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盘锦市兴隆台区2022-2023学年高三上学期期末考试
数学答案
时间：120分钟 满分：150分
一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质，求得集合，利用交集，可得答案.
【详解】由，则，解得，即，
.
故选：B.
2. 若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算可求得，根据共轭复数定义可得结果.
【详解】，.
故选：C.
3. 如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】选定基向量，利用复数线性运算计算出，再由平面向量基本定理而得.
【详解】中，不共线，点D在BC上，则，
存在唯一实数t使，
因为为的中点，，而，
所以，所以.
故选：B
4. “”是“直线的斜率不存在”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先求直线斜率不存在时的的值，然后再验证即可得到答案.
【详解】直线的斜率不存在，则，，
解得．
“”是“直线的斜率不存在”的充要条件，
故选：C．
5. 已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合勾股定理可得，求出圆柱高，再由圆柱侧面积公式求解即可
【详解】设圆柱的高为，球的半径为，圆柱的底面半径为，
根据题意，，
由勾股定理可得，故，
侧，
故选：B
6．已知函数，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
【答案】D
【详解】因为，则，故A错误；
由解析式知定义域为，显然不关于原点对称，不是奇函数，故B错误；
的图象可看作是由反比例函数的图象向右移动1个单位长度得到，
故在上递减且关于对称，故C错误，D正确．
故选： D．
7.若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【详解】，而当时，，当且仅当，即时取等号，
则，所以m的取值范围是.
故选：C
8. 已知函数，给出下列四个结论
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】，
①因为，则的最小正周期，结论错误.
②当时，，则在区间上是减函数，结论正确.
③因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确.
④设，则，结论错误，
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，满分20分．全都选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知点，直线和圆，则（ ）
A. 点M在圆C外 B. 直线l过定点
C. 直线l与圆C相交 D. 点M到直线l距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件求出直线l过定点、圆C的圆心和半径，再逐一分析各选项判断作答.
【详解】直线恒过定点，圆的圆心，半径，
对于A，，则点M在圆C外，A正确；
对于B，直线l过定点，B正确；
对于C，因，即点在圆C上，直线l与圆C相交或相切，C不正确；
对于D，点M到直线l距离，
当且仅当时取“=”，即点M到直线l距离的最大值为，D正确.
故选：ABD
10.下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则函数的最大值为1
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，则的最大值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可判断A；采用配凑法并利用基本不等式即可判断B；将已知化为，进而得出并利用基本不等式即可判断C；直接运用基本不等式即可判断D．
【详解】对于A：∵c＜d＜0，则－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，则－ac＞－bd＞0，∴ac＜bd，故A正确；
对于B，若，得，则函数，当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C，若，则，
所以，
当且仅当且，即时等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确，
故选：ACD．
11. 在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A. 当时，平面
B. 当时，长度的最小值为
C. 当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
D. 当时，与平面所成的角不可能为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，可知点在线段上，易证平面平面，利用线面平行的性质可证得结论；对于B，可知三点共线，线段在中，利可求得距离最小值； 对于C，可证得点为中点，此时可判断； 对于D，设点在平面内的射影为Q在线段上，则为所求角，求，可判断结果.
【详解】对于A，当时，，即点在线段上，利用正方体的性质，易证平面平面，平面，平面，故A正确；
对于B，当时，可知三点共线，线段在中，当点为中点时，最小，此时，，故长度的最小值为，故B正确；
对于C，当时，，设的中点为H，则，即，即点为中点，此时，故C错误；
对于D，当时，可知三点共线，点在平面内的射影为Q在线段上，则为与平面所成的角，，又，所以，而，所以与平面所成的角不可能为，故D正确；
故选：ABD
【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：
（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角；
（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.
12.对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数的增区间为 B．在处取得极大值
C．有两个不同的零点 D．
【答案】AD
【分析】求导，利用导数可得的单调区间可极值，即可判断A、B、D的正误，根据零点存在性定理，结合函数单调性，特殊值，即可判断C的正误，即可得答案.
【详解】由题意得，，故D正确；
所以时，，则为单调递增函数，故A正确；
当时，，则为单调递减函数，
当时，有极大值，故B错误；
由时，为单调递增函数，且，
根据零点存在性定理可得，在上有唯一的零点，
当时，恒成立，
所以恒成立，
所以在上没有零点，故C错误；
故选：AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
整理得，解得或，
由则当时，（代入条件验证矛盾舍去），
当时，，
所以.
14. 已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________
【答案】
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得，求得，得到，再由等差数列的前n项和，即可求解，得到答案.
【详解】在等比数列中，满足，
由等比数列的性质可得，即，所以，
又由，所以
所以数列的前项和，
【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则___________
【答案】2
【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，
考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.
16. 已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是___________
【答案】
【解析】
【分析】可判断出为上单调递增奇函数，，恒成立，可转化为恒成立，继而可得恒成立，从而可得答案.
详解】，且，
∴为奇函数，且在R上单调递增，
又，恒成立，
∴恒成立，
∴，
即，时，显然不满足题意；
∴，解得：，
∴实数a的最小值是，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.
