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7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.2　离散型随机变量的方差
【学习目标】
课程标准 素养要求
理解离散型随机变量的方差. 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.(数学抽象) 2.掌握方差的性质,会利用公式求离散型随机变量的方差.(数学运算) 3.会计算离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.(数学建模、数学运算)
【自主学习】
一、离散型随机变量的方差、标准差：
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，所以
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的 ，并称其算术平方根 为随机变量X的 ．
思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系
二、离散型随机变量方差的性质：
设a,b,c为常数，则
D(c)＝0;
;
;
.
三、服从两点分布与二项分布的随机变量的方差：
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝ (其中p为成功概率)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝ .
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.(　　)
(2)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的.(　　)
(3)若a是常数,则D(a)=0.(　　)
2.已知X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D(X)等于(　　)
A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0
【经典例题】
题型一 方差、标准差的概念及性质
例1 已知X的分布列如表:
X -1 0 1
P a
(1)计算X的方差;
(2)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
【跟踪训练】1 已知随机变量的分布列如下表，且，则______，________.
1 2
题型二 求离散型随机变量的方差
点拨：1.求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,由期望的定义求出E(X);
(4)根据公式计算方差.
2.如果能判断随机变量服从什么分布,则直接代入相应的公式求解方差.
例2 某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________.
【跟踪训练】2 某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差;
(2)从中有放回地随机抽取10件产品,计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.
【跟踪训练】3 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的方差.
题型三　方差的实际应用问题　　　
点拨：利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据方差的意义作出结论.
例3 以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为:
X1(甲得分) 0 1 2
P(X1=xi) 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P(X2=xi) 0.3 0.3 0.4
欲从甲、乙两运动员中选一人参加2021年东京夏季奥运会,你认为选派哪位运动员参加较好
【跟踪训练】4 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，且X和Y的分布列如下表：
X 0 1 2
P
Y 0 1 2
P
试对这两名工人的技术水平进行比较.
【当堂达标】
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=3,6,9,则D(X)等于(　　)　　　　　　　　　
A.6 B.9 C.3 D.4
2.若随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.2 m
已知随机变量，且，，则a与b的值为( )
A.， B.，
C.， D.，
3.设是随机变量，且，则( )
A.0.4 B.0.8 C.4 D.20
4.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计(　　)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
5.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率；
(2)求的分布列、期望和方差.
【参考答案】
【自主学习】
一、 方差 标准差
思考:(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化;
(2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的.
三、p(1-p) np(1-p)
【小试牛刀】
1.(1)×；(2)×；(3)√.
2.B 解析：E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
【经典例题】
例1 解：由分布列的性质,知++a=1,故a=.
所以X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-.
(1)X的方差D(X)=×+×+×=.
(2)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
【跟踪训练】1 ；4 解析：由题意得，，.由期望公式得，.
.故.
例2 0.16 解析：依题意知:X服从两点分布,所以D(X)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.16.
【跟踪训练】2 解：(1)用ξ表示抽得的正品数,则ξ=0,1.
ξ服从两点分布,且P(ξ=0)=0.02,P(ξ=1)=0.98,
所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品数,则X～B(10,0.98),
所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196,标准差为≈0.44.
【跟踪训练】3 解： 由题意,X的可能取值为0,1,2,
P(X=k)=,k=0,1,2.X的分布列为:
X 0 1 2
P
所以X的均值为E(X)=0×+1×+2×=1.所以X的方差为D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
例3 解：由题意,E(X1)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1.
所以E(X1)=E(X2).
D(X1)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,
D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.4=0.69,所以D(X1)所以甲运动员的技术好一些,应选派甲参加.
【跟踪训练】4 解：工人甲生产出次品数X的均值和方差分别为
，
.
工人乙生产出次品数Y的均值和方差分别为
，
.
由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，
但，可见乙的技术更稳定.
【当堂达标】
1.A 解析：E(X)=3×+6×+9×=6.D(X)=(3-6)2×+(6-6)2×+(9-6)2×=6.
2.C 解析：由随机变量X的分布列可知，，
，，
，，
，，，，故选C.
3.B 解析：由题意得，所以.故选B.
4. B 解析：因为D(X甲)>D(X乙),所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
5. 解：(1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
，
.
(2)根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，300元，400元，得到对应的事件的概率，
，
，
，
故的分布列为
200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
期望.
方差.

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