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专题31 天体的运动
一、　中心天体质量和密度的计算
1．重力加速度法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1) 在天体表面，忽略自转的情况下有G＝mg.。由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由G＝mr得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
二．天体运动的处理方法
处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系如下：
【特别提醒】
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。　
三、天体特殊模型
“双星”模型 “三星”模型 “四星”模型
情境图
运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力
规律 ＝m1ω2r1 ＝m2ω2r2 ＋＝ma向 ×cos 30°×2＝ma向 ×2cos 45°＋＝ma向 ×2×cos 30°＋＝ma向
关键点 m1r1＝m2r2 ， r1＋r2＝L r＝ r＝L或r＝
四、天体运动中的追及相遇问题
“天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的。解决这类问题有两种常用方法。
1．角度关系
设天体1(离中心近些)与天体2某时刻相距最近，如果经过时间t，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ；如果经过时间t′，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体又相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。
2．圈数关系
最近：－＝n(n＝1，2，3，…)。
最远：－＝(n＝1，2，3，…)。
天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1，2，3，…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)。　　
最新高考题精选
1. （2021高考全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】B
【关键能力】 本题通过由1994年到2002年对恒星S2观测位置图，结合万有引力提供向心力，考查考生都天体运动的估算能力和灵活运用知识能力。（
【学科素养】本题考查的学科素养主要是物理观念中的运动和相互作用观念，考生要能够用万有引力提供向心力列方程分析，能从物理学的运动和相互作用的视角分析天文观测数据，解决相关问题。
【解题思路】由1994年到2002年对恒星S2观测位置图可知，恒星S2绕黑洞运动的周期大约为T2=36年，半长轴为a=1000AU，设黑洞的质量为M黑，恒星S2质量为m2，由万有引力提供向心力，可得G=m2a（）2；设地球质量为m，地球绕太阳运动的轨道半径为r=1AU，周期T1=1年，由万有引力提供向心力，可得G=mr（）2，联立解得黑洞质量M黑=106M，选项B正确。
【解题指导】由1994年到2002年对恒星S2观测位置图得出恒星S2绕黑洞运动的周期，把天体的椭圆轨道运动简化为圆周运动，列方程估算得出银河系中黑洞的质量。
2. (2021新高考福建)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU（太阳到地球的距离为1AU），S2的运行周期约为16年.假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出
A. S2与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C. S2在P点与Q点的速度大小之比
D. S2在P点与Q点的加速度大小之比
【参考答案】B D
【解题思路】
设银河系中心超大质量的致密天体质量为M银心，恒星S2绕银河系中心（银心）做椭圆轨道运动的椭圆半长轴为a，半焦距为c，根据题述Q与O的距离约为120AU，可得a-c=120AU，又有椭圆偏心率（离心率）约为c/a=0.87.联立可以解得a和c，设想恒星S2绕银心做半径为a的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期也为TS2，因此G=mS2a()2，对地球围绕太阳运动，有G=m地a()2，而a=120r，TS2=16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，不能得出S2与银河系中心致密天体的质量之比，选项A错误B正确；由于远银心点和近银心点轨迹的曲率半径相同，设为ρ,恒星S2在远银心点，由万有引力提供向心力，G=mS2，在近银心点由万有引力提供向心力，G=mS2，联立可解得S2在P点与Q点的速度大小之比为=，选项C正确；在远银心点和近银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律，分别有G=mS2aP，G=mS2 aQ，联立可解得S2在P点与Q点的加速度大小之比为=，选项D正确。
【关键点拨】：解答此题的关键点主要有三：一是构造半径等于恒星S2椭圆轨道半长轴的圆轨道，如图；
二是明确椭圆轨道远银心点和近银心点轨迹的曲率半径相同；三是在远银心点和近银心点所受万有引力不同，向心加速度的表达式类似。
【一题多解】：选项C也可以利用开普勒第二定律解答。开普勒第二定律，也称等面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。推广到银河系，根据开普勒第二定律，有vP（a+c）= vQ（a-c），可得S2在P点与Q点的速度大小之比为=。
知识拓展：椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
