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第五章 抛体运动
5.4.2平抛运动的推论
及与斜面结合问题
目录
contents
平抛运动的推论
01
02
平抛与斜面结合问题
03
平抛运动的临界问题
04
类平抛运动
知识复习
平抛
斜抛
抛体运动的规律
思路：化曲为直
方法：运动的分解
水平方向：
竖直方向：
速度

位移
x=v0tcos?
vx=v0cos?
vy=v0sin? - gt
抛体运动
平抛运动
斜上抛运动
斜下抛运动
x 方向：
y 方向：
匀速直线运动
自由落体运动
匀速直线运动
竖直上抛运动
匀速直线运动
竖直下抛运动
平抛运动的推论
01
1.运动时间：由 ，得 ，即物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度v0无关。
2.落地的水平距离：由 , 得 ，即落地的水平距离与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关。
3.落地速度: ，即落地速 度也只与
初速度v0和下落高度h有关。
在高空中有一匀速飞行的飞机，每隔 1 s 投放一颗炸弹。
1. 若以地面为参考系则这些炸弹做什么运动？
2. 在飞机上的观测者看来这些炸弹做什么运动？
3. 这些炸弹在空中是怎样排列的？
4. 这些炸弹落地后所留下的坑穴是怎样排列的？
平抛运动
自由落体
竖直排列
水平等距离
想一想
【例题】质点从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是 (　 　)
A. 质量越大，水平位移越大
B. 初速度越大，落地时竖直方向速度越大
C. 初速度越大，空中运动时间越长
D. 初速度越大，落地速度越大
D
A．va>vb>vc，ta>tb>tc
B．vaC．vatb>tc
D．va>vb>vc，ta【例题】如图所示，在同一平台上的O 点水平抛出三个物体，分别落到 a、b、c 三点，则三个物体运动的初速度 va、 vb 、 vc 和运动的时间 ta、 tb 、 tc 的关系分别是（ ）
C
【例题】如图所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向。图中画出了从 y 轴上沿 x 轴正向抛出的三个小球 a、b 和 c 的运动轨迹，其中 b 和 c 是从同一点抛出的。不计空气阻力，则(　　 )
A. a 的飞行时间比 b 的长
B. b 和 c 的飞行时间相同
C. a 的水平速度比 b 的小
D. b 的初速度比 c 的大
BD
4.做平抛（或类平抛）运动的物体，设其位移偏向角为α，速度偏向角为θ，则在任意时刻、任意位置有tanθ=2tanα。
证明：
（θ≠2α）
得：
α
vx
vy
v
O
x
y
v0
P (x,y)
5.做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图。
证明：
O
y
B
x
A
P (x,y)
v0
位移偏向角θ：
速度偏向角α：
l
θ
α
vx
α
v
vy
O′
α
θ
θ
v0
x
y
s
vx
v
vy
?
?
d
合位移：
方向：位移偏向角
合速度
方向 ：速度偏向角
两个有用的推论
tanθ=2tanα
?
两个重要的三角形
【例题】如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R.一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　)
A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长；
B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向的夹角也相同；
C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环；
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环。
D
解析：
小球落在环上的最低点C时所用时间最长，所以选项A错误；由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位移方向与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向的夹角也不相同，选项B错误；
小球撞击半圆环时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，故不可能过圆心，则无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环，故选项D正确，C错误．
平抛与斜面结合问题
02
常见模型
模型
?
?
?
方法
分解速度,构建速度三角形,找到斜面倾角θ与速度方向的关系
分解速度,构建速度的
矢量三角形
分解位移,构建位移三角形,隐含条件:斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
基本
规律
水平速度:vx=v0
竖直速度:vy=gt
合速度:v=?
方向:tan θ=?
水平速度:vx=v0
竖直速度:vy=gt
合速度:v=?
方向:tan θ=?
水平位移:x=v0t
竖直位移:y=?gt2
合位移:s=?
方向:tan θ=?
运动
时间
由tan θ=?=?
得t=
由tan θ=?=?得t=
?
由 tan θ=?=?
得t=
对多物体平抛问题的四点提醒
(1)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的必经之处,两物体要在此处相遇,必须同时到达此处。即轨迹相交是物体相遇的必要条件。
(2)若两物体同时从同一高度水平抛出,则两物体始终处在同一高度。
(3)若两物体同时从不同高度水平抛出,则两物体高度差始终与抛出点高度差相同。
(4)若两物体从同一高度先后水平抛出,则两物体高度差随时间均匀增大。
★当速度与斜面平行时,物体到斜面的距离最远,且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
【例题】同一水平线上相距L的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙,两球在空中相遇,运动轨迹如图所示。不计空气阻力,则下列说法正确的是?(　　)
A.甲球要先抛出才能相遇
B.甲、乙两球必须同时抛出才能相遇
C.从抛出到相遇过程中,甲球运动的时间更长
D.两球相遇时乙球加速度更大
B
【例题】在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以v和?的速度沿同一方向水平抛出,两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的?(　　)
A.2倍　　????B.4倍　　????C.6倍　　????D.8倍
A
解析　甲、乙两球都落在同一斜面上,则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同,根据位移方向与末速度方向的关系,即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍,可得它们的末速度方向也相同,在速度矢量三角形中,末速度比值等于初速度比值,故A正确。
解题感悟
从斜面上某点水平抛出,又落到斜面上的平抛运动的五个特点
(1)位移方向相同,竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
★(2)末速度方向平行(即末速度方向相同),竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比?。
(4)位移与初速度的二次方成正比?。
★(5)当速度与斜面平行时,物体到斜面的距离最远,且从抛出到距斜面最远所用
的时间为平抛运动时间的一半。
【例题】如图所示，以 9.8 m/s 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角 θ ＝ 30°的斜面上，则物体飞行的时间是多少?
