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1.3-线段的垂直平分线-2022-2023学年北师大版八年级数学下册培优练
一、单选题
1．（2022秋·北京·八年级北京市陈经纶中学校考期末）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
2．（2022秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下条线段的长度（ ）
A．EF B．AB C．AC D．BC
3．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．35° D．70°
4．（2022秋·北京丰台·八年级统考期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（ ）
A．对角线AC，BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC，BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积
5．（2022秋·北京东城·八年级统考期末）如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（ ）
A．11 B．16 C．17 D．18
6．（2022秋·北京·八年级北京市陈经纶中学校考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD．有以下四个结论：①∠BCD＝∠ACD＝36°；②AD＝CD＝CB；③△BCD的周长等于AC＋BC；④点D是线段AB的中点．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
8．（2022秋·北京大兴·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=2，则CE的长为（ ）
A． B．4 C． D．2
9．（2022秋·北京顺义·八年级统考期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
10．（2022秋·北京·八年级校考期末）已知锐角∠AOB如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；
（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；
（3）连接FG，CG．作射线OG．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°
C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG
二、填空题
11．（2022秋·北京·八年级北师大附中平谷一分校校考期末）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．
12．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为________°．
13．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是______．
14．（2022秋·北京海淀·八年级期末）如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为______．
15．（2022秋·北京海淀·八年级期末）在中，，边、的垂直平分线分别交直线于点、，则______．
16．（2022秋·北京·八年级北师大附中平谷一分校校考期末）如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，ABD的周长为14cm，则ABC的周长为_____．
17．（2022秋·北京·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为_____．
18．（2022秋·北京西城·八年级北京八中期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE为________°．
三、解答题
19．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且AP与的一条边相等，则称P为的友爱点．
（1）在，，中，的友爱点是________；
（2）如图2，若P为内一点，且，求证：P为的友爱点；
（3）直线l为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个友爱点，直接写出的取值范围．
20．（2022秋·北京西城·八年级北京八中期末）如图，已知，，作图及步骤如下：
（1）以点为圆心，为半径画弧；
（2）以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
（3）连接，交延长线于点．
（4）过点作于点，于点．
请根据以下推理过程，填写依据：
，
点、点在的垂直平分线上（________）
直线是的垂直平分线（________）
，
（等腰三角形________、________、________相互重合）
又，
（________）
在中，
（________）
21．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）已知：如图1，线段a，b（）．
（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使．
④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝ ．
④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．
参考答案：
1．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝50°，
∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．C
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可得BK+CK的最小值是的长．
【详解】如图，连接，
是AB的垂直平分线
BK+CK
当三点共线时，BK+CK取得最小值，
则BK+CK的最小值是的长．
故选C
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
3．A
【分析】利用等边对等角依次可求得∠B和∠BAF的大小，根据等腰三角形三线合一可得∠BAD的度数，从而可得∠FAD的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠B=35°，
∵，，
∴,
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等角和等腰三角形三线合一，并能依此求得相应角的度数是解题关键．
4．B
【分析】先判定是的垂直平分线，可判断A，再证明可判断B，C，再利用面积公式可判断D，从而可得答案.
【详解】解： 四边形中，，，
是的垂直平分线，
而不一定是的垂直平分线，故A不符合题意；
，，
对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B符合题意；
直线BD是筝形的两条对称轴，故C不符合题意；
如图，记对角线的交点为
筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积的一半，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的定义，判定是的垂直平分线是解本题的关键.
