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2022-2023 学年度第一学期期末学业水平检测高三数学评分标准
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。
1--8：B CAD AB D C
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
9．ABD 10．ACD 11．BCD 12．BCD
三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分。
1 256π
13． ； 14．19； 15． 2； 16．（1） 2；（2） ．
2 81
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
解：（1）由正弦定理得：bc cos A 2ac cosB 3abcosC ·································· 2分
b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2
由余弦定理得：bc ( ) 2ac ( ) 3ab ( ) ··········4分
2bc 2ac 2ab
所以 (b2 c2 a2 ) 2(a2 c2 b2 ) 3(a2 b2 c2 )
2 2
化简得 a2 2b2 a 2b 3c2，所以 2 3 ······················································· 5分c
2 2 1 2 2
2 2
cosC a b c
2 a b (a 2b )
(2)由余弦定理： 3 ··························· 6分
2ab 2ab
2 a2 1 b2 1 2a b
3 3 ( ) ······················ 7分
2ab 6 b a
1 2 2a b 2 ······························ 9分
6 b a 3
当仅当b 2a（即 a : b : c 3 : 6 : 5）时取等号
所以 cosC 2的最小值为 ··········································································· 10分
3
18.（12分）
解：（1）由题知：因为CE EG,CE EF, EG EF E，
所以CE 平面 EFG ····················································································3分
又因为CE 平面CEFD，平面 EFG 平面CEFD ········································· 4分
（2）在平面 EFG内过点 F 做 EF 的垂线 FH ，
因为平面 EFG 平面CEFD，所以 FH 平面CEFD ······································ 5分
如图，以 F 为坐标原点，直线 FE， FH ，FD分别为 x， y， z轴，C
建立空间直角坐标系·············································· 6分 z
F(0,0,0),C(1,0,2),G(1 , 3则 ,0),D(0,0,1) ··········· 7分 D
2 2
uuur
所以 FD 0,0,1 ， FG (1 , 3 ,0),FC (1,0,2) ········ 8分 E
2 2 x
F
G H y
高三数学答案 第 1页（共 5页）

设平面CFG的法向量为 n (a,b,c)，

n FG 0 a 3b 0
因为 ，即

2 2 ，取b 2，从而 n ( 2 3,2, 3) ···············11分
n FC 0 a 2c 0

所以D | FD n | 3 57到平面CFG的距离为 h ··································· 12分
| n | 19 19
19.（12分）
解：（1）方案一：选条件①．
因为数列{Sn a1}为等比数列
所以 (S2 a )
2
1 (S1 a1)(S3 a1)，即 (2a a )
2
1 2 2a1(2a1 a2 a3) ················· 2分
设等比数列{an}的公比为 q，因为 a1 1
所以 (2 q)2 2(2 q q2)，解得 q 2或 q 0（舍）····································· 5分
所以 a a qn 1 2n 1 *n 1 (n N ) ······································································ 6分
方案二：（1）选条件②．
当 n 2时，因为 2na 2n 1a 2a na *1 2 n n 1 (n N ) ①
所以 2n 1a1 2
n 2a2 2an 1 (n 1)an
所以 2na 2n 11 a
2
2 2 an 1 2(n 1)an ②··············································· 3分
① ②得 2an na
an+1
n 1 2(n 1)an ，即 =2 (n 2) ·········································4分an
当 n 1时， 2a a a， 21 2 =2适合上式···························································· 5分a1
所以数列{an}是首项为1，公比为 2的等比数列
所以 a a n 1 n 1 *n 1q 2 (n N ) ······································································ 6分
（2）由题知： 4Tn bn bn 1, 4Tn 1 bn 1 bn 2
两式做差得： 4(Tn 1 Tn ) bn 1 bn 2 bn bn 1
所以 4bn 1 bn 1(bn 2 bn )，得bn 2 bn 4 ······················································ 8分
所以{b2k} (k N
*)为首项b2 4，公差等于4的等差数列，
所以b2k 4 (k 1) 4 4k
同理：{b2k 1} (k N
*)为首项b1 2，公差等于 4的等差数列，
所以b2k 1 2 (k 1) 4 4k 2
所以bn 2n
2n 2n
所以 [( 1)ibibi 1] 4( 1)i i(i 1)
i 1 i 1
2n
所以 4( 1)i i(i 1) 4[( 2 6) ( 12 20) 4n] 8n 2 8n ····················12分
i 1
高三数学答案 第 2页（共 5页）
20.（12分）
5
ni ln yi 5 n ln y
b i 1 53 5 3.8 3 4解：（1）由题知： n 0.4··············· 1分2
n2 5 n 55 45 10i
i 1
所以 a 3.8 0.4 3 5，············································································· 2分
所以线性回归方程为： ln y 0.4n 5 ·····························································3分
所以，估计 n 10时， y e 3 ····································································· 4分
（2）由题知： X 的取值可能为0,1,2 ······························································· 5分
记“含红球的行数为 k ”为事件 Ak (k 0,1,2)，记“每列都有白球”为事件 B，
4
所以 P(X 0) P(A | B) P(A0B) p 1 0 = 2 2 ········································· 6分P(B) [1 q ] 25
P(A B) C1 3 1 2 2P(X 1) P(A 1 4 p q C2 p q 161 | B) = 2 2 ······························· 7分P(B) [1 q ] 25
P(X 2) P(A | B) P(A
1
2B)= C2 (pq)
2 8
2 2 2 ········································ 8分P(B) [1 q ] 25
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
P(X k) 1 16 8
25 25 25
所以数学期望为 E(X ) 0 1 1 3 2 8 32 ········································ 10分
25 25 25 25
（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为 (1 pm )n
记“不是每一列都至少一个红球”为事件 A，所以 P(A) 1 (1 pm )n ····················11分
记“每一行都至少一个白球”为事件 B，所以 P(B) (1 qn )m
显然， A B，所以 P(A) P(B)，所以 (1 pm )n (1 qn )m 1······················ 12分
21.（12分）
解:（1）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ),E(x3, y3),F (x4 , y4 )
3
因为 2(OA OB) 3(OE OF ) ，所以 x1 x2 (x3 x4 ) ·································1分2
y kx m m m
由 ，得 x1 ；同理可得 x2 ········································3分
y bx b k b k
x x 2km所以 1 2 2 2 ··················································································· 4分b k
y kx m

