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齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试
数学试题答案
1.C
当 n=0,1,2,3,4时,x=3n+2分别为 2,5,8,11,14,所以 A∩B={5,8,11},故选 C.
2.A
1
由1+i=a+bi(a,b∈R),
1 1 1 1
得2 2i=a+bi,则 a=2, b=-2,所以 a+b=0.故选 A.
3.C
由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为 a1,公比为 q,前 n 项和为 Sn,所以
a =5,q=2, 5 1(1-
5) = 5×(1-2
5)
1 因此前 天所屠肉的总两数为 1- 1-2 =155.故选 C.
4.B

(a b ) a, a 2 a b 2 a b 0 a b 2,


∴cos a b a b
2 2
π， a b
a | b | 2 所以 与 的夹角是
.故选 B.
2 2 4
5.D
采用捆绑法和插空法.从 4名男生中选择 3名,进而将 3个相邻的男生捆在一起,看成 1个
男生,方法数是A34种,这样与第 4个男生看成是 2个男生;然后 6个女生任意排的方法数是
A66种;最后在 6个女生形成的 7个空隙中,插入 2个男生,方法数是A27种.综上所述,不同的
排法共有A34A6 26A7种.故选 D.
6.B
因为函数 f x 2sin x 0,0

2 的图象的相邻两个零点的距离为 ，所以 2
T 2 2 2 ，所以 2，所以 f x 2sin 2x ，
2 T
f 0 2 f 0 2sin 2 sin 2又因为 ，所以 ，解得 ，
2
因为0

，所以 ，所以 f x 2sin 2x
2 4 4
.故选 B.

7.B
由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心 O在过 PM中点 O'与面MNP垂直的直
线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当 O'Q过球
心时体积最大,因为四面体 Q-MNP的最大体积为 10,所以
1
3 ×S△MNP×O'Q=
1 × 13 2 ×3×4×O'Q=10,可得 O'Q=5,
在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则 R2=(5-R)2+254 , R=
25
得 8 ,
25 2
故球的表面积为 4π × 8 =
625π
16 ,故选 B.
8.C
f (x) 0等价于eax ax x2 2ln x e2lnx 2ln x．
令函数g(x) ex x ，则 g (x) ex 1 0，故 g(x)是增函数．
2ln x
eax ax e2ln x 2ln x等价于ax 2ln x(x 0)，即a ．x
h(x) 2ln x h (x) 2 2 ln x令函数 ，则
x x2
．
当 x (0,e)时，h (x) 0，h(x)单调递增；当 x (e, )时， h (x) 0，h(x)单调递减．
h(x)max h(e)
2
.
e
2
故实数 a 的取值范围为 , ．故选 C.
e
9.BCD
将函数 f x sin x
π π
的图象向左平移 个单位长度，可得 y sin
3
x
3 ，
1 π
再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），可得 g(x) sin 2x 2 ， 3
对于 A选项，令h x g π x sin 2
x π π sin 2 x π ，
3 3 3 3
h π π 则 0， h sin
2π 0，故函数 g
x π
6 6 3
不是偶函数，A不正确；
3
π π
对于 B选项，因为 g sin 0 0，故 x 6 是函数
g(x)的一个零点，B正确；
6
x 5 , 5 对于 C选项，当
2x 时，
12 12 3
, ，所以函数 g(x)在区间 2 2
,
12 12 上
单调递增，C正确；

对于 D选项，因为对称轴满足 2x kπ,k Z
π kπ
，解得 x ,k Z，
3 2 12 2
k π则 0时， x ，所以函数 g(x) x
π
的图象关于直线 对称，D正确．故选 BCD．
12 12
10.ABD
由题意可知：3 2 a 4，故a 2，故 A正确；
乙组样本数据方差为9 4 36，故 B正确；
设甲组样本数据的中位数为 xi，则乙组样本数据的中位数为3xi 2，所以两组样本数据
的样本中位数不一定相同，故 C错误；
甲组数据的极差为 xmax xmin ，则乙组数据的极差为 3xmax 2 3xmin 2 3 xmax xmin ，
所以两组样本数据的样本极差不同，故 D正确；故选 ABD.
11.ACD
对于 A：因为 B1D1 A1C1，B1D1 A1A， A1C1 A1A A1，所以 B1D1 面 A1C1CA，
因为 A1C 面 A1C1CA，所以 B1D1 A1C ，同理可证 AD1 A1C，因为 AD1 B1D1 D1，
所以 A1C 平面 AB1D1，因为 AE 平面 AB1D1，所以 A1C AE总成立，故选项 A正确；
对于 B：平面EFB即平面 BDD1B1，而平面 EFA即平面 AB1D1，所以当 E向D1运动时，二
面角 A EF B大小不变，选项 B不正确；
对于 C：建立如图所示的空间几何体，
则 A 1,1,0 ,B 0,1,0 ,C 0,0,0 ，D 1,0,0 ,D1 1,0,1 ，
因为 E,F 在 B1D
2
1上，且 EF ，故可设E t,1 t,1 ,F t
1 3
, t,1 1 ， t 12 2 2 2

