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函数值域的求法 8大题型
命题趋势
函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学
的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在
复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值
域类型的内容。
满分技巧
一、求函数值域的常见方法
1. 直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；
2. 逐层法：求 f1( f2 fn(x))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的
值域；
3. 配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y= axx+ bx+ c(a≠ 0)”或“y= a[ f(x)]2+ bf
(x) + c(a≠ 0)”的函数均可用配方法求值域；
4. 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
(1)y= ax+ b y= cx+ d或 的结构，可用“ cx+ d= t”换元；
cx+ d ax+ b
(2)y= ax+ b± cx+ d(a,b,c,d均为常数，a≠ 0,c≠ 0)，可用“ cx+ d= t”换元；
(3)y= bx± a2- x2型的函数，可用“x= acosθ(θ ∈ [0,π])”或“x= asinθ θ ∈ π π - 2 , 2 ”换元；
5. ax+ b分离常数法：形如 y = + (ac ≠ 0)的函数，应用分离常数法求值域，即 y =
ax+ b = a
cx d cx+ +d c
bc- ad
，然后求值域；
c2 x+ dc
6. b基本不等式法：形如 y= ax+ x (ab> 0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函
数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用 a+ b≥ 2 ab求函数的值域 (或最值)时，应满
足三个条件：① a> 0,b> 0；② a+ b(或 ab)为定值；③取等号的条件为 a= b，三个条件缺一不可；
7. 函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域 (或最值)
(1)形如 y= ax+ b- cx+ d(ac< 0)的函数可用函数单调性求值域；
(2) y= ax+ b形如 x 的函数，当 ab> 0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数
求解；
当 ab< 0时，y= ax+ bx 在 (-∞,0)和 (0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
8. y= asinx acosx函数的有界性法：形如 + (或 y= + ) (其中 a,b,c不为 0)的函数求值域或最值，c bsinx c bcosx
可用 y表示出 sinx(或 cosx)，再根据 -1 ≤ sinx ≤ 1且 sinx ≠ - c (或 -1 ≤ cosx ≤ 1且 cosx ≠
b
- c )，列出关于 y的取值范围.
b
类似地，有：① x2= f(y)，则 f(y)≥ 0；② ax= h(y)，则 h(y)> 0；③ sinx= g(y)，则-1≤ g(y)≤ 1
2
9. 判别式法：形如 y= a2x + b2x+ c22 (a1a2≠ 0)或 y=Ax+B ax
2+ bx+ c(ABa≠ 0)的函数求值域，
a1x + b1x+ c1
可将函数转化为关于 x的方程F(x,y) = 0，利用二次项系数不为 0，判别式Δ≥ 0或二次项系数为 0，
一次方程有解得出函数的值域。
10.导数法：对可导函数 f(x)求导，令 f (x) = 0，求出极值点，判断函数单调性；
如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
二、根据最值条件求解参数范围解题思路
已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域 (或最值)的求法，得到函数的最值
(含有参数)，再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。
热点题型解读
【题型 1 单调性法求函数值域或最值】
1
【例1】(2022秋·陕西西安·高三校考期中)函数 f(x) = x - 2
x在区间 [1,2]上的最小值是 ( )
A. - 7 B. 72 2 C. 1 D. - 1
【变式1-1】(2022秋·北京·高三北京市第一六一中学校考期中)已知函数 f x = e x + x ，则 f x 的值域
是_____.
【变式1-2】(2022春· π 4浙江舟山·高三校考开学考试)已知 x ∈ 0, 2 ，则函数 y= cosx+ cosx ( )
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A.有最小值 4 B. 有最大值 4 C. 无最小值 D.有最大值+∞
【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)函数 f(x) = lnx+ ln(2- x)的最大值为______.
1-4 (2022 · · ) f(x) = mx+ 1【变式 】 秋 江苏苏州 高三校联考阶段练习 已知函数 2 是R上的偶函数1+ x
(1)求实数m的值，判断函数 f(x)在 [0,+∞)上的单调性；
(2)求函数 f(x)在 [-3,2]上的最大值和最小值．
【变式1-5】(2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习)已知函数 f(x) = b ax(a> 0，且 a≠ 1)的图象经
过点A(1,4)，B(3,16).
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)设函数 g(x) = f(x) - f(-x) (x≥ 2)，求函数 g(x)的值域
【题型 2 配方法求函数值域或最值】
【例2】(2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学阶段练习)函数 y= -x2+ 4x- 4的值域是_____.
【变式2-1】(2023· x- 1全国·高三专题练习)若函数 f x =
1 2
2 - x + 1，则函数 g x = f x - 4x的最小x
值为 ( )
A. - 1 B. - 2 C. - 3 D. - 4
【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)函数 f(x) = x+ 2 1- x的最大值为_______．
【变式2-3】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知函数 f x = sinx+ cosx+ 2sinxcosx
+ 2，则 f x 的最大值为 ( )．
A. 3+ 2 B. 3- 2 C. 2+ 2 D. 2- 2
【变式2-4】(2022秋·北京·高三校考阶段练习)函数 f x = sinx- cos2x是 ( )
A.奇函数，且最小值为-2 B. 偶函数，且最小值为-2
C. - 9 9非奇非偶函数，且最小值为 8 D.非奇非偶函数，且最大值为 8
x- 1 2x+ 1 x2+ ax+ b
【变式2-5】(2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = ，对任意非零实数
x2
x，均满足 f x = f - 1x .则 f -1 的值为___________；函数 f x 的最小值为_______
____.
【题型 3 分离常数法求函数值域或最值】
【例3】(2022 · cosx+ 1秋 河南郑州·高三校考阶段练习)函数 y= 2cosx- 1 的值域是 ( )
A. -∞,0 ∪ 4,+∞ B. -∞,0 ∪ 2,+∞ C. 0,4 D. 0,2
2
【变式3-1】(2022秋·上海徐汇· x - 1高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)函数 f x = 2 的值域x + 3x+ 2
为________．
【变式3-2】(2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知 x ∈ 0,3 ，则 y
= 2x- 8 1x- 3 + 2x 的最小值___________，此时 x=___________.
2
【变式3-3】(2022 · · x + x秋 湖北 高三校联考阶段练习)已知 1≤ x≤ 4，则函数 f x =
x3+ x2
的值域
+ 4x+ 4
为______．
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【变式3-4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = 2x+ k 2-x.
(1)若 f(x)在 (1,+∞)是增函数，求实数 k的取值范围；
(2)若 f(x) + 1< k 2x在 2,+∞ 上恒成立，求实数 k的取值范围.
【题型 4 判别式法求函数值域或最值】
2
【例4】(2022秋·浙江宁波·高一镇海中学校考期中) f x = -x + x- 1函数 2 的值域是______．x + 1
2
4-1 (2022· · ) f(x) = 3x + x+ 3【变式 】 全国 高三专题练习 若函数 2 的最大值为 a，最小值为 b，则 a+ b=x + 1
( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
2
【变式4-2 (2023· · ) f x = x - x- 1】 全国 高三专题练习 函数 的最大值与最小值的和是 ( )
x2+ x+ 1
A. 5 B. 23 3 C. 1 D. -
2
3
2
【变式4-3】(2022·全国· ) y= sin x+ sin2x高三专题练习 函数 2 的值域为______.1+ sin x
【变式4-4】(2021·全国·高三专题练习)求函数 y= x2- 2x+ 5+ x2- 4x+ 13的最小值.
【题型 5 逐层法求函数值域或最值】
【例5】(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)已知幂函数 f(x) = xa的图象过点 (9,3)，则
1- f(x)
函数 y= 在区间 [1,9]上的值域为 ( )
f(x) + 1
A. [-1,0] B. - 1 ,0 C. [0,2] D. - 3 ,1 2 2
【变式5-1】(2022春·江苏南京· π 5π高三统考开学考试)已知函数 f x = sin x+ 9 + sin 9 - x ,g x =
f f x ，则 g x 的最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 32 D. 2
【变式5-2】(2021秋·安徽六安·金寨县青山中学高三开学考)函数 f(x) = 4x- 2× 2x- 3,x ∈ 0,2 的最小
值是_______.
x x
【变式5-3】(2020秋·吉林白城· 4 + 3 2 + 1高三校考阶段练习)已知函数 f x = x x ，x ∈ -1,1+ +
，则函数
4 2 1
f x 的值域为_________.