由 x2 ，得 (1 2k
2)x2 4kmx 2m2 2 0 4km ，所以 x
y2 1 3
x4 ····· 5分
1 2k
2
2
高三数学答案 第 3页（共 5页）
2km 6km
所以 ，即3k 2 3b2 1 2k 2，解得b 3
b2 k 2 1 2k 2
C x2 y
2
所以双曲线 的方程为 1································································· 6分
3
m 3m m 3m
（2）由（1）得 A( , )， B( , )
k 3 k 3 k 3 k 3
4m2 2m 4m2 2m
所以 |OA | | |， |OB | | | ·················· 8分
(k 3)2 k 3 (k 3)2 k 3
S 1
2 2
OAB |OA | |OB | sin
1
AOB | 4m | 3 | 3m | ····························9分
2 2 k 2 3 2 k 2 3
y kx m

由 2 ，得 (3 k 2)x2 y 2kmx m
2 3 0 ···········································10分
2

x 1
3
因为直线 l与双曲线C相切，
所以 4k 2m2 4(3 k 2)(m2 3) 0
即m2 k 2 3 0 ······················································································11分
3m2
所以 S OAB | 2 | 3为定值··································································12分k 3
22.（12分）
解:（1）由题知： f (x)的定义域为 (0, )， g(x)的定义域为 ( 1, ) ················· 1分
因为 f (x) ln x 1 ····················································································· 2分
1
所以，当 x (0, )时， f (x) 0， f (x)在 (0, 1)上单调递减；
e e
当 x 1 ( , )时， f (x) 1 0， f (x)在 ( , )上单调递增；
e e
所以 f (x) f (1) 0 ··················································································· 3分
e
又因为 g (x) 1 a，
1 x
若 a 0，则 g (x) 0， g(x)在 ( 1,+ )上无最大值；···································4分
若 a 0 g (x) 1 1 ， a 0，解得 x 1；
1 x a
1 1
所以，当 x ( 1, 1)时， g (x) 0， g(x)在 ( 1, 1)上单调递增；
a a
当 x 1 ( 1, )时， g (x) 0 g(x) (1， 在 1, )上单调递减；
a a
1
所以， g(x) g( 1) a ln a 1 0
a
高三数学答案 第 4页（共 5页）
令 h(a) a ln a 1(a 0) h (a) 1 1，则
a
所以， h(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增；
所以 h(a) h(1) 0
综上， a 1 ································································································ 5分
2 1 1
（2）要证明： ln x e x ；只需证 x ln x xe x ····························7分
ex e e
由（1）知： f (x) 0，当仅当 x 1 时取等号；
e
1
只需证： xe x 0（等号不同取）···························································· 8分
e
设 p(x) xe x 1 ，则 p (x) (1 x)e x，
e
所以， p(x)在 (0,1)上单调递增， p(x)在 (1, )上单调递减；
所以， p(x) p(1) 0，当仅当 x 1时取等号
综上，命题得证····························································································9分
1 1
（3）要证明：[1 ]m 1 e 2m 2 ；
2m(m 1)
只需证 (m 1) ln[1 1 ] 1
2m(m 1) 2(m 1)
即证 ln[1 1 1 ] 2 ····························································· 10分2m(m 1) 2(m 1)