AE t 1, t ,1 ，

设平面 ABE的法向量为m x, y, z ，

又 AB 1,0,0 ，
x 0
所以 t 1 x t y z 0，取 y 1，则m 0,1, t ，
t
平面 ABC的法向量为n 0,0,1 ，所以 cos m,n 2 ，1 t 1
设二面角E AB C的平面角为 ，则 为锐角，故
cos t 1
t 2 1 1 1 ，
t 2
1 1 5 2
当 t 1，故 2 1 2 5，所以 cos ，2 t 5 2
2
当且仅当 t 1时cos 取最大值 即 取最小值45 ，故 C正确；
2
D 1 1 2 2对于 ：因为 S BEF EF BB1 1 ，2 2 2 4
点A BDD B 2到平面 1 1的距离为 ，
2
1 2 2 1
所以体积为 ，即体积为定值，故选项 D正确．故选 ACD.
3 4 2 12
12.ABD
1
对于 A，因为 x ，所以2x 1 0，所以1 2x 0，
2
2x 1 2x 1 1 1 1 1 1所以 2x

1≤ 2 1 2x 1 1 ，2x 1 2x 1 1 2x 1 2x
1 1
当且仅当1 2x ，即 x 0时等号成立，所2x 的最大值为 1，故 A正确；
1 2x 2x 1
对于 B，因为 x，y，z都是正数，且 x y z 2，所以 x 1 y z 3，x 1 0，y z 0，
4 1 1 4 1
所以
x 1 y z 3 x 1 y z
x 1 y z ，

4 1 1 4 y z 5 x 1 1
4 y z x 1
所以 5 2 3x 1 y z 3 x 1 y z 3 x 1 y
，
z
4 y z x 1 x 1 4 1
，当且仅当 ，即 x 1 2 y z ，即 y z 1时等号成立，所以

x 1 y z x 1 y z
的最小值为 3，故 B正确；
2 2
对于 C，因为 x 0， y 0 x 2y x 2y，所 x 2y ，即2xy

（当且仅当 x 2y时
2 4
2
等号成立），因为 x 2y 2xy 8，所以2xy 8 x 2y x 2y，所以8 x 2 y ，所
4
2
以 x 2y 4 x 2y 32 0，解得 x 2y 8（舍去）或 x 2y 4，当且仅当 x 2y 2
时等号成立，所以 x 2y的最小值为 4，故 C错误；
对于 D，令 x y t， x 2y s，则 x 2t s， y s t，因为 xy 0，所以 x，y同号，
s t x 2 y s 2t s 2t s 2t则 ， 同号，所以 4 4 2 4 2 2，当且仅当 t s ，即x y x 2 y t s t s
x 2 y
s 2t时取等号，所以 x 4 2 2 y x 2 y的最大值是 ，当且仅当 x 2y时，等号成立，
故 D正确．故选 ABD.
13. 0.4
因为ξ符合正态分布 N(1,σ2),所以曲线的对称轴是 x=1,因为ξ在(0,2)内取值的概率为 0.8,
所以ξ在(1,2)内取值的概率为 0.4.
14. e2
a
xe
x-aexlnx ax-alnx由题意,得 f'(x)= = 1x 2 x .又切线斜率 k= .(e ) e 2
∴f'(1)=a = 1, e∴a= .
e 2 2
15. 1
2
依据题意作出图象,如图:
因为直线 PA过点 P且与圆 x2+y2=1相切于点 A,
所以 PA⊥OA,所以|PA|= 2- 2 = 2-1,
要使得 PA最小,则 OP要最小,由题可得 OP的
最小值就是点 O到直线 l:y=x-2 d= |0-2-0|的距离 = 2.
12+12
此时,|PA|min= 2min-1 = ( 2)2-1=1,
π π
所以∠OPA=4,由切线的对称性可得∠BPA=2,|PB|=1,
1
所以△PAB的面积为 S△PAB=2 ×1×1=
1
2 .
16．[3 3，3+ 3]
3 3 p 13
因为点 A( 3，m)在抛物线上，所以3 2pm m 2p，点 A到准线的距离为