解析：平抛运动的物体在水平方向的运动是匀速直线运动，所以撞在斜面上时，水平方向速度 vx＝ 9.8 m/s，合速度垂直于斜面，即合速度 v 与vx（水平方向）成 α ＝60°
v0
30°
【例题】如图，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计，物体可视为质点)(　　)
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
解析：物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向的夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2 tan θ，则选项D正确．
D
【例题】如图所示，相对的两个斜面，倾角分别为30°和60°，在顶点的两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、右两边水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两小球的运动时间之比为（　　）
A.1∶2 　　　　B.2∶1
C.1∶3 　　　　D.1∶ ????
?
C
【例题】跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台.一运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从A点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，如图2所示.已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度v0＝20 m/s，山坡可看成倾角为37°的斜面，不考虑空气阻力(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)运动员在空中的飞行时间t1；
(2)运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s；
(3)运动员落到斜面上时的速度大小v；
(4)运动员何时离斜面最远.
解：⑴⑵运动员从A点到B点做平抛运动，
水平方向的位移：x＝v0t1
竖直方向的位移：y＝????????gt12
又有tan 37°＝????????
代入数据解得：t1＝3 s，x＝60 m，y＝45 m.
运动员从飞出至落在斜面上的位移大小s＝????????+????????＝75 m.
?
(3)运动员落在斜面上时速度的竖直分量vy＝gt1＝10×3 m/s＝30 m/s，
运动员落到斜面上时的速度大小v＝ ????????????+?????????????＝10 ????????m/s.
?
(4)如图，运动员距离斜面最远时，合速度方向与斜面平行，tan 37°＝?????????????????，即tan 37°＝????????????????????，
解得t2＝?????????????????????????°????＝1.5 s.
?
平抛运动的临界问题
03
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,画出临界轨迹。
【例题】如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m.运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出.(取g＝10 m/s2，不计空气阻力)
(1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度.
解：如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝????????gt2可得
当排球恰不触网时有x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝ ?????????gt12 ②
由①②可得v1＝3???????? m/s.
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2③
h2＝2.5 m，h2＝ ?????????gt22④ 由③④可得v2＝12 ???? m/s.
所以排球既不触网也不出界的速度范围是3 ???????? m/s?
解：如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹.设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
x1＝3 m，x1＝v0t1′ ⑤
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t2′⑦
h1′＝h－2 m，h1′＝ ?????????gt1′2 ⑥
?
h2′＝h＝ ?????????gt2′2 ⑧
?
联立⑤⑥⑦⑧式可得，高度h＝???????????????? m.
?
【例题】如图所示，水平地面上有一高h＝4.2 m的竖直墙，现将一小球以v0＝6.0 m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离s＝3.6 m，离地面高H＝5.0 m，不计空气阻力，不计墙的厚度．重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小球碰墙点离地面的高度h1；
(2)若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球能越过竖直
墙，小球抛出时的初速度v的大小应满足什么条件？
解：
(1)小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，由平抛运动的规律有：
水平方向上：s＝v0t①
竖直方向上：H－h1＝ ?????????gt2②
由①②式并代入数据可得h1＝3.2 m.
?
(2)设小球以v1的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t1，由平抛运动的规律有：水平方向：s＝v1t1③
竖直方向：H－h＝ ?????????gt12④
由③④式并代入数据可得v1＝9.0 m/s，所以小球越过墙要满足：初速度v≥9.0 m/s.
?
【例题】在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。（g取10m/s2）。求
（1）摩托车做平抛运动的时间；
（2）摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟；
（3）摩托车恰好越过壕沟落地时的速度大小。
（结果可保留根号）
【正确答案】（1）1s；（2）20m/s；（3）
类平抛运动
04
1、概念：物体以初速度v0沿某一方向抛出，且仅受一垂直于初速度方向的恒力作用时所做的运动。（即合外力恒定且与初速度方向垂直的运动都可以称为类平抛运动．）
2、模型特点：
3．处理方法——分解运动，化曲为直：
（1）常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性；
（2）特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
4．类平抛运动与平抛运动的区别
【例题】如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
解：(1)沿斜面向下的方向有mgsinθ＝ma，l＝????????at2
联立解得：t＝????????????????????????????.
?
(2)沿水平方向有b＝v0t v0＝????????＝b????????????????????????????
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝????????????+????????????＝(????????+????????????)=(????????+????????????)????????????????????????????????
?
【例题】如图所示，质量相同的、两质点从同一点分别以相同的水平速度沿轴正方向抛出，在竖直平面内运动，落地点为；沿光滑斜面运动，落地点为。和在同一水平面内，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A．A、B的运动时间相同
B．A、B沿轴方向的位移相同
C．A、B落地时的速度相同
D．A、B落地时的速度方向不同
D
【正确答案】D
3、位移关系：
4、速度关系：
5、加速度：
6、轨迹方程：
平抛运动的轨迹为抛物线
平抛运动的结论：
（1）影响运动时间的因素:
（2）影响落地水平位移的因素:
（3）影响落地速度的因素:
（4）任意两个相等时间间隔内的速度变化量相等
感谢您的耐心聆听
I'd like to finish by saying how grateful I am for your attention.

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