（1）证明：；
（2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面夹角的大小；
【小问1详解】
证明：等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，（其他建系方法按步骤给分）
依题意，可得，，，，
，，
，
即，； ………………..5分
【小问2详解】
解：设为平面PAM的法向量，
则，即，
取，得，
取，显然为平面ABCD的一个法向量，
，
故平面PAM与平面ABCD的夹角的大小为；………………..10分
18. 已知数列的前n项和为．
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．
【分析】（1）根据数列前n项和与第n项的关系，结合等差数列的定义进行求解即可；
（2）根据错位相减法，结合数列的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
由，得，
即，
．
即，
又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
； ………………..5分
【小问2详解】
由（1）知．
，①
，②
①-②，得
，
，
，
因为
所以，所以是递增数列，
，
使不等式成立的最大正整数n为5．………………..12分
19. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【分析】
（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；
（Ⅱ）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）解：因为
．
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；………………..6分
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式有解，即；
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以． ………………..12分
【点睛】思路点睛：
求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.
20. 某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6.
（1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度（结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望；
【分析】（1）利用频率分布直方图，求出a，b，c的概率，然后求解平均值即可；
（2）判断随机变量服从二项分布，求出概率得到分布列，然后求解期望；
【详解】（1）由题意可得
所以，，.
. ………………..6分
（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，
长度d在的概率
且随机变量ξ服从二项分布，
所以，
所以随机变量ξ分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
………………..12分
【点睛】关键点点睛：（1）每个条形的面积代表该组所对应的频率，所有条形面积之和为1；
（2）得出随机变量ξ服从二项分布，求分布列、求期望.
21. 已知圆心在轴上的圆过点和，圆的方程为.
（1）求圆的方程；
（2）由圆上动点向圆作两条切线分别交轴于两点，求的取值范围.
【分析】（1）方法一：先设圆的标准方程，将点坐标代入，可得和的值，即可得圆C的方程；方法二：设，，可得圆的圆心为线段的垂直平分线与轴的交点，求得直线的方程，进而可得圆心C的坐标，即可得圆C的方程
（2）方法一：设圆上的动点的坐标为，则可得的取值范围，再写出PA、PB的方程，可得A和B的坐标，进而可得表达式，利用函数的单调性，可得的最大值和最小值，即可得的取值范围；
方法二：设圆上的动点的坐标为，则可得的取值范围，设点，，可得直线方程，因为直线与圆相切，整理可得化简得，同理得，两式联立，整理可得表达式，利用换元法，结合函数单调性即可得的取值范围；
【详解】（1）方法一：设圆的方程为：，
因为圆过点和
所以，解得，，
所以圆的方程为；………………..4分
方法二：设，，
依题意得，圆的圆心为线段的垂直平分线与轴的交点，
，所以，且OA中点为，
因为直线的方程为，即，
所以圆心的坐标为，
所以圆的方程为. ………………..4分
（2）方法一：设圆上的动点的坐标为，则，
即，解得
由圆与圆的方程可知，过点向圆所作两条切线的斜率必存在，
设的方程为：，的方程为：，
则点A的坐标为，点的坐标为
所以，
因为，是圆的切线，所以，满足
即，是方程的两根，
即，
所以，
因为，
所以，
设，则，
由，可知在上是增函数，在上是减函数，
所以，，
所以的取值范围为. ………………..12分
方法二：设圆上的动点的坐标为，则
即，解得，
设点，，则直线：，即
因为直线与圆相切，所以，
化简得 ①
同理得 ②
由①②知，为方程的两根，
即，
所以，
因为
所以，
令，因为，所以，
所以，
当时，
当时，，
所以的取值范围为. ……………….12分
22. 设m为实数，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）若方程有两个实数根，，证明：．
【分析】(1)先对求导，根据m≥0和m＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性；
(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，求出最小值.
(3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.
【小问1详解】
，函数定义域为，
，
当时，在上恒成立，函数在上单调递增；
当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．………………..4分
【小问2详解】
当时，，
设切点为，，则切线斜率，
切线方程为，，
，，，
令，函数定义域为，，
，；，
在上单调递减，在上单调递增，
，即的最小值为 ………………..8分
【小问3详解】
证明：，即，则，
令，函数定义域为，，
，；，
∴在上单调递增，在上单调递减，，
，不妨设，，
令，，所以，，，
要证，只要证，只要证，
令，，
，
，；，
在上单调递减，在上单调递增，
，，（1），则存在，使得，
在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
，，
在上恒成立，
得证． ………………..12分
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.
3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.
4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.盘锦市兴隆台区2022-2023学年高三上学期期末考试
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则( )
A. B. C. D.
4. “”是“直线的斜率不存在”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（　　）
A. B. C. D.
6．已知函数，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
7.若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，给出下列四个结论
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，满分20分．全都选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知点，直线和圆，则（ ）
A. 点M在圆C外 B. 直线l过定点
C. 直线l与圆C相交 D. 点M到直线l距离的最大值为
10.下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则函数的最大值为1
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，则的最大值为1
11. 在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A. 当时，平面
B. 当时，长度的最小值为
C. 当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
D. 当时，与平面所成的角不可能为
12.对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数的增区间为 B．在处取得极大值
C．有两个不同的零点 D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 已知，，则___________
14. 已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________
15. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则___________
16. 已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是___________
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点.
（1）证明：；
（2）求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；
18. 已知数列的前n项和为．
（1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n．
19. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
20. 某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6.
（1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度（结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望；
21. 已知圆心在轴上的圆过点和，圆的方程为.
（1）求圆的方程；
（2）由圆上动点向圆作两条切线分别交轴于两点，求的取值范围.
22. 设m为实数，函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
（3）若方程有两个实数根，，证明：．

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