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等差数列与等比数列的综合
高考预测一：等差等比的证明
1．已知数列和满足，，对都有，成立．
（Ⅰ）证明：是等比数列，是等差数列；
（Ⅱ）求和的通项公式；
（3），，求证：．
2．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，，．
（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
3．已知数列的前项和，其中．
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求．
4．已知等比数列的公比．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明，对任意，，，成等差数列．
高考预测二：等差等比的交汇问题
5．在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和．
6．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．
（1）若，是否存在、，有？说明理由；
（2）找出所有数列和，使对一切，，并说明理由；
（3）若，，，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明．
7．已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
8．设数列的前项和为，，．
（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；
（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
高考预测一：等差等比的证明
1．已知数列和满足，，对都有，成立．
（Ⅰ）证明：是等比数列，是等差数列；
（Ⅱ）求和的通项公式；
（3），，求证：．
【解析】证明：对都有，成立．
，．
．．
数列是等比数列，公比为；是等差数列，公差为2．
解：由可得：．
．
．
．
解：．
，
，
．
2．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，，．
（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：，，即，
数列是首项为，公比为3的等比数列，
，即，
（2）由（1）知，，
又数列是首项为1的等差数列，的公差为1，
，，
，
，
，
，
．
3．已知数列的前项和，其中．
（1）证明是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求．
【解析】解：（1）根据题意，若，，．
当时，，
两式相减，得，即，
，．．即，即，，
是等比数列，公比，
当时，，即，
；
（2）若，则，即，
则，得．
4．已知等比数列的公比．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明，对任意，，，成等差数列．
【解析】（1）解：由，以及可得．
数列的前项和．
（2）证明：对任意， ．
把代入可得，
故，
故，，成等差数列．
高考预测二：等差等比的交汇问题
5．在等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和．
【解析】解：（1）设等差数列的公差为，
，．
，解得，
．
（2）由，得，
数列中落入区间，内的项的个数，
．
6．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．
（1）若，是否存在、，有？说明理由；
（2）找出所有数列和，使对一切，，并说明理由；
（3）若，，，试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明．
【解析】解：（1）由，得，
整理后，可得，、，为整数，
不存在、，使等式成立．
（2）设，若，对都成立，
且为等比数列，则，对都成立，
即，，
对都成立，
若，则，，．
若，则，（常数），即，则，矛盾．
综上所述，有，，使对一切，．
（3），，，
设，、，．
，
，
、，，
取，，由
二项展开式可得整数、，
使得，
，
存在整数满足要求．
故当且仅当，，命题成立．
7．已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
【解析】解：（1）因为且,
所以,
则
,
上式对也成立，
故；
（2）等价为,
数列的前项和为,
令,
其前项和为,
则有,,,
故,,,
当时，,
则有,
综上可得,不等式成立的或2．
8．设数列的前项和为，，．
（1）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；
（2）是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）设，，是否存在最大的整数，使得对任意均有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：由，
得．
当时，，
即，
故数列是以1为首项，以4为公差的等差数列．
于是，，
；
（2）解：由，得，
又．
令，得，即存在满足条件的自然数；
（3）解：，
．
要使总成立，需成立，即且，
故适合条件的的最大值为7．

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