n-1 ,n为奇数综上所述，Sn= 3 2 -3n2+ + ． 12n 16 12 -
1
× n-2 ,n为偶数3 2
n 1
2 an+1+ ，为正奇数，变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试 ) (10分 ) {a } 2已知数列 n 满足 2 2an+ n，n为正偶数．
2 2
(1)问数列 {an}是否为等差数列或等比数列 说明理由．
a n
(2)求证：数列 2 n 是等差数列，并求数列 {a2n}的通项公式．2
【解析】
(1)由题意可知，a1= 1 1 1 12 a 1+1+ 2 = 2 a1+ 2，所以 a1= 1，2
a2= 2a 2+ 22 = 2a1+ 1= 3，a3=
3
2 a
1 3 1 4
3+1+ 2 = 2 a2+ 2 = 5，a4= 2a 4+ 2 = 2a2+ 2= 8，2 2 2
因为 a3- a2= 2，a4- a3= 3，a3- a2≠ a4- a3，所以数列 {an}不是等差数列．
又因为 a2a =
a
3， 3 = 5，a2a 3 a ≠
a3
a 所以数列 {an}也不是等比数列．1 2 1 2
(2)法一：因为对任意正整数n，
a
a n 2
n+1 a2n 1 a2 3
2n+1= 2a2n+ 2 ， n+1 - n = 2，2 = 2，2 2
a n
所以数列 2 n 是首项为
3
2，公差为
7
2 的等差数列．2
a
从而对 n∈N *， 2
n
= 3 + n- 1 n-1n n2 2 2
，a2 = (n+ 2)2 ，
所以数列 {a n-12n}的通项公式是 a2n= (n+ 2)2 ( n∈N *)．
法二：因为对任意正整数n，a2n+1= 2a2n+ 2n，
得 a2n+1- (n+ 3)2n= 2[a2n- (n+ 2)2n-1]，且 a 1-121- (1+ 2)2 = a2- 3= 0
所以数列 {a n-12n- (n+ 2)2 }是每项均为 0的常数列，
从而对 n∈N *，a n-12n= (n+ 2)2 ，
所以数列 {a2n}的通项公式是 a2n= (n+ 2)2n-1( n∈N *)．
a n
n∈N *， 2 = n+ 2
a2n+1 a n
n 2 ， n+1 -
2 = n+ 3 - n+ 2，a2 3
2 2 2n 2 2 2
= 2，
a2n所以数列 n 是首项为
3
2，公差为
1
2 的等差数列2
题型二、含有 (-1)n类型
公众号：高中数学最新试题
例2【. 2022·广东省深圳市福田中学 10月月考】已知等差数列 {an}前n项和为Sn，a5= 9，S5= 25.
(1)求数列 {an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)设 bn= (-1)nSn，求 {bn}前n项和Tn.
【答案】(1)an= 2n- 1，Sn=n2；(2)Tn= (- )n
n(n+ 1)
1 2 .
【解析】
【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前 n项和
即可；
(2)根据 (1)中所求即可求得 bn，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.
( ) = 5(a1+ a5)【详解】1 由S5 2 =
5× 2a3
2 = 5a3= 25得 a3= 5.
又因为 = ，所以 = a5- aa5 9 d 32 = 2，
则 a3= a1+ 2d= a1+ 4= 5，解得 a1= 1；
故 an= 2n- 1，
= n(1+ 2n- 1)Sn 2 =n
2.
(2)bn= (-1)nn2.
当n为偶数时：
Tn= b1+ b2 + b3+ b4 + + bn-1+ bn
= -12+ 22 + -32+ 42 + + - (n- 1)2+n2
= (2- 1) × (2+ 1) + (4- 3) × (4+ 3) + +[n- (n- 1)] × [n+ (n- 1)]
= 1+ 2+ 3+ +(n- 1) +n
= n(n+ 1)2 .
当n为奇数时：
Tn= b1+ b2 + b3+ b4 + + bn-2+ bn-1 + bn
= -12+ 22 + -32+ 42 + - (n- 2)2+ (n- 1)2 -n2
= (2- 1) × (2+ 1) + (4- 3) × (4+ 3) + +[(n- 1) - (n- 2)] × [(n- 1) + (n- 2)] -n2
= 1+ 2+ 3+ +(n- 2) + (n- 1) -n2
= (n- 1) (1+n- 1)2 -n
2
=- n(n+ 1)2 .