设 (x) ln(1 x) m x， x 1 (0, 1 )；
m 1 2m(m 1) m
(x) 1 m 1 1所以 0 ·················································11分
1 x m 1 1 x 1 1
m
所以 (x)在 (0, 1 )上单调递增， (x) (0) 0
m
( 1 ) ln(1 1 1所以， ) 0
2m(m 1) 2m(m 1) 2(m 1)2
[1 1
1
综上， ]m 1 e 2m 2 成立························································· 12分
2m(m 1)
高三数学答案 第 5页（共 5页）2022-2023 学年度第一学期期末学业水平检测
高三数学试题
本试题卷共 6页，22题。全卷满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
i 2
1．复数 的虚部为
1 i
3 3 3 1
A． i B． C． D．
2 2 2 2
2．若 (a x)3 (a x)4的展开式中含有 x2项的系数为18，则 a
3 3 3
A． 2 B． C． 或 2 D． 或 2
2 2 2
3．已知集合 A {(x，y) | x2 y2 2x 0}，B {(x，y) | y k(x 1)}．若 A B ，则
3
A． k
3
B． 3 k 3
3 3
3 3
C． k 或 k D． k 3或 k 3
3 3
4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，
它体现了数学的对称美．如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，
共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则
该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为
2
A．
2
B．1
C． 2
D． 2 2
高三数学试题 第 1 页 （共 6 页）
2x m
5．“m 1”是“函数 f (x) 为奇函数”的
2x m
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数 f (x) 2sin( x )(0 π)的部分图象如下图所示，将 f (x)的图象向左平移
π x
个单位后得到函数 y g(x)的图象，则函数 y g(x) g( )的最小值为
12 2
y
A． 4
2
9
B．
4
7 O π 13π x
C．
4 3 12
D．0
7．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随
机抽查 20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值
均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是
频数 频率
7 组距
6 0.030
5
4 0.025
3 0.020
2
1 0.005
0 57 58 59 67 68 69 79 87 88 89 98 分数 0 50 60 70 80 90 100 分数
甲班物理成绩 乙班物理成绩
A．甲班众数小于乙班众数 B．乙班成绩的75百分位数为79
C．甲班的中位数为74 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值
8．已知定义域为[0，1]的“类康托尔函数” f (x)满足：① 0 x1 x2 1， f (x1) f (x2 )；
f (x) 2 f ( x 1② )；③ f (x) f (1 x) 1．则 f ( )
3 2023
1 1 1 1
A． B． C． D．
32 64 128 256
高三数学试题 第 2 页 （共 6 页）
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．通过长期调查知，人类汗液中 A指标的值 X 服从正态分布 N (10，2.52)．则
A．估计100人中汗液 A指标的值超过10的人数约为50
B．估计100人中汗液 A指标的值超过12.5的人数约为16
C．估计100人中汗液 A指标的值不超过15的人数约为95
5
D．随机抽检5人中汗液 A指标的值恰有 2人超过10的概率为
16
参考数据：
若 X N( ， 2 )，则 P( X ) 0.6827 ； P( 2 X 2 ) 0.9545．

10．已知对任意平面向量 AB (x，y)，把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 AP
(xcos y sin ，xsin y cos ) ，叫做把点B绕点 A沿逆时针方向旋转 角得到点P．已

知平面内点 A(2，1)，点 B(2 t，1 t)， | AB | 2 2， AB OA 0，点 B绕点 A沿逆时
π
针方向旋转 角得到点 P，则
3
A． | BP | 2 2