【题型 6 导数法求函数值域或最值】
2
【例6】(2022·陕西宝鸡·统考一模)函数 y= ln x- x ，x ∈ 2,4 的值域是______.
【变式6-1】(2022秋·江苏·高三校联考阶段练习)函数 f x = 3x- 1 - 3lnx的最小值为________
_．
2x+ 1
【变式6-2】(2022秋·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习)已知函数 f x = x ,则 f x-
在
x 2 1
-2,0 ∪ 0,1 上的值域为 ( )
A. -∞,- 5 6 ∪ 3,+∞ B. 0,
5
6
C. - 5 6 ,0 ∪ 0,3 D.
5
6 ,+∞
【变式6-3】(2016· 1辽宁沈阳·东北育才学校校考三模)已知函数 f x = esinx+cosx- 2 sin2x x ∈R ，则函数
f x 的最大值与最小值的差是______.
【题型 7 已知函数的最值求参数】
(x- 1)e
x, x≤ 1
【例7】(2022·浙江杭州·模拟预测)f(x) = 的最小值是-1，则实数 a的取值范围是ax2- x+ 1- a, x> 1
( )
A. 2- 3 2 ,+∞ B. -∞,
2- 3 3 1 1
2 C. 1- 2 , 2 D. 2 ,+∞
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( 1- ax,x< a,【变式7-1】2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习)设函数 f x = 2- 若 f x 存在最小x 4x+ 3,x≥ a.
值，则 a的取值范围为 ( )
A. - 2, 2 B. 0, 2
C. - 2, 2 ∪ 2,+∞ D. 0, 2 ∪ 2,+∞
【变式7-2】(2022 2x+m秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习)若函数 f x = x+ 1 在区间 0,1 上
的最大值为 3，则实数m=_______.
【变式7-3】(2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知函数 f x = ax2+ x+ 1 ，x ∈ 1,2 ，且
f x 的最大值为 a+ 2，则 a的取值范围是 ( )
A. -1,-
1 1 1 1
2 B. -1,- 3 C. -2,- 3 D. -1,- 2
【变式7-4】(2022·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习)已知函数 y= f x 是定义域为R的奇函数，
且当 x< 0时，f x = x+ ax + 1．若函数 y= f x 在 1,+∞ 上的最小值为 3，则实数 a的值为 (
)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【变式7-5】(2022秋 ·上海杨浦 ·高三复旦附中校考阶段练习)已知 a > 0，函数 f (x) = ax- x2 +
2x- x2的最大值为 2，则实数 a的值为_____.
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1. (2023·全国· 2x高三专题练习)函数 f(x) = x+ 1 的值域是 ( )
A. -∞,-1 ∪ 1,+∞ B. -∞,2
C. -∞,2 ∪ 2,+∞ D. -1,+∞
2. (2019秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习)函数 y= x- 3 - 4 1≤ x≤ 4 的值域为 ( )
A. -4,-2 B. -4,-3 C. -3,4 D. -3,-2
3. ( sinx- 12022·全国·高三专题练习)函数 f(x) = x ∈ 0,2π 的最小值是 ( )
3- 2cosx- 2sinx
A. - 22 B. - 1 C. - 2 D. - 3
4. (2021秋· x黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中阶段练习)已知函数 f(x) = 2 的定义域为 0,+∞+
，则
x 1
函数 f(x)的值域为 ( )
A. -2,+∞ B. 1 -2, 2 C.
1 1
0, 2 D. 2 ,+∞
1- a x+ 14a,x< 10
5. (2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知函数 y= 的值域为R，则实数 algx,x≥ 10
的取值范围是 ( )
A. -∞,1 B. - 9 9 9 4 ,+∞ C. - 4 ,1 D. - 4 ,1
x+1
6. (2023·全国·高三专题练习)函数 f(x) = 2x 的值域为 ( )2 + 1
A. 0,1 B. 0,1 C. 0,2 D. 1,2
7. (2022·全国·高三专题练习)设 x ∈R，用 x 表示不超过 x的最大整数，则 y= x 称为高斯函数，例
2
如： -2.1 =-3, 3.1 = 3 2x 1，已知函数 f(x) = 2 - 3 ，则函数 y= f(x) 的值域是 ( )1+ x
A. 0,1 B. -1,1 C. -1,0 D. -1,0,1
8. (2021秋·河南·高三校联考阶段练习)函数 y= x- 3 2021- x的值域为 ( )
A. -∞,-2021 B. -∞,2021 C. 0,+∞ D. 3,+∞
9. (2022 1秋·上海浦东新·高三上海市实验学校阶段练习)函数 y= x- x 在 1,2 上的值域为____．
10.(2022秋·北京·高三统考阶段练习)函数 f(x) = lg 1- x+ 1 的值域为______．
11. (2022·全国·高三专题练习)函数 f(x) = x+ x- 1的值域为___________．
12.(2022秋·陕西·高三校联考阶段练习)函数 f(x) = x+ 12 的值域是_________.x + x+ 1
13.(2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习)函数 f(x) = 2x- 3- -x2+ 6x- 8的
值域是__________．
14.(2022秋· 1江西萍乡·高三芦溪中学校考开学考试)函数 y= 2 的值域为________.-x + x+ 2
15.(2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = cosxsin2x，则函数 f(x)的最大值为_____.
16.(2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = 4- x2 x2+ ax+ b 的图象关于直线 x= 1对称，则 f(x)
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的最大值为______．
17.(2022·全国·高三专题练习)求函数 f(x) = 5- 2x+ x2- 4x- 12的值域.
18.(2022·全国·高三专题练习)求值域 (用区间表示)：
(1)y= x2- 2x+ 4，① x ∈ -4,-1 ；② x ∈ -2,3 ；
(2)f(x) = x2- 2x+ 3；
(3)f(x) = x- 2x+ 3 .
ax3+ a+ 1 x2+ 2a+ 4
19.(2022秋·云南·高三校联考阶段练习)已知 f(x) = x 是奇函数.
(1)求 a的值；
(2)求 f(x)的值域.
20.(2022·河南开封·统考一模)已知函数 f(x) = 2sinx- ax,a ∈R.
(1)若 f(x)是R上的单调递增函数，求实数 a的取值范围；
(2)当 a= 1时，求 g(x) = f(x) - lnx在 0, π 2 上的最小值.函数值域的求法 8大题型
命题趋势
函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学
的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在
复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值
域类型的内容。
满分技巧
一、求函数值域的常见方法
1. 直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；
2. 逐层法：求 f1( f2 fn(x))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的
值域；
3. 配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y= axx+ bx+ c(a≠ 0)”或“y= a[ f(x)]2+ bf
(x) + c(a≠ 0)”的函数均可用配方法求值域；
4. 换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
(1)y= ax+ b y= cx+ d或 + 的结构，可用“ cx+ d= t”换元；cx+ d ax b
(2)y= ax+ b± cx+ d(a,b,c,d均为常数，a≠ 0,c≠ 0)，可用“ cx+ d= t”换元；
(3)y= bx± a2- x2型的函数，可用“x= acosθ(θ ∈ [0,π]) π π”或“x= asinθ θ ∈ - 2 , 2 ”换元；
5. ax+ b ax+ b a分离常数法：形如 y = + (ac ≠ 0)的函数，应用分离常数法求值域，即 y =cx d cx+ = +d c
bc- ad
，然后求值域；
c2 x+ dc
6. b基本不等式法：形如 y= ax+ x (ab> 0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函
数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用 a+ b≥ 2 ab求函数的值域 (或最值)时，应满
足三个条件：① a> 0,b> 0；② a+ b(或 ab)为定值；③取等号的条件为 a= b，三个条件缺一不可；
7. 函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域 (或最值)
(1)形如 y= ax+ b- cx+ d(ac< 0)的函数可用函数单调性求值域；
(2)形如 y= ax+ bx 的函数，当 ab> 0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数
求解；
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当 ab< 0时，y= ax+ bx 在 (-∞,0)和 (0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
8. y= asinx acosx函数的有界性法：形如 + (或 y= + ) (其中 a,b,c不为 0)的函数求值域或最值，c bsinx c bcosx
可用 y表示出 sinx(或 cosx)，再根据 -1 ≤ sinx ≤ 1且 sinx ≠ - c (或 -1 ≤ cosx ≤ 1且 cosx ≠
b
- c )，列出关于 y的取值范围.