= (- )n n(n+ 1)综上得Tn 1 2 .
变式1【. 2022·广东省深圳市育才中学 10月月考】已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且对任意正整数 n，an
= 34 Sn+ 2成立．
(1)bn= log2an，求数列 bn 的通项公式；
(2)设 c = -1 n+1 n+ 1n ，求数列 c 的前n项和T．bnb n nn+1
1 1 1
【答案】(1)a = 22n+1n ；(2)Tn= 4

3 + -1
n+1
2n+ 3 ．
【解析】
【分析】(1)利用数列 an与Sn的关系，即可求得数列 an 的通项公式，代入 bn= log2an，即可求得数列
bn 的通项公式；
(2)由 (1)可知 cn= 14

-1
n+1 12n+ 1 +
1
2n+ 3 ，分n为奇数和偶数，分别求和.
【详解】(1)在 a 3n= 4 Sn+ 2中令n= 1得 a1= 8．
因为对任意正整数n，a = 3n 4 Sn+ 2成立，所以 a
3
n+1= 4 Sn+1+ 2，
两式相减得 a 3n+1- an= 4 an+ 1，所以 an+1= 4an，
又 a1≠ 1，所以 an 为等比数列，
所以 a = 8 4n-1= 22n+1n ，所以 bn= log 2n+122 = 2n+ 1．
(2)c = -1 n+1 n+ 1 = 1 -1 n+1 4n+ 4 n + + 4 + + 2n 1 2n 3 2n 1 2n 3
= 1 n+1 1 1 4 -1 2n+ 1 + 2n+ 3
当n为偶数时，T = 1 1 1 1n 4 3 + 5 - 5 +
1
7 +
1 1
7 + 9 - -
1
2n+ 1 +
1
2n+ 3
= 1 1 14 3 - 2n+ 3 ，
当n为奇数时，T = 1 1 1 1 1n 4 3 + 5 - 5 + 7 +
1 1 1 1
7 + 9 - + 2n+ 1 + 2n+ 3
= 1 1 14 3 + 2n+ 3 ．
所以Tn= 1 1 + -1 n+1 1 4 3 2n+ 3 ．
变式2.(2021·山东济宁市 ·高三二模 )已知数列 an 是正项等比数列，满足 a3是 2a1、3a2的等差中项，a4
= 16．
公众号：高中数学最新试题
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn= -1 nlog2a2n+1，求数列 bn 的前n项和Tn．
【解析】(1)设等比数列 an 的公比为 q，
因为 a3是 2a1、3a2的等差中项，所以 2a3= 2a1+ 3a 22，即 2a1q = 2a1+ 3a1q，
因为 a1≠ 0，所以 2q2- 3q- 2= 0，解得 q= 2或 q=- 12，
因为数列 an 是正项等比数列，所以 q= 2．
因为 a = 16，即 a = a q3= 8a = 16，解得 a = 2，所以 a = 2× 2n-14 4 1 1 1 n = 2n；
(2)解法一：(分奇偶、并项求和 )
由 (1)可知，a2n+1= 22n+1，
所以，bn= -1 n log2a2n+1= -1 n log 2n+122 = -1 n 2n+ 1 ，
①若n为偶数，
Tn=-3+ 5- 7+ 9-L- 2n- 1 + 2n+ 1 = -3+ 5 + -7+ 9 +L+ - 2n- 1 + 2n+ 1
= 2× n2 =n；
②若n为奇数，当n≥ 3时，
Tn=Tn-1+ bn=n- 1- 2n+ 1 =-n- 2，
当n= 1时，T1=-3适合上式，
n,n为偶数综上得Tn= (或Tn= n+ 1 -1
n- 1，n∈N *)；
-n- 2,n为奇数
解法二：(错位相减法 )
由 (1)可知，a 2n+12n+1= 2 ，
所以，b = -1 nn log2a2n+1= -1 n log 22n+12 = -1 n 2n+ 1 ，
T = -1 1n × 3+ -1 2× 5+ -1 3× 7+L+ -1 n 2n+ 1 ，
所以-Tn= -1 2× 3+ -1 3× 5+ -1 4× 7+L+ -1 n+1 2n+ 1
所以 2Tn=-3+ 2 -1 2+ -1 3+L+ -1 n - -1 n+1 2n+ 1
1- -1 n-1
=-3+ 2× 2 + -1
n 2n+ 1 =-3+ 1- -1 n-1+ -1 n 2n+ 1
=-2+ 2n+ 2 -1 n，
所以Tn= n+ 1 -1 n- 1，n∈N *
变式3.(2022·湖北 ·黄冈中学二模 )已知数列 an 中，a1= 2,n an+1- an = an+ 1.