3．（2020年7月浙江选考）火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（ ）
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为
C．角速度大小之比为
D．向心加速度大小之比为9∶4
【参考答案】C
【名师解析】由圆周长公式c=2πr可知火星与地球绕太阳运动的轨道周长之比为3∶2，选项A错误；由G=m，解得v=，可知火星与地球绕太阳运动的线速度大小之比为∶，选项B错误；由G=mrω2，解得ω=，可知火星与地球绕太阳运动的角速度大小之比为，选项D正确；由G=ma解得a= G火星与地球绕太阳运动的向心加速度大小之比为4∶9，选项D错误。
4．（2019全国理综III卷15）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
【参考答案】A
【名师解析】由G=ma，解得a=, 已知它们的轨道半径R金a地>a火，选项A正确B错误；由G=m，解得v=, 已知它们的轨道半径R金5.（2018高考理综II·16）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A． B．
C． D．
【参考答案】.C
【命题意图】本题考查万有引力定律、牛顿运动定律、密度及其相关的知识点。
【解题思路】设脉冲星质量为M，半径为R。选取脉冲星赤道上一质元，设质量为m，由万有引力定律和牛顿第二定律可得G=mR（）2，星体最小密度ρ=M/V，星球体积V=πR3，联立解得：ρ=，代入数据得ρ=5×1015kg/m，选项C正确。
6.（2018高考全国理综I）．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
【参考答案】BC
【命题意图】 本题考查天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律及其相关的知识点。
【解题思路】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=1/12s），
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自的自转角速度无法求解．所以选项BC正确AD错误。
最新模拟题精选
1. (2022天津河西区二模)中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RAA. 恒星A的质量大于恒星B的质量
B. 恒星B的质量为
C. 若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
D. 三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为
【参考答案】AB
【名师解析】
因为双星系统的角速度相同，故对A、B可得
即，即恒星A的质量大于恒星B的质量，故A正确；
对恒星A可得，解得恒星B的质量为，故B正确；
对卫星C满足，可见无法求出卫星C的质量，故C错误；
因为恒星A和B始终共线，所以三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为，故D错误。
2． （2022安徽马鞍山二模） 质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动。观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且k。于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为（　　）
A. B.
C. D.
【参考答案】A
【名师解析】两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知
可得r1=r2。两星绕连线的中点转动，则有，所以。
由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则
又，解得，可知A正确，BCD错误。
3. （2022江西南昌八一中学三模）我国发射的“悟空”探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且（K>1）；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质（已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用，等效于质量集中在球心处对质点的作用），两星球的质量均为；那么，暗物质质量为
A. B.
C. D.
【参考答案】B
【名师解析】
双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L，万有引力提供向心力得：
，解得：T理论＝πL．
根据观测结果，星体的运动周期
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m'，位于中点O处的质点的作用相同．
则有： ，解得：T观测＝πL
所以：．故B正确，ACD错误．故选B.
4. （2022陕西宝鸡陈仓区二模）如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是（　　）
A. 双星之间引力变大
B. 每颗星的加速度均变小
C. 双星系统周期逐渐变大
D. 双星系统转动的角速度变大
【参考答案】AD
【名师解析】
根据万有引力定律公式知，两颗恒星正在缓慢靠近，则双星之间引力变大，A正确；对星，，对星，，每颗星的加速度均变大，B错误；
由双星系统的两颗星的周期相等，万有引力提供向心力，可以得到
，
整理得到，知双星系统周期变小，C错误；
由，知转动的角速度变大，D正确。
5. . （2022山东泰安三模）火星是太阳的行星，直径约为地球的0.5倍，质量约为地球的0.1倍。火星、地球绕太阳的公转可近似为匀速圆周运动，且火星的轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。以T、Ek分别表示火星和地球绕太阳运动的周期和动能，以g、v分别表示火星和地球的表面重力加速度和第一宇宙速度，则有（　　）
