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(共33张PPT)
3.8 圆内接正多边形
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标: 1.了解正多边形和圆的有关概念．
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的
关系．
3.画圆内接正多边形．
教学重点: 正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
教学难点：利用直尺和圆规画特殊的正多边形．
新知讲解
情境引入
一、 什么叫正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．
探 索
想一想
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
二、正多边形和圆有什么关系？
三、 怎样由圆得到一个正五边形？
1、五等分圆周；
2、顺次连接五个分点．
问:怎样证明它是正五边形？
·
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA(同圆中，相等的弧所对的弦相等)
又∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2（同圆中，相等的弧所对的圆周角相等)
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
A
B
C
D
E
4
⌒
⌒
5
·
·
·
·
·
A
B
C
D
想一想：各边都相等的圆内接多边形是正多边形吗？
各角都相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是,说明为什么；
如果不是，举出反例.
A
B
C
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．
这个圆叫做该正多边形的外接圆．
图 3-34
合作学习
O
A
D
C
B
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心．
正多边形的半径：外接圆的半径．
正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离．
半径r
中心角
边心距
E
把一个圆分成相等的n（n≥3）段弧，依次连接各分点所得多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
内角 外角 中心角 内角和
等边三角形
正方形
正五边形
….
正n边形
60°
120°
120°
90°
90°
90°
108°
72°
72°
180°
360°
540°
（ n-2 ）×180°
提炼概念
正n边形的一个内角的度数是____________;
中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
相等
E
D
C
B
A
O
F
典例精讲
例 如图 3-36，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径 OC=4，OG⊥BC，垂足为点 G，求正六边形的中心角、边长和边心距．
图 3-36
解：连接 OC，OD．
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴ ∠COD = = 60°．
∴ △COD 为等边三角形，
∴ CD=OC=4．
在 Rt△COG 中，OC=4，CG=2，
∴ OG= ．
∴ 正六边形 ABCDEF 的中心角为 60°，边长为 4，边心距为 ．
图 3-36
做一做
如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？
方法一：用量角器等分圆周
用量角器等分圆方法： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形。采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”。
【优缺点】方法简便且可以画任意正多边形、误差小。
方法二 用尺规等分圆周
用尺规等分圆方法：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形。
【优缺点】这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差。
方法简述：正五边形的中心角为72°，通过量角器量取72°，通过圆规依次截取等长弧，画图。
（量角器+圆规）
尝试画出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正八边形？
等边三角形
正五边形
120°
120°
120°
方法简述：等边三角形的中心角为120°，通过量角器依次量取120°，画图。(量角器)
72°
尝试画出圆内接正三角形、正方形、正五边形、正八边形？
正方形
正八边形
45°
你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？
试一试
利用尺规依据上面例题的结论，作法如下：
（1）以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，与圆周交于一点；
（2）以得到的交点为圆心，以圆的半径为半径作弧与圆周交于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
（3）依次连接这六个点，就得到了这个圆的一个内接正六边形．
归纳概念
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
课堂练习
1、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=( )
A. 30° B. 35° C. 45° D. 60°
A
2、如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C． D．
3、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是______°.
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4、一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
1)若a＝6，求b的值；
2)若b＝30，求a的值．
(1)解：∵正多边形的周长为60，边长为6，∴边数为，
∵一个外角为b°，∴；
(2)∵一个外角为b°，b＝30，∴，
∵正多边形的周长为60，边长为a，∴．
5、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
(1)求证：△ABC是等边三角形．
(2)若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
(3)若PB=1，PC=3，那么PA为多少？
解：(1)证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是弧BC对的圆周角，
∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
(2)如图
过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD=30°，∠ODB=90°，
∵OB=2，
∴OD=1，
∴等边△ABC的边心距为1．
(3)如图
在PC上截取PD=AP，连接AD，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，
即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
∠ABP=∠ACD ∠APB=∠ADC AP=AD ，
∴△APB≌△ADC(AAS)，
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP，
∵PB=1，PC=3，
∴PA=PC-PB=3-1=2．
课堂总结
正多边形的性质:
1.各边相等，各角相等.
2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.
3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份.
4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.
6.正n边形中心角和它的每个外角都等于 ，每个内角都等于 .
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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