b
类似地，有：① x2= f(y)，则 f(y)≥ 0；② ax= h(y)，则 h(y)> 0；③ sinx= g(y)，则-1≤ g(y)≤ 1
a 2
9. 判别式法：形如 y= 2x + b2x+ c2 (a a 2
a x2+ b x+ c 1 2
≠ 0)或 y=Ax+B ax + bx+ c(ABa≠ 0)的函数求值域，
1 1 1
可将函数转化为关于 x的方程F(x,y) = 0，利用二次项系数不为 0，判别式Δ≥ 0或二次项系数为 0，
一次方程有解得出函数的值域。
10.导数法：对可导函数 f(x)求导，令 f (x) = 0，求出极值点，判断函数单调性；
如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
二、根据最值条件求解参数范围解题思路
已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域 (或最值)的求法，得到函数的最值
(含有参数)，再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。
热点题型解读
【题型 1 单调性法求函数值域或最值】
【例1】(2022秋· 1陕西西安·高三校考期中)函数 f(x) = - 2xx 在区间 [1,2]上的最小值是 ( )
A. - 72 B.
7
2 C. 1 D. - 1
【答案】A
【解析】1x 在区间 [1,2]单调递减， -2
x在区间 [1,2]也单调递减，
所以 f x 在区间 [1,2]单调递减，因此 f(x) 1 2 7min= f(2) = 2 - 2 =- 2，故选：A
【变式1-1】(2022秋·北京·高三北京市第一六一中学校考期中)已知函数 f x = e x + x ，则 f x 的值域
是_____.
【答案】 1,+∞
【解析】由已知，可得 f -x = f x ，即函数为偶函数.
又 x≥ 0时，y= ex为增函数，y= x为增函数，
所以，f x = ex+ x为 0，+∞ 上的增函数，则 f x ≥ f 1 = 1
所以，f x 的值域是 1,+∞ .
【变式1-2】(2022春·浙江舟山·高三校考开学考试) x ∈ 0, π已知 2
4
，则函数 y= cosx+ cosx ( )
A.有最小值 4 B. 有最大值 4 C. 无最小值 D.有最大值+∞
【答案】C
【解析】x ∈ 0, π2 时，cosx ∈ (0,1)，
因为 t= cosx在 x ∈ 0, π2 上递减，y= t+
4
t 在 t ∈ (0,1)上单调递减，
函数 y= cosx+ 4cosx 是定义域上的单调增函数，
且 y> 1+ 4= 5，其值域是 (5,+∞)；
所以函数无最大、最小值．故选：C
【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)函数 f(x) = lnx+ ln(2- x)的最大值为______.
【答案】0
【解析】由 f(x) = lnx+ ln(2- x) = ln[- (x- 1)2+ 1]，且 0< x< 2，
∴令 t(x) =- (x- 1)2+ 1，f(t) = lnt，
即 t(x)在 0< x< 1为单调递增，1< x< 2为单调递减，而 f(t)为增函数，
∴ f(x)在 0< x< 1上单调递增，1< x< 2上单调递减，f(x)max= f(1) = 0.
【变式1-4】(2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习)已知函数 f(x) = mx+ 12 是R上的偶函数1+ x
(1)求实数m的值，判断函数 f(x)在 [0,+∞)上的单调性；
(2)求函数 f(x)在 [-3,2]上的最大值和最小值．
【答案】(1)m= 0，单调递增；(2)最小值 110，最大值 1
【解析】(1)若函数 f(x) = mx+ 12 是R上的偶函数，则 f(-x) = f(x)，1+ x
m(-x) + 1
即 2 =
mx+ 1
2 ，解得m= 0，1+ (-x) 1+ x
所以 f(x) = 1 2 ，函数 f(x)在 0,+∞ 上单调递减．1+ x
(2)由 (1)知函数 f(x)在 0,+∞ 上单调递减，
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又函数 f(x)是R上的偶函数，
所以函数 f(x)在 (-∞,0]上为增函数，
所以函数 f(x)在 [-3,0]上为增函数，在 [0,2]上为减函数．
又 f 1 1 -3 = 10 ,f 0 = 1,f 2 = 5
所以 f(x)min= f(-3) =
1
10 ,f(x)max= f(0) = 1
【变式1-5】(2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习)已知函数 f(x) = b ax(a> 0，且 a≠ 1)的图象经
过点A(1,4)，B(3,16).
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)设函数 g(x) = f(x) - f(-x) (x≥ 2)，求函数 g(x)的值域
【答案】(1)f(x) = 2x+1；(2) 15 2 ,+∞ .
【解析】( )依题意， ab= 41 3= ，而 a> 0，解得 a= 2,b= 2，即有 f(x) = 2 2
x= 2x+1，
ba 16
所以函数 f(x)的解析式是 f(x) = 2x+1.
(2)由 (1)知，g(x) = f(x) - f(-x) = 2x+1- 2-x+1= 2 2x- 1 ，2x
因函数 y= 2x和 y=- 1
2x
在 [2,+∞)上都单调递增，
因此函数 g(x)在 [2,+∞)上单调递增，g(x) = g(2) = 15max 2 ，
所以函数 g(x)的值域为 15 2 ,+∞ .
【题型 2 配方法求函数值域或最值】
【例2】(2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学阶段练习)函数 y= -x2+ 4x- 4的值域是_____.
【答案】 0
【解析】函数 y= -x2+ 4x- 4的定义域为-x2+ 4x- 4≥ 0，
化简得：x2- 4x+ 4= x- 2 2≤ 0，解得：x= 2，
所以函数 y= -x2+ 4x- 4的值域为 0 .
【变式2-1】(2023·全国· x- 1 1 2高三专题练习)若函数 f x = 2 - x + 1，则函数 g x = f x - 4x的最小x
值为 ( )
A. - 1 B. - 2 C. - 3 D. - 4
【答案】D
2 2
【解析】因为 f x- 1 = 1 2x 2 - x + 1=
x - 2x+ 1
2 = x- 1x ，所以 f x = x
2 x≠ 1 .
x x
从而 g x = x2- 4x= x- 2 2- 4，
当 x= 2时，g x 取得最小值，且最小值为-4.故选：D
【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)函数 f(x) = x+ 2 1- x的最大值为_______．
【答案】2
【解析】设 t= 1- x t≥ 0 ，则 x= 1- t2，
所以原函数可化为：y=-t2+ 2t+ 1 t≥ 0 ，
由二次函数性质，当 t= 1时，函数取最大值 2.
【变式2-3】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知函数 f x = sinx+ cosx+ 2sinxcosx
+ 2，则 f x 的最大值为 ( )．
A. 3+ 2 B. 3- 2 C. 2+ 2 D. 2- 2
【答案】A
【解析】f x = sinx+ cosx+ 2sinxcosx+ 2= sinx+ cosx+ sinx+ cosx 2- 1+ 2，
令 t= sinx+ cosx= 2 2 sinx+ 22 2 cosx = 2sin x+
π
4 ∈ - 2, 2 ，
2
即 f 1 3 x = g t = t2+ t+ 1= t+ 2 + 4，
由 t ∈ - 2, 2 ，则 g t max= g 2 = 2+ 2+ 1= 3+ 2.故选：A.