5．B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，所以AB=AC=5，据此可计算出的周长．
【详解】解：垂直平分AE，
，
，
，
，
的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．A
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，再求解即可；
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴的周长，
∵，
∴（）；
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7．C
【分析】根据AB＝AC，∠A＝36°，可得,根据作图可知是的垂直平分线，进而可得,，进而可得，即可判断，进而判断，即可判断①②③正确，若④正确，则可得是等边三角形，进而得出矛盾，判断④不正确
【详解】解： AB＝AC，∠A＝36°，
,
根据作图可知是的垂直平分线，
，
，
.，
∠BCD＝∠ACD＝36°, AD＝CD＝CB；；
故①②正确
△BCD的周长等于AC＋BC；
故③正确
若点D是线段AB的中点
是等边三角形
而
点D不是线段AB的中点
故④不正确
故正确的有①②③
故选C
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE，故可得出∠B=∠DCE，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，ED=2，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCE=30°，
在Rt△CDE中，
∵∠DCE=30°，ED=2，
∴CE=2DE=4．
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9．A
【分析】AC的垂直平分线交l于P点即为所求．
【详解】如图，AC的垂直平分线交l于P点，则AP=CP=BP
此时△PAC，△PAB均为等腰三角形，
共一点，
故选A．
【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的定义与垂直平分线的性质．
10．D
【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．
【详解】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，
∴△OCF≌△OGF（SSS），
∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；
若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，
∴∠COG＝60°，
∴∠AOB＝∠COG＝30°，故B选项正确；
∵OC＝OE，FC＝FG，
∴OF垂直平分CG，故C选项正确；
∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
11．13
【详解】解：DE是AB的垂直平分线，
所以EA=EB，
所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
12．
【分析】连接AD，DE，设 ，根据题意可由得出关于x的方程，进而求出x的值，即可得到，即可求解．
【详解】解：连接AD，DE，
设 ，
∵，
∴ ，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，
∴ ,
∴ ，
∵分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图，解决本题的关键是理解作图过程，掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．
13．4
【分析】先根据∠A=90°，∠C=30°，AB=2，求出BC的长，再根据线段的垂直平分线的性质可得AF= FC，最后根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接AF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴ AF= FC ，
∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，
∴BC=4，
∵根据两点之间线段最短，
∴PA+ PB= PB+ PC= BC，最小，此时点P与点F重合，
∴PA+PB的最小值是BC的长，即为4，
故答案为： 4．
【点睛】本题考查了在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半和轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
14．1
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，
，
，
又∵
故答案为：1．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．##110度
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图1，，分别垂直平分和，
，，
，，
，
则，
解得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．22cm
【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，
∴AC=2AE=8cm，AD=DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+AD+BD=14cm，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，
故答案为：22cm
【点睛】考点：线段垂直平分线的性质．
17．13
【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．
【详解】如图，连接BE．
∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE．
∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．
故答案为13．
【点睛】本题考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．60
【分析】先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC==80°，
∵DE是线段AB垂直平分线的交点，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=20°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
19．（1）P1、P2；（2）见解析；（3）0＜m＜2
【分析】（1）根据A（x1，y1）、和B（x2，y2）之间的距离公式AB=以及友爱点定义解答即可；
（2）由题意易知∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，进而可求得∠PAC=∠OCP=30°，则可得出∠ACP=∠APC=75°，根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；
（3）由题意，△ABC在友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC=AC三种情况，分别讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵点，关于y轴对称，点在y轴上，
∴AP1=BP1，故P1是的友爱点；
∵AP2= ，CP2= ，
∴AP2= CP2，故P1是的友爱点；
∵AP3=，CP3=，
BP3=，BC=，
∴故P3不是的友爱点，
综上，的友爱点是P1、P2，
故答案为：P1、P2；
（2）∵点，，，
∴OA=OB=OC，AC= BC， ∠BOC=90°，
∴∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，
∵，
∴∠PAC=∠OCP=30°，
∴∠ACP=45°+30°=75°，
∴∠APC=180°－∠PAC－∠ACP=180°－30°－75°=75°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AP=AC=BC，
∴P为的友爱点；
（3）由题意，△ABC的友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC三种情况，
若AP=BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，即点P在y轴线段OC上，
若AP=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上；
若AP=BC，则点P在以点A为圆心，BC即AC长为半径的圆上，
如图，设AC的中点为G，则G的坐标为（－2，2），
由图可知，当直线l为过点G和过点且与轴平行的直线在x轴之间时，直线上存在的三个友爱点，
∴m的取值范围为0＜m＜2．
【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键．
20．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线；底边上的高；底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半
【分析】据题中的几何语言画出对应的几何图形，然后利用线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质和含30度的直角三角形三边的关系填写依据．
【详解】解：如图，
，
点、点在的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
直线是的垂直平分线（两点确定一直线），
，，
（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合），
又，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在中，
（在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）．
故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
21．（1）见解析；（2）b，a，见解析
【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；
（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可．
【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形；
（2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝b．
④以P为圆心，以a的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
如图，PEF就是所求作的等腰三角形．
故答案为：b，a．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页

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