2p 2 4 ，
p 1 1解得 或 p = 6．当 p = 6时，m 1，故 p = 6舍去，所以抛物线方程为 x2 y，∴
2 4
A( 3，3)，B( 3，3) ，所以 OAB是正三角形，边长为 2 3，其内切圆方程为 x2 (y 2)2 1，
3 3
如 图 所 示 ， ∴ E ， ． 设 点 F(cos ，2 sin ) 2 2 （ 为 参 数 ）， 则

OE ·OF 3 cos 3 3 sin 3 3 sin π



，∴OE ·OF [3 3，3 3]．2 2 6
17.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d.
a1 + 4d = 21,
则 5a + 5×4 d = 2(a + 5d) + 3,...................................（2分）1 2 1
a1 = 1,解得 d = 5, ...................................（3分）
所以an =5n-4....................................（4分）
(2)由(1)可得 Sn=(5n-3)n,...................................（5分）
2
所以b nn = =
2 b n+1 = 2
S 5n 3, n 1 =S 5n+2,...................................（6分）n n+1
4 4 1 1
则b b = = n n 1 (5n-3)(5n+2) 5 5n 3 5n+2 ,...................................（8分）
所以 Tn=4 1 1 + 1 1 + + 1 15 2 7 7 12 … 5n 3 5n+2
4 1 1
= = 2n5 2 5n+2 ....................................5n+2 （10分）
18.解 (1)因为 3bsin A=a(2+cos B),由正弦定理
得 3sin Bsin A=sin A(2+cos B)...........................（2分）
因为 A∈(0,π),所以 sin A>0,所以 3sin B-cos B=2,...........................（3分）
所以 2sin (B-
π
6)=2.............................（4分）
因为 B∈(0,π),所以 B-
π = π6 2,即 B=
2π
3 .........................（5分）
(2)依题意 3 = 3,即 ac=4............................（6分）4
所以 a+c≥2 =4,当且仅当 a=c=2时取等号............................（7分）
又由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac≥3ac=12,所以 b≥2 3,.....（. 9分）
当且仅当 a=c=2时取等号...........................（10分）
所以△ABC的周长的最小值为 4+2 3...........................（12分）
19.解 (1) d由散点图判断，y＝c＋ 更适合作为该图书每册的成本费 y(单位：元)与印刷数
x
量 x(单位：千册)的经验回归方程．...................（2分）
(2)由u 1i ，先建立 y关于 u的经验回归方程，xi
7.049
由于 ＝ ≈8.96，...........（4分）
0.787
所以c＝ y －d· u ＝3.63－8.96×0.269≈1.22，...........（6分）
^
所以 y关于 u的经验回归方程为y＝1.22＋8.96u，..........（7分）
^ 8.96
所以 y关于 x的经验回归方程为y＝1.22＋ ...........（8分）
x
(3)假设印刷 x千册，依题意得 10x－(1.22 8.96＋ )x≥78.840，..........（10分）
x
所以 x≥10，..........（11分）
所以至少印刷 10 000册才能使销售利润不低于 78 840元．..........（12分）
20.解 (1)连接 AC交 BD于 N，连接MN.在正方形 ABCD中， AC BD N，
∴N是 AC的中点.
又M是 AP的中点，
∴MN是△APC的中位线，MN∥PC，.........................（2分）
∵MN 面 BMD，PC 面 BMD，
∴PC∥平面 BMD..........................（4分）
（2）取 AD的中点 O，连接 OP，ON.
在 PAD中， PA PD，O是 AD的中点，
∴OP AD，
又平面 PAD 平面 ABCD，OP 平面 PAD，平面 PAD 平面 ABCD AD，
∴OP 平面 ABCD. .........................（6分）
在正方形 ABCD中，O，N分别是 AD、BD的中点，∴ON AD，
∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以 OD，ON，OP所在直线为 x轴，y轴，
z轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.
P(0,0, 6) D(2,0,0) B( 2,4,0) M ( 1,0, 6， ， ， ),
2

∴DM ( 3,0, 6)，DP ( 2,0, 6)，DB ( 4,4,0).
2

设平面MBD的一个法向量 n1 (x, y, z)，



n 6
1
D M , 3x z 0,则 ，即
n DB, 2 1 4x 4y 0,

取 x 1，得n1 (1,1, 6)，

∴n1 (1,1, 6)是平面MBD的一个法向量;.........................（8分）

同理， n2 ( 3, 3, 2)是平面 PBD的一个法向量，.........................（10分）

cos n ,n n1 n∴ 1 2
2 1 3 1 3 6 2 3
n n ......（11分）1 2 12 12 ( 6)2 ( 3)2 ( 3)2 ( 2)2 2
设二面角M BD P的大小为 ，