B． AB ( 2，2)
C． B的坐标为 (4， 1)
D． P的坐标为 (3 3， 3)
6 x2 y2
11．已知O为坐标原点，离心率为 的椭圆C : 2 2 1(a 0，b 0)的左，右焦点分别3 a b
为F1，F2，C与曲线 y cos x恰有三个交点，则
A．椭圆C的长轴长为 3
B．C的内接正方形面积等于3
C．点W 在C上，WF1 WF2，则 WF1F2 的面积等于1
D．曲线C与曲线 y 2x 4ln x 2ln 2 1没有交点
3 b 3 a
12．已知数列{an}和{bn}满足 a n1 1，b1 0，an 1 an 1，2bn 1 b nn 1．则4 2 2 4
A． a2 2b
1
2 2
B．数列{an 2bn}是等比数列
C．数列{an 2bn}是等差数列
D． an 1 an
高三数学试题 第 3 页 （共 6 页）
三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分。
13．已知 sin sin 1，cos cos 2 ，则 cos( ) ．
14．将8块完全相同的巧克力分配给 A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不
同的分配方案共有 种（用数字作答）．
15．已知O为坐标原点，抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F ，过 F 的直线交C于 A，B两
点，A，B中点D在 x轴上方且其横坐标为1，| AB | 3，则直线 AB的斜率为 ．
16．已知球O的半径为 2，圆锥W 的顶点和底面圆周上的点均在球O上，记球心O到圆锥W 底
面的距离为 h，圆锥W 的底面半径为 r．则（1）h r的最大值为 ；（2）圆锥W
体积的最大值为 ．
（本题第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在 ABC中， sin B sinC cos A 2sin A sinC cos B 3sin A sin B cosC ，内角
A，B，C的对边分别记为a，b，c．
a2 2b2
（1）求
c2
的值；
（2）求 cosC的最小值．
18．（12分）
如图1所示，在 ABC中，点E，F在线段 AB上，点D在线段BC上，AE EF FB 1，
CE 2，DF 1，CE AB．将 ACE， BDF 分别沿CE，DF 折起至点 A，B重合为点G，
形成如图2所示的几何体W ，在几何体W 中作答下面的问题．
（1）证明：平面 EFG 平面CEFD；
（2）求点D到平面CFG的距离． C C
D D
E F
A E F B
图 1 G 图 2
高三数学试题 第 4 页 （共 6 页）
19.（12分）
记数列{an}的前 n项和为 Sn， a1 1， ．给出下列两个条件：
条件①：数列{an}和数列{S
n n 1
n a1}均为等比数列；条件②： 2 a1 2 a2 2an nan 1．
试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列{an}的通项公式；
2n
（2）记正项数列{b in}的前 n项和为Tn，b1 a2 ，b2 a3，4Tn bn bn 1，求 [( 1) bibi 1]．
i 1
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）
由mn个小正方形构成长方形网格有m行和 n列．每次将一个小球放到一个小正方形内，
放满为止，记为一轮．每次放白球的概率为 p，放红球的概率为 q， p q 1．
1
（1）若m 2， p q ，记 y表示100轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统
2
计数据如下：
n 1 2 3 4 5
y 76 56 42 30 26
求 y关于 n的回归方程 ln y b n a ，并预测 n 10时， y的值（精确到1）；
1 2
（2）若m 2， n 2， p ， q ，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机
3 3
变量 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明： (1 pm )n (1 qn )m 1．
k
xi yi k x y 5
附：经验回归方程系数：b i 1 ，a k y b x； ni ln yi 53, ln y 3.8．
x2
2 i 1
i k x
i 1
高三数学试题 第 5 页 （共 6 页）
21．（12分）
2
已知O y为坐标原点，动直线 l : y kx m(km 0)与双曲线C : x2 2 1(b 0)的渐近线交b
2
于A，B两点，与椭圆D : x y2 1交于E，F 两点．当k 2 10时，2(OA OB) 3(OE OF ) ．
2
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动直线 l与C相切，证明： OAB的面积为定值．
22．（12分）
已知函数 f (x) x ln x 1 的最小值和 g (x) ln(1 x) ax的最大值相等．
e
（1）求 a；
（2）证明： ln x e x 2 ；
ex
1 1
（3）已知m是正整数，证明：[1 ]m 1 e 2m 2 ．
2m(m 1)
高三数学试题 第 6 页 （共 6 页）

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