【变式2-4】(2022秋·北京·高三校考阶段练习)函数 f x = sinx- cos2x是 ( )
A.奇函数，且最小值为-2 B. 偶函数，且最小值为-2
C. 9 9非奇非偶函数，且最小值为- 8 D.非奇非偶函数，且最大值为 8
【答案】C
【解析】f x = sinx- cos2x= sinx- 1- 2sin2x = 2sin2x+ sinx- 1，其定义域为R，
f -x = 2sin2 -x + sin -x - 1= 2sin2x- sinx- 1，故函数 f x 为非奇非偶函数，
2
令 t= sinx，则 t ∈ -1,1 ，则 f x = g t = 2t2+ t- 1= 2 t+ 14 -
9
8，
易知 f 1 9 x min= g - 4 =- 8，故选：C .
x- 1 2x+ 1 x2+ ax+ b
【变式2-5】(2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = 2 ，对任意非零实数x
x 1，均满足 f x = f - x .则 f -1 的值为___________；函数 f x 的最小值为_______
____.
【答案】 0 - 98
x- 1 2x+ 1 x2+ ax+ b【解析】函数 = f x 2 ，因对任意非零实数 x，均满足 f x = f - 1 x x ，
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1 2 1 a
(x- 1) (2x+ 1) (x2+ ax+ b) - x - 1 - x + 1 2 -则 x
+ b
x ∈R,x≠ 0，有 = x2 1 ，x
x2
即 (x- 1) (2x+ 1) (x2+ ax+ b) = (-x- 1) (x- 2) (bx2- ax+ 1)，
由等式两边展开式最高次项系数得：-b= 2，即 b=-2，
当 x= 1时，b- a+ 1= 0，解得 a=-1，经检验得，a=-1，b=-2，
f x = f - 1x 对任意非零实数 x成立，
(x- 1) (2x+ 1) (x2- x- 2) (x2- 1) (2x2- 3x- 2)
因此，f(x) = 2 = 2 = x- 1x
1

x x
2 x- x - 3
2
= 2 x- 1 - 3 x- 1 = 2 x- 1 - 3
2 9
x x x 4 - 8，
f -1 = 0，当 x- 1 3 -3± 73 9 x = 4 即 x= 8 时，f x min=- 8，
所以 f -1 的值为 0，函数 f x 的最小值为- 98 .
【题型 3 分离常数法求函数值域或最值】
3 (2022 · · ) y= cosx+ 1【例 】 秋 河南郑州 高三校考阶段练习 函数 2cosx- 1 的值域是 ( )
A. -∞,0 ∪ 4,+∞ B. -∞,0 ∪ 2,+∞ C. 0,4 D. 0,2
【答案】B
1 (2t- 1) + 3
【解析】令 cosx= t,t ∈ -1,
1
2 ∪
1
2 ,1

，y=
t+ 1 = 2 2 1 3 12t- 1 2t- 1 = 2 + 2 2t- 1，
可得 2t- 1 ∈ -3,0 ∪ 1 1 0,1 ， 2t- 1 ∈ -∞,- 3 ∪ 1,+∞ ，
3 1
2 2t- 1 ∈ -∞,-
1 ∪ 32 2 ,+∞ ，故 y ∈ -∞,0 ∪ 2,+∞ .故选：B.
2
【变式3-1】(2022秋·上海徐汇· x - 1高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)函数 f x =
x2
的值域
+ 3x+ 2
为________．
【答案】 -∞,-2 ∪ -2,1 ∪ 1,+∞
【解析】由 x2+ 3x+ 2≠ 0，可得 x≠-1且 x≠-2，函数 f x 的定义域为 x x≠-1 且 x≠-2 ，
x2- 1 x- 1 x+ 1 f x- 1 3 x =
x2
= = = 1-
+ 3x+ 2 x+ 1 x+ 2 x+ 2 x+ 2
，
所以 f x ≠-2且 f x ≠ 1，
2
所以函数 f x x - 1 = 2 的值域为 -∞,-2 ∪ -2,1 ∪ 1,+∞+
．
x 3x+ 2
【变式3-2】(2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知 x ∈ 0,3 ，则 y
= 2x- 8x- 3 +
1
2x 的最小值___________，此时 x=___________.
【答案】 72 ##3.5 1
【解析】y= 2x- 8 1
2 x- 3 - 2+ = + 1 = 2- 2 + 1x- 3 2x x- 3 2x x- 3 2x = 2+
2 1
3- x + 2x，
由 2 3- x + 2x= 6，
则 2+ 2 1 1 1 3- x 4x3- x + 2x 2 3- x + 2x × 6 = 2+ 6 4+ x + 3- x + 1
≥ 2+ 1 5+ 2 3- x 4x6 x 3- x = 2+
1
6 × 5+ 4 =
7
2，
当且仅当 3- xx =
4x
3- x，即 x= 1时，等号成立.
2
【变式3-3 x + x】(2022秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知 1≤ x≤ 4，则函数 f x =
x3+ x2
的值域
+ 4x+ 4
为______．
【答案】 1 5 ,
1
4
【解析】因为 1≤ x≤ 4，所以 x+ 1≠ 0，
2 x x+ 1
f x = x + x =
x 1
x3+ x2+ 4x+ 4 x+ 1 x2
=
+ 4 x2
= ，
+ 4 x+ 4x
令 g x = x+ 4x ,x ∈ 1,4 ，
由双勾函数知，g x 在 1，2 上单调递减，在 2，4 上单调递增，
所以 g 2 = 4,g 1 = 5,g 4 = 5，
所以 g x ∈ 4,5 ，所以 f x ∈ 1 5 ,
1
4 .
【变式3-4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = 2x+ k 2-x.
(1)若 f(x)在 (1,+∞)是增函数，求实数 k的取值范围；
(2)若 f(x) + 1< k 2x在 2,+∞ 上恒成立，求实数 k的取值范围.
【答案】(1)k≤ 4；(2)k> 43
【解析】(1)f x = 2x+ k 2-x= 2x+ k x kx ，令 t= 2 ，则 f x = t+ t ，由 x ∈ 1,+∞ 可得 t> 2，2
由条件可知 y= t+ kt 在 2,+∞ 是增函数.
当 k≤ 0时，结论显然成立；当 k> 0时，则 k≤ 2，∴ 0< k≤ 4.
综上，k的取值范围为 k≤ 4.
(2)由 f x + 1< k 2x可得 2x+ k 2-x+ 1< k 2x，
x
因为 x ∈ 2,+∞ ，所以 2x- 2-x> 0，所以 k> 2 + 1 ，
2x- 2-x
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x
令 t= 2x，则 t≥ 4，k> 2 + 1
2
= t+ 1 = t + t = t = 1+ 1
2x- 2-x 2t- 1 t - 1 t- 1 t- 1
，
t
因为 t≥ 4，所以 0< 1 1 1 4t- 1 ≤ 3，∴ 1< 1+ t- 1 ≤ 3，
所以 k的范围是 k> 43 .
【题型 4 判别式法求函数值域或最值】
2
【例4】(2022秋· · -x + x- 1浙江宁波 高一镇海中学校考期中)函数 f x = 2 的值域是______．x + 1
【答案】 3 1 - ,- 2 2
【解析】由题知函数的定义域为R，
2
所以，将 y= -x + x- 12 整理得 1+ y x
2- x+ y+ 1= 0，
x + 1
所以，当 y=-1时，x= 0；
当 ≠- 时， Δ= 1- 4 y+ 1
2≥ 0
y 1 3 ≠- ，解得 y ∈

- 2 ,-1y 1 ∪ -1,-
1
2 ，
2
所以，y ∈ - 3 ,- 1 ，即函数 f x = -x + x- 1 的值域是 - 3 ,- 1 2 2 x2+ 1 2 2
2
【变式4-1】(2022·全国· 3x + x+ 3高三专题练习)若函数 f(x) = 2 的最大值为 a，最小值为 b，则 a+ b=x + 1
( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
2
【解析】设 y= 3x + x+ 3，yx22 + y= 3x
2+ x+ 3，(y- 3)x2- x+ y- 3= 0，
x + 1
x= 0时，y= 3，
y≠ 3时，因为 x ∈R，所以Δ= 1- 4(y- 3)2≥ 0，解得 52 ≤ y≤
7
2，即
5 ≤ y≤ 72 2 且 y≠ 3，
综上 52 ≤ y≤
7
2，最大值是
7
2，最小值是
5
2，和为 6．故选：B．
2
【变式4-2 x - x- 1】(2023·全国·高三专题练习)函数 f x =
x2
的最大值与最小值的和是 ( )
+ x+ 1
A. 53 B.
2
3 C. 1 D. -
2
3
【答案】B
2
【解析】设 y= x - x- 12 ，则有 y- 1 x
2+ y+ 1 x+ y+ 1= 0，
x + x+ 1
当 y= 1时，代入原式，解得 x=-1．
当 y≠ 1时，Δ= y+ 1 2- 4 y- 1 y+ 1 = y+ 1 -3y+ 5 ，
由Δ≥ 0，解得-1≤ y≤ 53，于是 y的最大值为
5
3，最小值为-1，
所以函数 f x 的最大值与最小值的和为 23．故选：B.
sin2x+ sin2x
【变式4-3】(2022·全国·高三专题练习)函数 y= 的值域为______.
