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寒假巩固复习15：第三章综合测试B卷
一、单选题
1. 设，若，则( )
A. B. C. D.
2. 函数与的图象如左图，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4. 已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则，，的大小关系为．( )
A. B.
C. D.
5. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )
A. B. C. D.
6. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则( )
A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关
7. 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
9. 定义在上的函数的图象关于直线对称，且满足：对任意的，都有，且，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
10. 已知函数，下列关于的性质，推断正确的有 ( )
A .函数是偶函数 B .函数与的值域相同
C.在上递增 D. 在上有最大值
S三、填空题
11. 函数的值域是 ．
12. 已知，则的解析式为 ．
13. 若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
14. 已知偶函数和奇函数的定义域都是，且在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集是
15. 已知，函数在区间上的最大值是，则的取值范围是 ．
16. 已知函数则满足的的取值范围是_________．
四、解答题
17. 已知满足 ，且时，
判断的单调性并证明；
证明；
若解不等式．
18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，
求的解析式；
讨论函数的单调性，并求的值域．
19. 设函数．
Ⅰ若函数在上不单调，求实数的取值范围；
Ⅱ求函数在的最小值．
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过吨时每吨为元，当用水超过吨时，超过部分每吨元，某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为，吨．
求关于的函数；
若甲、乙两户该月共交水费元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
精确到
21. 已知函数定义在上的奇函数，且，对任意，，时，有成．
解不等式；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知函数，若同时满足以下条件：
在上单调递减或单调递增；
存在区间，使在上的值域是，那么称为闭函数．
求闭函数符合条件的区间
判断函数是不是闭函数，若是，请找出区间；若不是，请说明理由．
若是闭函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
解：当时，，，，
，
，解得或舍去．
．
当时，，
，，
，无解．
当时，，，，不符合题意．
综上，．
故选C．

2.【答案】
解：由图象可知为偶函数，为奇函数，
所以为奇函数，排除，
因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，排除，，
故选A．

3.【答案】
解：因为函数的定义域为
所以，
所以函数的定义域为
所以，
所以．
所以函数的定义域为．
故选：

4.【答案】
解：函数为偶函数，则函数的图象关于对称，
则函数的图象关于对称，，，
，，即．
故选 A．

5.【答案】
解：是定义域为的奇函数，且，
，，
则，则，
即函数是以为周期的周期函数，
，
，，
，
则，
则
，
故选：．

6.【答案】
解：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，
当或，即，或时，
函数在区间上单调，
此时，
故的值与有关，与无关；
当，即时，
函数在区间上递减，在上递增，
且，
此时，
故的值与有关，与无关；
当，即时，
函数在区间上递减，在上递增，
且，
此时，
故的值与有关，与无关；
综上可得：的值与有关，与无关．
故选：．

7.【答案】
解：
因为，
，
时，，
时，，；
时，，，
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则．
故选B．

8.【答案】
解：因为，，
所以
．
故选B．

9.【答案】
解：对任意的，都有，
函数在上为减函数，且，
又由函数的图象关于直线对称，
在上为增函数，且，
当，，满足，
当，，满足，
当，，不满足，
综上可得：．
故答案选：．

10.【答案】C
解：，故函数为奇函数，A不正确；
当时，，
当时，，
令，
由对勾函数的性质可知：的值域为
的值域是，
令，则，同上得值域为，故B正确；
在上单调递减，则在上单调递增，故C正确；
由基本不等式当时，，故 D错误；
故选BC．

11.【答案】
解：由
，
得：当时，，当且仅当，即，即时，等号成立．
根据“双勾函数”模型，有在单调递减；在单调递增，
所以在单调递减；在单调递增，又；．
所以当时，的值域为
故答案为

12.【答案】
解：令，则，
所以，，
所以．
故答案为．

13.【答案】
解：易知为定义域为的奇函数，
当时，函数变形为，
设，在单调递减，在单调递增，
所以在单调递增，在单调递减，又为连续的奇函数，，
所以在上的单调增区间为，
则由题意可得，
解得
故答案为．

14.【答案】
解：设，定义域是，关于原点对称，
则，
是奇函数，
由图象可知：当时，，，即，
当时，，，即，
的解为．
故答案为．

15.【答案】
解：由题可知，即，所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，，
所以，解得，
故答案为：

16.【答案】
解：函数，
可得函数图象如下：
可知函数为奇函数，且在上单调递减，
由，则，
，即，
解得，即的的取值范围为，
故答案为．

17.【答案】解：设则，
，
又，
即，
，
是定义在上的减函数．
由得：．
又，
，
即．
，
，
．
即，
又是定义在上的减函数，
，
不等式的解为．
18.【答案】解：当时，，
所以，
由于是偶函数，则，
即当时，，
综上所述，函数的解析式为．
任取，则
，
当时，，，，
所以即，即，
所以在上为单调减函数，
当时，，，，
所以即，即，
所以在上为增函数．
又因为函数是定义在上的偶函数，
所以当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
综上．函数在和上为单调减函数，在，上为单调增函数．
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
又函数是定义在上的偶函数，
所以值域为．
19.【答案】解：
设，
Ⅰ当时，在上递减，在上递增，函数在上不单调，则
当时，在上递减，在上递增，函数在上不单调，则
综上，实数的取值范围
Ⅱ当时，此时，
时，，在上单调递增，
，
时，在上递减，在上递增，
，
当时，，此时，
时，在上递增，
，
时，在上递减，在上递增，
，
综上，函数在的最小值为，
．
20.【答案】解：由题意知：，令，得；令，得．
则当时，
当时，
当时，
即得
由于在各段区间上均单增，
当时，
当时，
当时，令，得
所以甲户用水量为吨，付费元
乙户用水量为吨，
付费元
21.【答案】解：函数定义在上的奇函数，
任取，
对任意，，时，有成立．
由已知得，
所以
所以在上单调递增．
原不等式等价于
所以
即原不等式解集为
由知，即，即，对恒成立．
设
若成立；
若则，即或
故或或．
22.【答案】解：在上单调递减，，解得故所求的区间为．
函数在上单调递增，假设存在满足条件的区间，，
则，即
在上至少有两个不同的实数根，
但是结合对数函数的单调性可知，
的图象与的图象只有一个交点，
故函数不是闭函数．
解法一：易知在上单调递增．
设满足条件的区间为，，则方程组有解，
方程至少有两个不同的解．
故方程有两个都不小于的不等实根．
得．
实数的取值范围为．
解法二：易知是增函数，
则在区间上的值域也是，
说明函数的图象与直线有两个不同交点．
令，，
则，
数形结合知．
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