( ) an+ 11 求证：数列 n 是常数数列；
(2)令 bn= (-1)nan,Sn为数列 bn 的前n项和，求使得Sn≤-99的n的最小值.
a a
【解析】(1)由n an+1- an = an+ 1得：nan+1= n+ 1 an+ 1，即 n+1 nn+ 1 = n +
1
n n+ 1
∴ an+1 = an + 1 - 1 ，即有 an+1+ 1 = an+ 1 ,∴数列 an+ 1n+ 1 n n n+ 1 n+ 1 n n 是常数数列；
( a + 12)由 (1)知： nn = a1+ 1= 3,∴ an= 3n- 1,∴ bn= (-1)
n 3n- 1
= 3n- 1,n为偶数即 bn - - , 为奇数， 3n 1 n
∴当n为偶数时，Sn= -2+ 5 + -8+ 11 + + - 3n- 4 + 3n- 1 = 3n 2 ，显然Sn≤-99无
解；
3 n+ 1
当n为奇数时，Sn= - =

Sn+1 an+1 2 - 3 n+ 1 - 1 =-
3n+ 1
2 ，令Sn≤-99，解得：n≥ 66，
结合n为奇数得：n的最小值为 67.
所以n的最小值为 67.
题型三、an+ an+1 类型
例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末 )已知数列 an 满足 a1= 1，an+ an+1= 2n；数列 bn 前 n项和为
Sn，且 b1= 1，2Sn= bn+1- 1.
(1)求数列 an 和数列 bn 的通项公式；
(2)设 cn= an bn，求 cn 前 2n项和T2n.
( ) = n, n= 2k- 1,k∈ Z n-1 5 8n- 5 9
n
【答案】 1 an - , ，b = 3 ； (2) .n 1 n= 2k,k∈ Z n 8
【解析】
【分析】
(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；
(2)利用错位相减法进行求解即可.
(1)
n≥ 2，an-1+ an= 2 n- 1 ，∴ an+1- an-1= 2，又 a1= 1，a2= 1，
n= 2k- 1(k为正整数 )时， a2k-1 是首项为 1，公差为 2的等差数列,
∴ a2k-1= 2k- 1，an=n，n= 2k(k为正整数 )时， a2k 是首项为 1，公差为 2的等差数列.
∴ a2k= 2k- 1，∴ an= -
n, n= 2k- 1,k∈ Z
n 1，∴ an= ，n- 1, n= 2k,k∈ Z
∵ 2Sn= bn+1- 1，∴n≥ 2时，2Sn-1= bn- 1，∴ 2bn= bn+1- bn，
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又 b2= 3，∴n≥ 2时，bn= 3n-1，b 01= 1= 3 ，∴ b = 3n-1n ；
(2)
n3n-1( ) = , n= 2k- 1,k∈ Z由 1 得 cn n- 1 3n-1, n= 2k, ∈ ，k Z
T2n= 1× 30+ 3× 32+ 5× 34+ + 2n- 1 32n-2 + 1× 31+ 3× 33+ 5× 35+ + 2n- 1 32n-1 =
4 1× 30+ 3× 32+ 5× 34+ 2n- 1 32n-2
设Kn= 1× 30+ 3× 32+ 5× 34+ 2n- 1 32n-2 ①
则 9Kn= 1× 32+ 3× 34+ 5× 36+ + 2n- 1 32n ②
5+ 8n- 5 9n
①-②得- 8Kn= 1+ 2 32+ 34+ +32n-2 - 2n- 1 32n= -4 ，
5+ 8n- 5 9n 5 8n- 5 9n
Kn= 32 ，∴T2n= 8
变式1.(2022·江苏苏州 ·高三期末 )若数列 an 满足 an+m= a + d(m∈N *n ，d是不等于 0的常数 )对任
意 n∈N *恒成立，则称 an 是周期为m，周期公差为 d的“类周期等差数列”．已知在数列 an 中，
a1= 1，an+ an+1= 4n+ 1(n∈N *)．
(1)求证： an 是周期为 2的“类周期等差数列”，并求 a2,a2022的值；
(2)若数列 bn 满足 bn= an+1- a (n∈N *n )，求 bn 的前n项和Tn．
( ) 2n+ 1,n为奇数,【答案】 1 证明见解析；a2= 4；a2022= 4044 (2)Tn= 2n,n为偶数.