cos cos n n 3由图可知， 1 ， 2 ，且 为锐角，2
∴ 30 ，
故二面角M BD P的大小是30 . .........................（12分）
21.解(1) ∵抛物线 C上的点到准线的最小距离为 1,∴ 2=1,解得 p=2,..........（2分）
∴抛物线 C的方程为 y2=4x.......（3分）
(2)由(1)可知焦点为 F(1,0).
由已知可得 AB⊥CD,∴两直线 AB,CD的斜率都存在且均不为 0.
1
设直线 AB的斜率为 k,则直线 CD的斜率为 ,
k
∴直线 AB的方程为 y=k(x-1).
2 = 4 ,
联立 = ( -1),消去 x得 ky
2-4y-4k=0.......（5分）
设 A(x1,y1),B(x2,y
4
2),则 y1+y2= .设M(xM,yM),由 yM=k(xM-1),

得 x = M +1=
2
2+1,
∴M 2 2 + 1,
2
. .....（7分）
同理可得 N(2k2+1,-2k)......（8分）
∴|NF|= 2(2 2 + 1-1)2 + (-2 )2=2 2( 2 + 1),|MF|=2 1+ 2 ,.....（9分）
2
∴|MF|·|NF|=2 1+ 2 2 2 1 + 2 1+ × ( )=4× ≥4×2 | |·
1=8,.....（11分）
2 | | | |
当且仅当|k|= 1| |,即 k=±1时,等号成立.
∴|MF|·|NF|的最小值为 8......（12分）
22.解 (1)由题意可得 f x 的定义域为 (0, )，
1 2 aex x 2 x aexf x x 2 2 3 ，...............................................（1分）x x x x3
当 a 0时，易知 x aex 0，
所以，由 f x 0得 0 x 2，由 f x 0得 x 2， ......................（3分）
所以 f x 在 (0,2)上单调递减，在 2, 上单调递增. .......................（4分）
x aex(2) (1) x 2 由 可得 f x ，
x3
x 2
当 0 x 2时 3 0，记 g x x aex，则 g x 1 aex ，x
因为 f x 在区间 (0,2)内有两个极值点，
所以 g x 在区间 (0,2)内有两个零点，所以 a 0 ...............................（6分）
令 g x 0，则 x ln a，
①当 ln a 0，即 a 1时，在 (0,2)上， g (x) 0，所以在 (0,2)上，
g x 单调递减， g x 的图象至多与 x轴有一个交点，不满足题意...................（7分）
②当 ln a 2，即 0 a
1
2 时，在 (0,2)上， g x 0，所以在 (0,2)上，e
g x 单调递增，g x 的图象至多与 x轴有一个交点，不满足题意....................（8分）
1
③当 0 ln a 2，即 2 a 1时，g x 在 (0, lna)上单调递增，在 ( ln a,2)上单调递e
减，由 g 0 a 0知，要使 g x 在区间 (0,2)内有两个零点，
g ln a ln a 1 0 2 1
必须满足 2 ，解得 2 a ，...........................................（11分）
g 2 2 ae 0 e e
2 1
综上所述，实数 a的取值范围是 2 ,e e . .............................................................（12分） 齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试
数学试题
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1.已知集合 A {x | x 3n 2,n N},B {x | 2 x 14},则集合 A B中元素的个数为
A.5 B. 4 C.3 D. 2
1
2.已知复数 z满足 a bi(a,b R),则 a b
1 i
A.0 B.1 C . 1 D. 2
3.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何 ”其意思
为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的 2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30
天,问一共屠了多少两肉 ”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为
A.35 B.75 C.155 D.315

4. | a | 2,| b | 2,且 (a b ) a,则 a与b 的夹角是
5
A. B. C. D.
6 4 3 12
5.现有10名学生排成一排,其中 4名男生, 6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不
同的排法共有( )种
A. A2A2 3 2 3 2 2 3 6 26 7 B. A4A7 C. A3 A6 A7 D. A4A6 A7

6.已知函数 f (x) 2sin( x )( 0,0 ) 的图象的相邻两个零点的距离为
2
, f (0) 2,则 f (x)
2
A. 2 sin(2x ) B. 2sin(2x )
4 4
C. 2 sin(4x ) D. 2sin(4x )
4 4
7.已知点M ,N ,P,Q在同一个球面上,MN 3,NP 4,MP 5,若四面体MNPQ体积的最大
值为10 ,则这个球的表面积是
A. 25 B. 625 C. 225 D.125
4 16 16 4
8.已知函数 f (x) eax 2ln x x2 ax,若 f (x) 0恒成立，则实数a的取值范围为
A. (1 , ) B. (1, 2 ) C. ( , ) D. (e, )
e e
二、多选题（每题 5分，共 20 分，漏选得 2 分，错选不得分）
9. f (x) sin x 将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来
3
1
的 倍（纵坐标不变），得到 g(x)的图象，则
2

