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平行四边形的存在性问题
中考总复习二轮复行四边形的存在性问题
解题策略
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算
①如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．
②如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．
根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．
例1 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
(-3,0)
(0,3)
(-1,4)
由于A(－3,0) C(0, 3)
所以P(－1, 4)
D1(2, 7)
D2(-4, 1)
D3(-2, -1)
用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了
(1,0)
例2 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
AB为对角线或边
(-1,0)
(3,0)
①当AB是平行四边形的对角线时
M的横坐标为2．此时M(2，3)
②当AB是平行四边形的边时
PM//AB，PM＝AB＝4
以点M的横坐标为4或－4
M (4,－5)或(－4,－21)
例3 如图，已知抛物线 与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(-4,0)
以CE为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：
①当CE为平行四边形的边时
C、E两点间的水平距离为4
M的横坐标为－6或2
M、N两点间的水平距离也为4
将x＝-6和x＝2分别代入抛物线的解析式，得M(-6,16)或(2, 16)
(-4,0)
②当CE为平行四边形的对角线时
M为抛物线的顶点
只讨论已知线段的水平距离
例3 如图，已知抛物线 与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例4 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．
(4, 0)
O、A是确定的，以线段OA为分类标准
①OA是菱形的对角线时
点C在OA的垂直平分线上
C(2,2)
D(2,－2)
②OA是菱形的边时
O为圆心，D的坐标为(4, 4)
以A为圆心
(0, 4)
例5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
以AD为分类标准，分两种情况讨论：
①如果AD为矩形的边
AD//QP，AD＝QP,邻边相互垂直
(-1,0)
(3,0)
(4,5a)
(1,？)
A、D两点间的水平距离为5
所以点Q的横坐标为
－4或6(舍去)
Q(－4,21a)
例5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
以AD为分类标准，分两种情况讨论：
①如果AD为矩形的边
AD//QP，AD＝QP,邻边相互垂直
(-1,0)
(3,0)
(4,5a)
(1,？)
A、D两点间的水平距离为5
所以点Q的横坐标为
－4或6(舍去)
Q(－4,21a)
A、D两点间的竖直距离为－5a
P的纵坐标为26a
所以P(1, 26a)
AP2＝QD2
22＋(26a)2＝82＋(16a)2
整理，得7a2＝1
②如果AD为矩形的对角线
AP//QD，AP＝QD
(-1,0)
(3,0)
(4,5a)
(1,？)
由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)
由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)
AD2＝PQ2
52＋(5a)2＝12＋(11a)2
整理，得4a2＝1
例5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
课堂小结
解题策略
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算
分类标准
①如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．
②如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
如图，将抛物线c1： 沿x轴翻折，得到抛物线c2．
现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
作业来啦
拓展题
(-1,0)
看成两个等边三角形在平移
(1,0)
(0,√3)
(0,-√3)
【解法一】如果∠ANE＝90°
AE=4
AO=2
B、O重合
m＝BO＝1
如图，将抛物线c1： 沿x轴翻折，得到抛物线c2．
现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【解法二】如果对角线MN＝AE
OM=OA
∵∠MAO=60°
∴△AMO为等边三角形
因此△AMO与△AMB重合
因此B、O重合，m＝BO＝1
如图，将抛物线c1： 沿x轴翻折，得到抛物线c2．
现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【解法三】在平移的过程中
根据OA2＝OM2列方程
(1＋m)2＝m2＋3
解得m＝1
M(0,√3)
A(-1,0)
B(1,0)
如图，将抛物线c1： 沿x轴翻折，得到抛物线c2．
现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
坐标法
谢谢观看，拜拜
课后勤加练习呦！！

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