1+ sin2x
【答案】 1 - 2 ,1
2
【解析】由题可得，y= sin x+ 2sinxcosx tan
2
= x+ 2tanx
2
，令 tanx= t，则 y= t + 2t，
cos2x+ 2sin2x 1+ 2tan2x 2t2+ 1
即 2y- 1 t2- 2t+ y= 0，当 2y- 1= 0，即 y= 1 12 时，t= 4；
当 2y- 1≠ 0，即 y≠ 12 时，要使方程有解，
则需Δ= 4- 4y 2y- 1 1 1 1 ≥ 0，得 y ∈ - 2 , 2 ∪ 2 ,1 .
综上，y ∈ 1 - ,1 2
【变式4-4】(2021·全国·高三专题练习)求函数 y= x2- 2x+ 5+ x2- 4x+ 13的最小值.
【答案】 26.
【解析】解法一：∵函数 y= x2- 2x+ 5+ x2- 4x+ 13= (x- 1)2+ 4+ (x- 2)2+ 9的定义域
为一切实数.∴ y- x2- 2x+ 5= x2- 4x+ 13.①
又 y- x2- 2x+ 5> 0，即 y> x2- 2x+ 5= (x- 1)2+ 4≥ 2，
对①式两边平方，得 y2- 2y x2- 2x+ 5+ x2- 2x+ 5= x2- 4x+ 13.
整理，得 y2- 8+ 2x= 2y x2- 2x+ 5.②
对②式两边平方，得 y2- 8 2+ 4x y2- 8 + 4x2= 4y2 x2- 2x+ 5 ，
再整理，得 4y2- 4 x2- 12y2- 32 x- y4+ 36y2- 64= 0.③
∵ 4y2- 4> 0，x为实数，∴Δ= 12y2- 32 2- 4 4y2- 4 -y4+ 36y2- 64 ≥ 0，
化简并整理，得 y6- 28y4+ 52y2≥ 0，
即 y2 y4- 28y2+ 52 ≥ 0 y2 y2- 2 y2- 26 ≥ 0，
又 y> 2，∴ y2≥ 26，y≥ 26，
当 y= 26时，方程③为 100x2- 280x+ 196= 0，即 25x2- 70x+ 49= 0，
解得 x= 75，故函数的最小值为 26.
解法二：y= x2- 2x+ 5+ x2- 4x+ 13= (x- 1)2+ 22+ (x- 2)2+ 32
令P(x,0)，A(1,2)，B(2,3)，则 y= |AP|+|BP|
点A关于 x轴的对称点为A (1,-2).
则 ymin= |AP|+|BP| = |AP|+|BP| ≥ A B = 26
(其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当A 、P、B三点共线时取“等号”).
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【题型 5 逐层法求函数值域或最值】
【例5】(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)已知幂函数 f(x) = xa的图象过点 (9,3)，则
1- f(x)
函数 y= 在区间 [1,9]上的值域为 ( )
f(x) + 1
A. [-1,0] B. - 1 2 ,0

C. [0,2] D. -
3
2 ,1


【答案】B
【解析】解法一：因为幂函数 f(x) = xa的图象过点 9,3 ，所以 9a= 3，可得 a= 1 2，
1- f(x) 2- ( x+ 1)
所以 f(x) = x，y= = 1- x = = 2 - 1．
f(x) + 1 x+ 1 x+ 1 x+ 1
因为 1≤ x≤ 9，所以 2≤ x+ 1≤ 4，故 y= 2 - 1 ∈ 1
x+ 1
- 2 ,0 ．
1- f(x)
因此，函数 y= 在区间 [1,9]上的值域为 -
1
2 ,0 ．故选：B．f(x) + 1
解法二：因为幂函数 f(x) = xa的图象过点 (9,3)，所以 9a= 3，可得 a= 12，
1- f(x)
所以 f(x) = x．因为 x ∈ [1,9]，所以 f(x) ∈ [1,3]．因为 y= ，
f(x) + 1
1- y 1- y
所以 f(x) = 1y+ 1，所以 1≤ y+ 1 ≤ 3，解得- 2 ≤ y≤ 0，
1- f(x)
即函数 y= 在区间 [1,9]上的值域为 - 1 2 ,0 ．故选：B．f(x) + 1
【变式5-1】(2022春·江苏南京·高三统考开学考试)已知函数 f x = sin x+ π9 + sin
5π
9 - x ,g x =
f f x ，则 g x 的最大值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 32 D. 2
【答案】B
【解析】记 t= x+ π9，则 f x = h t = sint+ sin t+
π = 33 2 sint+
3
2 cost，
所以 h t = 3sin t+ π6 ∈ - 3, 3 ，且 3>
π
3，所以 f f x 最大为 3.故选：B.
【变式5-2】(2021秋·安徽六安·金寨县青山中学高三开学考)函数 f(x) = 4x- 2× 2x- 3,x ∈ 0,2 的最小
值是_______.
【答案】-4
【解析】令 t= 2x，x ∈ [0，2]，则 t ∈ [1，4]．
原函数化为 g(t) = t2- 2t- 3= (t- 1)2- 4，
当 t= 1时，g(t)有最小值，即 f(x)有最小值为-4．
x x
5-3 (2020 · · ) f x = 4 + 3 2 + 1【变式 】 秋 吉林白城 高三校考阶段练习 已知函数 x x ，x ∈+ +
-1,1 ，则函数
4 2 1
f x 的值域为_________.
【答案】 11 , 5 7 3
x x x
【解析】由题得 f 4 + 2 + 1 2× 2 x = x x + x x = 1+
2 ，
4 + 2 + 1 4 + 2 + 1 1
x + 2x+ 12
设 t= 2x，t ∈ 1 ,2 ，g t = 1 2 t + t，
所以函数 g(t)在 1 ,1 2 单调递减，在 [1,2]单调递增，
所以 g(t)min= g(1) = 2,g(t)
5
max= g(2) = 2 .
所以函数 g(t)的值域为 2, 5 2 ，
所以 f x min= 1+
2
5 =
11 2 5
7 ，f x max= 1++ 1 2+ 1
= 3
2
所以 f x ∈ 11 5 7 , 3 .
【题型 6 导数法求函数值域或最值】
2
【例6】(2022·陕西宝鸡·统考一模)函数 y= ln x- x ，x ∈ 2,4 的值域是______.
【答案】 7 0,ln 2
【解析】由题意，在 y= ln x- 2x 中，x ∈ 2,4
2 2
y = 1 2 1+
2 = x x + 22 2 2 = x + 22 > 0，
x- x x - 2 x x x - 2 x
∴函数在 2,4 单调递增
∵ f 2 = ln 2- 22 = ln1= 0，f 4 = ln 4-
2
4 = ln
7
2
∴函数 y= ln x- 2x ，x ∈ 2,4 的值域是 0,ln
7
2
【变式6-1】(2022秋·江苏·高三校联考阶段练习)函数 f x = 3x- 1 - 3lnx的最小值为________
_．
【答案】2
【解析】令 g x = x- 1- lnx，则 g x = 1- 1 = x- 1 x x ，令 g
x = 0，解得 x= 1，
当 0< x< 1时，g x < 0，则 g x 单调递减；
当 1< x时，g x > 0，则 g x 单调递增；
故 g x ≥ g 1 = 0，则 x- 1≥ lnx.