A. B.
C. D.
【参考答案】B
【名师解析】
设太阳质量为M，行星质量为m，根据万有引力提供向心力有
得，由于火星的公转半径比地球的公转半径大，所以火星的公转周期比地球的公转周期大，故A错误；设太阳质量为M，行星质量为m，根据万有引力提供向心力有，解得
则有，由于火星的轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍，质量约为地球的0.1倍，故火星的动能比地球小，故B正确；设在行星表面上物体的质量为m1，行星的半径为R，根据万有引力提供向心力，可得，可知火星直径约为地球的0.5倍，质量约为地球的0.1倍，故火星上表面重力加速度小于地球表面，故C错误；根据第一宇宙速度表达式，可知火星直径约为地球的0.5倍，质量约为地球的0.1倍，则火星表面的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，即，故D错误；
6. （2022北京东城区高三下一模）．火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道的半径与地球公转轨道的半径之比为，则火星与地球绕太阳运动的（　　）
A．角速度大小之比为
B．线速度大小之比为
C．周期之比为
D．向心加速度大小之比为
【参考答案】A
【名师解析】
火星与地球绕太阳运动，同一个中心天体，根据，解得，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，角速度大小之比为，故A正确；
由解得，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，线速度大小之比为，故B错误；由解得，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，公转周期之比为，故C错误；
由解得，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，向心加速度大小之比为4∶9，故D错误；
7.(2022天津南开二模)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点（位置未知）每秒公转12圈。若将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，忽略其他星体的影响，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，则无法估算出这一时刻两颗中子星（　　）
A. 各自的质量 B. 质量之和
C. 公转速率之和 D. 公转的角速度
【参考答案】A
【名师解析】
两颗中子星相距约400km，绕二者连线上的某点每秒公转12圈，可知两颗中子星公转的周期为
则公转的角速度为,可估算出这一时刻两颗中子星公转的角速度，D不满题意要求；假设两中子星做圆周运动的半径分别为和，线速度大小分别为和，则有，，又,联立可得,可估算出这一时刻两颗中子星公转速率之和，C不满题意要求；．假设两中子星的质量分别为和，根据万有引力提供向心力可得,,联立可得，解得,可估算出这一时刻两颗中子星质量之和，但不能估算出这一时刻两颗中子星各自的质量，B不满题意要求，A满题意要求；
8（2022河北重点中学期中素养提升）宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，Ⅰ、Ⅲ两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨道，半长轴为a，a = r3。在 t时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ的速率为v1、行星Ⅱ在B点的速率为v2B、行星Ⅱ在E点的速率为v2E、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法正确的是（　　）
A. v2E < v3 < v1 < v2B
B. 行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时的加速度大小不等
C. S2 = S3
D. 行星Ⅱ的运行周期大于行星Ⅲ的运行周期
【参考答案】A
【名师解析】
根据，得
由于。可得。I轨道到II轨道过程中需要在B点加速，则有
B到E过程中动能转化为势能，则有
又小于在E点能够绕重心天体匀速圆周运动的速度，根据轨道半径关系有
所以有，综上所述可得，故A正确；
由牛顿第二定律得，可知，行星II与行星III在P点加速度大小相等，故B错误；行星II与行星III满足，在△t时间内扫过的面积有椭圆面积小于圆面积，故C错误；由开普勒第三定律，可知，行星II与行星III运动周期相等，故D错误。
9．(多选)(2022·湖南联考)我国计划发射火星探测器，预计经过10个月的飞行火星探测器到达火星，着陆火星表面并进行巡视探测．假设探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍，已知地球半径与火星半径之比为b.不计地球和火星的自转及其表面气体的阻力．下列说法正确的是(　　)
A．地球与火星绕太阳运动时，它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
B．地球表面与火星表面的重力加速度大小之比为1∶a
C．地球与火星的质量之比为a∶b2
D．地球与火星的第一宇宙速度大小之比为∶
【参考答案】BD
【名师解析】
　根据开普勒第二定律知同一椭圆运动过程中，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同的行星周期不同，它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不相等，故A错误；根据竖直上抛运动规律知竖直上抛运动时间为：t＝2，已知探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍，则地球表面与火星表面的重力加速度大小之比＝1∶a，故B正确；根据星球表面物体的重力等于万有引力，有mg＝m，得M＝，地球与火星的质量之比为＝b2∶a，故C错误；第一宇宙速度v＝，所以地球与火星的第一宇宙速度大小之比为＝∶，故D正确．
10.如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，旋转方向相同。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)(　　)
A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝T1＋T2
B．两颗卫星的轨道半径之比为T1∶T2
C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度
D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度
【参考答案】B
【名师解析】　两卫星相距最近时，两卫星应该在同一半径方向上，A卫星多转动一圈时，第二次相距最近，两颗卫星转动的角度相差2π，即t－t＝2π，解得t＝，故A错误；根据万有引力提供向心力得＝mr，A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为T1∶T2，故B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得＝mr，可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D错误。
11.经长期观测发现，A行星运行轨道的半径近似为R0，周期为T0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t0(t0>T0)发生一次最大的偏离，如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，已知行星B与行星A同向转动，则行星B的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为(　　)
A．R＝R0　　　 B．R＝R0
C．R＝R0 D．R＝R0
【参考答案】A
【名师解析】　A行星运行的轨道发生最大偏离，一定是B对A的引力引起的，且B行星在此时刻对A有最大的引力，故此时A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星的同一侧，设B行星的运行周期为T，运行的轨道半径为R，根据题意有t0－t0＝2π，所以T＝，由开普勒第三定律可得＝，联立解得R＝R0，故A正确，B、C、D错误。专题31 天体的运动
一、　中心天体质量和密度的计算
1．重力加速度法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1) 在天体表面，忽略自转的情况下有G＝mg.。由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由G＝mr得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
二．天体运动的处理方法
处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系如下：
【特别提醒】
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。　
三、天体特殊模型
“双星”模型 “三星”模型 “四星”模型
情境图