【解析】
【分析】
(1)由 an+ an+1= 4n+ 1，an+1+ an+2= 4(n+ 1) + 1，相减得 an+2- an= 4(n∈N *)，即可得到答案；
(2)对当n分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；
(1)
由 an+ an+1= 4n+ 1，a *n+1+ an+2= 4(n+ 1) + 1，相减得 an+2- an= 4(n∈N )，
所以 an 周期为 2，周期公差为 4的“类周期等差数列”，
由 a1+ a2= 5，a1= 1，得 a2= 4，
所以 a2022= a2+ (2022- 2) × 2= 4+ 4040= 4044．
(2)
由 bn= an+1- an，bn+1= an+2- an+1，得 bn+1+ bn= an+2- an= 4，
当n为偶数时，Tn= (b1+ b2) + (b3+ b4) + + (b nn-1+ bn) = 4 2 = 2n；
当n为奇数时，Tn= b1+ (b2+ b n- 13) + (b4+ b5) + + (bn-1+ bn) = 3+ 4 2 = 2n+ 1．
2n+ 1,n为奇数,
综上所述，Tn= 2n,n为偶数.
变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中 ) (10分 )已知等差数列 {an}满足 an+ an+ 1=
4n，n∈N *．
(1)求 {an}的通项公式；
( ) a ，n为奇数，2 设 b1= 1，bn+ 1= n - + n 求数列 {bn}的前 2n项和Sb 2 n 2n．n ， 为偶数，
n
【答案】(1)an= 2n- 1；(2) 4 - 13 + 4n- 3.
【解析】
【分析】(1)设等差数列 an 的公差为 d，由已知可得 an+1+ an+2= 4 n+ 1 与已知条件两式相减可得
an+2- an= 4= 2d求得 d的值，再由 a1+ a2= 4求得 a1的值，利用等差数列的通项公式可得 an 的通
项公式；
(2)当n为奇数时，b nn+1= 2n- 1，当n为偶数时，bn+1+ bn= 2 ，再利用分组并项求和以及等比数列的
求和公式即可求解.
【小问 1详解】
因为 an+ an+1= 4n，所以 an+1+ an+2= 4 n+ 1 ，所以 an+2- an= 4，
设等差数列 an 的公差为 d，则 an+2- an= 4= 2d，可得 d= 2，
当n= 1时，a1+ a2= a1+ a1+ 2= 4，可得 a1= 1，所以 an= 1+ 2 n- 1 = 2n- 1.
【小问 2详解】
当n为奇数时， bn+1= an= 2n- 1，当n为偶数时，bn+1+ bn= 2n，
所以S2n= b1+ b2+ b3 + b4+ b5 + b6+ b7 + + b2n-2+ b2n-1 + b2n
= 1+ 22+ 24+ 26+ +22n-2+ 2 2n- 1 - 1
= 20+ 22+ 24+ 26+ +22n-2+ 2 2n- 1 - 1
20
=
1- 4n n
1- 4 + 4n- 3=
4 - 1
3 + 4n- 3.