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因为 lnx≤ x- 1，所以 f x = 3x- 1 - 3lnx≥(3x- 1) - 3(x- 1) = 2
当且仅当 x= 1时等号成立，因此 f(x)的最小值为 2．
x
【变式6-2】(2022秋·安徽安庆·高三安庆一中统考阶段练习) 2 + 1已知函数 f x = x ,则 f x 在x 2 - 1
-2,0 ∪ 0,1 上的值域为 ( )
A. -∞,- 5 6 ∪ 3,+∞ B. 0,
5
6
C. -
5
6 ,0 ∪ 0,3
5
D. 6 ,+∞
【答案】D
x
【解析】由题知 f x = 2 + 1 ,定义域为 -∞,0 ∪ 0,+∞ ,
x 2x- 1
-x x
∴ f -x = 2 + 1 = 2 + 1 = f x ,-x 2-x- 1 x 2x- 1
∴ f x 在定义域上为偶函数,
x
则当 x> 0时,f x = 2 + 1 = 2
x- 1+ 2 1
x = +
2 = 1 1+ 2 ,
x 2 - 1 x 2x- 1 x x 2x- 1 x 2x- 1
∴ f x =- 1
x
1+ 2 + 1 -2 2 ln2 =- 1 1 + 2 + 2 2
xln2

x2 2x- 1 x 2x- 1 2 x x x 2x- 1 2x- 1 2
∵ x> 0,∴ 2x- 1> 0,
∴ 1 + 2 + 2 2
xln2
x x x 2 > 0,x 2 - 1 2 - 1
∴ f x < 0,∴ f x 在 0,+∞ 单调递减,
∵ f x 在定义域上为偶函数,
∴ f x 在 -∞,0 单调递增,
∴ f x 在 -2,0 单调递增,在 0,1 单调递减,
x
∵ f -2 5 = 6 ,f 1 = 3,lim
2 + 1
x =+∞,x→0 x 2 - 1
故 f x 在 -2,0 ∪ 0,1 上的值域为 5 6 ,+∞ .故选:D
【变式6-3】(2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考三模)已知函数 f x = esinx+cosx- 12 sin2x x ∈R ，则函数
f x 的最大值与最小值的差是______.
【答案】e 2- e- 2
【解析】令 t= sinx+ cosx= 2sin x+ π4 ，则 t ∈ - 2, 2 ，且 sin2x= t
2- 1，
则 y= f x = et- 12 t
2- 1 ，
∵ y = et- t> 0在 t ∈ - 2, 2 时恒成立，
故 y= et- 1 t22 - 1 在 - 2, 2 上为增函数，
故函数 f x 的最大值与最小值的差 y| - y| = e 2- 1 - e- 2- 1t= 2 t=- 2 2 2 = e
2- e- 2.
【题型 7 已知函数的最值求参数】
(x- 1)ex, x≤ 1
【例7】(2022·浙江杭州·模拟预测)f(x) = 的最小值是-1，则实数 a的取值范围是ax2- x+ 1- a, x> 1
( )
A. 2- 3 2 ,+∞ B. -∞,
2- 3
2 C.
1- 3 1 1 2 , 2 D. 2 ,+∞
【答案】A
【解析】当 x≤ 1时，f x = xex，令 f x = 0，得 x= 0，
则 f x 在 -∞,0 上单调递减， 0,1 上单调递增，
即函数 f x 在 x= 0处取得最小值-1，
所以问题转化为 ax2- x+ 1- a≥-1在 1,+∞ 上恒成立，
令 g x = ax2- x+ 2- a，则 g x ≥ 0在 1,+∞ 上恒成立
当 a≤ 0时，不符合.
1 1当 a> 0时，对称轴 x= 1 ，则 2a
< 1
或 2a ≥ 12a g 1 = a- 1+ 2- a≥ 0 Δ= 1- 4a 2- a ≤ 0
解得 a> 1 或 2- 3 ≤ a≤ 1 ，所以 a≥ 2- 32 2 2 2 ，故选：A.
1- ax,x< a,
【变式7-1】(2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习)设函数 f x = 2- + , ≥ 若 f x 存在最小x 4x 3 x a.
值，则 a的取值范围为 ( )
A. - 2, 2 B. 0, 2
C. - 2, 2 ∪ 2,+∞ D. 0, 2 ∪ 2,+∞
【答案】B
1,x< 0,
【解析】若 a= 0时，f x = 2- + , ≥ .，∴ f x min= fx 4x 3 x 0 2 =-1；
若 a< 0时，当 x< a时，f x = 1- ax单调递增，
当 x→-∞时，f x →-∞，故 f x 没有最小值；
若 a> 0时，x< a时，f x =-ax+ 1单调递减，f x > f a = 1- a2，
-1, 0< a< 2
当 x≥ a时，f x min= ，a2- 4a+ 3, a≥ 2
2 2 2
若函数 f x 有最小值，需 1- a ≥-1 或 1- a ≥ a - 4a+ 3 < ，解得 0< a≤ 2.故选：B0 a< 2 a≥ 2
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【变式7-2】(2022 · 2x+m秋 新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习)若函数 f x = x+ 1 在区间 0,1 上
的最大值为 3，则实数m=_______.
【答案】3
【解析】∵函数 f x = 2x+m = 2+ m- 2 x+ 1 x+ 1 ，
由复合函数的单调性知，
当m> 2时，f x = 2x+m x+ 1 在 0,1 上单调递减，最大值为 f 0 =m= 3；
当m< 2时，f x = 2x+m x+ 1 在 0,1 上单调递增，最大值为 f 1 =
2+m
2 = 3，
即m= 4，显然m= 4不合题意，
故实数m= 3.
【变式7-3】(2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知函数 f x = ax2+ x+ 1 ，x ∈ 1,2 ，且
f x 的最大值为 a+ 2，则 a的取值范围是 ( )
A. 1 -1,- 2 B.

-1,-
1
3 C. -2,-
1
3 D.

-1,-
1
2
【答案】A
【解析】由题意可知，a+ 2≥ 0，即 a≥-2，且 g 1 = a+ 2，∴ x ∈ 1,2 ， ax2+ x+ 1 ≤ a+ 2，
即-a- 2≤ ax2+ x+ 1≤ a+ 2.
∴ x ∈ 1,2 ，- x+ 3 2 ≤ a≤-
1
x+ 1 (当 x= 1时也成立)，x + 1
令 h x =- x+ 3 2 ，x ∈ 1,2 ，t
1
+
x =-
x 1 x+ 1
，x ∈ 1,2 ，则 hmax≤ a≤ tmin，
∵ h x x+ 3 1 =- 2 =- 10 ，且 x+ 3 ∈ 4,5 x+ 3 - 6 x+ 3 + 10 x+ 3 + x+ 3 - 6
∴由 12 ≤
10
x+ 3 + x+ 3 - 6≤ 1，可得-2≤ h x ≤-1，即 hmax=-1，
又 t x =- 1x+ 1 在 1,2 上单调递增，
∴ t 1 1min=- 2，∴-1≤ a≤- 2 .故选：A．
【变式7-4】(2022·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习)已知函数 y= f x 是定义域为R的奇函数，
a
且当 x< 0时，f x = x+ x + 1．若函数 y= f x 在 1,+∞ 上的最小值为 3，则实数 a的值为 (
)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】因为 y= f(x)是定义域为R的奇函数，且当 x< 0时，f(x) = x+ ax + 1．
当 x> 0时，-x< 0，则 f(-x) =-x- ax + 1=-f(x)，
所以当 x> 0时，f(x) = x+ ax - 1，此时 f
(x) = 1- a
x2
当 a≤ 1时，f (x) = 1- a2 ≥ 0在 [1，+∞)上恒成立，函数 f(x)在 [1，+∞)上单调递增，x
当 x= 1时，函数取得最小值 f(1) = 1+ a- 1= 3，解得 a= 3(舍)，
当 a> 1时，x ∈ 1, a ，f (x)< 0，函数单调递减；
x ∈ a,+∞ ，f (x)> 0，函数单调递增，
x= a时，函数取得最小值 f( a) = 2 a- 1= 3，解得 a= 4，
综上，a= 4．故选：D．
【变式7-5】(2022秋 ·上海杨浦 ·高三复旦附中校考阶段练习)已知 a > 0，函数 f (x) = ax- x2 +
2x- x2的最大值为 2，则实数 a的值为_____.
【答案】1
【解析】∵ y= ax- x2+ 2x- x2，∴ y- 2x- x2= ax- x2，
两边平方得：y2- 2y 2x- x2+ 2x- x2= ax- x2，
即 y2+ 2x- ax= 2y 2x- x2，
再平方得：y4+ 4x2+ a2x2+ 4xy2- 2axy2- 4ax2= 8xy2- 4x2y2，
化简得：(4y2+ 4+ a2- 4a)x2- (4y2+ 2ay2)x+ y4= 0，
当 4y2+ 4+ a2- 4a= 0，即 4y2+ (a- 2)2= 0时，a= 2,y= 0，
此时 f(x) = 2 2x- x2= 2 - (x- 1)2+ 1最大值为 2，不符题意.