运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力
规律 ＝m1ω2r1 ＝m2ω2r2 ＋＝ma向 ×cos 30°×2＝ma向 ×2cos 45°＋＝ma向 ×2×cos 30°＋＝ma向
关键点 m1r1＝m2r2 ， r1＋r2＝L r＝ r＝L或r＝
四、天体运动中的追及相遇问题
“天体相遇”，指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的。解决这类问题有两种常用方法。
1．角度关系
设天体1(离中心近些)与天体2某时刻相距最近，如果经过时间t，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ；如果经过时间t′，两天体与中心连线半径转过的角度之差等于π的奇数倍，则两天体又相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。
2．圈数关系
最近：－＝n(n＝1，2，3，…)。
最远：－＝(n＝1，2，3，…)。
天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1，2，3，…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)。　　
最新高考题精选
1. （2021高考全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. (2021新高考福建)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU（太阳到地球的距离为1AU），S2的运行周期约为16年.假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出
A. S2与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C. S2在P点与Q点的速度大小之比
D. S2在P点与Q点的加速度大小之比
3．（2020年7月浙江选考）火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（ ）
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为
C．角速度大小之比为
D．向心加速度大小之比为9∶4
4．（2019全国理综III卷15）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
5.（2018高考理综II·16）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
A． B．
C． D．
6.（2018高考全国理综I）．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
最新模拟题精选
1. (2022天津河西区二模)中国“FAST”球面射电望远镜发现一个脉冲双星系统。科学家通过脉冲星计时观测得知该双星系统由一颗脉冲星与一颗白矮星组成。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕O点做逆时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，且RAA. 恒星A的质量大于恒星B的质量
B. 恒星B的质量为
C. 若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
D. 三星A、B、C相邻两次共线的时间间隔为
2． （2022安徽马鞍山二模） 质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动。观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且k。于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为（　　）
A. B.
C. D.
3. （2022江西南昌八一中学三模）我国发射的“悟空”探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且（K>1）；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质（已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用，等效于质量集中在球心处对质点的作用），两星球的质量均为；那么，暗物质质量为
A. B.
C. D.
4. （2022陕西宝鸡陈仓区二模）如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是（　　）
A. 双星之间引力变大
B. 每颗星的加速度均变小
C. 双星系统周期逐渐变大
D. 双星系统转动的角速度变大
5. . （2022山东泰安三模）火星是太阳的行星，直径约为地球的0.5倍，质量约为地球的0.1倍。火星、地球绕太阳的公转可近似为匀速圆周运动，且火星的轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。以T、Ek分别表示火星和地球绕太阳运动的周期和动能，以g、v分别表示火星和地球的表面重力加速度和第一宇宙速度，则有（　　）
A. B.
C. D.
6. （2022北京东城区高三下一模）．火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道的半径与地球公转轨道的半径之比为，则火星与地球绕太阳运动的（　　）
A．角速度大小之比为
B．线速度大小之比为
C．周期之比为
D．向心加速度大小之比为
7.(2022天津南开二模)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点（位置未知）每秒公转12圈。若将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，忽略其他星体的影响，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，则无法估算出这一时刻两颗中子星（　　）
A. 各自的质量 B. 质量之和
C. 公转速率之和 D. 公转的角速度
8（2022河北重点中学期中素养提升）宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，Ⅰ、Ⅲ两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨道，半长轴为a，a = r3。在 t时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ的速率为v1、行星Ⅱ在B点的速率为v2B、行星Ⅱ在E点的速率为v2E、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法正确的是（　　）
A. v2E < v3 < v1 < v2B
B. 行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时的加速度大小不等
C. S2 = S3
D. 行星Ⅱ的运行周期大于行星Ⅲ的运行周期
9．(多选)(2022·湖南联考)我国计划发射火星探测器，预计经过10个月的飞行火星探测器到达火星，着陆火星表面并进行巡视探测．假设探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体，其在地球上落回抛出点的时间是火星上的a倍，已知地球半径与火星半径之比为b.不计地球和火星的自转及其表面气体的阻力．下列说法正确的是(　　)
A．地球与火星绕太阳运动时，它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
B．地球表面与火星表面的重力加速度大小之比为1∶a
C．地球与火星的质量之比为a∶b2
D．地球与火星的第一宇宙速度大小之比为∶
　
10.如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，旋转方向相同。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)(　　)
A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝T1＋T2
B．两颗卫星的轨道半径之比为T1∶T2
C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度
D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度
11.经长期观测发现，A行星运行轨道的半径近似为R0，周期为T0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t0(t0>T0)发生一次最大的偏离，如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，已知行星B与行星A同向转动，则行星B的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为(　　)
A．R＝R0　　　 B．R＝R0
C．R＝R0 D．R＝R0

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