三、追踪训练
1. (2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测 )若数列 {an}中不超过 f(m)的项数恰为 bm(m∈N *
)，则称数列 {bm}是数列 {an}的生成数列，称相应的函数 f(m)是数列 {an}生成 {bm}的控制函数．
已知 an= 2n，且 f(m) =m，数列 {bm}的前m项和Sm，若Sm= 30，则m的值为 ( )
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A. 9 B. 11 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得 2n≤m，则 b = mm 2 ；当m为奇数时，可得 2n≤m- 1，则
m- 1 (m为奇数 )
bm= m- 12 ，所以 bm=
2
m ，则当m为偶数时，Sm= b
1
1+ b2+ +bm= 2 (1+ 2+
2 (m为偶数 )
2 2
+m) - 1 × m2 2 =
m ，则 m4 4 = 30，因为m∈N *，所以无解；当m为奇数时，Sm= b1+ b2+ +bm=
(m+ 1)2
S m+ 1 m
2- 1 2
m+1- bm+1= 4 - 2 = 4 ，所以
m - 1
4 = 30，因为m∈N *，所以m= 11，故答案选
B．
2.【2022 ·广东省深圳市第七高级中学 10月月考】(多选题 )已知数列 an 满足 a n+1+ a n= n
n n+1
-1 2 ，其前n项和为Sn，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是 ( )
A. m为定值 B. m+ a1为定值 C. S2019- a1为定值 D.ma1有最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析得出 a2k+ a k 2k+1 2k+1= 2k -1 ，由已知条件推导出 S2019- a1=-1010，m+ a1= 1，可判
断出ABC选项正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】当n= 2k k∈N ，由已知条件可得 a + a k 2k+1 2k 2k+1= 2k -1 ，
所以，S2019= a1+ a2+ a3+ +a2019= a1+ a2+ a3 + a4+ a5 + + a2018+ a2019
= a1- 2+ 4- 6+ 8- -2018= a1+ 2× 504- 2018= a1- 1010，则S2019- a1=-1010，
所以，m+S2019=m+ a1- 1010=-1009，∴m+ a1= 1，
2
由基本不等式可得 ≤ m+ ama 11 2 =
1
4，当且仅当m= a
1
1= 2 时，等号成立，此时ma1取得最大值
1
4 .
故选：BCD.
3. (2022·江苏南通市区期中 ) (多选题 )已知数列 {an}满足 a1=-2，a2= 2，an+2- 2an= 1- (-1)n，则
5
A. {a2n-1}是等比数列 B. a2i 1+ 2 =-10
i=1
10
C. {a2n}是等比数列 D. ai= 52
i=1
【答案】ACD
【解析】由题意可知，数列 {an}满足 a1=-2，a2= 2，an+ 2- 2an= 1- (-1)n，所以 an+2= 1- (-1)n+
= 2+ 2an，n为奇数2an ， 为偶数 ，所以 a3= 2+ 2× (-2) =-2，a4= 2× 2= 4，a5= 2+ 2× (-2) =-2，a2a n 6= 2n
× 4= 8，a7= 2+ 2× (-2) =-2，a8= 2× 8= 16，a9= 2+ 2× (-2) =-2，a10= 2× 16= 32， ，所以
5
{a2n-1}= {-2}，是等比数列，故选项A正确； a2i 1+ 2 = (a1+ a3+ a5+ a7+ a9) + 2× 5=-2× 5
i=1
10
+ 2× 5= 0，故选项B错误；对于选项C，{a n2n}= {2 }是等比数列，故选项C正确；对于选项D， ai
i=1
=-2+ 2- 2+ 4- 2+ 8- 2+ 16- 2+ 32= 52，故选项D正确，综上，答案选ACD．
4. (2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考 )已知数列 {an}满足 an+ 1+ (-1)nan= 2n+ 1，则 a1+ a3+
a5+ +a99= ．
【答案】50
【解析】
【分析】根据所给递推关系，可得 a2n+1+ a2n= 4n+ 1,a2n- a2n-1= 4n- 1，两式相减可得 a2n+1+ a2n-1=
2.即相邻奇数项的和为 2，即可求解.
【详解】∵ an+1+ (-1)nan= 2n+ 1,∴ a2n+1+ a2n= 4n+ 1,a2n- a2n-1= 4n- 1.两式相减得 a2n+1+ a2n-1
= 2.
则 a3+ a1= 2,a7+ a5= 2, ,a99+ a97= 2,∴ a1+ a3+ a5+ +a99= 25× 2= 50，故答案为：50
5. (2021·天津红桥区 ·高三一模 )已知数列 an 的前n项和Sn满足：Sn= 2an+ (-1)n，n≥ 1.
(1)求数列 an 的前 3项 a1，a2，a3；
(2) 2求证：数列 a n n+ -1 3 是等比数列：
(3)求数列 (6n- 3) an 的前n项和Tn.
【详解】
(1)当n= 1时，有：S1= a1= 2a1+ -1 a1= 1；
当n= 2时，有：S2= a 21+ a2= 2a2+ -1 a2= 0；
当n= 3时，有：S3= a1+ a2+ a 33= 2a3+ -1 a3= 2；
综上可知 a1= 1，a2= 0，a3= 2；
(2)由已知得：
n≥ 2时，an=S -S n n-1n n-1= 2an+ (-1) - 2an-1- (-1)
化简得：a n-1n= 2an-1+ 2(-1)
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上式可化为：a 2n+ 3 (-1)
n= 2 an-1+
2
3 (-1)
n-1

故数列 a +
2
n (-1)n 3 是以 a
2
1+ 3 (-1)
1为首项，公比为 2的等比数列.