所以 4y2+ 4+ a2- 4a≠ 0.
因为方程有解，所以Δ≥ 0，
即Δ= (4y2+ 2ay2)2- 4y4(4y2+ 4+ a2- 4a)≥ 0，
化简得：y2≤ 2a，因为 y≥ 0，所以 0≤ y≤ 2a，
又因为 y的最大值为 2，所以 2a= 2，所以 a= 1.
故答案为：1.
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1. (2023· 2x全国·高三专题练习)函数 f(x) = x+ 1 的值域是 ( )
A. -∞,-1 ∪ 1,+∞ B. -∞,2
C. -∞,2 ∪ 2,+∞ D. -1,+∞
【答案】C
2 x+ 1 - 2
【解析】 f(x) = 2x 2x+ 1 = x+ 1 = 2- x+ 1，
从而可知函数 f(x) = 2xx+ 1 的值域为 -∞,2 ∪ 2,+∞ .故选：C
2. (2019秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习)函数 y= x- 3 - 4 1≤ x≤ 4 的值域为 (
)
A. -4,-2 B. -4,-3 C. -3,4 D. -3,-2
【答案】A
【解析】依题意 1≤ x≤ 4，-2≤ x- 3≤ 1，0≤ x- 3 ≤ 2,-4≤ x- 3 - 4≤-2，
所以函数 y= x- 3 - 4 1≤ x≤ 4 的值域为 -4,-2 .故选：A
3. (2022·全国· sinx- 1高三专题练习)函数 f(x) = x ∈ 0,2π 的最小值是 ( )
3- 2cosx- 2sinx
A. - 22 B. - 1 C. - 2 D. - 3
【答案】B
【解析】当 sinx= 1，f(x) = 0
当 sinx≠ 1时,因为 ( ) = sinx- 1f x =- 1- sinx =
3- 2cosx- 2sinx 1- sinx 2+ 1- cosx 2
- 1 ，
1- cosx 2
1+ 1- sinx
令 g( 1- cosxx) = ，g(x)的含义是点 (1,1)与单位圆上的点 sinx,cosx 的连线的斜率，
1- sinx
所以 g(x).....0，所以 1+ g(x)2.....1
所以- 1,- 1 ，即-1,f(x)< 0，综合得，f(x) ∈ -1,0 ，
1+ g(x)2
故最小值为：-1.故选：B.
4. (2021秋· x黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中阶段练习)已知函数 f(x) = 2 的定义域为 0,+∞ ，则x + 1
函数 f(x)的值域为 ( )
A. -2,+∞ B. -2,
1
2 C.
0,
1
2 D.
1 2 ,+∞
【答案】C
【解析】f(x) = x 12 = 1 ，定义域为 0,+∞ ，且 f(x) = 0x + 1 x+ x
令 t(x) = x+ 1x，x ∈ 0,+∞ ，
利用对勾函数的性质知，当 x ∈ 0,1 时，函数单减；当 x ∈ 1,+∞ 时，函数单增；
∴ t(x)min= t(1) = 2，即 t(x)≥ 2，∴ 0< f(x)≤
1
2
又 f(0) = 0，所以函数 f(x)的值域为 1 0, 2 ，故选：C
1- a x+ 14a,x< 10
5. (2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知函数 y= 的值域为R，则实数 algx,x≥ 10
的取值范围是 ( )
A. -∞,1 B. 9 9 9 - 4 ,+∞ C. - 4 ,1 D. - 4 ,1
【答案】C
1- a x+ 14a,x< 10
【解析】∵ x≥ 10,lgx≥ lg10，又函数 y= 的值域为R，lgx,x≥ 10
1- a> 0
则 9 ，解得 a ∈ - 4 ,1 ．故选：C．10 1- a + 14a≥ lg10
x+1
6. (2023·全国· 2高三专题练习)函数 f(x) = x 的值域为 ( )2 + 1
A. 0,1 B. 0,1 C. 0,2 D. 1,2
【答案】C
x+1 2 2x+ 1【解析】 (
- 2
f x) = 2x = x = 2-
2 ，
2 + 1 2 + 1 2x+ 1
因为 2x> 0,∴ 2x+ 1> 1,∴ 0< 1x < 12 + 1
∴-1<- 1x < 0,∴-2<-
2
x < 0,∴ 0< 2-
2 < 2，
2 + 1 2 + 1 2x+ 1
x+1
所以函数 f(x) = 2x 的值域为 0,2 .故选：C2 + 1
7. (2022·全国·高三专题练习)设 x ∈R，用 x 表示不超过 x的最大整数，则 y= x 称为高斯函数，例
2
如： -2.1 =-3, 3.1 = 3 2x 1 ，已知函数 f(x) = 2 -+ 3
，则函数 y= f(x) 的值域是 ( )
1 x
A. 0,1 B. -1,1 C. -1,0 D. -1,0,1
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【答案】D
2x2 1 2 1+ x2 - 2【解析】f(x) = - = - 1 = 5 22 3 - ，1+ x 1+ x2 3 3 1+ x2
因为 x ∈R，所以 t= 1+ x2≥ 1，0< 1 1 5
1+ x2
≤ 1，则 f(x) ∈ - 3 , 3 ，
当 x ∈ -
1
3 ,0 时，y= f(x) =-1；
当 x ∈ 0,1 时，y= f(x) = 0；
当 x ∈ 5 1, 3 时，y= f(x) = 1；
所以函数 y= f(x) 的值域是 -1,0,1 ，故选：D
8. (2021秋·河南·高三校联考阶段练习)函数 y= x- 3 2021- x的值域为 ( )
A. -∞,-2021 B. -∞,2021 C. 0,+∞ D. 3,+∞
【答案】B
【解析】因为 y= 2021- x在定义域 -∞,2021 内单调递减，
所以 y= x- 3 2021- x在定义域 -∞,2021 内单调递增，
故当 x= 2021时，ymax= 2021- 3 2021- 2021= 2021，得 y≤ 2021.故选：B
9. (2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校阶段练习)函数 y= x- 1x 在 1,2 上的值域为____．
【答案】 0,
3
2
【解析】∵ y= x- 1x 在 1,2 上为增函数，
则 y= x- 1x 在 1,2 上的最小值为 y= 1- 1= 0，最大值为 y= 2-
1
2 =
3
2，即 y ∈
0, 3 2 ．
10.(2022秋·北京·高三统考阶段练习)函数 f(x) = lg 1- x+ 1 的值域为______．
【答案】 0,+∞
【解析】函数 f(x)的定义域为 -∞,1 ，
因为 1- x≥ 0所以 1- x+ 1≥ 1，所以 lg 1- x+ 1 ≥ lg1= 0
所以函数 f(x)值域为 0,+∞ ．
11. (2022·全国·高三专题练习)函数 f(x) = x+ x- 1的值域为___________．
【答案】 1,+∞
【解析】因为 f(x) = x+ x- 1，令 t= x- 1，则 t≥ 0，则 x= t2+ 1，
2
所以 f(t) = t2+ 1+ t= t+ 12 +
3
4，t ∈ 0,+∞ ，
所以 f(t)在 0,+∞ 上单调递增，所以 f(t)≥ f(0) = 1，即 f(x)的值域为 1,+∞ .
12.(2022 x+ 1秋·陕西·高三校联考阶段练习)函数 f(x) = 2 的值域是_________.x + x+ 1
【答案】 - 1 3 ,1
【解析】由函数 f(x) = x+ 12 可知 x ∈Rx + x+ 1
所以 f(x) x2+ x+ 1 = x+ 1，整理得：f(x)x2+ f(x) - 1 x+ f(x) - 1= 0
当 f(x) = 0时，x=-1，符合；
当 f(x) ≠ 0时，则关于 x的一元二次方程在 x ∈R有根
所以 △= f(x) - 1 2- 4 f(x) f(x) - 1 ≥ 0
整理得：3f 2(x) - 2 f(x) - 1≤ 0且 f(x) ≠ 0，解得：f(x) ∈ 1 - 3 ,0 0,1 ，
综上得：f(x) ∈ 1 - 3 ,1 .