A.函数 g(x )是偶函数 B. x 是函数 g(x)的一个零点
3 6
C.函数 g(x) [ 5 在区间 , ]上单调递增 D.函数 g(x)的图象关于直线 x 对称
12 12 12
10.若甲组样本数据 x1, x2 , , xn（数据各不相同）的平均数为2，方差为 4，乙组样本数据
3x1 a,3x2 a, ,3xn a的平均数为 4，则下列说法正确的是
A. a的值为 2 B.乙组样本数据的方差为36
C.两组样本数据的样本中位数一定相同 D.两组样本数据的样本极差不同
11.如图，正方体 ABCD A1B
2
1C1D1的棱长为1，线段 B1D1上有两个动点 E,F ,且 EF ,2
则下列结论中正确的有
A.当 E点运动时， A1C AE总成立
B.当 E向D1运动时，二面角 A EF B逐渐变小
C. 二面角 E AB C 的最小值为 45
D.三棱锥 A BEF 的体积为定值
12.下列说法正确的有
1
A.若 x ,则 2x 1 的最大值是 1
2 2x 1
B.若 x, y, z是正数，且 x 4 1 y z 2,则 的最小值是3
x 1 y z
C.若 x 0, y 0, x 2y 2xy 8,则 x 2y的最小值是 2
D.若实数 x, y满足 xy 0, x 2y 则 的最大值是 4 2 2
x y x 2y
三、填空题（每题 5分，共 20 分）
13. 2在某项测量中,测得变量 ~ N (1, )( 0).若 在 (0,2)内取值的概率为 0.8 ,则 在
(1,2)内取值的概率为 .
14.函数 f (x) a ln x x 在点 P(1, f (1))处的切线与直线 2x y 3 0垂直,则 a .e
15. 2 2过直线 l : y x 2上任意点 P作圆C : x y 1的两条切线,切点分别为 A,B,当切线
长最小时, PAB 的面积为 .
16. 2抛物线 x 2py( p 0)上一点 A( 3,m)(m 1) 13 到抛物线准线的距离为 ,点 A关于
4
y轴的对称点为 B,O为坐标原点， OAB的内切圆与OA切于点 E,点 F 为内切圆上任意

一点，则OE OF 的取值范围为________．
四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）等差数列{an}的前 n项和为 Sn ,a5 21,S5 2a6 3.
(1)求数列{an}的通项公式;
n
(2)记bn ,数列{b bS n n 1
}的前 n项和为Tn ,求Tn .
n
18.（12分） ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,设 3bsin A a(2 cosB).
(1)求 B;
(2)若 ABC的面积等于 3,求 ABC的周长的最小值.
19.（12 分）某机构为研究某种图书每册的成本费 y (单位：元)与印刷数量 x (单位：千册)
的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
8 8 8 8y x u (x 2 2i x) (xi x)(yi y) (ui u) (ui u)(yi y)
i 1 i 1 i 1 i 1
15.25 3.63 0.269 2085.5 230.3 0.787 7.049
u 1注：表中 i .xi
(1)根据散点图判断： y a bx与 y c d 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本
x
费 y (单位：元)与印刷数量 x (单位：千册)的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说
明理由)
(2)根据(1)的判断结果以及表中数据，建立 y关于 x的经验回归方程；(计算结果精确
到 0.01)
(3)若该图书每册的定价为 10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于
78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到 1)
n
(xi x)(yi y)
参考公式:经验回归方程 y a b x中,b i 1 n ,a y b x .
(xi x)2
i 1
20（. 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 4的正方形，侧面 PAD
底面 ABCD,M 为 PA 的中点， PA PD 10.
(1)求证： PC //平面 BMD;
(2)求二面角M BD P的大小．
21. 2（12分）已知抛物线C : y 2px( p 0)的焦点为F ,抛物线C上的点到准线的最小距
离为 1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点 F 作互相垂直的两条直线 l1和 l2 , l1与抛物线C交于 A,B两点, l2 与抛物线C
交于C,D两点,M ,N 分别为弦 AB,CD的中点,求 |MF | | NF |的最小值.
f (x) ln x 2 ae
x
22.（12分）已知函数 2 (a R).x x
(1)若 a 0,讨论 f (x)的单调性；
(2)若 f (x)在区间 (0,2)内有两个极值点，求实数 a的取值范围.

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