(3)由 (2)知 a + 2 n 1 n-1n 3 (-1) = 3 2 ∴ a =
1
n 3 2
n-1- 23 (-1)
n
6n- 3 an= 2n- 1 2n-1- 2 -1 n
= 2n- 1 2n-1- 2 (-1)n (2n- 1)
当n为偶数时，
T = 1 20+ 3 21+ + (2n- 1) 2n-1n - 2[-1+ 3- 5+ - (2n- 3) + (2n- 1)]
令An= 1 20+ 3 21+ + (2n- 1) 2n-1，Bn= 2[-1+ 3- 5+ - (2n- 3) + (2n- 1)]
An= 1 20+ 3 21+ 5 22 + (2n- 3) 2n-2+ (2n- 1) 2n-1①
2An= 1 21+ 3 22+ + (2n- 3) 2n-1+ (2n- 1) 2n②
则①-②得-An= 20+ 2 21+ 2 22 +2 2n-1- (2n- 1) 2n
= 1+ 2 21+ 22 +2n-1 - (2n- 1) 2n
2 1- 2n-1= 1+ 2 1- 2 - (2n- 1) 2
n
=-3+ (3- 2n) 2n
∴An= 3+ (2n- 3) 2n10
Bn= 2[-1+ 3- 5+ - (2n- 3) + (2n- 1)]
= 2 2 n2 = 2n
所以Tn=An-Bn= 3+ (2n- 3) 2n- 2n.
当n为奇数时，An= 3+ (2n- 3) 2n
Bn= 2[-1+ 3- 5+ - (2n- 5) + (2n- 3) - (2n- 1)]
= 2 2 n- 12 - 2n+ 1 =-2n
所以Tn=An-Bn= 3+ (2n- 3) 2n+ 2n
= 3+ (2n- 3) 2
n- 2n,n为偶数,
综上，Tn 3+ (2n- 3) 2n+ 2n,n为奇数.
1 an+n, n= 2k- 1
6. (2022·山东烟台 ·高三期末 )已知数列 a 2 *n 满足 a1= 4，an+1= (k∈N )．an- 2n, n= 2k
(1)记 bn= a2n- 2，证明：数列 bn 为等比数列，并求 bn 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 2n项和S2n．
n-1
【答案】(1)证明见解析；bn= 12 ，n∈N
*； (2)S2n=-2n2+ 6n+ 6- 3 .2n-1
【解析】
【分析】
(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得 b 1n+1= 2 bn，求出 b1即可得证，并求出通项公式.
(2)由 (1)求出 a2n，再按奇偶分组求和即可计算作答.
(1)
依题意，b = a - 2= 1 1 1 1n+1 2n+2 2 a2n+1+ 2n+ 1 - 2= 2 a2n- 2× 2n + 2n+ 1 - 2= 2 a2n- 1= 2
(a2n- 2) = 12 bn，
而 b1= a2- 2= 12 a1+ 1- 2= 1> 0，
n-1
所以数列 bn 是以 1为首项，
1
2 为公比的等比数列，bn=
1
2 ，n∈N
*.
(2)
n
n-1 1- 1 n-1
由 (1)知，a2n= bn+ 2= 1 + 2，则有 a + a + +a = 22 2 4 2n 1 + 2n= 2-
1
2 + 2n，1- 2
又 a = 12n 2 a2n-1+ 2n- 1，则 a2n-1= 2a2n- 2(2n- 1)，
n-1
于是有 a + a + +a = 2(a + a + +a ) - × 1+ (2n- 1)2 ×n= 2 2- 1 + 2n 21 3 2n-1 2 4 2n 2 2 - 2n =
-2n2+ 4n+ 4- 2n-1 ，2
因此，S2n= (a1+ a3+ +a2n-1) + (a2+ a4+ +a2n) = -2n2+ 4n+ 4- 2 12n-1 + 2- 2n-1 + 2n =
-2n2+ 6n+ 6- 3 ，
2n-1
所以S2n=-2n2+ 6n+ 6- 32n-1
.
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