13.(2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习)函数 f(x) = 2x- 3- -x2+ 6x- 8的
值域是__________．
【答案】 3- 5,5
【解析】f(x) = 2x- 3- -x2+ 6x- 8= 2x- 3- 1- x- 3 2，
由-x2+ 6x- 8≥ 0，解得 2≤ x≤ 4，
令 t= 2x- 3- 1- x- 3 2，即 1- x- 3 2= 2x- 3- t，
将函数 f(x) = 2x- 3- -x2+ 6x- 8的值域转化为
y= 1- x- 3 2 与 y= 2x- 3- t有交点时的 t的取值范围，
在同一坐标系中作函数 y= 1- x- 3 2 与 y= 2x- 3- t的图象如图所示：
由图象知：当直线 y= 2x- 3- t与半圆 x- 3 2+ y2= 1相切时，t最小，
3- t
此时 = 1，解得 t= 3± 5，由图象知 t= 3- 5，
1+ 4
当直线 y= 2x- 3- t过点A 4,0 时，t最大，此时 t= 5，
所以 t ∈ 3- 5,5 ，即 f(x)的值域是 3- 5,5 ，
14.(2022 1秋·江西萍乡·高三芦溪中学校考开学考试)函数 y= 2 的值域为________.-x + x+ 2
【答案】 4 -∞,0 ∪ 9 ,+∞
【解析】由题得-x2+ x+ 2≠ 0,∴ x≠-1且 x≠ 2.
因为-x2
2
+ x+ 2=- x- 12 +
9 ≤ 94 4 , 且-x
2+ x+ 2≠ 0.
所以原函数的值域为 -∞,0 ∪ 4 9 ,+∞ .
15.(2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = cosxsin2x，则函数 f(x)的最大值为_____.
【答案】4 39 .
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【解析】因为 y= f(x) = cosxsin2x = 2cos2xsinx = 2 1- sin2x sinx= 2 sinx- sin3x ，
令 t= sinx，则 y= g t = 2 t- t3 ，-1≤ t≤ 1，
令 g t = 2 1- 3t2 = 0，解得 t=± 33 ，
当 t ∈ -1,- 3 时，g t < 0,g t 在 -1,- 33 3 上是减函数；
当 t ∈ - 3 , 33 3 时，g
3 3
t > 0,g t 在 - 3 , 3 上是增函数；
当 t ∈ 33 ,1 时，g t < 0,g t 在
3
3 ,1 上是减函数，
3
又 g -1 = 2 -1+ 1 = 0，g 33 = 2
3 - 3 = 4 3 3 3 9 ，
由此，得 y= g t 在 t= 3 时取得最大值，最大值为 4 3，故 f(x)的最大值为 4 33 9 9 .
16.(2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = 4- x2 x2+ ax+ b 的图象关于直线 x= 1对称，则 f(x)
的最大值为______．
【答案】16
【解析】由 4- x2= 0可得 x= 2或 x=-2，即 2,0 , -2,0 是函数的零点，
∵ f(x) = 4- x2 x2+ ax+ b 的图象关于直线 x= 1对称,
故 2,0 , -2,0 关于 x= 1对称的点 0,0 和 4,0 也是函数的零点，
故 0,4是 x2+ ax+ b的根，
故由韦达定理可得 b= 0,a=-4,a+ b=-4,
所以 f(x) = 4- x2 x2- 4x ,
所以 f (x) =-4 x- 1 x2- 2x- 4 ,
令 f (x) =-4 x- 1 x2- 2x- 4 = 0可得 x= 1+ 5或 x= 1或 x= 1- 5，
当 x> 1+ 5或 1- 5< x< 1，f (x)< 0,此时函数单调递减，
当 1< x< 1+ 5或 x< 1- 5，时,f (x)> 0,此时函数单调递增,
故函数最大值为 f(1+ 5) = f(1- 5) = 16.
17.(2022·全国·高三专题练习)求函数 f(x) = 5- 2x+ x2- 4x- 12的值域.
【答案】 3,+∞
【解析】由 5- 2x≥ 0，且 x2- 4x- 12≥ 0，解得 x≤-2，故该函数的定义域为 -∞,-2 ，
又该函数在定义域内单调递减，
所以当 x=-2时，函数取得最小值，f(-2) = 3.
18.(2022·全国·高三专题练习)求值域 (用区间表示)：
(1)y= x2- 2x+ 4，① x ∈ -4,-1 ；② x ∈ -2,3 ；
(2)f(x) = x2- 2x+ 3；
(3)f(x) = x- 2x+ 3 .
【答案】(1)① [7，28]；② [3，12]；(2) 2,+∞ ；(3) (-∞，1) ∪ (1，+∞)
【解析】(1)y= x2- 2x+ 4= x- 1 2+ 3，
①当 x ∈ -4,-1 时，ymax= -4- 1 2+ 3= 28,ymin= -1- 1 2+ 3= 7，
∴值域为 [7，28]；
②当 x ∈ -2,3 时，ymax= -2- 1 2+ 3= 12,y 2min= 1- 1 + 3= 3，
∴值域为 [3，12]．
(2)令 t= x2- 2x+ 3，则 y= t，
因为 t= x2- 2x+ 3= x- 1 2+ 2≥ 2，所以 t≥ 2，即 y≥ 2，
所以函数的值域为 2,+∞ ；
x+ 3 - 5
(3)y= x- 2x+ 3 =

x+ 3 = 1-
5
x+ 3，
因为 5x+ 3 ≠ 0，所以 y≠ 1
所以函数的值域为 (-∞，1) ∪ (1，+∞).
ax3+ a+ 1 x2+ 2a+ 4
19.(2022秋·云南·高三校联考阶段练习)已知 f(x) = x 是奇函数.
(1)求 a的值；
(2)求 f(x)的值域.
【答案】(1)0；(2) -∞,-4 ∪ 4,+∞
ax3+ a+ 1 x2+ 2a+ 4【解析】(1)因为 f(x) = x ，
a -x 3+ a+ 1 -x 2+ 2a+ 4 ax3- a+ 1 x2- 2a- 4所以 f(-x) = -x = x
又 f(x)是奇函数，所以 f(-x) =-f(x)，
ax3- a+ 1 x2- 2a- 4 -ax3- c+ 1即 =
x2- 2a- 4
x x ，则 a= 0
2
(2)由 (1)可知，f(x) = x + 4x = x+
4
x，x≠ 0，
当 x> 0时，x+ 4x ≥ 2 x
4
x = 4，当且仅当 x= 2时，等号成立.
又 f(x)是奇函数，所以 f(x)的值域为 -∞,-4 ∪ 4,+∞
20.(2022·河南开封·统考一模)已知函数 f(x) = 2sinx- ax,a ∈R.
(1)若 f(x)是R上的单调递增函数，求实数 a的取值范围；
(2)当 a= 1时，求 g(x) = f(x) - lnx π在 0, 2 上的最小值.
【答案】(1) -∞,-2 ；(2)2- π - ln π2 2
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【解析】(1)由已知可得：f (x) = 2cosx- a≥ 0恒成立，
即 a≤ 2cosx恒成立，又 y= 2cosx的最小值为-2，所以 a≤-2，
则有 a ∈ -∞,-2 .
(2)当 a= 1时，g(x) = f(x) - lnx= 2sinx- x- lnx，x ∈ 0,+∞
所以 g (x) = 2cosx- 1- 1x，
令 h(x) = g (x)，h (x) =-2sinx+ 12 在 0, π2 上单调递减，x
2
又因为 h ( π6 ) =-1+
6 π
π > 0，h (1) =-2sin1+ 1<-2sin 6 + 1= 0，
4
所以存在 x0∈
π , 4x - 1 6 1 使得 h
(x) = 0，即 2sinx = 1 00 2 ，从而 cosx0=x 20 2x0
则有
x 0,x0 x , π0 2
h (x) 正 负
g (x) 递增 递减
则 g (x)最大值为：
4 4
g (x0) =
4x - 1
2cosx0- 1-
1
x =
0
2 - -
1 < 4x1 0 - 1- 1 = 1- 12 < 0，
0 x0 x0 x0 x0 x0
所以 g (x)< 0，
则 g(x)在 0, π 2 上单调递减，所以最小值为 g(
π
2 ) = 2-
π
2 - ln
π
2 .

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